Quelltext der Seite Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2.3 Wertetabelle und Funktionsgleichung

[[Datei:Schullogo HLR.jpg|rechts|rahmenlos|80x80px]]
{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}
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{{Navigation|[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub|Vorwissen]]<br>
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[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare_Funktionen_im_Aktiv-Urlaub/2) Lineare Funktionen|2.1 Lineare Funktionen erkennen und darstellen]]<br>
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare_Funktionen_im_Aktiv-Urlaub/2.2 Funktionsgleichung_und_Funktionsgraph|2.2 Funktionsgleichung und Funktionsgraph]]<br>
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare_Funktionen_im_Aktiv-Urlaub/2.3 Wertetabelle und Funktionsgleichung|2.3 Wertetabelle und Funktionsgleichung]]<br>
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare_Funktionen_im_Aktiv-Urlaub/2.4 Anwendungen|2.4 Anwendungen]]}}
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==2.3) Zusammenhang zwischen Wertetabelle und Funktionsgleichung==

===Wiederholung: Erstellen einer Wertetabelle mithilfe der Funktionsgleichung===

Du hast in den Einführungsbeispielen schon Wertetabellen erstellt. Schauen wir uns das Beispiel zum Bootsverleih noch einmal an. Die Funktionsgleichung lautet f(x) = 2x + 5

Um nun eine Wertetabelle zu erstellen, setze für x verschiedene Werte ein und berechne den zugehörigen y-Wert, den Funktionswert.  Erinnerung: Werte von Termen berechnen (7. Klasse)
[[Datei:Wertetabelle erstellen Beispiel 2x+5 berichtigt.png]]

Das Video fasst das Vorgehen noch einmal zusammen:
{{#ev:youtube| EfPX2lmay0c}}
{{Box|Übung 1: Wertetabelle erstellen|Bearbeite im Buch S. 141 Nr. 2 links und rechts.|Üben}}
{{Lösung versteckt|Setze für x schrittweise die Zahlen -3; -2; ...; 2; 3 ein und berechne den zugehörigen y-Wert|Tipp zur Wertetabelle|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Gib die Funktionsgleichungen bei GeoGebra ein und prüfe, ob die von dir errechneten Punkte auf dem Graphen der Funktion liegen.
https://www.geogebra.org/graphing|Tipp zur Kontrolle der Lösung|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Gib im GeoGebra-Applet die Werte für die Steigung m und den y-Achsenabschnitt b ein. Die Gerade und die Wertetabelle wird dann automatisch erzeugt. Vergleiche damit deine Lösungen.<br>
Originallink: https://www.geogebra.org/m/jh9gfeky
<ggb_applet id="jh9gfeky" width="1312" height="599" border="888888" />|2=Wertetabelle (interaktiv)|3=Verbergen}}


===Punktprobe: Liegt der Punkt auf der Geraden?===
{{Box|Lineare Funktionen Punktprobe - Bootsverleih| [[Datei:Boat-307125 1280.png|rechts|rahmenlos|200x200px]]Aufgabe 1: Tom und Lisa möchten im Urlaub ein Tretboot ausleihen. Die Grundgebühr beträgt 5€, pro Stunde zahlen sie 2€ Miete.<br>
a) Sie leihen für 3 Stunden ein Tretboot. Der Bootsverleiher rechnet den Preis 10€ aus. Kann das sein?<br>
b) Tom und Lisa leihen ein Tretboot für 1,5 Stunden. Wie viel müssen sie bezahlen?<br>
c) Sie bezahlen 10 €. Wie lange haben sie das Tretboot ausgeliehen?
|Meinung}}

Bei der Punktprobe entscheidest du rechnerisch, ob ein Punkt auf dem Funktionsgraphen liegt.

geg: Punkt A(3|10); Funktion f(x) = 2x + 5

ges: Liegt der Punkt A auf dem Graphen der Funktion?

In der Zeichnung erkennen wir sofort, dass dies nicht der Fall ist.
[[Datei:F(x) = 2x + 5 Punkt A liegt nicht auf dem Graphen.png|487x487px]]


{{Box| Punktprobe|Wie können wir rechnerisch prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt?
Schreibe die nachfolgende Rechnung in dein Heft.|Frage}}

Gegeben ist die Funktionsgleichung  <span style="color:blue">y</span> = 2<span style="color:red">x</span> + 5. Liegt der Punkt A(<span style="color:red">3</span>|<span style="color:blue">10</span>) auf dem Graphen der Funktion?

(Hier ist es leichter <span style="color:blue">y</span> statt f(x) zu schreiben, der Zusammenhang zu den Koordinaten des Punktes sind dann leichter zu erkennen.)

