Quelltext der Seite Benutzer:Buss-Haskert/Lineare Gleichungssysteme/Lineare Gleichungssysteme zeichnerisch lösen

[[Datei:Schullogo HLR.jpg|rechts|rahmenlos|80x80px]]
{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}
<br>
{{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/Lineare Gleichungssysteme|0) Vorwissen]]<br>[[Benutzer:Buss-Haskert/Lineare Gleichungssysteme|1) Lineare Gleichungen mit zwei Variablen]]<br>[[Benutzer:Buss-Haskert/Lineare Gleichungssysteme|2) Lineare Gleichungssysteme]]<br>[[Benutzer:Buss-Haskert/Lineare Gleichungssysteme/Lineare Gleichungssysteme zeichnerisch lösen| 3) Lineare Gleichungssysteme zeichnerisch lösen]]<br>[[Benutzer:Buss-Haskert/Lineare Gleichungssysteme/Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen| 4) Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen]]<br>[[Benutzer:Buss-Haskert/Lineare Gleichungssysteme/Modellieren| 5) Modellieren]]<br>[[Benutzer:Buss-Haskert/Lineare Gleichungssysteme/Checkliste|6) Checkliste]]}}


===3) Lineare Gleichungssysteme zeichnerisch lösen===

[[Datei:Samaila Aqua Dreams swimming pool.jpg|mini]]
{{Box|Einstiegsaufgabe: Im Schwimmbad|Familie Müller, das sind zwei Erwachsene und ein Kind, zahlt im Freibad 13€ Eintritt. <br>Herr Schuster zahlt 11 € Eintritt für sich und seine zwei Kinder.|Üben}}
{{Lösung versteckt|Lege die Bedeutung der Variablen fest, z.B. x - Preis pro Erwachsener, y - Preis pro Kind.<br> Stelle nun jeweils eine passende Gleichung auf. Nutze zur Lösung verschiedene Darstellungen: Wertetabellen und Graphen.<br>
{{Lösung versteckt|1=Gleichungen aufstellen:<br>I. 2x + y = 13<br>II. x + 2y = 11<br>|2=Tipp Gleichungen|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Wertetabellen<br>[[Datei:Schwimmbad Wertetabellen.png|zentriert|mini]]<br>
Wo findest du die Lösung des Problems? Begründe.|2=Tipp Wertetabellen|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Graphen <br>[[Datei:Im Schwimmbad Graphen 1.png|zentriert|mini]]<br>Wo findest du die Lösung des Problems? Begründe.|2=Tipp Graphen|3=Verbergen}}|Tipps|Verbergen}}


{{Box|Lineare Gleichungssysteme zeichnerisch lösen|Um ein lineares Gleichungssystems mit zwei Variablen zeichnerisch zu lösen, zeichnet man die Graphen der Gleichungen in ein Koordinatensystem. Die '''Koordinaten des Schnittpunktes''' erfüllen beide Gleichungen, sie sind also die Lösung des linearen Gleichungssystems|Arbeitsmethode}}



[[Datei:LGS zeichnerisch lösen Schwimmbad.png|rahmenlos|900x900px]]


Das Video fasst die Schritte noch einmal zusammen:
{{#ev:youtube|k-oXFYqUAnk|800|center}}


{{Box|1=Übung 1: Zeichnerisch die Koordinaten des Schnittpunktes bestimmen|2=Löse die Aufgaben aus dem Buch. Zeichne pro Aufgabe ein eigenes Koordinatensystem.
* S.14, Nr.2
* S.14, Nr.3 (Forme zunächst in eine Funktionsgleichung y = mx+b um!)|3=Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Wie zeichne ich den Graphen, wenn die Funktionsgleichung gegeben ist?
<br>1. Schritt: Zeichne den y-Achsenabschnitt b ein: P(0&#124;b)<br>
2. Schritt: Zeichne das Steigungsdreieck ein. Starte im Punkt P. Der Nenner gibt an, wie viele Einheiten du nach rechts gehst, der Zähler, wie viele Einheiten nach oben (unten).<br>
3. Schritt: Zeichne die Gerade durch die so erhaltenen Punkte.

