Quelltext der Seite Gesamtschule Rosenhöhe/Mathematik/Analytische Geometrie/Unterwegs in 3-D

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{{Box|Lernpfad|Herzlich Willkommen in dem Lernpfad "Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum"!

Hier kannst du das Thema ''Analytische Geometrie'' üben, wiederholen und vertiefen und und dich so auch auf das Abitur vorbereiten.

Um herauszufinden, welche Themen du noch einmal üben solltest, wähle bei den folgenden Aufgaben die Antworten aus, die wahr sind. Es können auch mehrere Aussagen ausgewählt werden. Wenn du alle Aufgaben bearbeitet hast, kannst du deine Antworten durch einen Klick auf "Speichern" überprüfen. Trage in deine Checkliste für die Lernpfad-Arbeit ein, welche Aufgaben du richtig und welche du falsch beantwortet hast.
|Lernpfad}}

==Diagnosetest==

{{Navigation verstecken
|<quiz display="simple">
{ Gegeben ist der Punkt <math> A(1|2|-3)</math> und der Punkt <math> A'(-2|5|3{,}5)</math>. Welcher Vektor beschreibt die Verschiebung des Punktes <math> A </math> auf den Punkt <math> A' </math> ? }
- <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ -6{,}5 \end{pmatrix} </math>
- <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 0{,}5 \end{pmatrix} </math>
+ <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 6{,}5 \end{pmatrix} </math>
- <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 0{,}5 \end{pmatrix} </math>
- <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 6{,}5 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} </math>

{ Die Bewegung eines Fußgängers wird durch den Vektor <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} </math> beschrieben. Welcher der folgenden Vektoren beschreibt die Bewegung einer entgegenkommenden Joggerin mit doppelter Geschwindigkeit? }
+ <math> \vec{u} = \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \\ -4 \end{pmatrix} </math>
- <math> \vec{u} = \begin{pmatrix} 4 \\ -8 \\ 4 \end{pmatrix} </math>
- <math> \vec{u} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} </math>
- <math> \vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} </math>

{ Gegeben ist das abgebildete gleichschenklige rechtwinkelige Dreieck <math>ABC</math>. Welche der folgenden Aussagen treffen auf das Dreieck zu?

[[Datei:Dreieck glsch rchtwklg.jpg|rahmenlos|800x800px]] }
+ <math> |\vec{AB}| = |\vec{AC}| </math>
- <math> |\vec{BC}| = |\vec{AC}| </math>
- <math> \vec{AB} = \vec{AC} </math>
- Es gilt <math> |\vec{AC}|^2 = |\vec{BC}|^2 + |\vec{AB}|^2 </math>.
+ Es gilt <math> |\vec{BC}|^2 = |\vec{AC}|^2 + |\vec{AB}|^2 </math>.

{ Welche der folgenden Geraden verlaufen durch die Punkte <math>A(1|0|{-}2)</math> und <math>B(3|4|0)</math>? }
+ <math>g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>
+ <math>g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>
- <math>g_3: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2  \end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}, k \in \mathbb{R} </math>
+ <math>g_4: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + l \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -4 \\ -2 \end{pmatrix}, l \in \mathbb{R} </math>

{ Welche Aussagen sind wahr? }
+ Wenn zwei Geraden zueinander windschief sind, dann sind ihre Richtungsvektoren nicht zueinander parallel.
- Wenn die Richtungsvektoren zweier Geraden im Raum nicht zueinander parallel sind, dann schneiden sich die Geraden.
+ Wenn sich zwei Geraden im Raum scheiden, dann sind ihre Richtungsvektoren nicht zueinander parallel.
- Zwei Geraden mit parallelen Richtungsvektoren haben nie gemeinsame Punkte.
- Wenn zwei Geraden mindestens einen gemeinsamen Punkt haben, dann sind ihre Richtungsvektoren nicht parallel.

