Buss-Haskert/Lineare Gleichungssysteme/Modellieren

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5) Modellieren mit linearen Gleichungssystemen

Anwendungsaufgaben lassen sich schrittweise lösen mithilfe eines Modells. Dabei wird die reale Situation (Sachsituation) in ein vereinfachtes mathematisches Modell übersetzt. Nun können wir diese Rechnung lösen. Die mathematische Lösung wird dann auf die Realität bezogen und die Ergebnisse werden zur Bewertung der Situation genutzt.

Der nachfolgende Kreislauf veranschaulicht dies:

Modellieren.png

Beispielaufgabe Klassenfahrt
Die Jahrgangsstufe 9 fährt mit insgesamt 110 Schülerinnen und Schülern auf Klassenfahrt. In der Jugendherberge gibt es insgesamt 28 Zimmer. Die Mädchen erhalten die Dreibettzimmer, die Jungen die Fünfbettzimmer.
Pfeil Realität.png

1. Realität: 110 Schülerinnen und Schüler insgesamt, verteilen auf 28 Zimmer, wobei es Dreibett- und Fünfbettzimmer gibt.


Pfeil Mathematik.png

2. Mathematik: Lege die Bedeutung der Variablen fest und stelle ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen auf.Bedeutung der Variablen:

x = Anzahl der Dreibettzimmer, y = Anzahl der Fünfbettzimmer
lineare Gleichungen:
        I. x + y = 28
        II. 3x + 5y = 110

Pfeil Rechnen.png

3. Rechnen: Löse dieses Gleichungssystem mit einem geeigneten Verfahren.Lösen mit dem Gleichsetzungsverfahren:

I. x + y = 28            |-x
II. 3x + 5y = 110    |-3x
I. y = -x + 28           |∙5
II. 5y = -3x + 110
I. 5y = -5x + 140
II. 5y = -3x + 110
I. = II.
-5x + 140 = -3x + 110   |+3x
-2x + 140 = 110             |-140
            -2x = -30             |:(-2)
               x = 15

Bestimme nun y, indem du x = 15 in I. (oder II.) einsetzt:
I. 15 + y = 28   |-15
            y = 13

Probe:
x = 15 und y = 13 in I. und II. einsetzen:
I. 15 + 13 = 28      II. 3∙15 + 5∙13 = 110
           28 = 28 (w)             110 = 110 (w)


Pfeil Lösung.png

4. Lösung:

Es gibt 15 Dreibettzimmer und 13 Fünfbettzimmer in der Jugendherberge.



Modellieren
Anwendungsaufgaben kannst du schrittweise mit 4 Schritten lösen:
1. Vereinfache die Situation und überlege, wie die Mathematik dir helfen kann.
2. Gib die Bedeutung der Variablen an und stelle zwei lineare Gleichungen mit zwei Variablen auf, du erhältst ein lineares Gleichungssystem.
3. Löse das LGS (zeichnerisch oder rechnerisch).
4. Beziehe die mathematische Lösung auf die Realität.



Übung 1: Gleichungen aufstellen
Stelle in den LearningApps die Gleichungen passend zur Situation auf. Löse dann jeweils das LGS im Heft



Übung 2: Geometrische Anwendung

2.1) Löse Buch S. 18 Nr. 16.
2.2) Löse Buch S. 25 Nr. 5.

Zeichne zunächst immer eine Skizze und beschrifte diese sinnvoll. Gib die Bedeutung der Variablen an und stelle ein lineares Gleichungssystem auf (I und II).Löse dies dann mit einem geeigneten Verfahren.
Bezeichnungen Dreiecke.png
"Der Umfang...": Laufe drUM herUM .
Bedeutung der Variablen: Es gibt die Basis und die Schenkel des Dreiecks. Also könntest du x=Länge der Basis und y=Länge eines Schenkels festlegen.

x=Länge der Basis; y=Länge eines Schenkels
I. x+2y = 35 "Der Umfang beträgt 35cm. (Laufe um das Dreieck herum.)"