Die Bilder zeigen das Vorgehen für die Funktionsgleichung f(x) = <math>\tfrac{3}{5}</math>x - 1.
<div class="grid">
<div class="width-1-3">Schritt 1[[Datei:Gerade zur Gleichung zeichnen Schritt 1.png]]</div>
<div class="width-1-3">Schritt 2[[Datei:Gerade zur Gleichung zeichnen 2. Schritt.png]]</div>
<div class="width-1-3">Schritt 3[[Datei:Gerade zur Gleichung zeichnen Schritt 3.png]]</div>
</div>|2=Wie zeichne ich den Graphen zu einer Funktionsgleichung - Wiederholung (Bilderfolge)|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Wie zeichne ich den Graphen zu einer Funktionsgleichung: Videos
<div class="grid">
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|g4fFXe9-en0|460|center}}</div>
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|TKK-25nz-cE|460|center}}</div>
</div>
|2=Wie zeichne ich den Graphen zu einer Funktionsgleichung - Wiederholung (Videos)|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Lösung zu S.14 Nr. 2a Schritt für Schritt:<br>
<ggb_applet id="wmfswwsq" width="948" height="736" border="888888" />|2=Lösung zu Nr. 2a (Schritt für Schritt)|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Die LearningApps enthalten die Lösungsschritte. Bringe sie in die richtige Reihenfolge und vergleiche deine Lösungen.|2=Tipp zu Nr. 3|3=Verbergen}}
{{LearningApp|app=pi8khv3kc22|width=100%|height=600px}}
{{LearningApp|app=p4bzsyg2n22|width=100%|height=600px}}
{{LearningApp|app=p14y24h7222|width=100%|height=600px}}
{{LearningApp|app=pm09smbq522|width=100%|height=600px}}

{{Box|Übung 2 - Funktiongsgraphen zeichnen und LGS lösen mit GeoGebra|Löse im Applet das Gleichungssystem zeichnerisch. Stelle dazu mithilfe der Punkte den Verlauf der Geraden so ein, dass sie zu den Gleichungen passen und lies den Schnittpunkt ab.|Üben}}
direkter Link: https://www.geogebra.org/m/kb3en6sj <br>
<ggb_applet id="ezkbur4z" width="780" height="566" border="888888" />
<small>Applet von just01120</small>

{{Box|Übung 3: Im Kino|[[Datei:Im Kino Aufgabenstellung.png|rahmenlos|600px]]<br>Löse im Heft. Beachte das vereinbarte Vorgehen (wie im Bild oben).|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Löse schrittweise, wie oben beschrieben:<br>1. Lege die Bedeutung der Variablen fest<br>2. Stelle zwei lineare Gleichungen auf und forme sie so um, dass sie die Form y=mx+b haben.<br>3. Zeichne die zugehörigen Graphen in ein Koordinatensystem und lies den Schnittpunkt ab. Die Koordinaten des Schnittpunktes sind die Lösung des Gleichungssystems.
{{Lösung versteckt|1=1. Schritt: Bedeutung der Variablen<br>x = Preis für einen Erwachsenen<br>y = Preis für ein Kind|2=1. Bedeutung der Variablen festlegen|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=2. Schritt: Gleichungen aufstellen und in eine Funktionsgleichung umformen<br>[[Datei:Im Kino Gleichungen umstellen.png|zentriert|mini]]|2=2. Gleichungen aufstellen und umformen|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=3. Schritt: Graphen zeichnen und Schnittpunkt bestimmen<br>[[Datei:Im Kino zeichnerische Lösung.png|zentriert|mini]]|2=3. Graphen zeichnen und Schnittpunkt bestimmen|3=Verbergen}}|2=Tipps|3=Verbergen}}


