Quelltext der Seite Digitale Werkzeuge in der Schule/Ableitungen üben und vertiefen/Die Ableitung im Sachkontext anwenden


{{Merke|Die Aufgaben auf dieser Seite unterscheiden sich in ihrem Lernschwerpunkt und Schwierigkeitsgard: 
:* Für einen leichten Einstieg in die Sachkontexte befasse dich zunächst mit Aufgabe 1
:* Falls du noch Probleme bei dem allgemeine Zuordnen der Ableitungsbegriffe zu den Anwendungskontexten hast konzentriere dich auf Aufgabe 2 & 3
:* Komplexere Aufgaben befinden sich bei den Aufgaben 4 bis 7, wobei diese sich mit der Nummer in ihrer Schwierigkeit steigern. Solltest du schon sehr sicher mit den Aufgaben sein, gehe direkt zu Aufgabe 7 }}<br />

==Aufgabe 1: Fahrtenschreiber==
{{Aufgaben|1=1|2= Herr Müller arbeitet als Testfahrer bei einem Autohersteller. Seit zwei Tagen fährt und testet er einen neuen spritsparenden Prototypen.<br />
Um genaue Informationen über die Fahrten zu erhalten, wurde ein Fahrtenschreiber in das Auto eingebaut.
Heute morgen hat Herr Müller<br />
ärgerlicherweise verschlafen und fährt eilig los, um pünktlich mit seiner Arbeit beginnen zu können.<br /><br />
'''Ausdruck des Fahrtenschreibers'''
[[Datei:Fahrtenschreiber Herr Müller.PNG|links||500px|Graph]]<br />}}
<br />
<br /><span style="color:blue"> a) </span> Wie schnell ist Herr Müller auf seinem Weg zur Arbeit im Durchschnitt gefahren?<br />
Hier kannst du deine Lösung eintragen und schauen ob sie richtig ist. Gib die Lösung mit einer Nachkommastelle an! <br />
Bei Problemen, klicke auf die Glühbirne oben links.
{{LearningApp|app=p7gsjvdqn17|width=100%|height=150px}}
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Merkkasten.png|links|Merkkasten Differenzenquotient]] |2=Was genau ist der Differenzenquotient|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=24,5 km/h|2=Lösung|3=schließen}}
<br />
<br />
<span style="color:blue"> b) </span> Auf seinem Weg musst Herr Müller vor einer roten Ampel warten. Wann war das?<br />
Hier kannst du deine Lösung eintragen und schauen ob sie richtig ist. 
{{LearningApp|app=p942xjwtc17|width=100%|height=150px}}
{{Lösung versteckt|1=Er steht von Minute 5 bis 7 vor der Ampel und die Steigung des Graphen ist in dieser Zeit 0. |2=Lösung|3=schließen}}
<br />

<br />
<span style="color:blue"> c) </span> Beschreibe den Fahrtverlauf der ersten 12 Minuten stichpunktartig.
{{Lösung versteckt|1=Schau dir den Graphen Stück für Stück an. Wie ist die Steigung (positiv, negativ, null) und was bedeutet dies im Sachzusammenhang?{{Lösung versteckt|1=Eine positive Steigeung bedeutet, dass Herr Müller mit seinem Auto fährt. Ist die Steigung stark, so fährt er eine lange Strecke in kurzer Zeit, d.h. er fährt schnell. <br />
Ist die Steigung schwach, fährt er langsam. <br />
Ist die Steigung Null (siehe Aufgabe b)) steht das Auto. <br />
Eine negative Steigung macht in diesem Zusammenhang nicht so viel Sinn, da ein Fahrtenschreiber, selbst wenn Herr Müller nach Hause zurück fahren würde, aufschreibt, dass das Auto vorwärts fährt. |2=genauere Hilfestellung|3=schließen}}|2=Hilfestellung|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=:* Minute 0-2: Steigung ist relativ schwach. → Herr Müller fährt langsam <br />
:* Mintuen 3-5: etwas stärkere Steigung → Herr Mülelr fährt schneller <br />
:* Minute 5-7: Steigung ist Null → Herr Müller steht mit seinem Auto (vor einer Ampel)<br />
:* Minute 7-12: Steigung nimmt zu → Herr Müller wird immer schneller|2=Lösung|3=schließen}}