Idee: Setze die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung ein und prüfe, ob die Gleichung erfüllt wird.

   <span style="color:blue">y</span>=  2<span style="color:red">x</span> + 5       A(<span style="color:red">3</span>|<span style="color:blue">10</span>)

<span style="color:blue">10</span> = 2·<span style="color:red">3</span> + 5

  10 = 6 + 5

  10 = 11 <b>(f)</b>

Es ergibt sich eine <b>falsche</b> Aussage, die Gleichung ist nicht erfüllt, also <b>liegt</b> der Punkt <b>nicht</b> auf dem Graphen.
Wir prüfen ebenso, ob der Punkt B(<span style="color:red">4</span>|<span style="color:blue">13</span>) auf der Geraden liegt:

<b>Punktprobe:</b> 

  <span style="color:blue">y</span>  =  2<span style="color:red">x</span> + 5       B(<span style="color:red">4</span>|<span style="color:blue">13)</span>

<span style="color:blue">13</span> = 2·<span style="color:red">4</span> + 5

13 = 8 + 5

13 = 13 <b>(w)</b>

Es ergibt sich eine <b>wahre</b> Aussage, die Gleichung ist erfüllt, also <b>liegt</b> der Punkt auf dem Graphen.

Das folgende Video fasst noch einmal zusammen:
<div class="grid">
<div class="width-1-2"> Zusammenfassung: {{#ev:youtube|iV-ysofefkg|460|center|||start=0&end=180}}</div>
<div class="width-1-2"> noch mehr Beispiele: {{#ev:youtube|Gi1Dj4kzL20|460|center|||start=0&end=135}}</div>
</div>

{{Box|1=Punktprobe|2=Wir können rechnerisch prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt. Dazu setzen wir die Koordinaten des Punktes P(<span style="color:red">x</span>I<span style="color:blue">y</span>) in die Funktionsgleichung <span style="color:blue">f(x)</span> = m<span style="color:red">x</span> + b ein. Der Punkt liegt auf dem Graphen, wenn sich eine wahre Aussage ergibt, die Gleichung also erfüllt ist.|3=Merksatz}}

{{Box|Übung 2: Punktprobe|Prüfe in der folgenden App rechnerisch, ob der Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt.|Üben}}

{{LearningApp|app= ppkr9n4sj20|width=100%|height=400px}}
<br>
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===Fehlende Koordinate eines Punktes der Funktion berechnen===
{{Box|Fehlende Koordinaten berechnen - Bootsverleih| [[Datei:Boat-307125 1280.png|rechts|rahmenlos|200x200px]]Aufgabe 1: Tom und Lisa möchten im Urlaub ein Tretboot ausleihen. Die Grundgebühr beträgt 5€, pro Stunde zahlen sie 2€ Miete.<br>
b) Tom und Lisa leihen ein Tretboot für 1,5 Stunden. Wie viel müssen sie bezahlen?<br>
c) Sie bezahlen 10 €. Wie lange haben sie das Tretboot ausgeliehen? 
|Meinung}}

Du kannst mithilfe der Funktionsgleichung fehlende Koordinaten berechnen.

'''1. Möglichkeit: <span style="color:red">x</span>-Koordinate ist gegeben'''<br>
Tom und Lisa leihen ein Tretboot für 1,5 Stunden. Wie viel müssen sie bezahlen?

geg: <span style="color:red">x = 1,5</span> und f(x) = 2x+5

ges: zugehöriger y-Wert

Setze die <span style="color:red">x</span>-Koordinate in die Funktionsgleichung ein und berechne:
  f(x) = 2<span style="color:red">x</span> + 5

   <span style="color:blue">y</span> = 2·<span style="color:red">1,5</span> + 5

          = 3 + 5

         = <span style="color:blue">8</span>                            P(<span style="color:red">1,5</span>|<span style="color:blue">8</span>)

Sie müssen 8€ bezahlen.


'''2. Möglichkeit: <span style="color:blue">y</span>-Koordinate ist gegeben:'''

Tom und Lisa bezahlen 10 €. Wie lange haben sie das Tretboot ausgeliehen?<br>
geg: <span style="color:blue">y = 10</span> und f(x) = 2x+5<br>
ges: zugehörige x-Koordinate<br>
Setze die <span style="color:blue">y</span>-Koordinate in die Funktionsgleichung ein und löse nach x auf:<br>

  f(x) = 2x + 5

  <span style="color:blue">10</span>  = 2<span style="color:red">x</span> + 5      |-5

    5  = 2<span style="color:red">x</span>             |:2

   2,5 = <span style="color:red">x</span> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;P(<span style="color:red">2,5</span>|<span style="color:blue">10</span>)