{ Welche Sachsituationen können zu der Geraden <math>g</math> definiert durch 

<math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ 8 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>

passen? }
- Ein Heißluftballon startet im Punkt <math>(3|7|8)</math> und befindet sich im Sinkflug.
+ Ein Flugzeug befindet sich zum Zeitpunkt <math>r = 0</math> im Punkt <math>(3|7|8)</math> und fliegt mit einer Geschwindigkeit von <math>5</math> km/min.
- Ein U-Boot steigt pro Sekunde um <math>7</math> m auf.
+ Ein Vogel befindet sich in <math>8</math> km Höhe. Nach drei Minuten ist die Position desselben Vogels um <math>9</math> km in <math>x_1</math>-Richtung und <math>12</math> km in <math>x_2</math>-Richtung verschoben und die Höhe des Vogels hat sich nicht verändert.
+ Ein GPS-Tracker an einer Taube, die in <math>(3|7|8)</math> gestartet ist, zeigt nach <math>5</math> min die Koordinaten <math>(18|27|8)</math> an.

{ Prüfe, welche der Vektoren orthogonal zueinander sind. }
- <math> \vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} </math> , <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 7 \end{pmatrix} </math>
+ <math> \vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} </math> , <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
+ <math> \vec{u} = \begin{pmatrix} 10 \\ -5 \\ 10 \end{pmatrix} </math> , <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} -11 \\ -2 \\ 10 \end{pmatrix} </math>


{ Welche Aussagen sind wahr? }
+ Wenn zwei Vektoren <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b} </math> orthogonal zueinander sind, gilt für den eingeschlossenen Winkel <math> \alpha </math>, dass <math> \cos(\alpha) = 0 </math>.
- Um den Winkel zwischen zwei Geraden zu bestimmen, muss das Skalarprodukt der Ortsvektoren Null sein.
- Das Skalarprodukt zweier gleicher Vektoren ist immer Null.
+ Wenn der Winkel <math> \alpha = 0^\circ </math> ist, haben die Vektoren dieselbe Richtung.
- Der Winkel <math> \alpha </math> zwischen zwei Vektoren wird mit folgender Formel berechnet: <math> \cos (\alpha) = \frac{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}{\vec{a} \ast \vec{b}} </math>.
+ Für das Skalarprodukt gilt das Kommutativgesetz.


{ Wie groß ist der Winkel zwischen den Vektoren <math> \vec{u} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} </math> und <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} </math>? Runde sinnvoll.} 
- 1°
- 129°
- 48°
+ 51°

{ Welche der folgenden Parametergleichungen beschreiben eine Ebene? }
- <math>E: \vec{x} = t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, t,s \in \mathbb{R} </math>
+ <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}, t,s \in \mathbb{R} </math>
- <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>
- <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, t,s \in \mathbb{R} </math>

{ Sei <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} </math> eine Gerade. Welche Aussagen zu Spurpunkten treffen zu? }
+ Unter einem Spurpunkt versteht man den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Koordinatenebene.
+ Der Punkt <math>{S_3}(5|4|0)</math> ist der Spurpunkt der <math>{x_1x_2}</math>-Ebene.
- Der Punkt <math>(0|0|0)</math> ist nie Spurpunkt einer Geraden.
+ Den Spurpunkt der <math>{x_1x_2}</math>-Ebene berechnet man, indem man die <math>{x_3}</math>-Koordinate gleich 0 setzt.
- Jede Gerade hat drei verschiedene Spurpunkte.
+ Der Punkt <math>{S_2} (1|0|8)</math> ist Spurpunkt der <math>{x_2x_3}</math>-Ebene.