<br />
<br />

==Aufgabe 2: Ballwurf==
{{Aufgaben|1=2|2= Bei den Bundesjugendspielen der Klasse 9 wirft Lisa einen Ball. Die Flugkurve ihres Balls kann näherungsweise durch die Funktion <math>f(x)=-0,02x^2+1,2x+2,08</math> beschrieben werden.}}
<span style="color:blue"> a) </span> Den Flug des Balls kannst du unter folgendem Link genauer betrachten. Lass hierzu den roten Ball fliegen, indem du bei dem roten Ball auf play drücken. Die anderen Punkte solltest du nicht bewegen! 

<ggb_applet id="zmh6kw9b" width="910" height="408" />



<span style="color:blue"> b) </span>  Bestimme die Steigung des Balls an den verschiedenen Punkten der Flugkurve. 
{{LearningApp|app=pvda4vyqn17|width=100%|height=170px}}
{{Lösung versteckt|1=bei A= 0,8; bei B=0; bei C=-0,8 |2=Lösung|3=schließen}}

<br />

<span style="color:blue"> c) </span> Ordne die <span style="color:red"> mathematischen Begriffe </span> und <span style="color:green"> Interpretationen </span> den Markierungen auf dem Graphen zu. 

Die <span style="color:yellow"> gelbe  </span> Markierung soll einen Bereich statt einen Punkt kennzeichnen. 



Für die Zuordnung musst die verschiedenen Markierungen anklicken und anschließend eine der vorgeschlagenen Möglichkeiten auswählen.

{{LearningApp|app=p2nv88km317|width=100%|height=500px}}
{{Lösung versteckt|1=grüne Markierung bei x=0 --> Standpunkt des Werfers

rote Markierung bei x=0 --> Y-Achsenabschnitt

erste gelbe Markierung --> Bereich mit positiver Steigung (bis zum Hochpunkt steigt der Graph)

grüne Markierung in der Mitte --> Punkt an dem der Ball weder steigt noch fällt (Im Hochpunkt ist die erste Ableitung gleich null somit ist auch die Steigung gleich null)

rote Markierung bei (30/20) --> Hochpunkt 

rote Markierung bei (30/0) --> X-Wert des Hochpunktes

zweite gelbe Markierung --> Bereich mit negativer Steigung (nach Erreichen des Hochpunktes fällt der Graph wieder)

grüne Markierung bei x=61,7 --> Der Ball berührt den Boden 

rote Markierung bei x=61,7 --> Nullstelle|2=Lösung|3=schließen}}

<br />
<span style="color:blue"> d) </span> Fülle die Lücken, indem du die Aufgabe im Sachzusammenhang interpretieren.  
{{LearningApp|app=pt8k3bz3c17|width=100%|height=400px}}
{{Lösung versteckt|1=ine negative Steigung bedeutet, der Ball verliert an Höhe; 

eine positive Steigung bedeutet, dass der Ball an Höhe gewinnt ; 

Der Ball wird aus einer Höhe von 2,08m geworfen, dies kann man am Y-Achsenabschnitt ablesen. 

Das Intervall geht von 0 bis 61,7. Denn Lisa wirft am Punkt x=0 und der Ball trifft nach 61,7m auf den Boden (diesen Wert erhälst du, indem du die Nullstellen berechnest.|2=Lösung|3=schließen}}


==Aufgabe 3: Zuordnungen==
{{Aufgaben|1=3|2= Ordne den Abbildungen oder Formeln die zugehörige Interpretation zu}} 
{{LearningApp|app=pmsv0igp517|width=100%|height=500px}}

