Buss-Haskert/Lineare Gleichungssysteme/Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen

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4) Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen

Nachteile des zeichnerischen Lösungsverfahrens
Die zeichnerische Lösung von linearen Gleichungssystemen hat Nachteile. Welche fallen dir ein? Notiere mindestens zwei Nachteile.
Nachteile des zeichnerischen Lösungsverfahrens sind
- Die Zeichnungen der Geraden können ungenau sein.
- Der Schnittpunkt kann ungenau abgelesen werden, wenn er nicht keine ganzzahligen Koordinaten hat.
- Die Skala muss teil sehr groß gewählt werden, daher können die Koordinaten des Schnittpunktes nur ungenau abgelesen werden.

Daher wirst du nun verschiedene rechnerische Verfahren kennen lernen!

4.1) Das Gleichsetzungsverfahren

Einstieg: Hasen und Hühner
Hasen und Hühner.png
In einem Stall leben Hasen und Hühner.
Insgesamt gibt es 10 Tiere mit 28 Beinen. Wie kannst du die Anzahl der Hasen und die der Hühner rechnerisch ermitteln? Sammle Ideen.
Lege zuerst die Bedeutung der Variablen fest.
x=Anzahl der Hasen; y=Anzahl der Hühner
Nun kannst du zwei Gleichungen aufstellen: Eine Gleichung für die Anzahl der Tiere und die andere Gleichung für die Anzahl der Beine, wobei jeder Hase ja vier Beine hat und jedes Huhn zwei.


Wenn wir die Bedeutung der Variablen mit x=Anzahl der Hasen und y=Anzahl der Hühner festlegen, ergeben sich die folgenden Gleichungen:
I.  x + y = 10
II. 4x + 2y = 28
Formen wir nun beide Gleichungen nach y um ergibt sich:
I. y = -x + 10
II. y = -2x + 14
Nun haben wir eine Darstellung, bei der links in beiden Gleichungen y isoliert steht.
Einmal soll y=-x+10 sein und außerdem y=-2x+14. Die zugehörigen Terme auf der rechten Seite haben also auch den gleichen Wert und deshalb können wir sie gleichsetzen:
-x + 10 = -2x + 14
Diese neue Gleichung hat nur noch eine Variable, nämlich x, und wir können die Gleichung nach x auflösen.
-x + 10 = -2x + 14   |+2x
  x + 10 = 14            |-10
           x = 4
Da x für die Anzahl der Hasen steht, gibt es also 4 Hasen. Um die Anzahl der Hühner herauszufinden, setzen wir in eine der beiden Gleichungen für x die Zahl 4 ein und lösen diese dann nach y auf:
x=4 in I.: 4 + y = 10   |-4
                      y = 6
Also gibt es 6 Hühner im Stall und 4 Hasen.

Wir können unsere Lösung prüfen, indem wir x=4 und y=6 in die Ausgangsgleichungen einsetzen. Ist unsere Lösung richtig, müssen sich wahre (w) Aussagen ergeben:
I. 4 + 6 = 10 und II. 4∙4+2∙6 = 28
       10 = 10 (w) und     28 = 28 (w).

Also gibt es 4 Hasen und 6 Hühner im Stall.

(Du kannst diese Lösung auch mit GeoGebra prüfen. Der Schnittpunkt der Graphen ist S(4|6).)


Das Gleichsetzungsverfahren
Beim Gleichsetzungsverfahren löst man beide Gleichungen nach derselben Variablen auf. Die zugehörigen Terme werden gleichgesetzt, diese Gleichung hat nur noch eine Variable.

Gleichsetzungsverfahren Schritt für Schritt.png

Die Videos erklären das Gleichsetzungsverfahren noch einmal:

 


Übung 1
Bearbeite die nachfolgenden LearningApps zum Gleichsetzungsverfahren.



