Julius-Echter-Gymnasium/Mathematik/Flächeninhalt von Dreiecken: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Box|Dreiecke|Ein Dreieck hat drei Ecken und drei Seiten.<br />
'''Flächeninhalt von Dreiecken'''


Es gibt fünf Spezialfälle von Dreiecken:|Kurzinfo}}


Ein Dreieck besteht wie der Name bereits sagt aus drei Ecken und drei Seiten.
Man kann Dreiecke unterschiedlich bezeichnen:


1. gleichschenklige Dreiecke (haben 2 gleiche Schenkel)
1. '''Gleichschenklige''' Dreiecke:<br />
[[Datei:Isosceles-triangle.svg|miniatur|zentriert]]
<br />(Zwei Seiten - die beiden Schenkel - sind gleich lang. <br />Die dritte Seite - hier c - nennt man Basis.)
2. gleichseitige Dreiecke (haben 3 gleiche Seiten)
[[Datei:Isosceles-triangle.svg|250px|zentriert]]<br />
[[Datei:01-Dreieck, gleichseitig-1.svg|miniatur|zentriert]]
3. rechtwinklige Dreiecke (haben einen rechten Winkel)
[[Datei:01-Rechtwinkliges Dreieck.svg|miniatur|zentriert]]
Die Strecke zwischen einer Ecke und der gegenüberliegenden Seite bezeichnet man als HÖHE im Dreieck. In jedem Dreieck gibt es drei Höhen.


Für den Flächeninhalt des Dreiecks gilt: <span style="Color: red">'''A= 0,5 * c * h'''
2. '''Gleichseitige''' Dreiecke: <br />
<br />(Alle 3 Seiten sind gleich lang.)
[[Datei:01-Dreieck, gleichseitig-1.svg|250px|zentriert]]<br />


Anstelle von c können auch andere Variablen eine Seite kennzeichnen - hierbei ist jedoch wichtig, dass zu zur Seite senkrecht stehende Höhe verwendet wird.
3. '''Rechtwinklige''' Dreiecke: <br />
<br />(Ein Winkel ist genau 90° groß.)
[[Datei:01-Rechtwinkliges Dreieck.svg|300px|zentriert]]<br />
<br />


Dreiecke, die in einer Seite und der Höhe übereinstimmen, besitzen den gleichen Flächeninhalt.
4. '''Spitzwinklige''' Dreiecke: <br />
<br />(Alle Winkel sind kleiner als 90°.)
[[Datei:Unregelmaessiges spitzwinkliges Dreieck.png|300px|zentriert]]<br />
<br />


5. '''Stumpfwinklige''' Dreiecke: <br />
<br />(Ein Winkel ist größer als 90°.<br />Dem stumpfen Winkel liegt die längste Dreiecksseite gegenüber.)
[[Datei:Unregelmaessiges stumpfwinkliges Dreieck.png|350px|zentriert]]<br />
<br />




<br />


Überprüfe in der ersten Übung zunächst, ob du die Einteilung der Dreiecke verstanden hast:
{{Box|Höhe|Die Senkrechte zwischen einer Ecke und der gegenüberliegenden Seite bezeichnet man als '''Höhe''' im Dreieck. <br />
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In jedem Dreieck gibt es drei Höhen. Diese müssen nicht unbedingt im Dreieck liegen, sie können auch außerhalb des Dreiecks verlaufen.|Unterrichtsidee }}
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[[Datei:Area de paralelogramo.svg|250px|File:Area de paralelogramo.svg]]<br />
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In diesem Bild siehst du, dass man ein Parallelogramm in zwei gleich große Dreiecke zerlegen kann.  <br />Also haben die beiden Dreiecke zusammen auch den gleichen Flächeninhalt wie das Parallelogramm. <br />Demnach muss eins dieser Dreiecke genau halb so groß sein wie das Parallelogramm.<br />


{{Box|Merke|Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnest du, indem du die '''Grundseite mit der zugehörigen Höhe multiplizierst''' und dieses Produkt '''halbierst'''.|Merksatz}}


Die Formel lautet: <span style="Color: red">'''A = <math> \frac{1}{2}</math> &middot; a &middot; h'''
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Anstelle von a kannst du auch die anderen Dreiecksseiten b oder c in die Formel einsetzen - hierbei ist jedoch wichtig, dass du immer die '''zur jeweiligen Seite senkrecht stehende Höhe''' verwendest.
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{{Box|Beachte|Dreiecke, die in einer Seitenlänge und zugehöriger Höhe übereinstimmen, besitzen auch den gleichen Flächeninhalt.|Kurzinfo}}






