Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Logistisches Wachstum: Unterschied zwischen den Versionen

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a) Bestimmen Sie den Funktionsterm.
a) Bestimmen Sie den Funktionsterm.


b) Nach welcher Zeit sind 80% der Bewohner erkrankt?
<math>N(x)={K \over N_0 + (K-N_0\cdot e^{-K\cdot k \cdot x}) }</math>
 
c) Wie viele Bewohner erkranken in den ersten Tagen pro Stunde?
 
Lösung:
 
a) <math>K(x)={K \over N_0 + (K-N_0\cdot e^{-K\cdot k \cdot x}) }</math>


<math>100={500 \over 1+ ((500-1)\cdot e^{-500\cdot 7 \cdot x}) }        \mid1((500-1)\cdot e^{-500\cdot7k}</math>
<math>100={500 \over 1+ ((500-1)\cdot e^{-500\cdot 7 \cdot x}) }        \mid1((500-1)\cdot e^{-500\cdot7k}</math>


<math>100+49900\cdot e^{-3500k}=500\mid  -100</math>
<math>100+49.900\cdot e^{-3500k}=500\mid  -100</math>


<math>49900\cdot e^{-3500k}=400        \mid\div49900</math>
<math>49.900\cdot e^{-3500k}=400        \mid\div49.900</math>


<math>e^{-3500k}={4 \over 499} \mid log</math>
<math>e^{-3.500k}={4 \over 499} \mid log</math>


<math>\log_{e} ({4 \over 499}) = -3500k</math>
<math>\log_{e} ({4 \over 499}) = -3.500k</math>


<math>-3500k\approx-4,8    \mid\div-3500</math>
<math>-3.500k\approx-4,8    \mid\div(-3.500)</math>


<math>k\approx0,0014</math>
<math>k\approx0,0014</math>


<math>K(x)={500 \over 1+((500-1)\cdot e^{-500\cdot0,0014x}}</math>
<math>N(x)={500 \over 1+((500-1)\cdot e^{-500\cdot0,0014x}}</math>
 
b) Nach welcher Zeit sind 80% der Bewohner erkrankt?


<math>500\cdot 0,8=400</math>


b) <math>500\cdot 0,8=400</math>
<math>N(x)={500 \over 1+((500-1)\cdot e^{-500\cdot0,0014x}}</math>


<math>400={500 \over 1+((500-1)\cdot e^{-500\cdot0,0014x}}      \mid\cdot1((500-1)\cdot e^{-500\cdot0,0018x}</math>
<math>400={500 \over 1+((500-1)\cdot e^{-500\cdot0,0014x}}      \mid\cdot1((500-1)\cdot e^{-500\cdot0,0018x}</math>


<math>400+199600\cdot e^500\cdot0,0014x=500    \mid-400</math>
<math>400+199.600\cdot e^500\cdot0,0014x=500    \mid-400</math>


<math>199600\cdot e^{-500\cdot 0,0014x}=100    \mid\div199600</math>
<math>199.600\cdot e^{-500\cdot 0,0014x}=100    \mid\div199.600</math>


<math>e^{-500\cdot0,0014x}= {1\over 1996}    \mid log</math>
<math>e^{-500\cdot0,0014x}= {1\over 1.996}    \mid log</math>


<math>\log_{e} ({1\over 1996})= -0,7x</math>
<math>\log_{e} ({1\over 1.996})= -0,7x</math>


<math>-7,6= -0,7x\mid\div-0,7</math>
<math>-7,6= -0,7x\mid\div(-0,7)</math>


<math>x=10,9</math>
<math>x=10,9</math>
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Nach 10,9 Tagen sind 80% infiziert.
Nach 10,9 Tagen sind 80% infiziert.


c) Wie viele Bewohner erkranken in den ersten vier Tagen pro Tag?


 
<math>k(4)\approx16,5</math>  
c)
 
<math>k(4)\approx16,5</math>


<math>{k(4)\over4}\approx4,1</math>
<math>{k(4)\over4}\approx4,1</math>

Aktuelle Version vom 5. Juli 2024, 09:37 Uhr

In einem Internat leben 500 Menschen, einer davon infiziert sich Covid-19, nach einer Wochen sind bereits 100 Menschen angesteckt.[1]

a) Bestimmen Sie den Funktionsterm.

b) Nach welcher Zeit sind 80% der Bewohner erkrankt?

Nach 10,9 Tagen sind 80% infiziert.

c) Wie viele Bewohner erkranken in den ersten vier Tagen pro Tag?

Pro Tag erkranken 4,1 Menschen

Bild zu den Aufgaben
  1. Idee: LogistischesWachstumAufgaben.pdf (groolfs.de), Aufgabe 2