Sie haben das Boot für 2,5 Stunden geliehen.<br>
<br>
<div class="grid">
<div class="width-1-2"> Zusammenfassung: {{#ev:youtube|iV-ysofefkg|460|center|||start=185&end=409}}</div>
<div class="width-1-2"> noch mehr Beispiele: {{#ev:youtube|Gi1Dj4kzL20|460|center|||start=135&end=302}}</div>
</div>
{{Box|Übung 3: Fehlende Koordinate bestimmen|Bestimme in der folgenden App jeweils die fehlende Koordinate.|Üben}}

{{LearningApp|app=pz6auqgia20|width=100%|heitht=600px}}

{{Box|Übung 4:  Fehlende Koordinaten bestimmen und Punktprobe|Löse nun S. 137 Nr. 8 und 9.|Üben}}

{{Lösung versteckt|1=Denke daran: P(x/y) Der erste Wert gibt immer die x- und der zweite Wert die y-Koordinate an. Setze nun entweder x oder y in die Gleichung ein und berechne den fehlenden Wert.|2=Tipp zu Nr. 8|3=Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|1=Hier findest du die Lösungen <u>bunt gemischt</u>: <br>
* fehlende x-Koordinate: 1; 5,5; 8
* fehlende y-Koordinate: -2; 7; 3|2=Lösung zu Nr. 8|3=Lösung ausblenden}}


{{Lösung versteckt|1=Denke daran: P(x/y) Der erste Wert gibt immer die x- und der zweite Wert die y-Koordinate an. Setze nun die entsprechenden Werte für x und y in die Gleichung ein. <br>
* Erhältst du eine <u>wahre</u> Aussage, z.B. 5 = 5, so liegt der Punkt auf dem Funktionsgraphen. <br>
* Erhältst du eine <u>falsche</u> Aussage, z.B. 5 = 8, so liegt der Punkt <u>nicht</u> auf dem Funktionsgraphen.|2=Tipp zu Nr. 9|3=Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|1= Hier findest du die Lösungen: (nicht in der richtigen Reihenfolge) <br>
* Punkt A liegt einmal auf dem Graphen, zweimal nicht.
* Punkt B liegt einmal auf dem Graphen, zweimal nicht.
* Punkt C liegt zweimal auf dem Graphen, einmal nicht.|2=Lösungzu Nr. 9|3=Lösung ausblenden}}


{{Box| Übung 5: Fehlende Koordinaten bestimmen und Punktprobe |Bearbeite die Übungen auf den folgenden Seiten:
http://realmath.de/Neues/Klasse8/linearefunktion/koordberechnen.php <br>
http://realmath.de/Neues/Klasse8/linearefunktion/liegtpaufg.php 
|Üben}}


<br />
<br>
<br>
===Aufstellen der Funktionsgleichung durch den Punkt P mit m oder b gegeben===
<br>
{{Box| Übung 6: Aufstellen der Funktionsgleichung | Löse S. 130 Nr. 9 (zeichnerisch UND rechnerisch) und S. 131 Nr. 13. Gegeben ist ein Punkt und die Steigung bzw. der y-Achsenabschnitt b. Wie kannst du vorgehen?|Üben}}

{{Lösung versteckt|1= Die vorangegangenen Übungen zur "Punktprobe" können dir helfen:
Sezte in die allgemeine Funktionsgleichung f(x) = mx + b die gegebenen Größen ein und löse nach der gesuchten Größe auf.|2=Tipp 1|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Zu Nr. 9: Wenn die Gerade <b>parallel</b> zur Geraden von f(x)= 1,5x + 1 verläuft, haben die Geraden <b>dieselbe Steigung</b>! Also ist m = 1,5 gegeben. Außerdem hast du den Punkt P(2I6) gegeben. Gesucht ist b.
Setze die gegebenen Größen ein und löse nach b auf.|2=Tipp zu Nr. 9|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Hilfen bietet das nachfolgende Video:{{#ev:youtube|KnOdPP4gqmc}}|Video mit Beispielaufgaben|Verbergen}}
<br>
<br>
===Aufstellen der Funktionsgleichung durch zwei Punkte (Zwei-Punkte-Form)===
{{Box|1=Aufstellen der Funktionsgleichung, wenn zwei Punkte gegeben sind|2=Um eine Gerade zu zeichnen, genügen zwei Punkte A und B. Du kannst damit auch die Funktionsgleichung der linearen Funktion f(x) = mx + b aufstellen:<br>
1. Bestimme die Steigung m mit m = <math>\tfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}</math><br>
2. Bestimme den y-Achsenabschnitt b mithilfe der Punktprobe (A oder B einsetzen und die Gleichung nach b auflösen).<br>
Diese Vorgehen wird im Beispiel unten gezeigt.|3=Kurzinfo}}
Beispiel:<br>
gegeben: A(2&#124;3); B(4&#124;7)<br>
gesucht: Funktionsgleichung f(x) = mx + b<br>
1. Bestimme die Steigung m: m =<math>\tfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}</math><br>
Begründung: Zeichne ein Steigungsdreieck mithilfe der Punkte A und B:<br>
[[Datei:Zwei-Punkte-Form Geradengleichung Bild 3.png|rahmenlos|400x400px]]<br>
m =<math>\tfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}</math> = <math>\tfrac{7-3}{4-2}</math> = <math>\tfrac{4}{2}</math> = 2<br>
also ist f(x) = 2x + b<br>
2. Bestimme den y-Achsenabschnitt b (rechnerisch)<br>
Punktprobe: Setze A(2&#124;3) in die Funktionsgleichung f(x) = 2x + b ein:<br>
3 = 2·2 + b &nbsp;&nbsp;&#124;zusammenfassen<br>
3 = 4 + b &nbsp;&nbsp;&nbsp;&#124;-4
-1 = b<br>
Also lautet die Funktionsgleichung f(x) = 2x - 1<br>