{ Eine Dachfläche liegt in einer Ebene, zu der in einem räumlichen Koordinatensystem der Punkt <math>A (0|9|4)</math> und die Richtungsvektoren <math>\vec{u} = \left( \begin{smallmatrix}0\\-2\\0\\\end{smallmatrix} \right)</math> und <math>\vec{v} = \left( \begin{smallmatrix}-2\\0\\2\\\end{smallmatrix} \right)</math> gehören. Der Punkt <math>(0|9|4)</math> ist die untere Ecke des Daches. Alle Punkte des Daches können beschrieben werden durch die Einschränkung der Ebenengleichung mit den Parametern <math>0 \leq t \leq 3</math> und <math>0 \leq s \leq 5</math>.} 
+ Die Ebene, in der das Dach liegt, lässt sich durch die Gleichung <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}, t,s \in \mathbb{R} </math> beschreiben.
- Der Punkt <math>(-2|0|4)</math> liegt in der Ebene .
+ Der Punkt <math>(-4|7|8)</math> liegt innerhalb der Dachfläche.
+ Der Punkt <math>(0|1|4)</math> liegt in der Ebene, aber außerhalb der Dachfläche.

{ Diese Aufgabe ist nur für den LK gedacht. Mache mit Aufgabe 15 weiter. }
+ Ich bin im Grundkurs.

{ Diese Aufgabe ist nur für den LK gedacht. Mache mit Aufgabe 15 weiter. }
+ Ich bin im Grundkurs.

{ Welche Aussagen sind wahr? }
- Eine Gerade und eine Ebene können windschief zueinander liegen.
+ Wenn eine Gerade in einer Ebene liegt, dann ist jeder Punkt auf der Geraden auch ein Punkt in der Ebene.
+ Wenn eine Gerade und eine Ebene keinen gemeinsamen Punkt haben, liegen sie parallel zueinander.

{ Seien die Gleichungen einer Gerade <math> g </math> und einer Ebene <math> E </math> gegeben. Um die Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene zu untersuchen, hat Noah die Gleichungen gleichgesetzt. Mit dem Gauß-Verfahren erhält er das folgende Gleichungssystem: <math> \begin{vmatrix} r+2s-3t=6 \\ s-2t=2 \\ 0=0 \end{vmatrix} </math>. Wie muss Noah sein Ergebnis interpretieren?}
+ Die Gerade liegt in der Ebene.
- Die Gerade liegt parallel zur Ebene.
- Die Gerade schneidet die Ebene in einem Punkt.

{ Betrachte folgende Aufgabe:

<div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Der Sinkflug eines Flugzeuges wird durch die Gerade <math>g \colon \vec{x} = \left( \begin{smallmatrix} 0\\ 1\\ 10 \end{smallmatrix} \right) + t \cdot \left( \begin{smallmatrix} -4\\ 4\\ -0{,}25 \end{smallmatrix} \right)</math> modelliert. Der Parameter <math>t</math> entspricht dabei der Zeit in Minuten ab dem Beginn des Sinkfluges. Der Boden wird durch die Ebene <math>B: \vec{x} = \left( \begin{smallmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{smallmatrix} \right) + r \cdot \left( \begin{smallmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{smallmatrix} \right) + s \cdot \left( \begin{smallmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{smallmatrix} \right)</math> modelliert.

Wo landet das Flugzeug?
</div>

Wie könntest du bei der Bearbeitung der Aufgabe vorgehen? }
- Ich setze den Stützvektor der Gerade in die Ebenengleichung ein und berechne so die Parameter <math> r </math> und <math> s </math>.
+ Ich setze die Geraden- und Ebenengleichung gleich und löse das LGS. Ich setze den Parameter <math> t </math> in die Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt zu berechnen.
+ Ich setze den Punkt <math>P=\left( \begin{smallmatrix} x_1\\ x_2\\ 0 \end{smallmatrix} \right) </math> mit der Gerade <math> g </math> gleich und löse das Gleichungssystem. Durch das Einsetzen von <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> in <math> P </math> ergibt sich der Schnittpunkt.

{ Diese Aufgabe ist nur für den LK gedacht. Mache mit Aufgabe 21 weiter. }
+ Ich bin im Grundkurs.

