Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/Beispiele Exponentielles Wachstum

Übungsaufgabe Exponentielles Wachstum

Bei einer Bakterienkultur sterben jede Stunde 10% der noch vorhanden Anzahl an Bakterien. Berechnen Sie, wie viele Bakterien nach 10 Minuten noch vorhanden sind.

Vorgehen und Lösungsansatz:

Wenn jeden Minute 10% zerfallen, dann sind nach jeder Minute noch 90% zur vorherigen vorhanden. Die ursprüngliche Anzahl der Bakterien bezeichnen wir mit $a_0$, Minute eins mit $a_1$, Minute zwei mit $a_2$..., Minute zehn mit $a_{10}$.

Minuten	noch vorhandene Anzahl	$a_0=10.000$
$0$	$a_0$	$a_0=10.000$
$1$	$a_1=0,9\cdot a_0$	$a_1=(0,9)^1 \cdot 10.000 =9.000$
$2$	$a_2=0,9\cdot a_1=(0,9)^2 \cdot a_0$	$a_2=(0,9)^2 \cdot 10.000=8.100$
$3$	$a_3=0,9\cdot a_2=(0,9)^3 \cdot a_0$	$a_3=(0,9)^3 \cdot 10.000=7.290$
$...$	$...$	$...$
$9$	$a_9=0,9\cdot a_8=(0,9)^9 \cdot a_0$	$a_9=(0,9)^9 \cdot 10.000≈3.874$
$10$	$a_{10}=0,9\cdot a_9=(0,9)^{10} \cdot a_0$	$a_{10}=(0,9)^{10} \cdot 10.000≈3.476$

$a_{10}=0,9 \cdot a_9=(0,9)^{10} \cdot a_0≈0,3487 \cdot a_0$

Nach zehn Minuten sind etwa $34,87$% der ursprünglichen Bakterienkultur vorhanden.

Nach zehn Minuten sind etwa 3.476 Bakterien der ursprünglichen 10.000 vorhanden.