Quelltext der Seite Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Geraden im Raum

{{Box|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Geraden im Raum'''. 
Du lernst, Geraden im Raum durch Vektoren zu beschreiben, Parameterdarstellungen und Spurpunkte von Geraden zu bestimmen, die Lage von Geraden im Raum und zueinander zu bestimmen sowie Geradenscharen zu bestimmen.

Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:

* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. 
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> und
* Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.

Wir wünschen dir viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Geraden und ihre Darstellungsformen==

===Parameterdarstellung einer Geraden===
{{Box
|Definition
|Jede Gerade lässt sich durch eine Gleichung der Form <math>g \colon \vec{x} = \vec{OA} + k \cdot \vec{v}</math> mit <math>k \in \mathbb{R}</math> beschreiben.
* Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung''' oder '''Parametergleichung''' der Geraden <math>g</math> mit dem '''Parameter''' <math>k</math>. 
* Setzt man für <math>k</math> irgendeine Zahl in die Parameterdarstellung der Geraden <math>g</math> ein, so ergibt sich der Ortsvektor <math>\vec{x}</math> (auch <math>\vec{OX}</math> genannt) eines Punktes <math>X</math> der Geraden <math>g</math>.
* Der Vektor <math>\vec{OA}</math> heißt '''Stützvektor'''. Er ist der Ortsvektor zu einem Punkt <math>A</math> (auch Aufpunkt genannt), der auf der Geraden <math>g</math> liegt. 
* Der Vektor <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math> heißt '''Richtungsvekor'''. 
|Merksatz
}}

Wie du nun eine Parametergleichung durch zwei gegebene Punkte aufstellst, wird im folgenden Video erklärt: 

{{#ev:youtube|cCetvDxbTQk|900}}


Im Folgenden kannst du sehen, wie die Gerade vom Stützvektor, Richtungsvektor und Parameter abhängt: 

<ggb_applet id="EfrTd7YR" width="900" height="500&quot;&quot;" border="888888" />


<span style="color: Red"> ????''Anmerkung zu den Lösungen: Wie du wahrscheinlich im obigen Video mitbekommen hast, gibt es unendlich viele Lösungen. Daher sind auch Vielfache der Richtungsvektoren oder andere Stützvektoren, wenn sie auf der Geraden <math>g</math> liegen, möglich.''????</span>


{{Box
|Aufgabe 1: Geradengleichung aufstellen (zwei gegebene Punkte)
|Bearbeite entweder die analoge Aufgabe (I) oder die digitale Aufgabe (II):

(I) Die Gerade <math>g</math> geht durch die Punkte <math>A</math> und <math>B</math>. Gib zwei Gleichungen für <math>g</math> an. 

'''a)''' <math>A(1|2|2), B(5|{-}4|7)</math>

'''b)''' <math>A(-3|{-}2|9), B(0|0|3)</math>

{{Lösung versteckt
|Zwei mögliche Geraden sind <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 22 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -6 \\ 5 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ 7 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 6 \\ -5 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. 
|Lösung Aufgabe a) anzeigen
|Lösung Aufgabe a) verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|Zwei mögliche Geraden sind <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 9 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>.
|Lösung Aufgabe b) anzeigen
|Lösung Aufgabe b) verbergen
}}

(II) Ordne jeweils die zwei Punkte A und B der Parametergleichung der Geraden durch A und B zu. 
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pc62b4ck318}}
|Arbeitsmethode 
|Farbe={{Farbe|orange}} 
}} 

Du kannst aber auch eine Gerade aufstellen, die durch einen Punkt <math>P</math> verläuft und parallel zu einer anderen Gerade oder zu einer der Koordinatenachsen ist.  

{{Box
|Aufgabe 2: Geradengleichung aufstellen (gegebener Punkt und gegeben Parallelität)
|Stelle jeweils eine Geradengleichung auf.

'''a)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den Punkt <math>P(2|{-}2|4)</math> und verläuft parallel zur geraden <math>h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>.

