Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Logistisches Wachstum

In einem Internat leben 500 Menschen, einer davon infiziert sich Covid-19, nach einer Wochen sind bereits 100 Menschen angesteckt.

a) Bestimmen Sie den Funktionsterm.

b) Nach welcher Zeit sind 80% der Bewohner erkrankt?

c) Wie viele Bewohner erkranken in den ersten Tagen pro Stunde?

Lösung:

a) $N(x)={K \over N_0 + (K-N_0\cdot e^{-K\cdot k \cdot x}) }$

$100={500 \over 1+ ((500-1)\cdot e^{-500\cdot 7 \cdot x}) } \mid1((500-1)\cdot e^{-500\cdot7k}$

$100+49.900\cdot e^{-3500k}=500\mid -100$

$49.900\cdot e^{-3500k}=400 \mid\div49.900$

$e^{-3.500k}={4 \over 499} \mid log$

$\log_{e} ({4 \over 499}) = -3.500k$

$-3.500k\approx-4,8 \mid\div(-3.500)$

$k\approx0,0014$

$N(x)={500 \over 1+((500-1)\cdot e^{-500\cdot0,0014x}}$

b) $500\cdot 0,8=400$

$N(x)={500 \over 1+((500-1)\cdot e^{-500\cdot0,0014x}}$

$400={500 \over 1+((500-1)\cdot e^{-500\cdot0,0014x}} \mid\cdot1((500-1)\cdot e^{-500\cdot0,0018x}$

$400+199.600\cdot e^500\cdot0,0014x=500 \mid-400$

$199.600\cdot e^{-500\cdot 0,0014x}=100 \mid\div199.600$

$e^{-500\cdot0,0014x}= {1\over 1.996} \mid log$

$\log_{e} ({1\over 1.996})= -0,7x$

$-7,6= -0,7x\mid\div(-0,7)$

$x=10,9$

Nach 10,9 Tagen sind 80% infiziert.

c)

$k(4)\approx16,5$

${k(4)\over4}\approx4,1$

Pro Tag erkranken 4,1 Menschen

Bild zu den Aufgaben