Quelltext der Seite Benutzer:Buss-Haskert/Lineare Gleichungssysteme/Modellieren

[[Datei:Schullogo HLR.jpg|rechts|rahmenlos|80x80px]]
{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}
<br>
{{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/Lineare Gleichungssysteme|0) Vorwissen]]<br>[[Benutzer:Buss-Haskert/Lineare Gleichungssysteme|1) Lineare Gleichungen mit zwei Variablen]]<br>[[Benutzer:Buss-Haskert/Lineare Gleichungssysteme|2) Lineare Gleichungssysteme]]<br>[[Benutzer:Buss-Haskert/Lineare Gleichungssysteme/Lineare Gleichungssysteme zeichnerisch lösen| 3) Lineare Gleichungssysteme zeichnerisch lösen]]<br>[[Benutzer:Buss-Haskert/Lineare Gleichungssysteme/Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen| 4) Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen]]<br>[[Benutzer:Buss-Haskert/Lineare Gleichungssysteme/Modellieren| 5) Modellieren]]<br>[[Benutzer:Buss-Haskert/Lineare Gleichungssysteme/Checkliste|6) Checkliste]]}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:QR Code 9.1 Modellieren.jpg|rahmenlos|306x306px]]|QR Code anzeigen|Verbergen}}
Es gibt verschiedene Bereiche, in denen lineare Gleichungssysteme (LGS) Anwendung finden:
[[Datei:Anwendungsbereiche Gleichungen.png|rahmenlos|800px]]

====Bist du fit? Vorübungen====
{{Box|Vorübung 1: Mathematische Texte|Um Zahlenrätsel lösen zu können, musst du die Fachbegriffe kennen. Übe dies im nachfolgenden Quiz|Üben}}
<div class="lueckentext-quiz">

Addition: '''1. Summand''' + '''2. Summand''' = Wert der'''Summe'''<br>
Subtraktion: '''Minuend''' - '''Subtrahend''' = Wert der '''Differenz'''<br>
Multiplikation: '''1. Faktor''' ∙ '''2. Faktor''' = Wert des '''Produktes'''<br>
Division: '''Dividend''': '''Divisor''' = Wert des '''Quotienten'''

</div>
<div class="zuordnungs-quiz">

{| 
|Addition||addieren||vermehren||plus
|-
|Subtraktion||subtrahieren||vermindern||minus
|-
|Multiplikation||multiplizieren||verdoppeln||vervielfachen||mal
|-
|Division||dividieren||halbieren||teilen||geteilt
|}

</div>

Schreibe über den Aufgabentext die passenden Rechenzeichen. Dies hilft dir beim Aufstellen der Terme.

<br />

{{Box|Vorübung 2: Geometrische Anwendungen|Anwendungsaufgaben aus dem Bereich Geometrie erfordern Kenntnisse über verschiedene Figuren. Löse das nachfolgende Quiz zur Wiederholung.|Üben}}
<div class="zuordnungs-quiz">

{| 
|Quadrat||[[Datei:Quadrat.png|ohne|70px]]||u = 4·a||A = a²
|-
|Rechteck||[[Datei:Rechteck.png|ohne|70px]]||u = 2a + 2b||A = a·b
|-
|gleichschenkliges Dreieck||[[Datei:Gleichschenkliges Dreieck.png|ohne|70px]]||u = 2a + c||2 gleich lange Seiten||&alpha;+&beta;+&gamma;=180°

|-
|gleichseitiges Dreieck||[[Datei:Gleichseitiges Dreieck.png|ohne|70px]]||u = 3a||3 gleich lange Seiten||&alpha;+&beta;+&gamma;=180°
|}

</div>
{{LearningApp|app=pgc1th79520|width=100%|height|400px}}

{{LearningApp|app=p7e4p300319|width=100%|height=400px}}

{{Box|Vorübung 3 - Sachsituationen|Stelle in den LearningApps die Gleichungen passend zur Situation auf.|Üben}}
{{LearningApp|app=ps7bz84tk19|width=100%|height=400px}}


==5) Modellieren mit linearen Gleichungssystemen==
Anwendungsaufgaben  lassen sich schrittweise lösen mithilfe eines Modells. Dabei wird die reale Situation (Sachsituation) in ein vereinfachtes mathematisches Modell übersetzt. Nun können wir diese Rechnung lösen. Die mathematische Lösung wird dann auf die Realität bezogen und die Ergebnisse werden zur Bewertung der Situation genutzt.