{ Diese Aufgabe ist nur für den LK gedacht. Mache mit Aufgabe 21 weiter. }
+ Ich bin im Grundkurs.

{ Diese Aufgabe ist nur für den LK gedacht. Mache mit Aufgabe 21 weiter. }
+ Ich bin im Grundkurs.

{Löse das Lineare Gleichungssystem ohne Hilfsmittel mit dem Gauß-Verfahren. Welche Lösung ist korrekt?

<math>\left\vert\begin{align} 2x + 2y + 2z & = 0 \\  -2x +2y + 4z & = 12 \\ z & = 2\\ \end{align}\right\vert</math> }

+ <math> x=-2,~y=0,~z=2 </math>
- <math> x=-3,~y=1,~z=2 </math>
- <math> x=0,~y=-2,~z=2 </math>
- das Lineare Gleichungssystem hat keine Lösung

{ Gegeben ist das folgende Lineare Gleichungssystem (LGS): 

<math>\left\vert\begin{align} 3x + 2y + z & = 4 \\  3x +2y & = 5 \\ 3x + 2y + az & = 2\\ \end{align}\right\vert</math>

Welche der folgenden Aussagen stimmt nicht?}
- Das LGS hat für <math>a=1</math> unendlich viele Lösungen.
- Das LGS hat für <math>a=1</math> keine Lösung.
+ Es gibt ein <math>a</math> aus den reellen Zahlen, sodass das LGS genau eine Lösung hat.

{ Bringe die Schritte des Gauß-Verfahrens in die richtige Reihenfolge

a)    Durch Addition und Subtraktion von Gleichungen die einzelnen Variablen eliminieren.

b)    Das Lineare Gleichungssystem in die Zeilenstufenform bringen.

c)    Die zugehörigen Variablen alle untereinander bringen.

d)    Durch Einsetzen die Variablen berechnen.

e)    Mit Hilfe von geschickter Multiplikation und Division der Gleichungen, gleiche Faktoren vor den Variablen erzeugen.

f)     Alle Variablen auf die eine Seite der Gleichung bringen und den Rest auf die andere Seite.}
- a, b, c, d, e, f
- c, a, b, f, e, d
- a, c, b, f, d, e
+ f, c, e, a, b, d
</quiz>
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|<quiz display="simple">
{ Gegeben ist der Punkt <math> A(1|2|-3)</math> und der Punkt <math> A'(-2|5|3{,}5)</math>. Welcher Vektor beschreibt die Verschiebung des Punktes <math> A </math> auf den Punkt <math> A' </math> ? }
- <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ -6{,}5 \end{pmatrix} </math>
- <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 0{,}5 \end{pmatrix} </math>
+ <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 6{,}5 \end{pmatrix} </math>
- <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 0{,}5 \end{pmatrix} </math>
- <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 6{,}5 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} </math>

{ Die Bewegung eines Fußgängers wird durch den Vektor <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} </math> beschrieben. Welcher der folgenden Vektoren beschreibt die Bewegung einer entgegenkommenden Joggerin mit doppelter Geschwindigkeit? }
+ <math> \vec{u} = \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \\ -4 \end{pmatrix} </math>
- <math> \vec{u} = \begin{pmatrix} 4 \\ -8 \\ 4 \end{pmatrix} </math>
- <math> \vec{u} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} </math>
- <math> \vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} </math>

{ Gegeben ist das abgebildete gleichschenklige rechtwinkelige Dreieck <math>ABC</math>. Welche der folgenden Aussagen treffen auf das Dreieck zu?

[[Datei:Dreieck glsch rchtwklg.jpg|rahmenlos|800x800px]] }
+ <math> |\vec{AB}| = |\vec{AC}| </math>
- <math> |\vec{BC}| = |\vec{AC}| </math>
- <math> \vec{AB} = \vec{AC} </math>
- Es gilt <math> |\vec{AC}|^2 = |\vec{BC}|^2 + |\vec{AB}|^2 </math>.
+ Es gilt <math> |\vec{BC}|^2 = |\vec{AC}|^2 + |\vec{AB}|^2 </math>.

