Quelltext der Seite Digitale Werkzeuge in der Schule/Ableitungen üben und vertiefen/Die Steigung in einem Punkt - die Ableitung als Tangentensteigung

'''Inhaltsübersicht'''
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''a) Unterscheidung Tangente, Sekante und Normale - Aufgabe 1'' <br/>
''b) Zuordnungsaufgaben bezüglich der Tangentensteigung - Aufgabe 2, 3, 4 und 5 ''<br/>
''c) Untersuchung einer Funktion - Aufgabe 6, 7, 8 und 9''<br/>




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===Aufgabe 1: Kannst du die Begriffe unterscheiden?=== 

''a) Unterscheidung Tangente, Sekante und Normale''

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<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p1s1zd2av17" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

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''b) Zuordnungsaufgaben bezüglich der Tangentensteigung''

===Aufgabe 2: Ordne die jeweilige Steigung den entsprechenden Punkten zu=== 
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p84w33c8a17" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>


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===Aufgabe 3: Die Steigung der Tangente in einem x-Wert=== 
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pf4ayrb5j17" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

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===Aufgabe 4: Wahr oder Falsch?===
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=psc1spdk517" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

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===Aufgabe 5: Memory. Wie fit bist du beim Behalten von Graphen und einer Steigung in einem Punkt?===
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pc4i8dmsj17" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

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''c) Untersuchung einer Funktion''
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===Aufgabe 6: Steigung und Koordinaten ablesen===
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=piymfh66317" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

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===Aufgabe 7: Raupenfahrt ===
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pab2g1ytv17" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
<popup name="Lösung"> Die Steigfähigkeit der Raupe liegt mit 76% über der Steigung von 75%. </popup>


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===Aufgabe 8: Muss es in jedem Punkt einer Funktion eine Tangente geben?!===

Klicke gleich auf den nebenstehenden Link, um Geogebra zu öffnen. [[https://www.geogebra.org/graphing Geogebra]] <br/>
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Gebe folgende Funktion ein: 
f(x) = <math>\sqrt{1-x^2}</math>
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Du siehst dann einen Halbkreis. Überlege kurz, warum die Funktion nur im Intervall von [-1,1] definiert ist. 

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a) An welchen Punkten kannst du eine Tangente anlegen? 
An welchen Punkten ergibt es keinen Sinn eine Tangente anzulegen und warum? 
<popup name="Tipp zu a)">Benutze die h-Methode für einen Punkt, an dem eine Tangente nicht möglich ist. 
Benutze den Differentialquotienten.  </popup>
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b) Welche Schlussfolgerung kannst du ziehen, wenn an einer Funktion bereits an einer Stelle keine Tangente angelegt werden kann?


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<popup name="Lösung a)"> An fast allen Punkten im Intevall [-1,1] können Tangenten angelegt werden.
Die Ausnahmen bilden die Punkte P(-1|0) und Q(1|0). Wir wollen euch dies im Punkt Q einmal exemplarisch zeigen. 
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:::[[Datei:H-Methode.jpg|rahmenlos|500px|Fläche 1]]

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Ihr seht, dass der für h gegen 0 der Zähler gegen 2 und der Nenner gegen 0 geht. 
Es existiert kein fester Grenzwert, da es gegen unendlich läuft. 
 </popup>


<popup name="Lösung b)"> Wenn eine Funktion, wie hier in diesem Beispiel, bereits in einem Punkt keine Tangente ausweisen kann, ist sie nicht differenzierbar. <br/>
Eine Tangente repräsentiert eine lineare Funktion. Die Steigung einer linearen Funktion muss eine reelle Zahl sein, ansonsten ist die lineare Funkion nicht definiert. 
 </popup>




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=== Aufgabe 9: Kann es in einem Punkt einer Funktion zwei oder mehr Tangenten geben?!===

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Klicke gleich auf den nebenstehenden Link. [[https://www.geogebra.org/graphing Geogebra]] <br/>

Verbinde mit Hilfe einer Strecke die Punkte (0|0), (6|6); (6|6), (16|6). <br/>

a) Welche Tangente(n) würdest du im Punkt P(6|6) einzeichnen? <br/>
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b) Zeichne zu den jeweiligen Intervallen ([0;6] und [6;16]) die Steigung ein. 
Wie verläuft die Steigung und was passiert im Punkt  P(6|6)? 

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<popup name="Lösung a)"> 

Im Punkt P(6|6) gibt es keine eindeutige Tangente. Je nachdem ob man die Steigung von links oder von rechts betrachte, erhält man eine andere, wie im Graph zu sehen ist. 
:::[[Datei:Zwei Tangenten.png|rahmenlos|500px|Fläche 1]]

 </popup>


<popup name="Lösung b)"> 
Die Steigung verläuft im Intervall [0;6] und [6;16] linear. Jedoch gibt es 
im Punkt P(6|6) einen Sprung. Hier ist die neue Funktion also nicht zusammenhängend (Sprungstelle) und daher auch nicht differenzierbar. 

:::[[Datei:Lösung2.png|rahmenlos|500px|Fläche 1]]

 </popup>



[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]