{{Box|1=Übung 4 - Anwendungsaufgaben|2=Löse die Aufgaben aus dem Buch schrittweise.<br>1. Lege die Bedeutung der Variablen fest<br>2. Stelle zwei lineare Gleichungen auf und forme sie so um, dass sie die Form y=mx+b haben.<br>3. Zeichne die zugehörigen Graphen in ein Koordinatensystem und lies den Schnittpunkt ab. Die Koordinaten des Schnittpunktes sind die Lösung des Gleichungssystems.
* S.14, Nr.7
* S.14, Nr.8
* S.14, Nr.9|3=Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Löse schrittweise, wie oben beschrieben:<br>1. Lege die Bedeutung der Variablen fest<br>2. Stelle zwei lineare Gleichungen auf und forme sie so um, dass sie die Form y=mx+b haben.<br>3. Zeichne die zugehörigen Graphen in ein Koordinatensystem und lies den Schnittpunkt ab. Die Koordinaten des Schnittpunktes sind die Lösung des Gleichungssystems.
{{Lösung versteckt|1=1. Schritt: Bedeutung der Variablen<br>x = Leihdauer (in Tagen)<br>y = Preis (in €)|2=1. Bedeutung der Variablen festlegen|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=2. Schritt: Gleichungen aufstellen und in eine Funktionsgleichung umformen<br>I. y = 3x + 10<br>II. y = 5x|2=2. Gleichungen aufstellen und umformen|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=3. Schritt: Graphen zeichnen und Schnittpunkt bestimmen<br>Gib die Funktionsgleichungen bei GeoGebra ein und vergleiche mit deiner Lösung<br>[https://www.geogebra.org/graphing?lang=de GeoGebra Grafikrechner]|2=3. Graphen zeichnen und Schnittpunkt bestimmen|3=Verbergen}}|2=Tipps zu Nr. 7|3=Verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Löse schrittweise, wie oben beschrieben:<br>1. Lege die Bedeutung der Variablen fest<br>2. Stelle zwei lineare Gleichungen auf und forme sie so um, dass sie die Form y=mx+b haben.<br>3. Zeichne die zugehörigen Graphen in ein Koordinatensystem und lies den Schnittpunkt ab. Die Koordinaten des Schnittpunktes sind die Lösung des Gleichungssystems.
{{Lösung versteckt|1=1. Schritt: Bedeutung der Variablen<br>x = Anzahl der Arbeitsstunden<br>y = Preis (in €)|2=1. Bedeutung der Variablen festlegen|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=2. Schritt: Gleichungen aufstellen und in eine Funktionsgleichung umformen<br>I. y = 25x + 125<br>II. y = 30x|2=2. Gleichungen aufstellen und umformen|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=3. Schritt: Graphen zeichnen und Schnittpunkt bestimmen<br>Einteilung der Koordinatenachsen: 1cm entspricht 10 Stunden<br>Gib die Funktionsgleichungen bei GeoGebra ein und vergleiche mit deiner Lösung<br>[https://www.geogebra.org/graphing?lang=de GeoGebra Grafikrechner] |2=3. Graphen zeichnen und Schnittpunkt bestimmen|3=Verbergen}}|2=Tipps zu Nr. 8|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Löse schrittweise, wie oben beschrieben:<br>1. Lege die Bedeutung der Variablen fest<br>2. Stelle zwei lineare Gleichungen auf und forme sie so um, dass sie die Form y=mx+b haben.<br>3. Zeichne die zugehörigen Graphen in ein Koordinatensystem und lies den Schnittpunkt ab. Die Koordinaten des Schnittpunktes sind die Lösung des Gleichungssystems.
{{Lösung versteckt|1=1. Schritt: Bedeutung der Variablen<br>x = Leihdauer (in Stunden)<br>y = Preis (in €)|2=1. Bedeutung der Variablen festlegen|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=2. Schritt: Gleichungen aufstellen und in eine Funktionsgleichung umformen<br>I. y = 12x + 100<br>II. y = 20x|2=2. Gleichungen aufstellen und umformen|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=3. Schritt: Graphen zeichnen und Schnittpunkt bestimmen<br>Wähle die Einteilung der Koordinatenachsen geschickt.<br>Gib die Funktionsgleichungen bei GeoGebra ein und vergleiche mit deiner Lösung<br>[https://www.geogebra.org/graphing?lang=de GeoGebra Grafikrechner]|2=3. Graphen zeichnen und Schnittpunkt bestimmen|3=Verbergen}}|2=Tipps zu Nr. 9|3=Verbergen}}