{ Welche der folgenden Geraden verlaufen durch die Punkte <math>A(1|0|{-}2)</math> und <math>B(3|4|0)</math>? }
+ <math>g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>
+ <math>g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>
- <math>g_3: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2  \end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}, k \in \mathbb{R} </math>
+ <math>g_4: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + l \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -4 \\ -2 \end{pmatrix}, l \in \mathbb{R} </math>

{ Welche Aussagen sind wahr? }
+ Wenn zwei Geraden zueinander windschief sind, dann sind ihre Richtungsvektoren nicht zueinander parallel.
- Wenn die Richtungsvektoren zweier Geraden im Raum nicht zueinander parallel sind, dann schneiden sich die Geraden.
+ Wenn sich zwei Geraden im Raum scheiden, dann sind ihre Richtungsvektoren nicht zueinander parallel.
- Zwei Geraden mit parallelen Richtungsvektoren haben nie gemeinsame Punkte.
- Wenn zwei Geraden mindestens einen gemeinsamen Punkt haben, dann sind ihre Richtungsvektoren nicht parallel.

{ Welche Sachsituationen können zu der Geraden <math>g</math> definiert durch 

<math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ 8 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>

passen? }
- Ein Heißluftballon startet im Punkt <math>(3|7|8)</math> und befindet sich im Sinkflug.
+ Ein Flugzeug befindet sich zum Zeitpunkt <math>r = 0</math> im Punkt <math>(3|7|8)</math> und fliegt mit einer Geschwindigkeit von <math>5</math> km/min.
- Ein U-Boot steigt pro Sekunde um <math>7</math> m auf.
+ Ein Vogel befindet sich in <math>8</math> km Höhe. Nach drei Minuten ist die Position desselben Vogels um <math>9</math> km in <math>x_1</math>-Richtung und <math>12</math> km in <math>x_2</math>-Richtung verschoben und die Höhe des Vogels hat sich nicht verändert.
+ Ein GPS-Tracker an einer Taube, die in <math>(3|7|8)</math> gestartet ist, zeigt nach <math>5</math> min die Koordinaten <math>(18|27|8)</math> an.

{ Prüfe, welche der Vektoren orthogonal zueinander sind. }
- <math> \vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} </math> , <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 7 \end{pmatrix} </math>
+ <math> \vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} </math> , <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
+ <math> \vec{u} = \begin{pmatrix} 10 \\ -5 \\ 10 \end{pmatrix} </math> , <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} -11 \\ -2 \\ 10 \end{pmatrix} </math>

{ Welche Aussagen sind wahr? }
+ Wenn zwei Vektoren <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b} </math> orthogonal zueinander sind, gilt für den eingeschlossenen Winkel <math> \alpha </math>, dass <math> \cos(\alpha) = 0 </math>.
- Um den Winkel zwischen zwei Geraden zu bestimmen, muss das Skalarprodukt der Ortsvektoren Null sein.
- Das Skalarprodukt zweier gleicher Vektoren ist immer Null.
+ Wenn der Winkel <math> \alpha = 0^\circ </math> ist, haben die Vektoren dieselbe Richtung.
- Der Winkel <math> \alpha </math> zwischen zwei Vektoren wird mit folgender Formel berechnet: <math> \cos (\alpha) = \frac{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}{\vec{a} \ast \vec{b}} </math>.
+ Für das Skalarprodukt gilt das Kommutativgesetz.

