Quelltext der Seite Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Quadratische Funktionen

{{Box|Info|In diesem Lernpfad geht es darum, dein Wissen im Bereich '''quadratischer Funktionen''' zu vertiefen.|Kurzinfo
}}

===Scheitelpunktform===

{{Box|1. Parameter der Scheitelpunktsform|Fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die passenden Silben einfügst.|Arbeitsmethode}}

<div class="lueckentext-quiz">
Wir schauen uns die Funktion <math>g(x)=a*(x-d)^2+e</math> an. Funktionen dieser Art heißen '''qua''' '''dra''' '''tisch''' '''e''' Funktionen. Der Graph einer solchen Funktion ist eine '''Pa''' '''ra''' '''bel'''. Der höchste bzw. der tiefste Punkt eines solchen Funktionsgraphen heißt '''Schei''' '''tel''' '''punkt'''. <br>
Ist der Parameter a kleiner als Null (a<0), dann ist der Graph der Funktion g nach '''un''' '''ten''' geöffnet. <br>
Ist a größer als Null (<>0), dann ist der Graph von g nach '''o''' '''ben''' geöffnet. <br>
Ist a größer als Eins (a>1) oder kleiner als minus Eins (a<-1), dann wird der Graph von g '''schma''' '''ler'''. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph '''ge''' '''streckt''' wird. <br>
<br>
Ist d größer als Null (d>0), dann wird der Graph von g nach '''rechts''' verschoben. <br>
Ist d kleiner als Null (d<0), dann wird der Graph von g nach '''links''' verschoben.<br>
<br>
Ist e kleiner als Null (e<0), dann wird der Graph von g nach '''un''' '''ten''' verschoben. <br>
Ist e größer als Null (e>0), dann wird der Graph von g nach '''o''' '''ben''' verschoben.
</div>


{{Box| 2. '''WANTED!'''|

Gegeben sei die Funktion <math>f(x)=-0.5*(x-2)^2-2</math><br />   
Liegen folgende Punkte auf dem Graphen? 

<math>A=(4,0)</math><br /><br />
<math>B=(0,2)</math><br /><br />
<math>C=(-0.5, 1.125)</math><br /><br />
<math>D=(3,6)</math><br /><br />
<math>E=(2,-2)</math><br /><br />


{{LearningApp|width:100%|height:300px|app=ptbc7v3wt19}}

Zeichne den zugehörigen Graphen und die Punkte A-E in dein Heft.

{{Lösung versteckt| 1=[[Datei:Graph und Punkte.png| alternativtext=|rand|zentriert|600x600px]]| 2=Lösung | 3=schließen}}

|Arbeitsmethode}}

{{Box| 3. Welcher Graph hat mit welcher Funktionsgleichung ein Match?|(Zuordnung Funktionsgraph und Funktionsgleichung.)

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pp0fefcp519" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

|Arbeitsmethode}}


{{Box| 4. Aus dem Graphen eine quadratische Funktion in Scheitelpunktsform aufstellen|

{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pke0t2avt19}}

|Arbeitsmethode}}


{{Box|4. Punkt auf Graphen?|

|Arbeitsmethode}}

===Umwandlung Scheitelpunktform und Normalenform===
{{Box|5. Die Umwandlungen zwischen Scheitelpunktform und Normalenform
|Fülle den Lückentext aus, indem du auf eine Lücke klickst und die richtige Antwort auswählst.

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p96dzo6ta19" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
|Arbeitsmethode}}

{{Box|6. Von der Scheitelpunktform zur Normalenform*| 
Ordne in einem ersten Schritt den mathematischen Umformungen jeweils die richtige Bezeichnung zu.
|Arbeitsmethode}}

{{Box|7. Wie ging noch einmal quadratische Ergänzung?*|

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pjwuo0wwj19" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

|Arbeitsmethode}}

{{Box|8. Von der Normalenform zur Scheitelpunktform*|
|Arbeitsmethode}}

{{Box|9. Finde die Paare|Wandle in deinem Heft die Funktionen f, g und h in die allgemeine Form um und die Funktionen i, j und k in die Scheitelpunktsform. Ordne anschließend die gleichen Funktionen einander zu. 

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p04ntn3cj19" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

{{Lösung versteckt| 1= Wenn du dir nicht mehr genau weißt, wie du von der Scheitelpunktform in die Normalform kommst oder umgekehrt, dann schau dir nochmal die Aufgaben 5, 6, 7 und 8 an.
 | 2=Tipp | 3=schließen}}

|Arbeitsmethode}}

{{Box|10. würdest du bei der Umwandlung zwischen der Scheitelpunktform und der Normalform auch Millionär werden?**
|Wähle die Antwortmöglichkeit A,B,C oder D, welche die angefangene Gleichung zu einer korrekten quadratischen Gleichung ergänzt.

