Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/Wachstum: Unterschied zwischen den Versionen
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<div class="width-5-6">Deine Oma schenkt dir zu deiner Geburt 1000€. Nun muss sie entscheiden, wie sie das Geld für dich | <div class="width-5-6">Deine Oma schenkt dir zu deiner Geburt 1000€. Nun muss sie entscheiden, wie sie das Geld für dich anlegt. Die Bank bietet ihr einen Zinssatz von 5% an. Berechne, wie viel Geld du mit 18 Jahren bekämst. Übertrage die beiden Möglichkeiten in dein Heft und fülle die Tabelle aus.</div> | ||
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{{Box|Übung 1: Lineares und exponentielles Wachstum|Unterscheide zwischen linearem und exponentiellem Wachstum. Bearbeitet dazu | {{Box|Übung 1: Lineares und exponentielles Wachstum|Unterscheide zwischen linearem und exponentiellem Wachstum. Bearbeitet dazu die Aufgaben auf der Seite Aufgabenfuchs und die nachfolgenden LearningApps. | ||
* [https://mathe.aufgabenfuchs.de/potenz/exp_wachstum.shtml Aufgabenfuchs: Aufgabe 1, 2 und 3]|Üben}} | * [https://mathe.aufgabenfuchs.de/potenz/exp_wachstum.shtml Aufgabenfuchs: Aufgabe 1, 2 und 3]|Üben}} | ||
{{LearningApp|app=16929218|width=100%|heigth=600px}} | {{LearningApp|app=16929218|width=100%|heigth=600px}} | ||
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{{Lösung versteckt|1=Wie verändern sich die Funktionswerte, wenn der x-Wert jeweils um 1 Einheit zunimmt.<br> | {{Lösung versteckt|1=Wie verändern sich die Funktionswerte, wenn der x-Wert jeweils um 1 Einheit zunimmt.<br> | ||
Lineares Wachstum: f(x) = mx + b<br> | Lineares Wachstum: f(x) = mx + b<br> | ||
Exponentielles Wachstum: f(x) = a<sup>x</sup> | Exponentielles Wachstum: f(x) = (c·)a<sup>x</sup><br> | ||
quadratisches Wachstum: f(x) = ax² (+bx+c)|2=Tipp|3=Verbergen}} | quadratisches Wachstum: f(x) = ax² (+bx+c)|2=Tipp|3=Verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Bei a) ändern sich die Funktionswerte immer um +3 , also ist das Wachstum linear. f(x) = 3x+1 <br> | {{Lösung versteckt|1=Bei a) ändern sich die Funktionswerte immer um +3 , also ist das Wachstum linear. f(x) = 3x+1 <br> |
Aktuelle Version vom 2. Dezember 2024, 09:17 Uhr
1) Lineares und exponentielles Wachstum (Einstieg)
2) Wachstumsrate und Wachstumsfaktor
3) Exponentielles Wachstum
4) Die Exponentialfunktion
Mögliche Antworten:
- Bevölkerungswachstum
- Bakterienwachstum
- Haarwachstum
- Druckzunahme je nach Meerestiefe
- Temperaturanstieg
- Sprunghöhe Flummi
- Zerfall von Bierschaum
- Kerzenhöhe je nach Dauer
- Lichtintensität
- Wertverlust bei Neuwagen
1 Lineares und exponentielles Wachstum
Sparmodell (vgl. Zinseszins) Erinnerung: Sparmodelle
1) Einstieg: Sparschwein
Sie lässt sich die Zinsen jedes Jahr auszahlen und spart sie in einem Sparschwein.
K = 1000€; p% = 5% = 0,05
Jahre | Guthaben(€) |
0 | 1000 |
1 | 1050 |
2 | 1100 |
3 | 1150 |
... | ... |
18 | ... |
Sie lässt die Zinsen auf dem Sparbuch und fügt sie so jährlich dem Kapital zu.
K = 1000€; p% = 5% = 0,05
Jahre | Guthaben(€) |
0 | 1000 |
1 | 1050 |
2 | 1102,50 |
3 | 1157,625 |
... | ... |
18 | ... |
Beispielrechnung mit p% = 2% = 0,02
Kannst du eine Formel angeben, mit der du den Endbetrag berechnen kannst?
K18 = ...
Das Startkapital beträgt K0 = 1000 €, der Betrag nimmt jedes Jahr um den festen Wert d = 50€ zu. Diese Zunahme erfolgt über n = 18 Jahre.
K18 = K0 + n · d
= 1000 + 18 · 50
= 1000 + 900
= 1900 (€)
K18 = ...
Das Startkapital beträgt K0 = 1000 €, der Betrag nimmt jedes Jahr um den gleichen Faktor q=100%+5% = 105% = 1,05 zu. Diese Zunahme erfolgt über n = 18 Jahre.
K18 = K0 · qn
= 1000 · 1,0518
≈ 2406,62 (€)
nach Pöchtrager
Du nutzt folgende Taste beim Taschenrechner, um Exponenten größer als 3 einzugeben (hier z.B. n = 18):
Das nachfolgende Video erklärt noch einmal den Zusammenhang zwischen p% und q.
Wie verändern sich die Funktionswerte, wenn der x-Wert jeweils um 1 Einheit zunimmt.
Lineares Wachstum: f(x) = mx + b
Exponentielles Wachstum: f(x) = (c·)ax
Bei a) ändern sich die Funktionswerte immer um +3 , also ist das Wachstum linear. f(x) = 3x+1
Bei b) sind die Funktionswerte die 10er Potenzen, also f(x) = 10x, es liegt also exponentielles Wachstum vor.
Bei c) ändern sich die Funktionswerte immer um -1, also ist das Wachstum linear. f(x) = -x+2
Bei d) sind die Funktionswerte Potenzen von 2,5, also f(x) = 2,5x, es liegt also exponentielles Wachstum vor.
Bei e) ändern sich die Funktionswerte weder linear, noch quadratisch oder exponentiell.
2 Wachstumsrate und Wachstumsfaktor
Beispiele
1) Die Schülerzahl einer Schule von 550 ist innerhalb eines Jahres um 8% gestiegen.
Geg: W0 = 550; Wachstumsrate p% = 8%
Ges: W1 ; q
Der alte Wert ist von 100% auf 108% gestiegen, also auf das 1,08-Fache.
Wachstumsfaktor q q = 1 + p%
Die neue Größe ergibt sich aus dem Produkt der alten Größe mit dem Wachstumsfaktor q:
W1 = W0 ∙ q
W1= 550 ∙ 1,08
= 594 (Schüler)
Die Anzahl der Schüler beträgt nun 594.
2) Die Anzahl der Schülerinnen und Schüler einer Schule stieg von 2017 bis 2018 von 540 auf 567. Bestimme die Wachstumsrate.
Geg: W0 = 540; W1 = 567
Ges: p% Wachstumsrate
Berechne die Wachstumsrate aus dem alten und neuen Wert:
Wachstumsrate: p% = = = 0,05 = 5%
Wachstumsfaktor: q = = = 1,05 (Formel W1 = W0 ∙ q nach q umgestellt)
oder q = 1 + 5% = 1 + 0,05 = 1,05 ( Probe: 540 ∙ 1,05 = 567)
Unterscheide die Begriffe:
Wachstumsrate: p%
Wachstumsfaktor: q
Wie hängen die beiden Größen zusammen? q = 1 + p%
Du berechnest den Wachstumsfaktor q wie folgt:
q = , wobei W1 die neue Größe ist und W0 die alte Größe.