{ Wie groß ist der Winkel zwischen den Vektoren <math> \vec{u} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} </math> und <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} </math>? Runde sinnvoll.} 
- 1°
- 129°
- 48°
+ 51°

{ Welche der folgenden Parametergleichungen beschreiben eine Ebene? }
- <math>E: \vec{x} = t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, t,s \in \mathbb{R} </math>
+ <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}, t,s \in \mathbb{R} </math>
- <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>
- <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, t,s \in \mathbb{R} </math>

{ Sei <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} </math> eine Gerade. Welche Aussagen zu Spurpunkten treffen zu? }
+ Unter einem Spurpunkt versteht man den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Koordinatenebene.
+ Der Punkt <math>{S_3}(5|4|0)</math> ist der Spurpunkt der <math>{x_1x_2}</math>-Ebene.
- Der Punkt <math>(0|0|0)</math> ist nie Spurpunkt einer Geraden.
+ Den Spurpunkt der <math>{x_1x_2}</math>-Ebene berechnet man, indem man die <math>{x_3}</math>-Koordinate gleich 0 setzt.
- Jede Gerade hat drei verschiedene Spurpunkte.
+ Der Punkt <math>{S_2} (1|0|8)</math> ist Spurpunkt der <math>{x_2x_3}</math>-Ebene.

{ Eine Dachfläche liegt in einer Ebene, zu der in einem räumlichen Koordinatensystem der Punkt <math>A (0|9|4)</math> und die Richtungsvektoren <math>\vec{u} = \left( \begin{smallmatrix}0\\-2\\0\\\end{smallmatrix} \right)</math> und <math>\vec{v} = \left( \begin{smallmatrix}-2\\0\\2\\\end{smallmatrix} \right)</math> gehören. Der Punkt <math>(0|9|4)</math> ist die untere Ecke des Daches. Alle Punkte des Daches können beschrieben werden durch die Einschränkung der Ebenengleichung mit den Parametern <math>0 \leq t \leq 3</math> und <math>0 \leq s \leq 5</math>.} 
+ Die Ebene, in der das Dach liegt, lässt sich durch die Gleichung <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}, t,s \in \mathbb{R} </math> beschreiben.
- Der Punkt <math>(-2|0|4)</math> liegt in der Ebene .
+ Der Punkt <math>(-4|7|8)</math> liegt innerhalb der Dachfläche.
+ Der Punkt <math>(0|1|4)</math> liegt in der Ebene, aber außerhalb der Dachfläche.

{ Welche Aussagen zum Thema Normalenvektor treffen zu? }
+ Die Eckfahne beim Fußball kann geometrisch als Normalenvektor des Fußballfeldes interpretiert werden.
- Der Normalenvektor einer Ebene ist eindeutig.
+ Das Skalarprodukt eines Normalenvektors und eines Richtungsvektors derselben Ebene ist 0.
- Selbst bei einer Straße mit Steigung stellt modellhaft eine Straßenlaterne einen Normalenvektor dar.
+ Vektor <math>\vec{n}</math> ist ein Normalenvektor der Ebene. [[Datei:Bildschirmfoto 2021-04-20 um 01.18.48.png|rahmenlos|225x225px]]

{ Gegeben ist eine Ebene in Parameterform. <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2{,}5 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1{,}5 \end{pmatrix}, t,s \in \mathbb{R} </math> }
- <math>E: 2x_1-1{,}5x_2-x_3=2{,}5 </math> ist die zugehörige Koordinatenform.
+ <math>E: 2x_1+1{,}5x_2+x_3=2{,}5 </math> ist die zugehörige Koordinatenform.
- <math>E: 2x_1+1{,}5x_2+x_3=0 </math> ist die zugehörige Koordinatenform.
+ <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1{,}5 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot\ [ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2{,}5 \end{pmatrix} ] = 0</math> ist eine zugehörige Normalenform. 

{ Welche Aussagen sind wahr? }
- Eine Gerade und eine Ebene können windschief zueinander liegen.
+ Wenn eine Gerade in einer Ebene liegt, dann ist jeder Punkt auf der Geraden auch ein Punkt in der Ebene.
+ Wenn die Normalenvektoren zweier Ebenen kolinear sind, dann schneiden sich die Ebenen nicht.

