Quelltext der Seite Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Geraden im Raum

{{Box|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Geraden im Raum'''. 
Du lernst, Geraden im Raum durch Vektoren zu beschreiben, Parameterdarstellungen und Spurpunkte von Geraden zu bestimmen, die Lage von Geraden im Raum und zueinander zu bestimmen sowie Geradenscharen zu bestimmen.

Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:

* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span>  wiederholen und vertiefen. 
* Aufgaben in  <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind  Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> und
* Aufgaben mit  <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind  <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.

Wir wünschen dir viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Geraden und ihre Darstellungsformen==

===Parameterdarstellung einer Geraden===
{{Box|1=Definition
|2=Jede Gerade lässt sich durch eine Gleichung der Form <math>g: \vec{x} = \vec{OA} + k \cdot \vec{v}, r \in \mathbb{R}</math> beschreiben.
* <math>\vec{x}</math> ist Ortsvektor eines beliebigen Punkts der Geraden <math>g</math> (daher findet man auch die Bezeichnung <math>\vec{OX}</math>).
* Der Vektor <math>\vec{OA}</math> heißt '''Stützvektor'''. Er ist der Ortsvektor zu einem Punkt <math>A</math> (auch Aufpunkt genannt), der auf der Geraden <math>g</math> liegt. 
* Der Vektor <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math> heißt '''Richtungsvekor'''. 
* Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung''' oder '''Parametergleichung''' der Geraden <math>g</math> mit dem '''Parameter''' <math>k</math>. 
|3=Merksatz}}

Wie du nun eine Parametergleichung durch zwei gegebene Punkte, z.B. <math>B</math> und <math>D</math>, aufstellst, wird im folgenden Video erklärt: 
{{#ev:youtube|cCetvDxbTQk}}

{{Box|1= Aufgabe 1: Geradengleichung aufstellen|2=Die Gerade <math>g</math> geht durch die Punkte <math>A</math> und <math>B</math>. Gib zwei Gleichungen für <math>g</math> an. 

'''a)'''<math>A(1|2|2)</math>, <math>B(5|{-}4|7)</math>

'''b)'''<math>A(-3|{-}2|9)</math>, <math>B(0|0|3)</math>

'''c)'''<math>A(7|{-}2|7)</math>, <math>B(1|1|1)</math>

''Anmerkung zu den Lösungen: Wie du wahrscheinlich im obigen Video mitbekommen hast, gibt es unendlich viele Lösungen. Daher sind auch Vielfache der Richtungsvektoren oder andere Stützvektoren, wenn sie auf der Geraden <math>g</math> liegen, möglich.''

{{Lösung versteckt|1=Zwei mögliche Geraden sind <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 22 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -6 \\ 5 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ 7 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 6 \\ -5 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. 
|2=Lösung Aufgabe a) anzeigen|3=Lösung Aufgabe a} verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Zwei mögliche Geraden sind <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 9 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>.
|2=Lösung Aufgabe b) anzeigen|3=Lösung Aufgabe b} verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Zwei mögliche Geraden sind <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ -2 \\ 7 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 3 \\ -6 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 6 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>.
|2=Lösung Aufgabe c) anzeigen|3=Lösung Aufgabe c} verbergen}}



|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}

===Punktprobe===

===Spurpunkte einer Geraden===

===Strecken===

===Graphische Darstellung von Geraden im Raum===

==Lagebeziehungen von Geraden==

{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit der Lagebeziehung von Geraden im Raum.
|3= Merksatz}}

{{Box|1=Definition
|2=Wir unterscheiden die Lage zweier Geraden in ''identisch'', ''parallel'', ''geschnitten'' und ''windschief''. Um die Lage zweier Geraden zu ermitteln, betrachtet man zunächst die Richtungsvektoren. Sind diese zueinander kollinear (sind Vielfache voneinander), so können die Geraden lediglich ''identisch'' oder ''parallel'' sein. 

