Buss-Haskert/Dreiecke/Kongruenzsätze

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SEITE IM AUFBAU!!


4) Konstruktion von Dreiecken - Kongruenzsätze


4.1 SSS


Dreiecke konstruieren: SSS - Seite, Seite, Seite

SSS - Seite, Seite, Seite

Zeichne das Dreieck mit a=3,8cm, b=5 cm und c=5,2 cm.
Vergleiche deine Zeichnung mit der deines Nachbarn.

Was fällt dir auf?
GeoGebra



Übung 1: SSS

Konstruiere die Dreiecke.

  • Zeichne zunächst eine Planfigur und trage dort farbig die gegebenen Größen ein.
  • Konstruiere das Dreieck mit Zirkel und Lineal. Zeichne mit Bleistift! Die nötigen Schritte kannst du im GeoGebra-Applet oben noch einmal nachschauen.
  • Überprüfe deine Lösung im Heft mithilfe des GeoGebra-Applets unter dieser Übung, indem du die Schieberegler passend einstellst.

Löse Buch

  • S. 82 Nr. 1a
  • S. 82 Nr. 2
  • S. 82 Nr. 3


GeoGebra



Übung 2: Konstruktion mit GeoGebra
Konstruiere das Dreieck mit den Seitenlängen a=8,5cm, b=6 cm und c=5cm mit GeoGebra. Zeichne zunächst eine Planfigur in dein Heft!
1.Schritt: Zeichne die Strecke f=c=5cm.(Strecke mit fester Länge)
2.Schritt: Zeichne einen Kreis um den Punkt B mit dem Radius d=a=8,5cm.(Kreis mit Mittelpunkt und Radius)
3.Schritt: Zeichne einen Kreis um den Punkt A mit dem Radius e=b=6 cm.(Kreis mit Mittelpunkt und Radius)
4.Schritt: Markiere den Schnittpunkt C der Kreise (Schnittpunkt).Ändere den Namen des oberen Punktes in C.
5.Schritt: Zeichne mit "Vieleck" das Dreieck ABC.
Deine Konstruktion müsste so aussehen:
GeoGebra


4.2 WSW


Dreiecke konstruieren: WSW - Winkel, eingeschlossene Seite, Winkel

WSW - Winkel, eingeschlossene Seite, Winkel

Zeichne das Dreieck mit c=6 cm, =40° und =70°.
Vergleiche deine Zeichnung mit der deines Nachbarn.

Was fällt dir auf?


GeoGebra

(Applet von Pöchtrager)

Übung 3: WSW

Konstruiere die Dreiecke.

  • Zeichne zunächst eine Planfigur und trage dort farbig die gegebenen Größen ein.
  • Konstruiere das Dreieck mit Zirkel und Lineal. Zeichne mit Bleistift! Die nötigen Schritte kannst du im GeoGebra-Applet oben noch einmal nachschauen.
  • Überprüfe deine Lösung im Heft mithilfe der GeoGebra-Applets unter dieser Übung, indem du die Schieberegler passend einstellst. Wähle das passende Applet aus.

Löse Buch

  • S. 83 Nr. 1
  • S. 83 Nr. 2


Du benötigst für die Konstruktion nach WSW immer die an die Seite anliegenden Winkel. Berechne also den fehlenden Winkel mithilfe des Winkelsummensatzes.


GeoGebra


GeoGebra


GeoGebra



Übung 4: Konstruktion mit GeoGebra
Konstruiere das Dreieck mit den Seitenlängen c=5cm, =78° =55° mit GeoGebra. Zeichne zunächst eine Planfigur in dein Heft!
1.Schritt: Zeichne die Strecke f=c=5cm.(Strecke mit fester Länge)
2.Schritt: Zeichne den Winkel =78° (Winkel mit fester Größe), indem du die Strecke f anklickst und dann 78° eingibst.
3.Schritt: Zeichne den Strahl g durch die Punkte A und B'.
4.Schritt: Zeichne den Winkel =55° (Winkel mit fester Größe), indem du die zunächst den Punkt A und dann den Punkt B anklickst, "im Uhrzeigersinn" auswählst und dann 55° eingibst.
5.Schritt: Zeichne den Strahl h durch die Punkte B und A'.
6.Schritt: Markiere den Schnittpunkt C der Strahle (Schnittpunkt).
7.Schritt: Zeichne mit "Vieleck" das Dreieck ABC.
Deine Konstruktion müsste so aussehen:
GeoGebra


4.3 SWS


Dreiecke konstruieren: SWS- Seite, eingeschlossener Winkel, Seite

SWS -Seite, eingeschlossener Winkel, Seite

Zeichne das Dreieck mit =50°, b=4,4cm und c=5,5cm.
Vergleiche deine Zeichnung mit der deines Nachbarn.