<br />
<br />
==Aufgabe 4: Baumwachstum==
{{Aufgaben|1=4|2=Befasse dich mit der folgenden Anwendungsaufgabe. Nimm dazu dein Heft für die Rechnungen zur Hilfe
<br />Durch die Funktion f mit <math>f(t)=-0,0027*t^2+0,108*t+0,02</math> wird das Wachstum einer Fichte in Abhängigkeit von der Zeit t (in Jahren) beschrieben. Dabei gibt f(t) die Wachstumsgeschwindigkeit in Metern pro Jahr an. Zum Zeitpunkt t=0 hat eine frisch eingepflanzte Fichte eine Höhe von ca. 20 cm.}}<br />
<span style="color:blue"> a) </span> Berechne den Funktionswert von f an der Stelle t=30 und interpretiere das Ergebnis im Sachzusammenhang.
{{Lösung versteckt|1=f(30)=0,83 Die Fichte wächst im 30. Jahr 83cm.|2=Lösung|3=schließen}}
<br />

<span style="color:blue"> b) </span> Bestimme rechnerisch das Alter, in dem die Fichte am stärksten wächst, und gib die größte Wachstumsgeschwindigkeit an.
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir an welche besonderen Punkte man bei einem Funktion berechnen kann. Welcher dieser Punkte ist für die Aufgabe relevant? {{Lösung versteckt|1= Extrempunkt (Hochpunkt)<br />
Ansatz: notwendige Bedingung h'(t)=0 und h"(t)<0 |2=weitere Hilfestellung|3=schließen}}|2=Hilfestellung|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Der Hochpunkt liegt bei t=20 und die Wachstumsgeschwindigkeit beträgt 1,1 Meter/Jahr.|2=Lösung|3=schließen}}

<br />
<br />
==Aufgabe 5: Wasserstand==
{{Aufgaben|1=5|2=Befasse dich mit der folgenden Anwendungsaufgabe. Nimm dazu dein Heft für die Rechnungen zur Hilfe
<br /> [[Datei:Cologne-1078671 1920.jpg|rechts|rahmenlos|Rhein]]
<br /> In Nordrhein-Westfalen sind Hochwasser nichts Unbekanntes. Vorallem zwischen 1993 und 1995 gab es einige Rheinüberschwemmungen. In den ersten Tagen in 1995 ließen anhaltende Regenfälle und die beginnende Schneeschmelze den Rhein auf Rekordhöhe steigen. 
Bei dem Hochwasser wurde an einer Messstation zwölf Stunden lang der Wasserstand aufgezeichnet. Für 0 ≤ t ≤ 12, d.h. für den Beobachtungszeitraum von zwölf Stunden, stellt der Graph der Funktion h modellhaft die Höhe des Wasserstandes an dieser Messstation dar.
<br /> [[Datei:Hochwasser neu.png|links|Graph der Funktion h]]
<br /> '''Hinweis:'''<br /> 
* <math>h(t) = -0,0025t^3+0,04t^2+9,17 </math> <br /> 
* t    = Zeit in Stunden seit dem Beobachtungsbeginn (27.01.1995 um 0:00) <br /> 
* h(t) = Wasserstand in Metern }}

<span style="color:blue"> a) </span> Berechne die Höhe des Wasserstandes um 7:30 Uhr. 
{{Lösung versteckt|1=Setze für t 7,5 in die Funktion ein (=h(75)).|2=Hilfestellung|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Rechnung: <math>h(7,5)=-0,0025*7,5^3+0,04*7,5^2+9,170</math> =...≈ <math> 10,37(m) </math><br />
Der Wasserstand liegt um 7:30 Uhr bei etwa 10,37 m.|2=Lösung|3=schließen}}
<br />

<span style="color:blue"> b) </span> Berechne die Geschwindigkeit, mit der der Wasserstand in den ersten acht Stunden des Beobachtungszeitraumes durchschnittlich anstieg.
{{Lösung versteckt|1=Nutze den Differenzenquotienten.|2=Hilfestellung|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Rechnung: <math> \frac{h(8)-h(0)}{8-0} = \frac{10,45-9,17}8 = 0,16 </math>. Die Geschwindigkeit in den ersten achten Stunden betrug durchschnittlich 0,16 m/h. |2=Lösung|3=schließen}}
<br />