{ Seien <math>E: 3x_1-4x_2-x_3=3 </math> und <math>F: -6x_1+8x_2+2x_3=-3 </math> zwei Ebenen und <math>g: \vec{x} = \left( \begin{smallmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{smallmatrix} \right) + t \cdot \left( \begin{smallmatrix} 9\\ -12 \\ -3 \end{smallmatrix} \right), t \in \mathbb{R} </math> eine Gerade im Raum. Wie liegen <math> E </math> , <math> F </math> und <math> g </math> zueinander?}
- Die Ebenen sind identisch.
+ Die Ebenen sind parallel.
- Die Ebenen schneiden sich in einer Schnittgeraden.
+ Der Winkel zwischen der Gerade <math> g </math> und der Ebene <math> F </math> beträgt <math> 90^{\circ} </math>.
+ Die Gerade <math> g </math> liegt orthogonal zu beiden Ebenen.
- Die Gerade <math> g </math> liegt parallel zur Ebene <math> E </math>.

{ Welche Fragestellungen in den gegebenen Situationen könnten durch die Berechnung des Winkels zwischen einer Geraden und einer Ebene beantwortet werden? }
+ Ein Flugzeug fliegt auf einer Geraden in Richtung des ebenen Erdbodens. Um eine weiche Landung sicherstellen zu können, muss das Flugzeug in einem Winkel von <math> 3,2^{\circ} </math> laden. Wird diese Vorgabe eingehalten?
- Ein Regalbrett, dass durch das Rechteck <math> ABCD </math> beschrieben wird, soll in einem Winkel von <math> 90^{\circ} </math> zur Wand montiert werden. Ist das Regalbrett korrekt montiert?
- Eine Zeltwand wird durch zwei Stangen gehalten, die auf ebenem Boden verankert werden. Um auch bei Sturm für Stabilität zu sorgen, sollte der Winkel in der Spitze des Zelts <math> 60^{\circ} </math> betragen. Steht das Zelt stabil?

{ Welche Abstände lassen sich unter keinen Umständen sinnvoll definieren? }
- Der Abstand zwischen zwei parallelen Geraden. 
+ Der Abstand zwischen zwei unterschiedlichen, nicht parallelen Ebenen. 
- Der Abstand von einem Punkt zu einer Ebene. 
- Der Abstand einer Geraden zu einer parallelen Ebene.
+ Der Abstand zwischen zwei sich schneidenden Geraden. 
- Der Abstand von einem Punkt zu einer Geraden.
- Der Abstand zwischen windschiefen Geraden.
- Der Abstand zwischen parallelen Ebenen. 
+ Der Abstand zwischen einer Geraden und einer Ebene, die sich schneiden.

{ Wie könntest du den Abstand des Punktes <math> P(6|7|-3) </math> von der Geraden <math> g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}</math> sicher bestimmen? }
- 1. Eine Hilfsebene <math> H </math> aufstellen, die die Gerade <math> g </math> enthält. 2. Die zu <math> H </math> orthogonale Gerade <math> f </math> durch <math> P </math> bestimmen. 3. Den Schnittpunkt <math> S </math> von <math> f </math> mit <math> H </math> bestimmen und den Abstand <math> d(P,S)</math> berechnen.
+ 1. Eine Hilfsebene <math> H </math> aufstellen, die <math> P </math> enthält und orthgonal zu <math> g </math> ist. 2. Den Schnittpunkt <math> S </math> zwischen <math> g </math> und <math> H </math> bestimmen. 3. Den Abstand <math> d(P,S) </math> berechnen.
- 1. Einen beliebigen Punkt <math> R </math> auf der Geraden <math> g </math> wählen. 2. Den Abstand <math> d(P,R)</math> berechnen.
+ 1. Einen beliebigen Verbindungsvektor vom Punkt <math> P </math> zu einem Geradenpunkt <math> L </math> (in Abhängigkeit vom Parameter <math> t</math> )  aufstellen. 2. <math> t </math> so bestimmen, dass der Verbindungsvektor orthogonal zum Richtungsvektor der Geraden ist. 3. Für dieses <math> t </math> den Abstand <math> d(P,L) </math> berechnen.

