Quelltext der Seite Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Abstände von Objekten im Raum

{{Box | 1=Info | 2=worum es hier geht 

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
* Aufgaben, die mit einem &#x2B50; gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Motivation?==

*ganz am Anfang, zur Motivation: 3 Situationen, zuordnen lassen, welche Punkt-Ebene, Punkt-Gerade usw. ist (mit Learning App), mit Bild

==Abstand eines Punktes von einer Ebene==
===Das Lotfußpunktverfahren===

{{Box | Aufgabe 1&#x2B50;: Überblick: Abstand Punkt Ebene | 
Fülle die Lücken mit den richtigen Wörtern. Sie werden dir angezeigt, sobald du auf eine Lücke klickst.
Wenn du fertig bist, klicke auf den Haken unten rechts. 
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p6crday9t21}} 
{{Lösung versteckt|1=Die Abbildung kann dir helfen.|2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}| Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}


{{Box | 1=Merke: Abstand eines Punktes P zu einer Ebene E - Lotfußpunktverfahren  | 2= Das Vorgehen aus Aufgabe 1 hier nochmal detalliert erklärt: 

# Die Gleichung für die zu E orthogonale Gerade g (also die Lotgerade) durch P aufstellen. Dabei kann man als Stützvektor <math>\vec{p} </math> und als Richtungsvektor den Normalenvektor <math> \vec{n} </math> von E nutzen: <math>g:\vec{x}=\vec{p}+\vec{t}*\vec{n}</math>.
# Den Schnittpunkt L von der Lotgeraden g und der Ebene E bestimmen. L ist der Lotfußpunkt.
# Den Abstand zwischen den Punkten P und L bestimmen, indem man den Betrag des Vektors <math>\vec{PL} </math> berechnet. | 3=Merksatz}}
 

{{Box | Aufgabe 1: xyz | Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}

Weitere Aufgaben: 

*stumpf das Verfahren anwenden. Lösungsweg anzeigen lassen und Tipps (Aufgabe zum Wiederholen/Vertiefen/Üben)
*Janne: man hat Ebene und bestimmten Abstand. Jetzt Punkt bestimmen, der diesen Abstand hat (wie Pyramidenaufgabe)
*Janne: Modellierungsaufgabe (zb aus Diagnosetest oder woanders her)

{{Box | Aufgabe 2: Glaspyramide |

[[Datei:Louvre-Bannenhaff-mat-Pyramid--w.jpg| rechts | rahmenlos | Glaspyramide des Louvre ]]

'''a)''' Im Innenhof des Louvre-Museums in Paris befindet sich eine große Glaspyramide. Die quadratische Grundfläche liegt in einer Ebene, die durch die Ebenengleichung <math> E: 2x_1+x_2+2x_3=7 </math> beschrieben werden kann. Die Spitze liegt im Punkt <math> S(4,5|9|3,5) </math>. Eine Längeneinheit <math> LE </math>  im Koordinatensystem entpricht <math> 4m </math>.

Welche Höhe hat die Pyramide in <math> m </math>? 

{{Lösung versteckt|1=
Text zum Verstecken|2=Tipp zu a)|3=Tipp zu a) verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Die Höhe der Pyramide kann man bestimmen, indem man den Abstand zwischen der Spitze <math>S</math> und der Ebene <math>E</math> bestimmt.

Zuerst wird die Geradengleichung der Lotgeraden <math>g</math> zu <math>E</math> durch <math>P</math> aufgestellt. Wir nehmen den Ortsvektor von <math>S</math> als Stützvektor und den Normalenvektor von <math>E</math> als Richtungsvektor, also:
<math> g: \vec{x}= \begin{pmatrix} 4,5 \\ 9 \\ 3,5 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} </math>.