{{Lösung versteckt
|Wann verlaufen zwei Vektoren parallel zueinander? Übertrage diese Kenntniss auf Geraden. 
|Tipp Aufgabe a) anzeigen
|Tipp Aufgabe a) verbergen
}}

'''b)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den Punkt <math>P(1|{-}1|{-}2)</math> und verläuft parallel zur <math>x_1</math>-Achse.

{{Lösung versteckt
|Wie könnte eine Geradengleichung der <math>x_1</math>-Achse lauten? Danahc hilft dir das Vorgehen aus a) weiter.
|Tipp Aufgabe b) anzeigen
|Tipp Aufgabe b) verbergen
}}

'''c)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den einen beliebigen Punkt <math>P(p_1|p_2|p_3)</math> und verläuft parallel zur <math>x_3</math>-Achse.

{{Lösung versteckt
|Diese Aufgabe funktioniert ähnlich zu b).
|Tipp Aufgabe b) anzeigen
|Tipp Aufgabe b) verbergen
}}



{{Lösung versteckt
|Eine mögliche Gerade ist <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. 
|Lösung Aufgabe a) anzeigen
|Lösung Aufgabe a) verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|Eine mögliche Gerade ist <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. 
|Lösung Aufgabe b) anzeigen
|Lösung Aufgabe b) verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|Eine mögliche Gerade ist <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. 
|Lösung Aufgabe c) anzeigen
|Lösung Aufgabe c) verbergen
}}

|Arbeitsmethode 
}} 

===Punktprobe===

Wie du überprüfst, ob ein gegebener Punkt auf einer gegebenen Gerade der daneben liegt, erfährst du im folgenden Video:

{{#ev:youtube|1kJ9Nq8zXlI|900}}

{{Box
|Merksatz: Punktprobe
|Liegt ein Punkt <math>P</math> auf der Geraden g definiert durch <math>g: \vec{x} = \vec{a} + k \cdot \vec{v}</math> mit <math> k \in \mathbb{R}</math>, so gibt es genau ein <math>k</math>, welches die Gleichung <math>\vec{p} = \vec{a} + k \cdot \vec{v}, r \in \mathbb{R}</math> erfüllt. Erfüllt kein <math>k</math> diese Gleichung, liegt der Punkt nicht auf der Geraden.
|Merksatz
}}

{{Box
|Aufgabe 3: Punktprobe mit einer Geraden I
|Überprüfe, ob der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g</math> liegt. 

'''a)''' <math>P(2|3|{-}1), g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>

'''b)''' <math>P(2|{-}1|{-}1), g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>

{{Lösung versteckt
|Die Punktprobe ist erfüllt für <math>t = -1</math>, d.h. der Punkt <math>P</math> liegt auf der Geraden <math>g</math>.
|Lösung Aufgabe a) anzeigen
|Lösung Aufgabe a) verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|Die Punktprobe ist nicht erfüllt, d.h. der Punkt <math>P</math> liegt nicht auf der Geraden <math>g</math>.
|Lösung Aufgabe b) anzeigen
|Lösung Aufgabe b) verbergen
}}

|Arbeitsmethode 
|Farbe={{Farbe|orange}} 
}} 

{{Box
|Aufgabe 4: Punktprobe mit einer Geraden II
|Für welchen Wert <math>s </math> mit <math> s \in \mathbb{R} </math> liegt der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 9 \\ -s \\ 2s \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>? 

'''a)''' <math>P(13|3|0)</math>

'''b)''' <math>P(12|{-}1|6{,}5)</math> 

{{Lösung versteckt
|Die Punktprobe ist für <math>s = -1</math> mit <math>r = 2</math> erfüllt.
|Lösung Aufgabe a) anzeigen
|Lösung Aufgabe a) verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|Die Punktprobe ist für <math>s = 2{,}5</math> mit <math>r = 1{,}5</math> erfüllt.
|Lösung Aufgabe b) anzeigen
|Lösung Aufgabe b) verbergen
}}

|Arbeitsmethode 
}} 

===Spurpunkte einer Geraden===

Wie du die Spurpunkte, also die Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenebenen bestimmst, zeigt das folgende Video.