I. 2x = y "Die Basis ist halb so lang wie eine Schenkel" (leichter als x= y , das geht auch, dann hast du aber Brüche.
Quadratische Säule.png
Zeichne als Skizze wieder ein Dreieck und beschrifte die Seiten mit a, b und 10 cm.
Skizze zu S. 25 Nr. 5a.png

I.a + b = 12 ("zusammen sind sie 12 cm lang")
II. b = a + 5 ("eine davon ist 5 cm länger als die andere")

Löse z.B. mit dem Einsetzungsverfahren.
Zeichne als Skizze wieder ein Dreieck und beschrifte die Seiten mit a, b und 7 cm. Erinnerung: Umfang ist "drum herum".
Skizze zu S. 25 Nr. 5b.png

I.7 + a + b = 18 ("Der Umfang beträgt 18 cm")
II. b = a + 1 ("Die Seitenlängen unterscheiden sich um 1")

Löse z.B. mit dem Einsetzungsverfahren


Übung 3: Sachsituationen
Löse Buch S. 18 Nr. 17. Gib die Bedeutung der Variablen an und stelle ein lineares Gleichungssystem auf (I und II). Löse dies dann mit dem Gleichsetzungsverfahren.
Lege die Bedeutung der Variablen fest:
x=Anzahl der Dreiergruppen ; y=Anzahl der Vierergruppen
Eine Dreiergruppe mit Mädchen bedeutet dann insgesamt 3∙x Mädchen und eine Vierergruppe mit Jungen entsprechend 4∙y Jungen.
Lege die Bedeutung der Variablen fest:
x=Anzahl der Dreierbettzimmer; y=Anzahl der Fünfbettzimmer
Ein Dreibettzimmer fasst 3∙x Personen und ein Fünfbettzimmer entsprechend 5∙y.


Übung 4: Sachsituationen
Löse Buch S. 20 Nr. 8 und 9(schwer!)

Bedeutung der Variablen: x=Preis pro Erwachsener; y=Preis pro Kind
I. 2x + 2y = 28
II. x + 3y = 22

Löse mit dem Additionsverfahren. Multipliziere dazu z.B. die Gleichung II. mit (-2).

Bedeutung der Variablen: x=Geschwindigkeit des Bootes in km/h; y=Fließgeschwindigkeit des Flusses in km/h
I. 2x + 2y = 48 (Das Boot fährt in 2 Stunden mit der Geschwindigkeit des Bootes und des Flusses 48 km)
II. 3x - 3y = 48 (Das Boot fährt in 3 Stunden mit der Geschwindigkeit des Bootes verringert um die Geschwindigkeit des Flusses, da der Fluss ja nun stromaufwärts gefahren wird.)

Löse mit dem Additionsverfahren. Multipliziere dazu z.B. die Gleichung I. mit 3 und die Gleichung II. mit 2.

Bedeutung der Variablen: x=Geschwindigkeit des Radfahrers in km/h; y=Geschwindigkeit des Autos in km/h
I. 3x - 12 = x (Der Radfahrer fährt 3 Stunden, das Auto 1 Stunde und der Weg des Radfahrers beträgt 12 km mehr als der des Autos)
II. 4x + 20 = 2x (Der Radfahrer fährt 4 Stunden lang, das Auto 2 Stunden. Der Weg des Radfahrers ist 20 km weniger als der des Autos.)

Löse mit dem Additionsverfahren. Multipliziere dazu z.B. die Gleichung I. mit (-2)


Übung 5: Angebote vergleichen
Löse Buch S.22 Nr. 1, 2 und 3. (Erinnere dich an den Break-Even-Point.)

Realität Die Kosten setzen sich zusammen aus den Anschaffungskosten und den Kosten für die Druckerpatronen (pro 1000 Blatt).
2. Mathematik: Die Variablen haben also die Bedeutung x=Anzahl der ausgedruckten Seiten (in Tausend) und y=Kosten insgesamt.

3. Rechnen: Löse das Gleichungssystem zeichnerisch.
S. 22 Nr. 1 Zeichnung.png