Wir bestimmen den Schnittpunkt von <math>g</math> mit <math>E</math>. Einsetzen von einem allgemeinen Punkt von <math>g</math> in <math>E</math> ergibt <math>(4,5+2t)+(9+t)+2(3,5+2t)=7</math>, also <math>t=-2</math>. Durch Einsetzen in die Geradengleichung <math> \begin{pmatrix} 4,5 \\ 9 \\ 3,5 \end{pmatrix}- 2 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,5 \\ 7 \\ -0,5 \end{pmatrix}</math> erhalten wir den Lotfußpunkt <math>L(0,5|7|-0,5)</math>. Dies ist gleichtzeitig der Mittelpunkt der Grundfläche der Glaspyramide.

Der Abstand zwischen S und L beträgt <math>6LE</math> wegen <math>|\vec{SL}|=\sqrt((4,5-0,5)^2+(9-7)^2+(3,5-(-0,5))^2)=6 </math>. Die Pyramide hat also eine Höhe von <math>24m</math>.
|2=Lösungsweg anzeigen|3=Lösungsweg verbergen}} 

{{Lösung versteckt|1=Die Pyramide hat eine Höhe von <math> 24m </math>.|2=Lösung zu a) anzeigen|3=Lösung zu a) verbergen}}


[[Datei:Louvre Museum Inverted pyramid 01.JPG| rechts | rahmenlos | ''Spitze der invertierten Glaspyramide'' ]]



'''b)''' An einer anderen Stelle im Innenhof des Louvre befindet sich eine invertierte Glaspyramide. Das bedeutet, ihre quadratische Grundfläche liegt in der gleichen Ebene wie die Grundfläche der großen Glaspyramide, ihre Spitze ist aber unterhalb des Innenhofs. Man kann sie in einem Raum unterhalb des Innenhofs besichtigen. Die Länge der Kante von der Spitze bis zu einer Ecken der Grundfläche beträgt jeweils <math> 10m </math>. Die Grundfläche hat <math> 12m </math> lange Diagonalen, die sich im Punkt <math> (38 | 1 | -35) </math> schneiden. In welchem Punkt <math>S_2</math> liegt die Spitze der umgedrehten Pyramide?



{{Lösung versteckt|1=

Zeichne eine Skizze, in der du alle bekannten Längenangaben und Punkte einträgst. Was musst du wissen, um die Position der Spitze herauszufinden?|2=Tipp 1 zu b)|3=Tipp 1 zu b) verbergen}}



{{Lösung versteckt|1=

Wenn du die Höhe der Pyramide kennst, weißt du, welche Abstand die Spitze von der Grundfläche hat. Du kennst auch schon den Mittelpunkt der Pyramiden und kannst entlang des Normalenvektors von <math>E</math> zur Spitze gelangen.

Du kannst die Höhe der Pyramide mithilfe des Satzes von Pythagoras und der Längenangaben berechnen.
|2=Tipp 2 zu b)|3=Tipp 2 zu b) verbergen}}

<center><ggb_applet id="qu6yfdp6" width="450" height="450"/><center>

{{Lösung versteckt|1=

<ggb_applet id="hdrcmrzj" width="1536" height="658"/>

Die Höhe der Pyramide kann man mit dem Satz des Pythagoras und den Längenangaben für die Diagonale der Grundfläche und die Kanten berechnen: 

Es ist <math> \sqrt{10^2-6^2}=\sqrt(64)=8 </math>, also beträgt die Höhe der invertierten Pyramide  <math> 8m </math>, was  <math> 2LE </math> im Koordinatensystem entspricht.



Die Spitze der umgedrehten Pyramide liegt also in einem Punkt, der einen Abstand von <math>2LE</math> zur Pyramidengrundfläche hat. Es gibt genau zwei solche Punkte, die Spitze einer "normalen" Pyramide und die Spitze der invertierten Pyramide. 

Damit man die Spitze der invertierten Pyramide erhält, geht man vom Mittelpunkt <math>M (38 | 1 | -35)</math> der Grundfläche aus <math>2LE</math> entlang der Geraden, die orthogonal zu <math>E</math> ist, und zwar in die andere Richtung als in Aufgabenteil a). Das heißt, man geht <math>2LE</math> in die entgegengesetzte Richung des Normalenvekotrs von <math>E</math>.