Was fällt dir auf?


GeoGebra




Übung 5: SWS

Konstruiere die Dreiecke.

  • Zeichne zunächst eine Planfigur und trage dort farbig die gegebenen Größen ein.
  • Konstruiere das Dreieck mit Zirkel und Lineal. Zeichne mit Bleistift! Die nötigen Schritte kannst du im GeoGebra-Applet oben noch einmal nachschauen.
  • Überprüfe deine Lösung im Heft mithilfe der GeoGebra-Applets unter dieser Übung, indem du die Schieberegler passend einstellst. Wähle das passende Applet aus.

Löse Buch

  • S. 84 Nr. 1
  • S. 84 Nr. 2


Hast du nur zwei Seitenlängen gegeben? Nein, du kennst auch einen Winkel!

Welchen Winkel bildet der Mast mit dem Boden? Skizziere!
GeoGebra


GeoGebra


GeoGebra



Übung 6: Konstruktion mit GeoGebra
Konstruiere das Dreieck mit den Seitenlängen b=6,5cm, c=7 cm und =40° mit GeoGebra. Zeichne zunächst eine Planfigur in dein Heft!
1.Schritt: Zeichne die Strecke f=c=7cm.(Strecke mit fester Länge)
2.Schritt: Zeichne den Winkel =40° (Winkel mit fester Größe), indem du die Strecke f anklickst und dann 40° eingibst.
3.Schritt: Zeichne den Strahl g durch die Punkte A und B'.
4.Schritt: Zeichne um den Punkt A einen Kreis mit dem Radius c=b=6,5cm.(Kreis mit Mittelpunkt und Radius)
5.Schritt: Markiere den Schnittpunkt C des Strahls g mit dem Kreis c.
6.Schritt: Zeichne mit "Vieleck" das Dreieck ABC.
Deine Konstruktion müsste so aussehen:
GeoGebra


4.4 SsW


Dreiecke konstruieren: SsW - Seite, Seite, (der längeren Seite gegenüberliegender) Winkel

SsW - lange Seite, kurze Seite, Winkel

Zeichne das Dreieck mit =35°, a=5,6cm und c=4,7cm.
Vergleiche deine Zeichnung mit der deines Nachbarn.

Was fällt dir auf?


GeoGebra


GeoGebra

(Applets von Pöchtrager)



Nutze die Schieberegler im Applet, damit du siehst, wann es zwei Lösungen gibt. Erkläre!

GeoGebra



Übung 7: SsW

Konstruiere die Dreiecke.

  • Zeichne zunächst eine Planfigur und trage dort farbig die gegebenen Größen ein.
  • Konstruiere das Dreieck mit Zirkel und Lineal. Zeichne mit Bleistift! Die nötigen Schritte kannst du im GeoGebra-Applet oben noch einmal nachschauen.
  • Überprüfe deine Lösung im Heft mithilfe der GeoGebra-Applets unter dieser Übung, indem du die Schieberegler passend einstellst. Wähle das passende Applet aus.

Löse Buch

  • S. 85 Nr. 1
  • S. 85 Nr. 2
  • S. 85 Nr. 3


Nutze die Schieberegler im Applet oben, damit du siehst, wann es zwei Lösungen gibt. Erkläre!


Hast du nur zwei Seitenlängen gegeben? Nein, du kennst auch einen Winkel!