{{Vorlage:Lesepfad Ende
Überprüfe in der ersten Übung zunächst, ob du die '''Einteilung der Dreiecke''' verstanden hast:
|Link zurück=[[Julius-Echter-Gymnasium/Mathematik/Flächeninhalt von Parallelogrammen|zum Flächeninhalt von Parallelogrammen ]]                 
 
|Link vor=[[Julius-Echter-Gymnasium/Mathematik/Flächeninhalt von Trapezen|Zum nächsten Thema:Flächeninhalt von Trapezen ]]
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In den nächsten Übungen kannst du die Formel zum Flächeninhalt von Dreiecken üben:
 
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In der folgenden Übung werden die Flächeninhaltsformeln von Dreieck und Parallelogramm vermischt abgefragt:  
 
{{Box|Aufgabe 5|{{LearningApp|app=7235760|width=100%|height=500px}}|Üben}}
 
<br />
 
 
 
{{Fortsetzung|weiter=Flächeninhalt von Trapezen|weiterlink=Julius-Echter-Gymnasium/Mathematik/Flächeninhalt_von_Trapezen|vorher=Flächeninhalt von Parallelogrammen|vorherlink=Julius-Echter-Gymnasium/Mathematik/Flächenihnhalt_von_Parallelogrammen}}
 
{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Julius-Echter-Gymnasium Mathematik]]

Aktuelle Version vom 23. Februar 2020, 11:19 Uhr

Dreiecke

Ein Dreieck hat drei Ecken und drei Seiten.

Es gibt fünf Spezialfälle von Dreiecken:


1. Gleichschenklige Dreiecke:

(Zwei Seiten - die beiden Schenkel - sind gleich lang.
Die dritte Seite - hier c - nennt man Basis.)

Isosceles-triangle.svg


2. Gleichseitige Dreiecke:

(Alle 3 Seiten sind gleich lang.)

01-Dreieck, gleichseitig-1.svg


3. Rechtwinklige Dreiecke:

(Ein Winkel ist genau 90° groß.)

01-Rechtwinkliges Dreieck.svg



4. Spitzwinklige Dreiecke:

(Alle Winkel sind kleiner als 90°.)

Unregelmaessiges spitzwinkliges Dreieck.png



5. Stumpfwinklige Dreiecke:

(Ein Winkel ist größer als 90°.
Dem stumpfen Winkel liegt die längste Dreiecksseite gegenüber.)

Unregelmaessiges stumpfwinkliges Dreieck.png






Höhe

Die Senkrechte zwischen einer Ecke und der gegenüberliegenden Seite bezeichnet man als Höhe im Dreieck.

In jedem Dreieck gibt es drei Höhen. Diese müssen nicht unbedingt im Dreieck liegen, sie können auch außerhalb des Dreiecks verlaufen.




File:Area de paralelogramo.svg

In diesem Bild siehst du, dass man ein Parallelogramm in zwei gleich große Dreiecke zerlegen kann.
Also haben die beiden Dreiecke zusammen auch den gleichen Flächeninhalt wie das Parallelogramm.
Demnach muss eins dieser Dreiecke genau halb so groß sein wie das Parallelogramm.


Merke
Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnest du, indem du die Grundseite mit der zugehörigen Höhe multiplizierst und dieses Produkt halbierst.

Die Formel lautet: A = · a · h


Anstelle von a kannst du auch die anderen Dreiecksseiten b oder c in die Formel einsetzen - hierbei ist jedoch wichtig, dass du immer die zur jeweiligen Seite senkrecht stehende Höhe verwendest.


Beachte
Dreiecke, die in einer Seitenlänge und zugehöriger Höhe übereinstimmen, besitzen auch den gleichen Flächeninhalt.


Überprüfe in der ersten Übung zunächst, ob du die Einteilung der Dreiecke verstanden hast:


Aufgabe 1


In den nächsten Übungen kannst du die Formel zum Flächeninhalt von Dreiecken üben:


Aufgabe 2


Aufgabe 3


Aufgabe 4


In der folgenden Übung werden die Flächeninhaltsformeln von Dreieck und Parallelogramm vermischt abgefragt:


Aufgabe 5