Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie

Information

In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Linien eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Linien handelt es sich um die Mittelsenkrechte, die Winkelhalbierende und die Seitenhalbierende. Falls du dich bei diesem Thema nicht mehr sicher fühlst und lieber zu Beginn oder zwischendurch dein Vorwissen auffrischen möchtest, kannst du dafür in deinem Mathebuch (Dreifachmathe, Klasse 8) die Zusammenfassung des Kapitels 2 auf S. 70 verwenden und darüber hinaus folgende Seiten:

Mittelsenkrechte - S. 56

Winkelhalbierende - S. 57

Seitenhalbierende - S. 64

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

• Aufgaben, die orange gekennzeichnet sind, haben eine geringe Schwierigkeit.
• Aufgaben, die pink gekennzeichnet sind, haben eine mittlere Schwierigkeit.
• Aufgaben, die lila gekennzeichnet sind, haben eine hohe Schwierigkeit.

Viel Erfolg!

Martins und Marias Problem

Marias Zeichnung

Denk nach!

Martin und Maria sollen als Hausaufgabe in ein gleichseitiges Dreieck die Mittelsenkrechten, die Winkelhalbierenden und die Seitenhalbierenden einzeichnen. Maria behauptet, sie hätte alle Linien eingezeichnet. Martin meint, sie hätte die Mittelsenkrechten und die Seitenhalbierenden vergessen. Was meinst du? Begründe deine Antwort. Schreibe auf das Arbeitsblatt und vergleiche abschließend mit den Eigenschaften in der ersten Aufgabe.

Arbeitsblatt

Eigenschaften der besonderen Linien

Aufgabe 1: Eigenschaften zuordnen

Ordne die Aussagen den Linien zu. Sichere das Ergebnis mit einem Screenshot.

Hinweis: Falls dein Ergebnis als 'nicht richtig' angezeigt wird, kannst du versuchen Karten, die doppelt vorkommen, zu vertauschen.

Konstruktion 1

In dieser Aufgabe geht es darum, zu üben, die besonderen Linien des Dreiecks selbst zu konstruieren. Wähle eines der Level aus.

Aufgabe 2: Besondere Linien konstruieren - Level 1

Aufgabe anzeigen

Fülle die Lücken des folgenden Textes, indem du das richtige Wort aus den Vorschlägen auswählst. Sichere dein Ergebnis mit einem Screenshot.

Aufgabe 2: Besondere Linien konstruieren - Level 2

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Fülle die Lücken des folgenden Textes. Sichere dein Ergebnis mit einem Screenshot.

Aufgabe 2: Besondere Linien konstruieren - Level 3

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Beschreibe in eigenen Worten auf dem Arbeitsblatt, wie du die folgenden Linien mit dem Zirkel konstruieren kannst:

Arbeitsblatt

a) Winkelhalbierende

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Die folgenden Punkte sollten in deiner Lösung enthalten sein: 

- um den Eckpunkt einen Kreis zeichnen

- um die Schnittpunkte des Kreises mit den Schenkeln erneut Kreise zeichnen

- die Schnittpunkte der beiden neuen Kreise mit dem Eckpunkt durch eine Gerade verbinden

b) Mittelsenkrechte

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Die folgenden Punkte sollten in deiner Lösung enthalten sein: 

- um beide Eckpunkte einen Kreis einzeichnen

- Kreise müssen den gleichen Radius haben und der Radius muss größer als die halbe Seitenlänge sein

- die Schnittpunkte der beiden Kreise durch eine Gerade verbinden

c) Seitenhalbierende

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Die folgenden Punkte sollten in deiner Lösung enthalten sein: 

- um beide Eckpunkte einen Kreis einzeichnen

- Kreise müssen den gleichen Radius haben und der Radius muss größer als die halbe Seitenlänge sein

- die Schnittpunkte der beiden Kreise durch eine Gerade verbinden; der Schnittpunkt dieser Gerade mit der Seite ist der Mittelpunkt der Seite

- den Mittelpunkt der Seite mit der gegenüberliegenden Ecke durch eine Strecke verbinden

Eine Lösung könnte wie folgt aussehen:

Lösung anzeigen

Um die Winkelhalbierende zu konstruieren kann ich einen Zirkel verwenden. Dazu zeichne ich zunächst einen Kreis um einen Eckpunkt des Dreiecks, sodass sich zwei Schnittpunkte mit den Schenkeln ergeben. An diesen setze ich den Zirkel erneut an und zeichne zwei Kreise, sodass diese sich schneiden. Wenn ich nun eine Gerade durch die Schnittpunkte der letzten beiden Kreise und den Eckpunkt des Dreiecks zeichne, so habe ich die Winkelhalbierende konstruiert.

Um die Mittelsenkrechte zu konstruieren, kann ich um beide Eckpunkte einer Seite a einen Krei einzeichnen. Dabei muss ich darauf achten, dass der Radius der beiden Kreise gleich und größer als die Hälfte der Seitenlänge von a ist. Die Schnittpunkte der beiden Kreise haben dann den gleichen Abstand von beiden Eckpunkten. Zeichne ich nun eine Gerade durch diese beiden Schnittpunkte, so erhalte ich die Mittelsenkrechte zur Seite a.

Um die Seitenhalbierende zu konstruieren, zeichne ich um beide Eckpunkte eine Seite a des Dreiecks einen Kreis. Dabei ist wichtig, dass beide Kreise den gleichen Radius haben. Der Radius muss größer sein, als die Hälfte der Seitenlänge von a. Dann verbinde ich die Schnittpunkte der beiden Kreise durch eine Gerade. Diese schneidet die Seite a des Dreiecks im Mittelpunkt der Seita a. Wenn ich diesen Mittelpunkt nun mit dem gegenüberliegenden Eckpunkt verbinde, erhalte ich die Seitenhalbierende.

Konstruktion 2

Aufgabe 3: Besondere Linien konstruieren 2

Konstruiere folgende Linien mit Geodreieck oder Zirkel. Nutze dafür das Arbeitsblatt.

a) Mittelsenkrechte

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b) Seitenhalbierende

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c) Winkelhalbierende

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Hochseilgarten

Aufgabe 4: Anwendungsaufgabe

Die drei Städte Münster, Bielefeld und Paderborn möchten zusammen einen Hochseilgarten bauen. Der Eingang vom Hochseilgarten soll von allen drei Städten gleich weit entfernt sein.

a) Bestimme die Koordinaten des Eingangs. Nutze zur Bestimmung der Koordinaten des Eingangs

dieses GeoGebra-Applet]. Sichere deine Ergebnisse in dem du Screenshots erstellst. 

1. Tipp anzeigen

Überlege, welche der drei besonderen Linien im Dreieck den gleichen Abstand zu den Eckpunkten hat.

2. Tipp anzeigen

Nutze die Mittelsenkrechten.

Lösung anzeigen

. Also muss der Eingang vom Hochseilgarten im Punkt S(12,72; 2,22) liegen.

b) Beurteile, ob dies genau so umgesetzt werden könnte und ob dies wirklich der beste Ort für den Eingang ist.

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Zu beachten sind zum Beispiel folgende Vereinfachungen:

- Der Eingang befindet sich eigentlich nie nur an einem Punkt.

- Eventuell befindet sich an diesem Ort gar keine freie Fläche.

- Die Luftlinie entspricht nicht der tatsächlichen Straßenführung. Es kann also trotzdem unterschiedlich lange Anreisezeiten geben.

- ...

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