Welchen Winkel bildet eine Hauswand immer mit dem Boden? Skizziere!
GeoGebra


GeoGebra


GeoGebra



Übung 8: Konstruktion mit GeoGebra
Konstruiere das Dreieck mit den Seitenlängen b=8,5cm, c=5 cm und =68° mit GeoGebra. Zeichne zunächst eine Planfigur in dein Heft!
1.Schritt: Zeichne die Strecke f=c=5cm.(Strecke mit fester Länge)
2.Schritt: Zeichne den Winkel =68° (Winkel mit fester Größe), indem du zunächst den Punkt A und dann den Punkt B anklickst, "im Uhrzeigersinn" auswählst und dann die Winkelgröße 68° eingibst.
3.Schritt: Zeichne den Strahl g durch die Punkte B und A'.
4.Schritt: Zeichne um den Punkt A einen Kreis mit dem Radius b=8,5cm.(Kreis mit Mittelpunkt und Radius)
5.Schritt: Markiere den Schnittpunkt C des Strahls g mit dem Kreis.
6.Schritt: Zeichne mit "Vieleck" das Dreieck ABC.
Deine Konstruktion müsste so aussehen:
GeoGebra

Vermischte Übungen und Anwendungsaufgaben

Übungen zu Grundkonstruktionen (bei Bedarf)

Bearbeite die Aufgaben in deinem Heft und vergleiche deine Lösungen.


Übung 9: Anwendungsaufgaben

In unserer Umgebung gibt es viele Fragestellungen, die sich mithilfe von Dreieckskonstruktionen beantworten lassen. Gehe bei der Lösung schrittweise vor:

  • Lies die Aufgabenstellung genau.
  • Zeichne eine Planfigur (Dreieck) und beschrifte es mit den im Text gegebenen Größen. Wähle dazu einen passenden Maßstab, z.B. 1m in Wirklichkeit entspricht 1cm in der Zeichnung.
  • Notiere, um welchen Kongruenzsatz es sich handelt (SSS, WSW, SWS oder SsW).
  • Konstruiere das Dreieck und miss die gesuchte Größe.
  • Notiere einen Antwortsatz, in dem du die passende Maßeinheit (z.B. m) verwendest.

Löse Buch S.

  • S. 92 Nr. 12
  • S. 92 Nr. 13
  • S. 92 Nr. 14 (schwer!)
  • S. 93 Nr. 5 links
  • S. 93 Nr. 5 rechts


Trage in deiner Planfigur die gegebenen Größen ein. Du siehst, es sind zwei Winkel und die eingeschlossene Seite gegebenen. Konstruiere also mit WSW.

Der Maßstab 1:2000 bedeutet, dass 1cm in der Zeichnung 2000cm in Wirklichkeit sind.
Also sind 2000cm=20m in Wirklichkeit 1cm in der Zeichnung.
10m in Wirklickeit sind also 0,5 cm in der Zeichnung.

Also sind 150m in Wirklichkeit 7,5cm in der Zeichnung.

Du markierst in der Planfigur den Winkel =28° als gegeben und die Seite c=7,5cm (berechnet mit dem Maßstab, Tipp 1).
Nun fehlt eine weitere Angabe: Du kennst auch den Winkel !
In welchem Winkel zum Boden werden Windräder aufgebaut?

S. 92 Nr. 13 Planfigur neu.png

Nun konstruierst du das Dreieck mit der Konstruktion nach WSW. Miss die Länge der Seite a und rechne mithilfe des Maßstabes die Länge in Wirklichkeit um. Aber Vorsicht, du bist noch nicht fertig!

S. 92 Nr. 13 Skizze.png

Zum Schluss musst du noch die Körpergröße von 1,60m zur gemessenen Höhe im Dreieck (schon in m umgewandelt) addieren.

Lösung: Die gemessene Höhe beträgt ca. 4cm, dies sind 4∙20m = 80 m in Wirklichkeit. Mit der Körpergröße von 1,60m ist das Windrad also 81,60 m hoch.

Der Maßstab 1:500 bedeutet, dass 1cm in der Zeichnung 500 cm in Wirklichkeit sind.
500cm = 5m in der Wirklichkeit sind 1cm in der Zeichnung.
1m in Wirklichkeit sind also 0,2 cm in der Zeichnung und
28 m in Wirklichkeit sind 5,6 cm in der Zeichnung.

Auch hier kennst du den Winkel zwischen Turm und Boden.
Kontruiere mit SWS. Die Lösung findest du hinten im Buch! (Rückspiegel)