<span style="color:blue"> c) </span> Ermittle den Zeitpunkt,an dem der höchste Wasserstand an der Messtation erreicht wurde. Bereche auch den exakten Höchststand.
{{Lösung versteckt|1=Berechne den Extrempunkt (Hochpunkt).{{Lösung versteckt|1=Nutze den Ansatz: hinreichende Bedingung h'(t)=0 und h"(t)<0|2=genauere Hilfestellung|3=schließen}}|2=Hilfestellung|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Die Extremstelle liegt bei  <math> t= \frac{32}3 </math> ≈ 10,67 (und t=0, entfällt, da h"(0)>0 und somit wäre es ein Tiefpunkt. (Dieser ist jedoch nicht gesucht.) Der Hochpunkt lautet H(32/3 | 5771/540). Der Wasserstand liegt bei etwa 10,69 m um etwa 10:40 Uhr.|2=Lösungen|3=schließen}}
<br />
<span style="color:blue"> d) </span> Bestimme rechnerisch den Zeitpunkt, zu dem der Wasserstand am schnellsten anstieg, rechnerisch. 
{{Lösung versteckt|1=Berechne die Wendestelle (Extremstelle der 1. Ableitung){{Lösung versteckt|1=Nutze den Ansatz: hinreichende Bedingung h"(t)=0 und h'"(t)≠0 |2=enauere Hilfestellung|3=schließen}}|2=Hilfestellung|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Die Wendestelle liegt bei <math> t= \frac{16}3</math>. Daraus folgt, dass der Wasserstand nach 5 Stunden und 20 Minuten am schnellsten anstieg.|2=Lösungen|3=schließen}}

<br />
<br />

==Aufgabe 6: Nutzungsverhalten==
{{Aufgaben|1=6|2= In den letzten 24 Stunden hat eine Internetseite erfasst, wie viele Besucher die Seite hatte. Die Abbildung zeigt das Nutzungsverhalten von 6 bis 20 Uhr<br />
Durch die Funktion <math>f(t)=-t^3+30*t^2-225*t+520 </math> für 6 ≤ t ≤ 20 wird das Nutzungsverhalten von 6 bis 20 Uhr dargestellt. <br /><br />
<br />

'''Nutzungsverhalten der Internetseite'''
[[Datei:Internetseitenbesucher.png|links||500px|Internetseitenbesucher]]<br />}}
<br />
<span style="color:blue"> a) </span> Wie viele Besucher hatte die Internetseite um 10 Uhr?<br />
Hier kannst du deine Lösung eintragen und schauen ob sie richtig ist. Gib die Lösung mit einer Nachkommastelle an! <br />
Bei Problemen, klicke auf die Glühbirne oben links.
{{LearningApp|app=pd98izukc17|width=100%|height=150px}}
{{Lösung versteckt|1=Es sind 270 Besucher |2=Lösung|3=schließen}}
<br />
<br />

