Buss-Haskert/Lineare Gleichungssysteme/Break-Even-Point

Break-Even-Point

Um bei einer Produktion festzustellen, ab wann die Firma einen Gewinn erzielt, müssen die Kosten mit den Erlösen (Einnahmen) verglichen werden. Der Break-Even-Point ist der Punkt, an die Einnahmen und Kosten gleich hoch sind. An dieser Stelle wird kein Gewinn aber auch kein Verlust erwirtschaftet, da die Kosten und die Erlöse genau gleich sind. Ab hier beginnt also die Gewinnzone.

Übung 1: Stromversorgung - Angebote vergleichen

Familie Winter liegen Angebote von zwei Stromanbietern vor.
   Angebot 1: Grundgebühr 50,80€; Kosten pro kWh 34,4 ct
   Angebot 2: Grundgebühr 75,20€; Kosten pro kWh 30,6 ct
Welchen Tarif empfiehlst du der Familie Winter?
Welche Bedingungen berücksichtigst du?

1. Gib die Bedeutung der Variablen x und y an:
x = Verbrauch (kWh); y = Gesamtkosten (€)

2. Stelle die Funktionsgleichungen für die beiden Angebote auf:
I. ...
II. ...
3. Zeichne die Geraden für beide Funktionen in ein Koordinatenkreuz. x-Achse: 1cm für 100kWh; y-Achse: 1cm für 100€
4. Was kannst du alles ablesen?

2. Die Kosten setzen sich zusammen aus der Grundgebühr und den Kosten pro Kilowattstunde. Achte hier auf gleiche Einheiten, in diesem Fall rechne in Euro:
I. y=0,344·x+50,80
II. y=0,306·x+75,20
Um die Graphen zu zeichnen, rechne für einige x-Werte die zugehörigen y-Werte aus und zeichne diese in ein Koordinatenkreuz. Da es sich um lineare Funktionen handelt, sind die Graphen jeweils Geraden. Du musst also nur 2 Punkte ermitteln.
Für x = 0 gilt
I. y = 0,344·0 + 50,80 = 50,80 (Erinnerung: Das ist der y-Achsenabschnitt b)
II. y = 0,306·0 + 75,20 = 75,20

Berechne ebenso die Werte für z.B. x = 100 (oder x = 200) ...

Die Graphen siehst du im Bild. (Hier wurde mit GeoGebra gezeichnet, dieses Programm kannst du zur Überprüfung deiner Ergebnisse immer nutzen.

Rechnerische Lösung: Es bietet sich das Gleichsetzungsverfahren an,da beide Gleichungen nach y aufgelöst sind.
I.=II. 0,344x+50,80 = 0,306x+75,20 I-50,80
0,344x = 0,306x+24,40 I-0,306x
0,038x = 24,40 I:0,038
x$\approx$642,1

Die Gesamtkosten berechnest du, indem du x=642 in Gleichung I oder II einsetzt.

Übung 2: Busunternehmen

Ein Busunternehmen hat einen Bus für 325000€ gekauft. Der Unternehmer kalkuliert pro Kilometer 0,27€ Betriebskosten. Der Erlös pro Kilometer beträgt durchschnittlich 1,10€.
a) Stelle den Sachverhalt graphisch dar.
b)Ab welcher Fahrstrecke gleichen sich Kosten und Erlös aus?
c) Stelle weitere Fragen an diese Aufgabe und beantworte diese.

1. Gib die Bedeutung der Variablen x und y an:
x = gefahrenen Kilometer; y = Gesamtkosten (€)

2. Stelle die Funktionsgleichungen für die beiden Angebote auf:
I. ...
II. ...
3. Zeichne die Geraden für beide Funktionen in ein Koordinatenkreuz. x-Achse: 1cm für 10000km; y-Achse: 1cm für 10000€
4. Was kannst du alles ablesen?

2. Die Kosten setzen sich zusammen aus dem Kaufpreis und den Kosten/dem Erlös pro Kilometer.
I. y=0,27·x+325000 (Kosten)

II. y=1,10·x (Erlös)

Die Graphen siehst du im Bild. (Hier wurde mit GeoGebra gezeichnet, dieses Programm kannst du zur Überprüfung deiner Ergebnisse immer nutzen.

Rechnerische Lösung: Es bietet sich das Gleichsetzungsverfahren an,da beide Gleichungen nach y aufgelöst sind.
I.=II. 0,27x+325000=1,10x I-0,27x
325000=0,83x I:0,83
391566,3$\approx$x
Nach ca. 391600 km übersteigt der Erlös die Kosten.

Die Gesamtkosten berechnest du, indem du x=391566 in Gleichung I oder II einsetzt.