Übung 2: Grundlagen
Löse Buch S. 17 Nr. 2, 3 und 4. Achte auf eine vollständige und übersichtliche Schreibweise im Heft. Schreibe wie im obigen Beispiel.
Du musst die Gleichungen nicht immer nach y auflösen, hier sind beide Gleichungen schon nach x aufgelöst. Also setze die Terme y+5 und 2y+3 gleich und löse diese Gleichung dann nach y auf. Setze dann den berechneten Wert von y in eine Ausgangsgleichung ein, um den Wert für x zu berechnen. Die Probe erfolgt dann wie immer (rechnerisch und/oder mit GeoGebra).
Du musst die Gleichungen nicht immer nach y auflösen, hier sind beide Gleichungen nach 2y aufgelöst. Also müssen auch die Terme 5x+4 und 6x-1 gleich sein. Setze diese Terme gleich und löse diese Gleichung nach x auf. Dann geht es weiter wie immer.
Löse die Gleichungen möglichst geschickt nach einer Variablen auf:
a) Löse nach x auf.
b) Löse nach y auf.
c) Löse nach y auf.
d) Löse nach 3x auf.


Übung 3: Jetzt wird es schwieriger
Löse Buch S. 17 Nr. 6, 7 und 8. Achte auch hier auf deine Darstellung im Heft.

Vereinfache zuerst die Gleichungen:
I 3x+4y-5 = 2x+3y-1 |-2x;-3y;+5

II 6x-2y+2 = 4x-3y+5 |-4x;+3y;-2
I´ x+y=4
II´ 2x+y=3
Jetzt siehst du, dass es vorteilhaft ist, die Gleichungen nach y aufzulösen und dann wie gewohnt weiterzuarbeiten.
Vereinfache zuerst die Gleichungen wie im Tipp zu Nr. 6e) beschrieben und schaue dann, nach welcher Variablen du die Gleichungen weiter umformst. Danach rechne weiter wie immer.

Du kannst deine Ergebnisse immer mit GeoGebra prüfen. Du kannst dort einfach die Ausgangsgleichungen einsetzen, das Programm stellt die Gleichungen dann so um, dass es die Graphen zeichnen kann. Der Schnittpunkt der Geraden ist die Lösung des LGS.


Übung 4: Zahlenrätsel
Löse Buch S. 18 Nr. 15. Erfinde anschießend eine ähnliche Aufgabe aus, schreibe den Text in dein Heft und löse die Aufgabe. Stelle sie dann deinem Partner.
Bei Anwendungsaufgaben lege zunächst immer die Bedeutung der Variablen fest:
x = erste Zahl; y=zweite Zahl

Falls du Schwierigkeiten mit den Fachbegriffen hast, löse die folgenden Quizze.

Addition: 1. Summand + 2. Summand = Wert derSumme
Subtraktion: Minuend - Subtrahend = Wert der Differenz
Multiplikation: 1. Faktor2. Faktor = Wert des Produktes
Division: Dividend: Divisor = Wert des Quotienten

Addition addieren vermehren plus
Subtraktion subtrahieren vermindern minus
Multiplikation multiplizieren verdoppeln vervielfachen mal
Division dividieren halbieren teilen geteilt



4.2) Das Additionsverfahren

Einstieg: Altersaufgabe
Partnerarbeit blau grün.png
Jan und Tom sind Brüder, Jan ist der ältere der beiden. Zusammen sind sie 24 Jahre alt. Ihr Altersunterschied beträgt 2 Jahre.Wie kannst du die ihr jeweiliges Alter rechnerisch bestimmen? Sammle Ideen.
Lege zuerst die Bedeutung der Variablen fest.
x=Jans Alter; y=Toms Alter
Nun kannst du zwei Gleichungen aufstellen: Eine Gleichung für das Alter zusammen und eine Gleichung für den Altersunterschied.

Wenn wir die Bedeutung der Variablen mit x=Jans Alter und y= Toms Alter festlegen, ergeben sich die folgenden Gleichungen:
I.  x + y = 24
II. x - y = 2
Es fällt auf, dass in Gleichung I. ... +y gerechnet wird und in Gleichung II. ... -y . Daher bietet es sich an, beide Gleichungen zu addieren:
I. + II.
I. x + y = 24
II. x - y = 2   |addiere beide Gleichungen also x + x + y - y = 24 + 2
  2x + 0 = 26

Diese neue Gleichung hat nur noch eine Variable, nämlich x, und wir können die Gleichung nach x auflösen.
2x = 26   |: 2
  x = 13

Da x für das Alter von Jan steht, ist Jan also 13 Jahre alt. Um das Alter von Tom herauszufinden, setzen wir in eine der beiden Gleichungen für x die Zahl 13 ein und lösen diese dann nach y auf:
x=13 in I.: 13 + y = 24   |-13
                      y = 11

Also ist Tom 11 Jahre alt und Jan 13.