Falls du nicht mehr weißt, was die Koordinatenebenen sind, kannst unter folgendem Tipp noch einmal dein Wissen auffrischen: 

{{Lösung versteckt|
Die <math>x_1x_2</math>-Ebene ist die Ebene, die von der <math>x_1</math>- und <math>x_2</math>-Achse aufgespannt wird (im Bild <math>E_{12}</math> genannt). Entsprechendes gilt für die <math>x_1x_3</math>- (im Bild <math>E_{13}</math>) und <math>x_2x_3</math>-Ebene (im Bild <math>E_{23}</math>).
[[File:Koordinatenebenen.png|zentriert|300px|Die Koordinatenebenen]]
|Tipp anzeigen
|Tipp verbergen
}}

{{#ev:youtube|OCO28fT5Aww|900}}

{{Box
|Achtung: Nicht jede Gerade besitzt drei Spurpunkte!
|Verläuft eine Gerade zu einer der Koordinatenachsen oder -ebenen (echt) parallel, gibt es keinen Schnittpunkt mit der entsprechenden Koordinatenebene. 
In deiner Rechnung erkennst du es daran, dass es in der Zeile, die du <math>= 0</math> gesetzt hast, keine Lösung für den Parameter gibt.
|Merksatz
}}

{{Box 
|Beispiel: Gerade mit nur zwei Spurpunkten
|Gegeben ist die Gerade <math>g</math> definiert durch <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>. Im Folgenden werden die Spurpunkte berechnet (du kannnst es natürlich auch selbst versuchen und dann deine Lösung kontrollieren):

{{Lösung versteckt
|Für den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene setze die <math>x_3</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 2 + r \cdot 1 \Leftrightarrow r = -1</math>. Setze nun <math>r = -2</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{12}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + (-2) \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -8 \\ 0 \end{pmatrix}</math>
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene anzeigen
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|Für den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_3</math>-Ebene setze die <math>x_2</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = -4 + r \cdot 2 \Leftrightarrow r = 2</math>. Setze nun <math>r = 2</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{13}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}</math>
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene anzeigen
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|Für den Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene setze die <math>x_1</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 1 + r \cdot 0 \Leftrightarrow 0 \neq 1</math>. Es ergibt sich ein Widerspruch, weshalb es keinen Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene gibt. Somit verläuft <math>g</math> parallel zur <math>x_2x_3</math>-Ebene.
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene anzeigen
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene verbergen
}}

|Hervorhebung1
}}

Hier kannst du dir die Spurpunkte von verschiedenen Geraden anzeigen lassen. Dazu kannst du die Punkte <math>A</math> und <math>B</math> anpassen, durch die die Gerade verlaufen soll. Dann kannst du dir die Koordinatebenen mit den verschiedenen Schnittpunkten anzeigen lassen:

<ggb_applet id="KrHVKfjB" width="900" height="402" border="888888" />

{{Box
|Aufgabe 5: Spurpunkte einer Geraden I
|Berechne die Spurpunkte der Geraden <math>g</math> definiert durch <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>.

{{Lösung versteckt
|Schnittpunkt <math>S_{13}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_3</math>-Ebene: <math>\vec{S_{13}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math>
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene anzeigen
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|Schnittpunkt <math>S_{12}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene: <math>\vec{S_{12}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math>
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene anzeigen
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|Der Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene ist nicht vorhanden, da sich ein Widerspruch in der Gleichung ergibt.
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene anzeigen
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene verbergen
}}

|Arbeitsmethode 
|Farbe={{Farbe|orange}} 
}} 

Hier noch eine Aufgabe zu Geraden mit besonderen Lagen im Koordinatensystem: 

{{Box
|Aufgabe 6: Geraden im Koordinatensystem
|Kreuze die richtige(n) Antwort(en) an!