[[Datei:Identische Geraden.png|links|rahmenlos|Identische Geraden]]

[[Datei:Parallele Geraden.png|mitte|rahmenlos|Parallele Geraden]]

Um nun zu untersuchen, ob die Geraden ''parallel'' oder ''identisch'' sind, setzen wir einen Punkt der einen Geraden in die Geradengleichung der anderen Geraden ein. Liegt der Punkt der einen Geraden auf der anderen Geraden, sind die Geraden ''identisch''. Andernfalls sind die Geraden echt ''parallel''.
|3=Merksatz}}


{{Box|1= Aufgabe 1: Lage erkennen|2=Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander?

a)<math>f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}</math> und <math>f_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> 

b)<math>g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>

c)<math>i_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>i_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>

{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind ''identisch''. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren mit <math> \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} </math> ein Vielfaches voneinander (=kollinear) sind. Da beide Ortsvektoren identisch sind, liegt ein Punkt sind die Geraden ''identisch''.|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''parallel''. Die beiden Geraden sind ''parallel''. Während die beiden Richtungsvektoren kollinear, sogar identisch, sind liegt der Ortsvektor von <math>i_2</math> nicht auf der Geraden von<math> i_1: \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>, mit <math>r=\begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \\ 0.333 \end{pmatrix}</math>.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}

{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind identisch. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren identisch sind (<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>) und der Ortsvektor der einen Gerade auf der anderen Gerade ist: <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. |2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}


{{Box|1=Definition
|2=Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear, so können die Geraden sich lediglich ''schneiden'' oder ''windschief'' zueinander sein.
[[Datei:Geschnittene Geraden.png|links|rahmenlos|Geschnittene Geraden]]

[[Datei:Windschiefe Geraden.png|mitte|rahmenlos|Windschiefe Geraden]]

Um nun zu untersuchen, ob sich die Geraden ''schneiden'' oder zueinader ''winschief'' sind, müssen wir schauen, ob sich ein Schnittpunkt berechnen lässt. Hierzu setzen wir die Geradengleichungen gleich und formen um. Erhalten wir einen Schnittpunkt S, so ''schneiden'' sich die Geraden im Punkt S. Andernfalls sind diese Geraden ''windschief'' zueinander.
|3=Merksatz}}

{{Box|1= Aufgabe 2: Lage erkennen|2=Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander?

a)<math>g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>

b)<math>h_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>

c)<math>i_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>i_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>

{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden ''schneiden'' sich im Punkt .|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden''schneiden'' sich.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}

{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''windschief''. Die beiden Geraden sind ''windschief'' zueinander. Dies sehen wir daran, |2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}

{{Box|1= Aufgabe 3: Lage erkennen|2=Löse das Quiz und mache dir deinen eigenen Lernzettel
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=19038875" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}

{{Box |1= Merksatz |2=<br />
Zwei Geraden...

sind ''identisch''
* Richtungsvektoren '''kollinear''' (= Vielfache voneinander)
* Ortsvektor der einen Geraden liegt auf der anderen Geraden
sind ''parallel''
* Richtungsvektoren '''kollinear''' (= Vielfache voneinander)
* Ortsvektor der einen Geraden liegt '''nicht''' auf der anderen Geraden.
''schneiden'' sich 
* Richtungsvektoren '''nicht''' kollinear (= Vielfache voneinander)
* Bei dem Versuch einen Schnittpunkt zu berechnen, kommt eine '''wahre Aussage''' in Form eines Punktes heraus
sind zueinander ''windschief''
* Richtungsvektoren '''nicht''' kollinear (= Vielfache voneinander)
* Bei dem Versuch einen Schnittpunkt zu berechnen, kommt eine '''falsche Aussage''' heraus

<br /> .
|3= Merksatz}}

{{Box|1= Aufgabe 4: |2=Flugerlaubnis erteilen?

Ein wichtiger Bestandteil der Flugsicherung sind die Fluglotsen der "Deutschen Flugsicherung" (DFS). Sie koordinieren und überwachen jährlich Millionen Flüge im deutschen Luftraum. Am heutigen Tag wollen zwei Flugzeuge starten. Hierzu gehört das Flugzeug der Fluglinie Aer. Es startet bei  <math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und befindet sich nach 5sek auf  <math> \begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix}</math>. Ebenfalls möchte das Flugzeug der Fluglinie Amadeus in die Luft. Dies startet in <math> \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math>. Pro Sekunde legt es eine Strecke von 175,49m zurück und besitzt einen Richtungsvektor von  <math> \begin{pmatrix} 120,2 \\ 96,4 \\ z \end{pmatrix}</math>. 