Wir können unsere Lösung prüfen, indem wir x=13 und y=11 in die Ausgangsgleichungen einsetzen. Ist unsere Lösung richtig, müssen sich wahre (w) Aussagen ergeben:

I. 13 + 11 = 24 und II. 13 - 11 = 2
       24 = 24 (w) und     2 = 2 (w).

Also ist Jan 13 Jahre alt und Tom 11.

(Du kannst diese Lösung auch mit GeoGebra prüfen. Der Schnittpunkt der Graphen ist S(13|11).)


Das Additionsverfahren
Beim Additionsverfahren werden die Gleichungen so umgeformt, dass beim Addieren (bzw. Subtrahieren) eine Variable wegfällt. Diese Gleichung hat nur noch eine Variable.

Additionsverfahren Schritt für Schritt berichtigt 1.png

Die Videos erklären das Additionsverfahren noch einmal:

 

und für Fans von Lehrer Schmidt (jetzt wird es komplizierter):


Übung 5
Bearbeite die nachfolgenden LearningApps zum Additionsverfahren.



Übung 6: Grundlagen
Löse Buch S. 20 Nr. 2, 3 und 4. Achte auf eine vollständige und übersichtliche Schreibweise im Heft. Schreibe wie im obigen Beispiel.
Es ist nicht immer y, das beim Addieren wegfällt. Sortiere zunächst die Gleichungen so: ...x...y = ... Forme dann hier Gleichung II so um, dass du -4x rechnest. Dann fällt beim Addieren die Variable x weg. Die Probe erfolgt dann wie immer (rechnerisch und/oder mit GeoGebra).
Hier sollte dir auffallen, dass +5x in beiden Gleichungen steht. Wenn du nun also die beiden Gleichungen subtrahierst (I. - II.), fällt das x weg und du rechnest weiter wie immer. Wenn du magst, tausche zunächst in Gleichung I die Seiten: I. 5x + 6y = -28, so haben beide Gleichungen dieselbe Struktur.
Du musst die Gleichungen zunächst so umformen, dass eine Variable bei der Addition wegfällt. Hier bietet es sich an, eine bzw. beide Gleichungen mit bestimmten Faktoren zu multiplizieren. Eine Division ist natürlich auch möglich, allerdings entstehen dann oft Gleichungen mit Brüchen.
zu a) Multipliziere I mit 2.
b) Multipliziere II mit 3.
c)Multipliziere II mit 2.
d) Multipliziere I mit 2.
Forme die Gleichungen zunächst so um, dass beim Addieren eine Variable wegfällt:
a) Multipliziere Gleichung I mit 3 und Gleichung II mit 2. Du erhältst I. 15x+6y=48 und II. 16x-6y=14. Nun addiere I und II.
b) Multipliziere Gleichung I mit 2 und Gleichung II mit 5
c) Multipliziere Gleichung I mit 3 und Gleichung II mit 2.
d) Multipliziere Gleichung I mit 4 und Gleichung II mit 3

ausführliche Lösungen:
Lösung S. 20 Nr. 2a,b,c.png

Lösung S. 20 Nr. 2d.png

ausführliche Lösungen:
Lösung S. 20 Nr. 3a,b.png

Lösung S. 20 Nr. 3c,d.png

ausführliche Lösungen:
Lösung S. 20 Nr. 4a.png

Lösung S. 20 Nr. 4b ,c, d.png

4.3) Das Einsetzungsverfahren

Einstieg: Anwendung Geometrie
Rechteck Einsetzungsverfahren Einstieg.png
In einem Rechteck ist die Breite um 6 cm länger als die Länge.
Der Umfang des Rechtecks beträgt 44 cm.
Wie kannst du die Seitenlängen rechnerisch ermitteln? Sammle Ideen.
Erstelle bei geometrischen Anwendungen IMMER zuerst ein SKIZZE!!
Lege die Bedeutung der Variablen fest und beschrifte die Skizze.
x=Länge; y=Breite
Nun kannst du zwei Gleichungen aufstellen: Eine Gleichung für den Umfang ("Kalle läuft") und die andere Gleichung für die Breite.