{{Box|Zwei-Punkte-Form - Übung|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Nutze GeoGebra als Hilfe.
* S. 131, Nr. 14 a
* S. 131, Nr. 15|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Lösung zu Nr. 14<br>
a) A(3&124#;5); B(-1&124#;2)<br>
Bestimme m: m =<math>\tfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}</math> = <math>\tfrac{2-5}{-1-3}</math> = <math>\tfrac{-3}{-4}</math> = <math>\tfrac{3}{4}</math><br>
oder:<br>
m =<math>\tfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}</math> = <math>\tfrac{5-2}{3-(-1)}</math> = <math>\tfrac{3}{4}</math><br>|2= Vergleiche deine Lösung zu Nr. 14a|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=A(3&124#;3); B(-1&124#;-5)<br>
Bestimme m: m =<math>\tfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}</math> = <math>\tfrac{-5-3}{-1-3}</math> = <math>\tfrac{-8}{-4}</math> = 2<br>
|2=Vergleiche deine Lösungen zu Nr. 15|3=Verbergen}}


===Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen bestimmen===
{{Box|Lineare Funktionen erkennen - Pool|[[Datei:Smartphone-2953932 1280.png|rechts|rahmenlos|200x200px]] Aufgabe 3: Der Pool des Hotels muss geleert werden. Zu Beginn steht das Wasser 2 m hoch. Der Wasserstand sinkt stündlich um 10 cm.
Nach welcher Zeit ist der Pool leer?|Meinung}}

{{#ev:youtube|KnOdPP4gqmc}}

{{Box|1=Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen|2=Für den Schnittpunkt P<sub>y</sub> mit der y-Achse (y-Achsenabschnitt) setzen wir x = 0 in die Funktionsgleichung ein berechnen b. 

P<sub>y</sub> (0&#124;b)

Für den Schnittpunkt N mit der x-Achse (<b>Nullstelle</b>) setzen wir f(x) = 0 (oder y = 0) in die Funktionsgleichung ein und lösen die Gleichung nach x auf.
N (x<sub>N</sub>I0)|3=Merksatz}}
[[Datei:Übersicht Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.png|Übersicht Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen]]

{{LearningApp|app=pu8028csj20|width=100%|height=400px}}

{{Box|Übung 7: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen|Löse S. 137 Nr. 7|Üben}}
{{Lösung versteckt|
{{Lösung versteckt|1=Nullstelle (Schnittpunkt mit der x-Achse): f(x) = 0, also -x+4 = 0 

y-Achsenabschnitt (Schnittpunkt mit der y-Achse): x = 0, also f(0) = -0+4 

Prüfe dein Ergebnis mithilfe von GeoGebra https://www.geogebra.org/graphing . Gib dort die Funktionsgleichung ein und vergleiche deine rechnerischen Lösungen mit dem Graphen. Wo schneidet der Graph die Koordinatenachsen?|2=Tipp zu 7a)|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:F(x) = -x+4 Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.png]]|Probe: Funktionsgraph zu 7a)|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:F(x) = -0.5x+5.png]]|Funktionsgraph zu 7b)|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung S. 137 Nr. 7b.png]]|2=Lösung zu 7b)|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:F(x) = 1.5x+3.png]]|Funktionsgraph zu 7c)|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:F(x) = 0.25x-2.png]]|Funktionsgraph zu 7d)|Verbergen}}|Tipps zu S. 137 Nr. 7|Verbergen}}


{{Fortsetzung|weiter=Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub und andere Anwendungen|weiterlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare_Funktionen_im_Aktiv-Urlaub/2.4 Anwendungen}}