{ Welche Fragestellungen in den gegebenen Situationen könnten durch die Berechnung des Abstandes eines Punktes <math> P </math> zu einer Ebene <math> E </math> beantwortet werden?
}
- Lukas ist <math>1,80m</math> groß und steht auf einer Wiese unter einer Seilbahn. Er möchte wissen, wie nah ihm die Gondeln höchstens kommen können. Er kennt seine Position und den Verlauf der Seilbahn.
+ Eine Drohne schwebt in der Luft an einer Stelle über der Dachfläche eines Hauses. Hält sie die nötige Entfernung von <math>5m</math> zur Dachfläche ein? 
- Julia und Juan wohnen gegenüber. Sie möchten eine Schnur von Julias Fenster in der 1. Etage zu Juans Fenster in der Hauswand in der 2. Etage spannen. Wie lang muss die Schnur sein? 
- Ein Schiff fährt auf einer geradlinigen Route und ein U-Boot taucht entlang einer Geraden im Meer. Wie nah könnten sie sich höchstens kommen?
+ Eine Glühbirne hängt über einem Tisch. Kann Nuria mit ihrem Kopf die Glühbirne berühren, wenn sie auf dem Tisch steht? Sie ist <math>1,40m</math> groß. 

{Löse das Lineare Gleichungssystem ohne Hilfsmittel mit dem Gauß-Verfahren. Welche Lösung ist korrekt?

<math>\left\vert\begin{align} 2x + 2y + 2z & = 0 \\  -2x +2y + 4z & = 12 \\ z & = 2\\ \end{align}\right\vert</math> }

+ <math> x=-2,~y=0,~z=2 </math>
- <math> x=-3,~y=1,~z=2 </math>
- <math> x=0,~y=-2,~z=2 </math>
- das Lineare Gleichungssystem hat keine Lösung

{ Gegeben ist das folgende Lineare Gleichungssystem (LGS): 

<math>\left\vert\begin{align} 3x + 2y + z & = 4 \\  3x +2y & = 5 \\ 3x + 2y + az & = 2\\ \end{align}\right\vert</math>

Welche der folgenden Aussagen stimmt nicht?}
- Das LGS hat für <math>a=1</math> unendlich viele Lösungen.
- Das LGS hat für <math>a=1</math> keine Lösung.
+ Es gibt ein <math>a</math> aus den reellen Zahlen, sodass das LGS genau eine Lösung hat.

{ Bringe die Schritte des Gauß-Verfahrens in die richtige Reihenfolge

a)    Durch Addition und Subtraktion von Gleichungen die einzelnen Variablen eliminieren.

b)    Das Lineare Gleichungssystem in die Zeilenstufenform bringen.

c)    Die zugehörigen Variablen alle untereinander bringen.

d)    Durch Einsetzen die Variablen berechnen.

e)    Mit Hilfe von geschickter Multiplikation und Division der Gleichungen, gleiche Faktoren vor den Variablen erzeugen.

f)     Alle Variablen auf die eine Seite der Gleichung bringen und den Rest auf die andere Seite.}
- a, b, c, d, e, f
- c, a, b, f, e, d
- a, c, b, f, d, e
+ f, c, e, a, b, d
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*bei den Aufgaben 18 – 20, gehe zum Kapitel [[/Abstände von Objekten im Raum|Abstände von Objekten im Raum]]
*bei den Aufgaben 21 – 23, gehe zum Kapitel [[/Lineare Gleichungssysteme|Lineare Gleichungssysteme]]|Frage
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