Wenn wir die Bedeutung der Variablen mit x=Länge und y=Breite festlegen, ergeben sich die folgenden Gleichungen:
I.  2x + 2y = 44    (Umfang: "Kalle läuft" um das Rechteck herum)
II. y = x+6        (Die Breite ist um 6cm länger als die Länge)
Nun siehst du, dass Gleichung II. schon nach y aufgelöst ist:
I.  2x + 2y = 44
II. y = x+6
Das bedeutet, dass du überall statt y auch x+6 schreiben kannst, denn diese Terme sind gleich!
Daher kannst du in Gleichung I. statt y den Term x+6 einsetzen:
2x + 2·(x+6) = 44
Diese neue Gleichung hat nur noch eine Variable, nämlich x, und wir können die Gleichung nach x auflösen.
2x + 2·(x+6) = 44         |ausmultiplizieren ("Jedem die Hand geben")
2x + 2x + 12 = 44         | gleichartige Terme zusammenfassen
  4x + 12 = 44               |-12
        4x = 32                 |:4
           x = 8
Da x für die Länge des Rechtecks steht, ist dieses also 8 cm lang. Um die Breite herauszufinden, setzen wir in die zweite Gleichung für x die Zahl 8 ein und lösen diese dann nach y auf:
x=8 in II.:   y = 8 + 6   
                   y = 14
Das Rechteck ist also 8 cm lang und 14 cm breit.

Wir können unsere Lösung prüfen, indem wir x=8 und y=14 in die Ausgangsgleichungen einsetzen. Ist unsere Lösung richtig, müssen sich wahre (w) Aussagen ergeben:
I. 2·8 + 2·14 = 44 und II. 14 = 8 + 6
       16 + 28 = 44 und     14 = 14 (w).
         44 = 44 (w) und     14 = 14 (w).

Das Rechteck ist 8cm lang und 14cm breit.

(Du kannst diese Lösung auch mit GeoGebra prüfen. Der Schnittpunkt der Graphen ist S(8|14).)


Das Einsetzungsverfahren
Beim Einsetzungsverfahren wird eine Gleichung nach einer Variablen aufgelöst. Der erhaltene Term wird dann in die andere Gleichung eingesetzt. Diese Gleichung hat nur noch eine Variable.

Einsetzungsverfahren Schritt für Schritt.png

Die Videos erklären das Einsetzungsverfahren noch einmal:

 


Übung 7
Bearbeite die nachfolgenden LearningApps zum Einsetzungsverfahren.



Übung 8: Grundlagen
Löse Buch S. 18 Nr. 11 und 12. Achte auf eine vollständige und übersichtliche Schreibweise im Heft. Schreibe wie im obigen Beispiel.

Zusammenfassung - Übersicht

Zusammenfassung LGS.png


Übung 9
Löse Buch S. 25 Nr. 3. Entscheide zuvor, welches Verfahren am besten geeignet ist. (Kahoot!).

Prüfe deine Lösung jeweils mit Geogebra



Übung 10
Löse Buch S. 24 Nr. 5, 6, 7 und 8. Vergleiche deine Lösungen mit denen auf S. 192.
Löse zunächst in den Gleichungen die Klammern auf.
Erinnerung: Terme mit Klammern (8. Klasse)
Zusammenfassung Terme mit Klammern1.png
Das Subtraktionsverfahren ähnelt dem Additionsverfahren. Die zweite Gleichung wird hier von der ersten subtrahiert. Du erhältst so ebenfalls eine Gleichung mit nur einer Variablen und löst mit den gleichen Lösungsschritten, wie beim Additionsverfahren.


Übung 11
Nur für Profis:
Löse Buch S.24 Nr. 9. Löse zunächst die Klammern auf und fasse gleichartige Terme zusammen.
Erinnerung: Terme mit Klammern (8. Klasse)
Zusammenfassung Terme mit Klammern1.png