<span style="color:blue"> b) </span> Wie viele Nutzer sind von 8 bis 10 Uhr im Durchschnitt pro Stunde dazu gekommen?<br />
<br />
Hier kannst du deine Lösung eintragen und schauen ob sie richtig ist.<br />
Bei Problemen, klicke auf die Glühbirne oben links.<br />
{{LearningApp|app=psj8f3kaa17|width=100%|height=150px}}
{{Lösung versteckt|1=Es sind 206 Nutzer pro Stunde|2=Lösung|3=schließen}}
<br />
<br />
<span style="color:blue"> c) </span> Zu welchem Zeitpunkt hat sich die Bescuherzahl durchschnittlich am stärksten geändert?<br />
<br />
Hier kannst du deine Lösung eintragen und schauen ob sie richtig ist. Gib die Lösung mit einer Nachkommastelle an! <br />
Bei Problemen, klicke auf die Glühbirne oben links.<br />
{{LearningApp|app=py1jeux5317|width=100%|height=150px}}
{{Lösung versteckt|1=Die Stelle an der ein Graph die stärkste Änderung (der Steigung) hat, heißt Wendestelle.<br />
Um eine Wendestelle zu berechnen müssen folgende zwei Bedingungen erfüllt sein:<br />
notwendige Bedingun: f´´(t) = 0<br />
hinreichende Bedingung: f´´´(t) ≠ 0 |2=genauere Hilfe|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Bei t=10 |2=Lösung|3=schließen}}
<br />
<br />
<span style="color:blue"> d) </span> Zu welcher Uhrzeit haben die meisten Besucher die Internetseite besucht?<br />
<br />
Hier kannst du deine Lösung eintragen und schauen ob sie richtig ist. Gib die Lösung mit einer Nachkommastelle an! <br />
Bei Problemen, klicke auf die Glühbirne oben links.<br />
{{LearningApp|app=phg3bcf0j17|width=100%|height=150px}}
{{Lösung versteckt|1=Bei t = 15 |2=Lösung|3=schließen}}
<br />
<br />
==Aufgabe 7: Konzertkarten==
{{Aufgaben|1=7|2=Befasse dich mit der folgenden Anwendungsaufgabe. Nimm dazu dein Heft für die Rechnungen zur Hilfe
<br />Eine Ticketagentur verkauft Karten für ein sehr begehrtes Konzert. Schon eine Stunde nach Freischaltung sind die Karten fast ausverkauft. Die Funktion f mit <math>f(t)=0,05*t^3-3*t^2+45,2*t</math> beschreibt näherungsweise die Anzahl der Karten, die pro Minute zu einer bestimmten Zeit verkauft werden für die ersten dreißig Minuten des Verkaufs t=0 steht für den Zeitpunkt der Freischaltung der Hotline.}}<br />
<span style="color:blue"> a) </span> Zu welchem Zeitpunkt werden die meisten Karten pro Minute verkauft?
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir welche besonderen Punkte du bei einer Funktion berechnen kannst. Welcher dieser Punkte ist für die Aufgabe relevant?{{Lösung versteckt|1=Extrempunkt (Hochpunkt)<br />
Ansatz: hinreichende Bedingung h'(t)=0 und h"(t)<0|2=weitere Hilfestellung|3=schließen}}|2=Hilfestellung|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Der Hochpunkt liegt bei t=29,933|2=Lösung|3=schließen}}
<br />
<span style="color:blue"> b) </span> Wann im Verlauf der ersten Stunde nimmt die Anzahl der verkauften Karten am schnellsten ab?
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir welche besonderen Punkte du bei einer Funktion berechnen kannst. Welcher dieser Punkte ist für die Aufgabe relevant? {{Lösung versteckt|1=Wendestelle (Extremstelle der 1. Ableitung)<br />
Ansatz: hinreichende Bedingung h"(t)=0 und h'"(t)≠0 |2=weitere Hilfestellung|3=schließen}}|2=Hilfestellung|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Der Wendepunkt liegt bei t=20.|2=Lösung|3=schließen}}


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'''Wenn du alle Aufgaben richtig beantwortet hast:'''
*Suche dir aus den in den folgenden Abschnitten genannten Themen eines (oder mehrere) aus. Zu jedem Thema gibt es neben Förder- auch Forderaufgaben, mit denen du dich beschäftigen kannst.


'''Wenn du einen oder auch mehrere Fehler gemacht hast:'''
*bei den Aufgaben 1 - 3, gehe zu: [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Von der mittleren zur momentanen (lokalen) Änderungsrate|Von der mittleren zur momentanen (lokalen) Änderungsrate]] 
*bei den Aufgaben 4 - 6, gehe zu: [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Die Steigung in einem Punkt - die Ableitung als Tangentensteigung|Die Steigung in einem Punkt - die Ableitung als Tangentensteigung]] 
*bei den Aufgaben 7 - 9, gehe zu: [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Differenzen- und Differentialquotienten verstehen und inhaltlich deuten|Differenzen- und Differenzialquotienten verstehen und inhaltlich deuten]] 
*bei den Aufgaben 10 - 12, gehe zu: [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Graphisches Ableiten - Die Ableitung als Funktionsdetektor|Graphisches Ableiten - Die Ableitung als Funktionsdetektor]] 
*bei den Aufgaben 13 - 15, gehe zu: [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Die Ableitung im Sachkontext anwenden|Die Ableitung im Sachkontext anwenden]]

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|Wie geht es weiter?|schließen}}



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