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p221zv0i321}}

|Arbeitsmethode 
|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} 
}}

==Lagebeziehungen von Geraden==

====Parallele und identische Geraden====
{{Box|1=Infobox zur Lagebeziehung zweier Geraden Teil 1
|2= Wir unterscheiden die Lage zweier Geraden in '''identisch''', '''parallel''', '''sich schneidend''' und '''windschief zueinander'''.

[[Datei:Zwei identische Geraden.png|links|mini|Zwei identische Geraden]]
[[Datei:Zwei parallele Geraden.png|rechts|mini|Zwei parallele Geraden]]

Um die Lage zweier Geraden zu ermitteln, betrachtet man zunächst die Richtungsvektoren. Sind diese zueinander '''kollinear''' (sind Vielfache voneinander), so können die Geraden lediglich '''identisch''' oder '''parallel''' sein. 

Um nun zu untersuchen, ob die Geraden '''parallel''' oder '''identisch''' sind, setzen wir einen Punkt der einen Geraden in die Geradengleichung der anderen Geraden ein. Liegt der Punkt der einen Geraden auf der anderen Geraden, sind die Geraden '''identisch'''. Andernfalls sind die Geraden '''parallel''' zueinander.

[[Datei:Zwei Geraden schneiden sich.png|links|mini|Zwei Geraden schneiden sich]]
[[Datei:Zwei windschiefe Geraden.png|rechts|mini|Zwei windschiefe Geraden]]




Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear, so können die Geraden sich lediglich '''schneiden''' oder '''windschief''' zueinander verlaufen. Unter sich schneidene Geraden verstehen wir Geraden, die sich in einem Punkt schneiden. Windschiefe Geraden hingegen sind Geraden, die sich wie die parallelen Geraden zwar nicht schneiden, ihre Richtungsvektoren sind jedoch nicht kollinear.



Um nun zu untersuchen, ob sich die Geraden '''schneiden''' oder zueinader '''winschief zueinander''' sind, müssen wir schauen, ob sich ein Schnittpunkt berechnen lässt. Hierzu setzen wir die Geradengleichungen gleich und formen um. Erhalten wir einen Schnittpunkt, so '''schneiden''' sich die Geraden im Punkt. Andernfalls sind diese Geraden '''windschief''' zueinander.


|3=Merksatz}}

{{Box|1= Aufgabe 7: Lage erkennen|2=Löse das Quiz und mache dir deinen eigenen Lernzettel.
{{LearningApp|app=19038875|width=100%|height=554px}}

|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}


{{Box|1= Aufgabe 8: Lage zweier Geraden|2=Löse den Lückentext und mache dir deinen eigenen Lernzettel.
{{LearningApp|app=19689096|width=100%|height=554px}}|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}


{{Box|1= Aufgabe 9: Lage erkennen|2= Betrachte die folgenden Geraden <math>g</math> und <math>h</math>. Wie verlaufen die Geraden zueinander. Entscheide ohne Nutzung des GTR oder besser: Löse im Kopf.

'''a)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}</math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> 

'''b)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>

'''c)'''<math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>

'''d)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>

{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind ''identisch''. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren mit <math> 2\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} </math> ein Vielfaches voneinander (=kollinear) sind. Da beide Stützvektoren identisch sind, weißt du, dass der Punkt <math>(2|2|5)</math> auf beiden Geraden liegt und somit die beiden Geraden ''identisch'' sind.|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufgabe a}}

{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''parallel''. Die beiden Geraden sind ''parallel''. Während die beiden Richtungsvektoren kollinear, sogar identisch, sind liegt der Aufpunkt <math>(2|2|2)</math> von der Gerade <math>h</math> nicht auf der Geraden von <math> h \colon \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>, mit 

<math>
2=1+r\cdot1

2=1+r\cdot2

2=1+r\cdot3
</math>
Formen wir dies um zu r erhalten wir

<math>
1=r\cdot1

1=r\cdot2

1=r\cdot3

</math>
Formen wir weiter zu <math>r</math> um, erhalten wir
<math>r=\begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \\ 0.333 \end{pmatrix}</math> und damit liegt der Punkt nicht auf der Geraden.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}