Der nachfolgende Kreislauf veranschaulicht dies:<br>
[[Datei:Modellieren(1).jpg|rahmenlos|600x600px]]
{{Box|Beispielaufgabe Klassenfahrt|Die Jahrgangsstufe 9 fährt mit insgesamt 110 Schülerinnen und Schülern auf Klassenfahrt. In der Jugendherberge gibt es insgesamt 28 Zimmer. Die Mädchen erhalten die Dreibettzimmer, die Jungen die Fünfbettzimmer.|Üben}}

[[Datei:Pfeil Realität (1).jpg|mini|114x114px]]1. Realität: 110 Schülerinnen und Schüler insgesamt, verteilen auf 28 Zimmer, wobei es Dreibett- und Fünfbettzimmer gibt.<br>
<br>
[[Datei:Pfeil Mathematik.png|mini|112x112px]]2. Mathematik: Lege die Bedeutung der Variablen fest und stelle ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen auf.Bedeutung der Variablen: <br>
x = Anzahl der Dreibettzimmer, y = Anzahl der Fünfbettzimmer<br>lineare Gleichungen:<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;I. x + y = 28<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;II. 3x + 5y = 110<br>
<br>
[[Datei:Pfeil Rechnen.png|mini|109x109px]]3. Rechnen: Löse dieses Gleichungssystem mit einem geeigneten Verfahren .Löse mit dem Gleichsetzungsverfahren:
I. x + y = 28&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;          |-x<br>
<u>II. 3x + 5y = 110</u> &nbsp;&nbsp;  |-3x<br>
I. y = -x + 28 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;|∙5<br>
<u>II. 5y = -3x + 110</u><br>
I. 5y = -5x + 140<br>
<u>II. 5y = -3x + 110 </u><br>
I. = II.<br>
-5x + 140 = -3x + 110 &nbsp;&nbsp;|+3x <br>
-2x + 140 = 110 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;|-140<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;-2x = -30 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;|:(-2)<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;x = <span style="color:red">15</span>

Bestimme nun y, indem du x =<span style="color:red"> 15</span> in I. (oder II.) einsetzt:<br>
I. <span style="color:red">15</span> + y = 28 &nbsp;&nbsp;|-15<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; y = <span style="color:blue">13</span><br>

Probe:<br>
x = <span style="color:red">15</span> und y = <span style="color:blue">13</span> in I. und II. einsetzen:<br>
I. <span style="color:red">15</span> + 13 = 28 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;II. 3∙<span style="color:red">15</span> + 5∙<span style="color:blue">13</span> = 110<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;28 = 28 (w)  &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;110 = 110 (w)<br>
<br>
<br>
[[Datei:Pfeil Lösung.png|mini|99x99px]]4. Lösung: (15&#124;13)<br>
Es gibt 15 Dreibettzimmer und 13 Fünfbettzimmer in der Jugendherberge.<br>



<br />
{{Box|Modellieren|Anwendungsaufgaben kannst du schrittweise mit 4 Schritten lösen:<br>1. Vereinfache die Situation und überlege, wie die Mathematik dir helfen kann.<br>2. Gib die Bedeutung der Variablen an und stelle zwei lineare Gleichungen mit zwei Variablen auf, du erhältst ein lineares Gleichungssystem.<br>3. Löse das LGS (zeichnerisch oder rechnerisch).<br>4. Beziehe die mathematische Lösung auf die Realität.|Merksatz}}<br>

{{Box|Übung 1: Zahlenrätsel|Löse die Aufgabe aus dem Buch.
* S. 18, Nr. 15|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Bei Anwendungsaufgaben lege zunächst immer die Bedeutung der Variablen fest:<br>x = erste Zahl; y=zweite Zahl<br>|2=Tipp zu Nr. 15|3=Verbergen}}

{{Box|Übung 2: Geometrische Anwendung|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Zeichne zunächst immer eine Skizze und beschrifte diese sinnvoll. Gib die Bedeutung der Variablen an und stelle ein lineares Gleichungssystem auf (I und II).Löse dies dann mit einem geeigneten Verfahren.
* S. 18, Nr. 16  <br>
* S. 25, Nr. 5 <br>
|Üben}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Bezeichnungen Dreiecke.png|rahmenlos]]|Tipp zur Skizze Nr. 16 a)|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1="Der '''Um'''fang...": Laufe dr'''UM''' her'''UM''' .<br>Bedeutung der Variablen: Es gibt die Basis und die Schenkel des Dreiecks. Also könntest du x=Länge der Basis und y=Länge eines Schenkels festlegen.|2=Tipp zur Bedeutung der Variablen zu 16a)|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=x=Länge der Basis; y=Länge eines Schenkels<br>
I. x+2y = 35  "Der Umfang beträgt 35cm. (Laufe um das Dreieck herum.)"<br>
II. 2x = y   "Die Basis ist halb so lang wie eine Schenkel"  (leichter als x=<math>\frac{1}{2}</math> y , das geht auch, dann hast du aber Brüche.|2=Tipp zu den Gleichungen zu 16a)|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Quadratische Säule.png|rahmenlos]]|Tipp zur Skizze Nr. 16 b)|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Zeichne als Skizze wieder ein Dreieck und beschrifte die Seiten mit a, b und 10 cm.|Tipp 1 zu Nr. 5 a)|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Skizze zu S. 25 Nr. 5a.png|rahmenlos]]|Tipp 2 zu Nr. 5a (Skizze)|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=I.a + b = 12 ("zusammen sind sie 12 cm lang")<br>
II. b = a + 5  ("eine davon ist 5 cm länger als die andere")<br>
Löse z.B. mit dem Einsetzungsverfahren.|2=Tipp 3 zu Nr. 5a (Gleichungen)|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Zeichne als Skizze wieder ein Dreieck und beschrifte die Seiten mit a, b und 7 cm. Erinnerung: Umfang ist "drum herum".|Tipp 1 zu Nr. 5b)|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Skizze zu S. 25 Nr. 5b.png|rahmenlos]]|Tipp 2 zu Nr. 5b (Skizze)|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=I.7 + a + b = 18 ("Der Umfang beträgt 18 cm")<br>
II. b = a + 1 ("Die Seitenlängen unterscheiden sich um 1") <br>
Löse z.B. mit dem Einsetzungsverfahren|2=Tipp 3 zu Nr. 5b (Gleichungen)|3=Verbergen}}