Es ist <math>|vec{n}|=|\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}|=\sqrt{2^2+1^2+2^2}=3, also ist vec{n_0}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} </math>. 

Nun können wir bestimmen, in welchem Punkt <math>S_2</math> die Spitze liegt:

Es ist <math>\begin{pmatrix} 38 \\ 1 \\ -35 \end{pmatrix}\cdot \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 36 \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \\ -36 \frac{1}{3} \end{pmatrix}</math>, also erhält man <math>S_2=(36 \frac{2}{3}|\frac{1}{3}|-36 \frac{1}{3})</math>



|2=Lösungsweg anzeigen|3=Lösungsweg verbergen}}

{{Lösung versteckt|1= Die Spitze der invertierten Pyramide liegt im Punkt <math>S_2=(36 \frac{2}{3}|\frac{1}{3}|-36 \frac{1}{3})</math>.

|2=Lösung zu b) anzeigen|3=Lösung zu b) verbergen}}

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

===Die Hesse´sche Normalenform===
Um den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene zu bestimmen, gibt es neben dem Lotverfahren auch die Möglichkeit, dies mit der Hesse´schen Normalenform zu berechnen. In diesem Kapitel lernst du, wie du die Normalenform aufstellst und sie zur Abstandsberechnung anwendest. 

{{Box | Merke: Die Hesse´sche Normalenform| 
Den Abstand von einem Punkt E zu einer Ebene E kann mit einer Formel berechnet werden, der sogenannten Hesse´schen Normalenform (kurz:HNF).

So bestimmst du mit der HNF den Abstand:

Gegeben ist eine Ebene E durch die Koordinatengleichung <math>a*x_1+b*x_2+c*x_3=d </math> bzw. durch die Normalenform <math>\vec{n}*\vec{OX}</math> mit <math>\vec{n}= \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} </math> und ein Punkt <math>P(p_1|p_2|p_3)</math>.

Stelle nun die HNF der Ebene auf: 

Lies dazu aus der Koordinatengleichung der Ebene den Normalenvektor <math>\vec{n}= \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} </math> ab. 

Bestimme dann die Länge des Normalenvektors <math>\vec{n} </math>:  <math>|\vec{n}|=\sqrt{a^2+b^2+c^2} </math> 

Die HNF lautet nun: <math>\frac {|a*x_1+b*x_2+c*x_3-d|}{|\vec{n}|}</math>.

Als letztes setzte die Koordinaten des Punktes <math>P(p_1|p_2|p_3)</math> in die HNF ein und berechne den Abstand:

<math>\frac {|a*p_1+b*p_2+c*p_3-d|}{|\vec{n}|}</math>| Merksatz}}


{{Box | Aufgabe 1:  | 
Über dem Schuldach schwebt eine Drohne an der Stelle <math>A(3|4|-1)</math> und ein Falke schwebt auf der Stelle <math>B(1|7|4)</math>. Finde heraus, wer den geringeren Abstand zum Schuldach hat. Das Schuldach lässt sich durch folgende Gleichung beschreiben: <math>E: 8x_1-4x_2-x_3=5</math>.

{{Lösung versteckt|1= Der Normalenvektor der Ebene ist: <math>\vec{n}= \begin{pmatrix} 8 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix} </math> 

Länge des Normalenvektors <math>\vec{n} </math> bestimmen:  <math>|\vec{n}|=\sqrt{8^2-4^2+(-1)^2}=\sqrt{64+16+1}=\sqrt{81}=9 </math> 

Die HNF lautet nun: <math>\frac {|8*x_1-4*x_2-1*x_3-5|}{9}</math>.

Nun werden die Koordinaten von A eingesetzt: <math>\frac {|8*3-4*4-1*(-1)-5|}{9}=\frac {|24-26+1-5|}{9}=\frac {|-6|}{9}=\frac {6}{9}=\frac {2}{3}</math>

Die Koordinaten von B können in die selbe HNF eingesetzt werden: <math>\frac {|8*(-1)-4*7-1*4-5|}{9}=\frac {|-8-28-4-5|}{9}=\frac {|-45|}{9}=5</math>. 