{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''schneiden''. Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear und damit ''schneiden'' sich die beiden Geraden sich im Aufpunkt <math>(1|2|3)</math> selbst.|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}

{{Lösung versteckt|1= Die vierte Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind identisch. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren identisch sind (<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>) und der Aufpunkt <math>(2|3|4)</math> der Geraden h auf der Geraden g liegt:  <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. |2=Lösung Aufgabe d|3=Lösung Aufgabe d}}
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode }}


{{Box|1= Aufgabe 10: Lage erkennen|2=Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander? Nenne, falls vorhanden, den Schnittpunkt. Damit es nicht zu viel zu berechnen gibt, kannst du sicher annehmen, dass kein Richtungsvektor der einen Gleichung kollinear zu einem anderen Richtungsvektor ist. Du darfst deinen Taschenrechnernutzen.

'''a)'''<math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>


'''b)'''<math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>

{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden ''schneiden'' sich im Punkt <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. Dies erhält man, indem man beide Geradengleichungen in ein Gleichungssystem umformt, gleichsetzt und zu <math>r</math> und <math>t</math> umformt:

<math>
1+r\cdot1=2+t\cdot4 </math>

<math>
1+r\cdot2=3+t\cdot5 </math>

<math>
1+r\cdot3=4+t\cdot3 </math>

Dies formen wir um:


<math>
r\cdot1-t\cdot4=1 </math>

<math>
r\cdot2-t\cdot5=2 </math>

<math>
r\cdot3-t\cdot3=3 </math>

Wenn die erste Zeile mit <math>2</math> multipliziert wird:


<math>
r\cdot2-t\cdot8=2 </math>

<math>
r\cdot2-t\cdot5=2 </math>

<math>
r\cdot3-t\cdot3=3 </math>

und dann von der ersten Zeile die zweite Zeile subtrahiert wird, 


<math>
-t\cdot3=0 </math>

<math>
r\cdot2-t\cdot5=2 </math>

<math>
r\cdot3-t\cdot3=3 </math>

erhälst du für <math>t=0</math>. Dies setzt du in der zweiten Zeile ein und erhälst <math>r=1</math>. In der untersten Zeile überprüfst du, ob die Ergebnisse stimmen. Setze dazu für <math>t</math> und <math>r</math> die Ergebnisse ein. Du erhälst <math>3=3</math>, was eine wahre Aussage ist. Daher schneiden sich die beiden Geraden.

|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}


{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''windschief''. Die beiden Geraden sind ''windschief'' zueinander. Dies kannst du wie folgt berechnen.


<math>
1+r\cdot1=2+t\cdot1 </math>

<math>
1+r\cdot2=3+t\cdot4 </math>

<math>
1+r\cdot3=4+t\cdot3 </math>

Dies formen wir um:

<math>
r\cdot1-t\cdot1=1 </math>

<math>
r\cdot2-t\cdot4=2 </math>

<math>
r\cdot3-t\cdot3=3 </math>

Wenn die erste Zeile mit <math>2</math> multipliziert wird 


<math>
r\cdot2-t\cdot2=2 </math>

<math>
r\cdot2-t\cdot4=2 </math>

<math>
r\cdot3-t\cdot3=3 </math>


und dann von der ersten Zeile die zweite Zeile subtrahiert wird, 

<math>
t\cdot2=2 </math>

<math>
r\cdot2-t\cdot4=2 </math>

<math>
r\cdot3-t\cdot3=3 </math>

erhälst du <math>t=1</math>. Wenn du dies in die zweite Zeile einsetzt, erhälst du für <math>r=3</math>. Setzt du dies in die letzte Zeile ein, erhälst du <math>6=3</math>, eine falsche Aussage. Damit sind die beiden Geraden windschief zueinander.