{{Box|Übung 3: Sachsituationen|Löse die Aufgabe aus dem Buch. Gib die Bedeutung der Variablen an und stelle ein lineares Gleichungssystem auf (I und II). Löse dies dann mit dem Gleichsetzungsverfahren.
* S. 18, Nr. 17. |Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Lege die Bedeutung der Variablen fest:<br>x=Anzahl der Dreiergruppen ; y=Anzahl der Vierergruppen <br>Eine Dreiergruppe mit Mädchen bedeutet dann insgesamt 3∙x Mädchen und eine Vierergruppe mit Jungen entsprechend 4∙y Jungen.|2=Tipp zu a): Bedeutung der Variablen|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Lege die Bedeutung der Variablen fest:<br>x=Anzahl der Dreierbettzimmer; y=Anzahl der Fünfbettzimmer<br>Ein Dreibettzimmer fasst 3∙x Personen und ein Fünfbettzimmer entsprechend 5∙y.|2=Tipp zu b): Bedeutung der Variablen|3=Verbergen}}

{{Box|Übung 4: Sachsituationen|Löse die Aufgaben aus dem Buch. 
* S. 20, Nr. 8 
* S. 20, Nr. 9(schwer!)|Üben}}

{{Lösung versteckt|1=Bedeutung der Variablen: x=Preis pro Erwachsener; y=Preis pro Kind<br>
I. 2x + 2y = 28<br>
II. x + 3y = 22<br>
Löse mit dem Additionsverfahren. Multipliziere dazu z.B. die Gleichung II. mit (-2).|2=Tipp zu Nr. 8|3=Verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Bedeutung der Variablen: x=Geschwindigkeit des Bootes in km/h; y=Fließgeschwindigkeit des Flusses in km/h<br>
I. 2x + 2y = 48 (Das Boot fährt in 2 Stunden mit der Geschwindigkeit des Bootes und des Flusses 48 km)<br>
II. 3x - 3y = 48 (Das Boot fährt in 3 Stunden mit der Geschwindigkeit des Bootes verringert um die Geschwindigkeit des Flusses, da der Fluss ja nun stromaufwärts gefahren wird.)<br>
Löse mit dem Additionsverfahren. Multipliziere dazu z.B. die Gleichung I. mit 3 und die Gleichung II. mit 2.|2=Tipp zu Nr. 9a|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Bedeutung der Variablen: x=Geschwindigkeit des Radfahrers in km/h; y=Geschwindigkeit des Autos in km/h<br>
I. 3x - 12 = x (Der Radfahrer fährt 3 Stunden, das Auto 1 Stunde und der Weg des Radfahrers beträgt 12 km mehr als der des Autos)<br>
II. 4x + 20 = 2x (Der Radfahrer fährt 4 Stunden lang, das Auto 2 Stunden. Der Weg des Radfahrers ist 20 km weniger als der des Autos.)<br>
Löse mit dem Additionsverfahren. Multipliziere dazu z.B. die Gleichung I. mit (-2)|2=Tipp zu Nr. 9b|3=Verbergen}}

{{Box|Übung 5: Angebote vergleichen|Löse die Aufgaben aus dem Buch.
* S. 22, Nr. 1
* S. 22, Nr. 2
* S. 22, Nr. 3 (Erinnerung: Break-Even-Point.)|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Realität Die Kosten setzen sich zusammen aus den Anschaffungskosten und den Kosten für die Druckerpatronen (pro 1000 Blatt).<br>2. Mathematik: Die Variablen haben also die Bedeutung x=Anzahl der ausgedruckten Seiten (in Tausend) und y=Kosten insgesamt.<br>
3. Rechnen: Löse das Gleichungssystem zeichnerisch.[[Datei:S. 22 Nr. 1 Zeichnung.png|ohne|mini]]<br>|2=Tipp zu Nr. 1|3=Verbergen}}

{{Fortsetzung|weiter=6) Checkliste|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Lineare Gleichungssysteme/Checkliste}}