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=phcwj4be519" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
|Arbeitsmethode}}

===Nullstellen===

{{Box|11. Nullstellen berechnen|

Bestimme jeweils die Nullstellen:

<math>g(x)=-3(x-1)^2+3 </math>

<math>h(x)=2x^2-8x+6 </math>


{{Lösung versteckt| 1=Zur Erinnerung: Nullstellen sind diejenigen x-Werte, die eingesetzt in die Funktion "0" ergeben. 
 | 2=Tipp 1 | 3=schließen}}

{{Lösung versteckt| 1=Setze zunächst <math>g(x)=0</math> bzw. <math>h(x)=0</math> 
 | 2=Tipp 2 | 3=schließen}}

{{Lösung versteckt| 1=Setze <math> g(x)=0  </math>, d.h. <math>  0 = -3(x-1)^2+3</math> und teile dann beide Seiten durch <math>-3</math><br /> <br />
⇔ <math>0 = (x-1)^2-1</math><br />
⇔ <math>1 = (x-1)^2</math><br />
⇔ <math>x-1 = 1</math> oder <math>x-1 = -1</math> <br /><br /> also folgt <math>x_1=0</math> und <math>x_2=2</math> und wir haben unsere Nullstellen gefunden.| 2=Lösung zur Funktion g(x) | 3=schließen}}

{{Lösung versteckt| 1=Dieses mal könne wir die '''pq-Formel''' nutzen, um die Nullstellen zu bestimmen.<br /><br /> Setze <math> h(x)=0  </math>, d.h. <math>0 = 2x^2-8x+6</math> und teile dann beide Seiten durch <math>2</math><br /><br /> 
<math>0 = x^2-4x+3</math><br /><br />
Durch Anwenden der pq-Formel erhalten wir<br /><br /><br />
⇔ <math>x_{1} = -\frac{-4}{2}+\sqrt{4-3}</math>   sowie   <math>x_{2} = -\frac{-4}{2}-\sqrt{4-3}</math><br /><br />
⇔ <math>x_1 = 2-1</math>  und  <math>x_2 = 2+1</math><br /> <br /><br />
also folgt <math>x_1=1</math> und <math>x_2=3</math> und wir haben unsere Nullstellen gefunden.| 2=Lösung zur Funktion h(x) | 3=schließen}}

|Arbeitsmethode}}

===Anwendungsaufgabe===

{{Box|12. Baseball|
Baseball ist eine der beliebtesten Sportarten der Welt. Beim Wurf erreicht der Ball Geschwindigkeiten bis zu 160km/h. Wenn der Schlagmann den Ball richtig trifft, kann dieser über die Tribüne hinweg aus dem Stadion fliegen. Ein bestimmter Schlag kann durch die Funktion <br><math>j(x)=-0,0075x^2+1,2x+1</math><br> beschrieben werden, wobei <math>x</math> die horizontale Entfernung zum Schlagmann und <math>j(x)</math> die Höhe des Balls, jeweils in Meter angibt.

a) Berechne j(0) und beschreibe, was dieser Wert im Anwendungskontext bedeutet.
{{Lösung versteckt|1=Lies in der Aufgabenstellung noch einmal nach, wofür <math>x</math> und <math>j(x)</math> stehen.
|2=Tipp 1
|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Was bedeutet es, wenn x=0 ist?
|2=Tipp 2
|3=schließen}}

b) Ein Spieler des gegnerischen Teams befindet sich 158 Meter vom Schlagmann entfernt in der Flugbahn des Balls. Wenn er hochspringt, erreichen seine Händen eine Höhe von 3,20 Metern. Berechne, ob der Spieler es schafft, den Balls aus der Luft zu fangen.
{{Lösung versteckt|1=Berechne die Höhe des Balls nach 158 Metern und vergleiche diese Höhe mit der maximalen Sprunghöhe des Gegenspielers.
|2=Tipp
|3=schließen}}

c) Berechne, wie weit der Baseball fliegt, wenn er von keinem gegnerischen Spieler aus der Luft gefangen wird.
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, welchen Wert <math>j(x)</math> annehmen muss, wenn der Baseball auf den Boden aufkommt.
|2=Tipp 1
|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Setze <math>j(x)=0</math> und berechne die Nullstellen mithilfe der pq-Formel.
|2=Tipp 2
|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Falls du nicht mehr genau weißt, wie du die pq-Formel aufstellen und berechnen kannst, dann schau nochmal bei Aufgabe 11 nach. Achte darauf, dass vor dem <math>x^2</math> kein Vorfaktor stehen darf.
|2=Tipp 3
|3=schließen}}

d) Nach wieviel Metern erreicht der Baseball seine maximale Höhe? Welche Höhe erreicht er?
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, an welchem Punkt der Flugkurve der Baseball am höchsten ist.
|2=Tipp 1
|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Gesucht ist der Scheitelpunkt von der Funktion. Überlege, wo du den Scheitelpunkt ablesen kannst.
|2=Tipp 2
|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Wenn du gerade nicht mehr darauf kommst, wie du aus der Normalform einer quadratischen Funktion in die Scheitelpunktsform kommst, dann guck dir nochmal die Aufgaben 5, 7 und 8 an.
|2=Tipp 3
|3=schließen}}