===Anzahl der Lösungen linearer Gleichungssysteme===
{{Box|Wie viele Lösungen kann ein lineares Gleichungssystem haben?|Bei der zeichnerischen Lösung linearer Gleichungssysteme können verschiedene Fälle auftreten. Löse die folgenden drei linearen Gleichungssysteme zeichnerisch. Zeichne ein Koordinatenkreuz pro Gleichungssystem.<br>Wie viele Lösungen gibt es jeweils? Begründe!|Frage}}
[[Datei:Anzahl der Lösungen eines LGS zeichnerisch Aufgaben.png|alternativtext=|links|rahmenlos|918x918px]]
{{Lösung versteckt|1=Um ein Gleichungssystem zeichnerisch lösen zu können, musst du die Gleichungen in die Form y = mx + b bringen. Dann kannst du die Geraden mit dem y-Achsenabschnitt b und dem Steigungsdreieck (für m) zeichnen. <br>
[[Datei:Anzahl der Lösungen 1. Fall Gleichungen umformen.png|rahmenlos|600x600px]]<br>
Beim 2. Fall sind die Gleichungen schon in der Form y = mx+b gegeben.<br>
[[Datei:Anzahl der Lösungen 3. Fall Gleichungen umformen.png|rahmenlos|600x600px]]|2=Gleichungen umformen (y=mx+b)|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Du kannst deine Lösungen immer mit GeoGebra prüfen:[https://www.geogebra.org/graphing?lang=de Geogebra Grafikrechner]. <br>[[Datei:Anzahl der Lösungen eines LGS zeichnerisch Aufgaben mit Zeichnungen 1.png|links|rahmenlos|958x958px]]|2=Zeichnerische Lösung|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Wie viele Lösungen haben die lineare Gleichungssysteme jeweils? Begründe!<br>[[Datei:Anzahl der Lösungen eines LGS zeichnerisch Aufgaben vollständig.png|links|rahmenlos|958x958px]]|Anzahl der Lösungen mit Begründung|Verbergen}}


{{Box|Übung 5: Noch mehr Übungen|Löse die Aufgaben aus dem Buch.
* S.14, Nr.5 (Prüfe mit GeoGebra!)
* S.14, Nr.6<br>
|Üben}}

{{Lösung versteckt|1=Nutze zur Überprüfung deiner Lösungen GeoGebra: [https://www.geogebra.org/graphing?lang=de Geogebra-Grafikrechner]|2=Tipp zu Nr. 5 und 6|3=Verbergen}}

{{Box|Übung 6: Bestimme die Anzahl der Lösungen|
* S.15, Nr.10 
* LearningApp (unten)|Üben}}

{{Lösung versteckt|1=Du musst vor dem Zeichnen darauf achten, dass du die Gleichung in einer Funktionsgleichung der Form y=mx+b umformst. Erst dann kannst du die Geraden zeichnen.<br>Beispiel zu b)<br>2x+y=4<br><u>x+y=3</u><br>y=-2x+4<br>y=-x+3<br>Nun kannst du mithilfe der Steigung m und des y-Achsenabschnittes b entscheiden, ob die Geraden sich schneiden (eine Lösung), parallel verlaufen (keine Lösung) oder sogar identisch sind (unendlich viele Lösungen).|2=Tipp zu Nr. 10|3=Verbergen}}

{{LearningApp|app=px9u68f5k20|width=100%|height=400px}}

{{Box|Übung 8: Gleichungssysteme bilden|Löse die Aufgabe aus dem Buch.
* S. 15, Nr. 12.|Üben}}

{{Lösung versteckt|Ein Gleichungssystem hat keine Lösung, wenn es keinen Schnittpunkt gibt. Die Geraden müssen also '''parallel''' verlaufen.|Tipp zu Nr. 12|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Stelle mithilfe den Schieberegler so ein, dass die beiden Geraden keinen Schnittpunkt S haben. Wie groß ist dann die Steigung m? Was fällt dir auf? Begründe!<br>
<ggb_applet id="t2bxxe4d" width="802" height="563" border="888888" />|2=Tipp 1 zu Nr. 12a|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Geraden verlaufen parallel zueinander, wenn sie die '''gleiche Steigung m''' haben aber einen '''unterschiedlichen y-Achsenabschnitt b''' haben. Für Aufgabe 12a) muss die erste Gleichung also auch die Steigung 2 haben:<br>y=<u>2</u>x+5<br>y=2x-5<br>Die Graphen dieser Funktionen verlaufen parallel, da die Steigung m=2 gleich ist, der y-Achsenabschnitt aber verschieden ist (b=+5 und b=-5).|2=Tipp 2 zu Nr. 12a|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Bringe die erste Gleichung zunächst in die Form y = mx + b:<br>
I. y + ___x = 3 &nbsp;&nbsp;&#124;-___x<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;y = - ___x + 3<br>
Welche Zahl musst du nun einsetzen? Prüfe mit GeoGebra.|2=Tipp zu Nr. 12b|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Bringe auch hier die erste Gleichung in die Form y = mx + b:<br>
2y = __x + 3  &nbsp;&nbsp;&#124;:2<br>
&nbsp;y = ___x + 1,5, wobei die Lücke m:2 beträgt.<br>
Welche Zahl musst du nun einsetzen? Prüfe mit GeoGebra.|2=Tipp zu Nr. 12c|3=Verbergen}}