Damit hat die Drohne einen Abstand von <math>\frac{2}{3}</math> zum Schuldach und der Falke einen Abstand von <math>5</math>. Die Drohne ist also näher zum Dach als der Vogel.
|2=Lösungsweg anzeigen|3=Lösungsweg verbergen}} 

{{Lösung versteckt|1=Der Abstand der Drohne zum Dach beträgt <math>\frac{2}{3}</math> und der Abstand des Falken zum Dach beträgt <math>5</math>. Damit ist der Abstand der Drohne geriner.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} 

| Farbe={{Farbe|orange}} }}


{{Box | 1=Aufgabe 2: Abstand paralleler Ebenen | 2= Gegeben ist die Ebene <math>E: 2x_1-3x_2+6x_3=13</math>. Bestimme zur Ebene E zwei parallele Ebenen, die von E den Abstand 5 haben.  

{{Lösung versteckt|1= Überlege dir, welchen Normalenvektor die Ebenen haben müssen, damit sie parallel zu E sind |2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}  

{{Lösung versteckt|1=
Die gesuchten Ebenen haben den gleichen Normalenvektor wie E.

Ansatz: <math> G:2x_1-3x_2+6x_3=h </math>

<math> P(p_1|p_2|p_3) </math> sei ein Punkt der Ebene G

Es gilt: <math>Abst(P;E)=\frac {|2p_1-3p_2+6p_3-13|}{\sqrt{2^2-3^2+6^2}}=\frac{|2p_1-3p_2+6p_3-13|}{\sqrt{49}}=\frac {|2p_1-3p_2+6p_3-13|}{7}=\frac{|h-13|}{7}</math>.

<math>Abst(P;E)=5 </math> nach Aufgabenstellung. Daher gilt: <math>\frac{h-13}{7}=5 </math> oder <math>\frac{h-13}{7}=-5 </math> 

Stelle nun beide Gleichungen nach h um. 
Es folgt: <math>h_1=48</math> und <math>h_2=-22</math>.

Dies wird nun in die Ebenengleichung von G eingesetzt:

<math> G_1:2x_1-3x_2+6x_3=48 </math>
<math> G_2:2x_1-3x_2+6x_3=-22</math>

<math>G_1</math> und <math>G_2</math> haben nun beide den Abstand 5 zur Ebene E.

|2=Lösungsweg anzeigen|3=Lösungsweg verbergen}} 

{{Lösung versteckt|1=
<math> G_1:2x_1-3x_2+6x_3=48 </math> und 
<math> G_2:2x_1-3x_2+6x_3=-22</math> 
haben beide den Abstand 5 zu E

|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} 

 | 3=Arbeitsmethode}} 


Falls du noch nicht genug hast, kannst du auch versuchen, die Aufgaben vom Lotfußpunktverfahren mit der Hesse´schen Normalenform zu lösen

==Abstand eines Punktes von einer Geraden==

*Verfahren wiederholen (evtl.)
*Merksatz
*Aufgaben 2-3 (Idee: auch mal was begründen/ vermuten/ argumentieren lassen)

'''Wenn es geht, GeoGebra einbauen!!!'''

==Abstand zweier windschiefer Geraden==

*Janne: Verfahen in richtige Reihenfolge bringen
*Janne: Merksatz
*Aufgaben 2 (Idee: auch mal was begründen/vermuten/ argumentieren lassen)

{{Box: |Der Abstand windschiefer Geraden| 
Der Abstand zweier windschiefer Geraden <math>g</math> und <math>h</math> ist die kleinste Entfernung zwischen den Punkten von  <math>g</math> und den Punkten von <math>h</math>. Das gemeinsame Lot 
 |Merksatz}}

<center><ggb_applet id="cset8amu" width="450" height="450" /></center>

'''Wenn es geht, GeoGebra einbauen!!!'''
==Gemischte Aufgaben==

*auf Anfangsaufgabe zurückkommen
*3 Aufgaben

'''Wenn es geht, GeoGebra einbauen!!!'''