Es kam zu einem riesigen Stromausfall und der Fluglotse ist sich unsicher. Hilf ihm die Antworten auf folgende Fragen zu finden: 

a) Wie lauten die Geradengleichungen der einzelen Flugzeuge?

b) Wie schnell (in km/h) fliegen die einzelnen Flugzeuge?

c) Können alle Flugzeuge starten, ohne dass es zu einer Kollision kommt?


{{Lösung versteckt|1= Zu Aer: Setze alle gegebenen Daten in eine allgemeine Parameterdarstellung ein und forme um.

Zu Amadeus: Um den Richtungsvektor zu berechnen, benötigst du die Forme zur Berechnung der Länge eines Vektoren:
<math> L=\sqrt[2]{x{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. |2= Tipp zu a|3= Tipp zu a}}

{{Lösung versteckt|1= Geschwindigkeit kann man in verschiedene Einheiten angeben, z.B.: km/h, m/s etc.. Nachdem du die Länge der Strecke nach einer Sekunde berechnet hast, musst du dies von m/s zu km/h umwandeln.|2=Tipp zu b |3=Tipp zu b}}

{{Lösung versteckt|1= Nur weil sich zwei Geraden schneiden heißt es noch nicht direkt, dass eine Kollision vorherrscht.|2=Tipp zu c |3=Tipp zu c}}


{{Lösung versteckt|1=

Flugzeug Aer:
<math>f_3: \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>

Dies erhalten wir, indem wir folgendes berechnen:
<math>\begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 5\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. Dies schreiben wir in ein Gleichugssystem um und formen es zu x,y,z um:

<math>
510=10+5*x  </math>

<math>
410=10+5*y  </math>

<math>
350= 0+5*z  </math>
 
Flugzeug Amadeus:
<math>f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 120,2\\ 96,4 \\ 84\end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> 

Dies erhalten wir wie folgt:
Wir kennen den Richtungsvektor:
<math> \begin{pmatrix} 120,2\\ 96,4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Nun müssen wir z berechnen. Im Text steht, dass das Flugzeug pro Sekunde eine Länge von 175,49m fliegt. Das bedeutet, dass der Richtungsvektor eine Länge von 175,49 beträgt. Dies können wir mit der Formel der Länge eines Vektor berechnen:


<math> 175,49=\sqrt[2]{120,2^{2}+96,4^{2}+z^{2}}</math>


Indem wir beide Seiten zum Quadart nehemn, entfällt die Wurzel und es folgt:


<math> 175,49^{2}=120,2^{2}+96,4^{2}+z^{2}</math>


Wir formen zu <math>z^{2}</math> um und ziehen dann die Wurzel. Wir erhalten 83,998 und runden auf 84.
Wobei t für die Zeit in Sekunden steht.

|2=Lösung Aufgabe a|3=Lösung Aufgabe a}}

{{Lösung versteckt|1=
Wir berechnen die Geschwindigkeit, indem wir die Länge des Richtungsvektors berechnen. Dies erfolgt mit der Formel:<math> L=\sqrt[2]{x{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. 

Fugzeug Aer:
<math> L=\sqrt[2]{100{2}+80^{2}+70^{2}}</math>. 

<math> L=145,95}</math>. 

Wir erhalten also eine Geschwindigkeit von 145,95 m/s. Es gilt: 3,6km/h=1m/s. 
Umgerechnet in km/h sind das also:

<math>145,95*3,6= 525,42</math>
525,42km/h.

Flugzeug Amadeus:
Das Flugzeug Amadeus legt laut Text nach einer Sekunde eine Strecke von 175,49m zurück. Damit hat es eine Geschwindigkeit von 175,49m/s.Umgerechnet in km/h sind das also:

<math>175,49*3,6= 631,76</math>
631,76km/h.

|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}

{{Lösung versteckt|1=
Flugzeug Aer und Amadeus: 
Sie schneiden sich für
<math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 30 \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 25 \cdot \begin{pmatrix} 120,2\\ 96,4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Dies erhalten wir, indem wir beide Funktionen gleichsetzen und in ein Gleichungssystem umformen:


<math>
10+t*100=5+s*120,2  </math>

<math>
10+t*80=10+s*96,4  </math>

<math>
0+t*70=0+s*84  </math>

 Da es jedoch nicht der gleiche Zeitpunkt ist, kommt es zu keiner Kollision.


|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}

|Farbe={{Farbe|grün}}|3= Hervorhebung1}}

==Geraden und ihre Anwendungen==