====Erweiterung: Break-Even-Point====
[[Datei:Break Even Point Zeichnung zur Aufgabe mit Begriffen.png|mini]]Um bei einer Produktion festzustellen, ab wann die Firma einen Gewinn erzielt, müssen die Kosten mit den Erlösen (Einnahmen) verglichen werden. Der '''Break-Even-Point''' ist der Punkt, an die Einnahmen und Kosten gleich hoch sind. An dieser Stelle wird kein Gewinn aber auch kein Verlust erwirtschaftet, da die Kosten und die Erlöse genau gleich sind. Ab hier beginnt also die Gewinnzone.

{{Box|Übung 8: Anwendung: Break-even-Point| Eine Firma stellt Maschinenteile her. Die Fixkosten dafür betragen 200€ und pro Teil entstehen zusätzlich variable Kosten von 1,50€.<br>Jedes Teil wird für 4,00€ verkauft.<br>a) Gib die Funktionsgleichungen für die Kosten und für den Erlös an.<br>b) Zeichne die zugehörigen Graphen in ein Koordinatensystem und lies den Break-Even-Point ab.<br>c) Formuliere selbst eine Aufgabe zu diesem Sachverhalt und beantworte diese mithilfe der Zeichnung.|Üben}}

An dieser Aufgabe merkst du, dass die Mathematik eine Hilfswissenschaft für andere Gebiete, z.B. Sozialwissenschaften, ist. Noch mehr Aufgaben zur Berechnung des Break-Even-Points findest du hier: [[Benutzer:Buss-Haskert/Lineare Gleichungssysteme/Break-Even-Point| Übungen zur Berechnung des Break-Even-Points]]

{{Lösung versteckt|1=Tipp zu a)<br>Die Kosten setzen sich zusammen aus den Fixkosten und den variablen Kosten. x sei die Stückzahl, die gefertigt wird. Dann lautet die zugehörige Funktionsgleichung f(x)=1,5x+200.<br>Die Funktionsgleichung für den Erlös lautet g(x)=4x|2=Tipp zu a)|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Tipp zu b)<br>Wähle für die x-Achse 1cm pro 10 Stück und für die y-Achse 1cm pro 100€.[[Datei:Break Even Point Zeichnung zur Aufgabe.png|links]][[Datei:Break Even Point Zeichnung zur Aufgabe mit Begriffen.png|links]]|2=Tipp zu b)|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Du kannst z.B. Fragen nachdem Verlust bzw. Gewinn stellen: Wie hoch ist der Gewinn, wenn 100 Teile verkauft werden? Zur Lösung musst du die Kosten und die Einnahmen an der Stelle x=100 ablesen und dann die Kosten von den Einnahmen subtrahieren.|2=Tipp zu c)|3=Verbergen}}

====Erweiterung: Angebot und Nachfrage - Gleichgewichtspreis====
Eine weitere Anwendung der Mathematik im Fach Sozialwissenschaften ist die Betrachtung von Angebot und Nachfrage auf dem Markt.
Das Angebot sind alle Güter und Dienstleitungen, die erworben werden können. Die Nachfrage ist der Bedarf nach einem Produkt.

Hier findest du mehr Informationen zum Gleichgewichtspreis (Angebot und Nachfrage)
[[Benutzer:Buss-Haskert/Lineare Gleichungssysteme/Gleichgewichtspreis| Gleichgewichtspreis]]

{{Fortsetzung|vorher=Startseite Lineare Gleichungssysteme|vorherlink=Benutzer:Buss-Haskert/Lineare Gleichungssysteme|weiter=4) Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Lineare Gleichungssysteme/Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen}}