|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}


{{Box|1= Aufgabe 11: Flugerlaubnis erteilen?|2=

Ein wichtiger Bestandteil der Flugsicherung sind die Fluglotsen der "Deutschen Flugsicherung" (DFS). Sie koordinieren und überwachen jährlich Millionen Flüge im deutschen Luftraum. Am heutigen Tag wollen zwei Flugzeuge starten. Hierzu gehört das Flugzeug der Fluglinie Aer. Es befindet sich bei <math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und fliegt innerhalb von 5 Sekunden zum Punkt <math> \begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix}</math>. Ebenfalls ist das Flugzeug der Fluglinie Amadeus in die Luft. Dies befindet sich in <math> \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}</math>. Pro Sekunde legt es eine Strecke von <math>175{,}49</math>  m zurück und besitzt einen Richtungsvektor von <math> \begin{pmatrix} 120{,}2 \\ 96{,}4 \\ z \end{pmatrix}</math>. 

Es kam zu einem riesigen Stromausfall und der Fluglotse ist sich unsicher. Hilf ihm die Antworten auf folgende Fragen zu finden: 

'''a)''' Wie lauten die Geradengleichungen der einzelen Flugzeuge?

{{Lösung versteckt|1= Zu Aer: Setze alle gegebenen Daten in eine allgemeine Parameterdarstellung ein und forme um.

Zu Amadeus: Um den Richtungsvektor zu berechnen, benötigst du die Formel zur Berechnung der Länge eines Vektoren:
<math> L=\sqrt[]{x^{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. |2= Tipp zu a|3= Tipp zu a}}

'''b)''' Wie schnell (in <math>\tfrac{km}{h}</math>) fliegen die einzelnen Flugzeuge?

{{Lösung versteckt|1= Geschwindigkeit kann in verschiedene Einheiten angegeben werden, z.B.: <math>\tfrac{km}{h}</math>, <math>\tfrac{m}{s}</math> etc.. Nachdem du die Länge der Strecke nach einer Sekunde berechnet hast, musst du dies von <math>\tfrac{m}{s}</math> zu <math>\tfrac{km}{h}</math> umwandeln.|2=Tipp zu b |3=Tipp zu b}}

'''c)''' Können alle Flugzeuge starten, ohne dass es zu einer Kollision kommt?

{{Lösung versteckt|1= Nur weil sich zwei Geraden schneiden heißt es noch nicht direkt, dass eine Kollision vorherrscht.|2=Tipp zu c |3=Tipp zu c}}


{{Lösung versteckt|1=

Flugzeug Aer:
<math>f_3\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>
Wobei <math>t</math> für die Zeit in Sekunden steht.

Dies erhälst du, indem du folgendes berechnest:
<math>\begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 5\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. Dies musst du in ein Gleichugssystem umformen und dies dann zu <math>x</math>,<math>y</math> und <math>z</math> auflösen:

<math>
510=10+5\cdot x </math>

<math>
410=10+5\cdot y </math>

<math>
350= 0+5 \cdot z </math>

Zunächst bringst du die Zahlen auf die andere Seite:

<math>
500=5\cdot x </math>

<math>
400=5\cdot y </math>

<math>
350= 5 \cdot z </math>

und formst dann zu <math>x</math>,<math>y</math>, und <math>z</math> um:

<math>
100=x </math>

<math>
80=y </math>

<math>
70=z </math>
 
Flugzeug Amadeus:
<math>f_1\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 120{,}2\\ 96{,}4 \\ 84\end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> 
Wobei <math>t</math> für die Zeit in Sekunden steht.

Dies erhälst du wie folgt:
Du kennst den Richtungsvektor:
<math> \begin{pmatrix} 120{,}2\\ 96{,}4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Nun musst du <math>z</math> berechnen. Im Text steht, dass das Flugzeug pro Sekunde eine Strecke von <math>175{,}49</math> m fliegt. Das bedeutet, dass der Richtungsvektor eine Länge von <math>175{,}49</math> besitzt. Dies kannst du mit der Formel der Länge eines Vektor berechnen:


<math> 175{,}49=\sqrt[]{120{,}2^{2}+96{,}4^{2}+z^{2}}</math>


Indem du beide Seiten zum quadart nimmst, entfällt die Wurzel und es folgt:


<math> 175{,}49^{2}=120{,}2^{2}+96{,}4^{2}+z^{2}</math>


Du formst zu <math>z^{2}</math> um und ziehst dann die Wurzel. Du erhälst gerundet <math>84</math>. 

|2=Lösung Aufgabe a|3=Lösung Aufgabe a}}

{{Lösung versteckt|1=
Du berechnest die Geschwindigkeit, indem du die Länge des Richtungsvektors berechnest. Dies erfolgt mit der Formel:<math> L=\sqrt[]{x^{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. 

Fugzeug Aer:

<math> L=\sqrt[]{100^{2}+80^{2}+70^{2}}</math>. 

<math> L=145{,}95</math>. 

Du erhälst also eine Geschwindigkeit von <math>145{,}95</math> <math>\tfrac{m}{s}</math>. Es gilt: <math>3{,}6</math> <math>\tfrac{km}{h}</math>=1 <math>\tfrac{m}{s}</math>. 
Umgerechnet in <math>\tfrac{km}{h}</math> sind das also:

<math>145{,}95 \cdot3{,}6= 525{,}42</math> 

also eine Geschwindigkeit von <math>525{,}42</math> <math>\tfrac{km}{h}</math>.

Flugzeug Amadeus:
Das Flugzeug Amadeus legt in einer Sekunde eine Strecke von <math>175{,}49</math> m zurück. Damit hat es eine Geschwindigkeit von <math>175{,}49</math> <math>\tfrac{m}{s}</math>. Umgerechnet in <math>\tfrac{km}{h}</math> sind das also:

<math>175{,}49\cdot3{,}6= 631{,}76</math>

also eine Geschwindigkeit von <math>631{,}76</math> <math>\tfrac{km}{h}</math>.

|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}

{{Lösung versteckt|1=
Flugzeug Aer und Amadeus: 
Sie schneiden sich für
<math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 30 \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + 25 \cdot \begin{pmatrix} 120{,}2\\ 96{,}4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Dies erhalten wir, indem wir beide Funktionen gleichsetzen und in ein Gleichungssystem umformen:


<math>
10+t \cdot100=5+s \cdot120{,}2 </math>

<math>
10+t \cdot80=0+s \cdot96{,}4 </math>

<math>
0+t \cdot70=0+s \cdot84 </math>

Dies formst du um:


<math>
5=s \cdot120{,}2-t \cdot100 </math>

<math>
10=s \cdot96{,}4 -t \cdot80</math>

<math>
0=s \cdot84 -t \cdot70</math>


und du multiplizierst die erste Zeile mit <math>4</math>, die zweite Zeile mit <math>5</math>:


<math>
20=s \cdot480{,}8-t \cdot400 </math>

<math>
50=s \cdot482 -t \cdot400</math>

<math>
0=s \cdot84 -t \cdot70</math>

Nun subtrahiere die zweite Zeile von der ersten Zeile:


<math>
-30=s \cdot{-}1{,}2 </math>

<math>
50=s \cdot482 -t \cdot400</math>

<math>
0=s \cdot84 -t \cdot70</math>

also folgt:

<math>
25=s</math>

<math>
50=s \cdot482 -t \cdot400</math>

<math>
0=s \cdot84 -t \cdot70</math>

Du erhälst also <math>s=25 </math>. Wenn du dies in die zweite Zeile einsetzt und umformst, erhälst du:
<math>
25=s</math>

<math>
30=t</math>

<math>
0=25 \cdot84 -t \cdot70</math>

Setzen wir nun in die letzte Zeile <math>t=30</math> ein, so erhalten wir dort <math>0=0</math> und wissen damit, dass sich die Geraden schneiden.
Da es jedoch nicht der gleiche Zeitpunkt ist, kommt es zu keiner Kollision.


|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}

|Farbe={{Farbe|grün}}|3= Arbeitsmethode}}

==Geraden und ihre Anwendungen==