Zusatzaufgabe** Berechne die horizontale Entfernung zum Schlagmann, in der der Baseball eine Höhe von 30 Metern hat.
{{Lösung versteckt|1=Gesucht werden die x-Werte, sodass <math>j(x)=30</math> ist.
|2=Tipp 1
|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Setze anstelle von <math>j(x)</math> den Wert 30 in die Funktion ein und löse die Gleichung nach x auf.
|2=Tipp 2
|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Bringe alles auf eine Seite und berechne die Nullstellen.
|2=Tipp 3
|3=schließen}}




{{Lösung versteckt|
a)
{{Lösung versteckt mit Rand|
<math>
\begin{array}{rll}
j(0) &=& -0.0075 \cdot 0^2 + 1.2 \cdot + 1 \\
&=& 1
\end{array}
</math>
Der Schlagmann trifft den Baseball einen Meter über dem Boden. }}

b) 
{{Lösung versteckt mit Rand|
<math>
\begin{array}{rll}
j(158) &=& -0.0075 \cdot 158^2+ 1.2 \cdot 158 + 1 \\
&=& 3.37
\end{array}
</math>
Auf Höhe des gegnerischen Spielers hat der Baseball noch eine Höhe von <math>3.37m.</math> Da der Spieler nur Bälle bis zu einer Höhe von <math>3.20m</math> erreichen kann, fängt er diesen Ball nicht. }}

c)
{{Lösung versteckt mit Rand|
Nullstellenberechnung:<br />
Im ersten Schritt wird der Vorfaktor von <math>x^2</math> eliminiert.<br />
<math>
\begin{array}{rlll}
0 &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x + 1 & \mid :(-0.0075) \\
&=& x^2 - 160x - \frac{400}{3}
\end{array}
</math>

Im zweiten Schritt wird die '''pq-Formel''' angewendet, um die Nullstellen zu berechnen.<br />
<math> \Rightarrow p=-160, q= -\frac{400}{3} </math><br />
<math>
\begin{array}{rlll}
x_{1/2} &=& -\frac{-160}{2} \pm \sqrt{{\left( \frac{-160}{2} \right)}^2 -(-\frac{400}{3}} \\
&=& 80 \pm \sqrt{\frac{19600}{3}} \\
&=& 80 \pm 80.83 \\
\end{array}
</math><br />
<math>
\Rightarrow x_1 = 80+80.83 = 160.83 </math> und <math> x_2 = 80-80.83 = -0.83 </math>
Da wir wissen möchten wie weit der Ball fliegt, wenn kein Gegenspieler ihn vorher fängt, müssen wir nur <math>x_1</math> betrachten. Somit fliegt der Baseball <math>160.83</math> Meter weit, bevor er auf dem Boden fällt.}}

d)
{{Lösung versteckt mit Rand|
Umwandlung der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform:<br />
<math>
\begin{array}{rlll}
j(x) &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x +1 &\mid -0.0075 \, ausklammern \\
&=& -0.0075 (x^2-160x-\frac{400}{3}) &\mid +80^2 -80^2 \, quadratische \, Erg\ddot{a}nzung\\
&=& -0.0075 (x^2-160x + 80^2-80^2-\frac{400}{3}) &\mid 2. \, binomische \, Formel\\
&=& -0.0075 [(x-80)^2 -\frac{19600}{3}] &\mid ausmultiplizieren \\
&=& -0.0075 (x-80)^2 +49
\end{array}
</math> 
Der Scheitelpunkt liegt bei <math>S(80 \mid 49).</math> Somit erreicht der Baseball nach <math>80</math> Metern die maximale Höhe von <math>49</math> Metern. }}

Zusatzaufgabe:
{{Lösung versteckt mit Rand|
Wir müssen für <math>j(x)=30</math> die zugehörigen x-Werte berechnen. Dafür setzen wir <math>30</math> für <math>j(x)</math> ein und bringen als erstes alle Summanden auf eine Seite.<br />
<math> 30 = -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x + 1 \mid -30 </math>
<math> \Leftrightarrow 0=-0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x -29 </math>

Als nächstes eliminieren wir den Vorfaktor vor <math>x^2.</math><br />
<math>
\begin{array}{rlll}
0 &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x -29 &\mid :(-0.0075) \\
&=& x^2 -160 \cdot x + \frac{11600}{3}
\end{array}
</math>

Nun lösen wir die Gleichung mithilfe der '''pq-Formel''' nach <math>x</math> auf.<br />
Es gilt <math>p=-160, q= \frac{11600}{3}.</math><br />
<math>
\begin{array}{rll}
x_{1/2} &=& -\frac{-160}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{-160}{2} \right)^2 - \frac{11600}{3}} \\
&=& 80 \pm \sqrt{\frac{7600}{3}}\\
&=& 80 \pm 50.33
\end{array}
</math><br />
<math> \Rightarrow x_1 = 80+50.33 = 130.33 </math> und <math> x_2 = 80-50.33 = 29.67 </math><br />
Der Baseball hat nach ungefähr <math>29.67</math> Metern und nach ungefähr <math>130.33</math> Metern eine Flughöhe von 30 Metern. }}

|Lösung
|schließen}}

|Arbeitsmethode}}