Julius-Echter-Gymnasium/Mathematik/Berechnung von Grundwert, Prozentsatz und Prozentwert: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Box|'''Grundgleichung der Prozentrechnung:'''|Zunächst musst du dir die folgende '''Grundgleichung der Prozentrechnung''' gut einprägen:<br /> | {{Box|'''Grundgleichung der Prozentrechnung:'''|Zunächst musst du dir die folgende '''Grundgleichung der Prozentrechnung''' gut einprägen:<br /> | ||
"Der Prozentsatz vom Grundwert ist der Prozentwert.|Merksatz}} | "Der Prozentsatz vom Grundwert ist der Prozentwert."|Merksatz}} | ||
<span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span> • <span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span> = <span style="color: #FF4040">'''Prozentwert'''</span> | <span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span> • <span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span> = <span style="color: #FF4040">'''Prozentwert'''</span> | ||
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Der <span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span> ist ein | Der <span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span> ist ein Anteil des Grundwertes, ausgedrückt in Prozent. | ||
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Der <span style="color: #FF4040">'''Prozentwert'''</span> ist | Der <span style="color: #FF4040">'''Prozentwert'''</span> ist ein Teil vom Grundwert, ausgedrückt in einem Zahlenwert. | ||
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→ Also sind in diesem Fall die 6 Schüler der <span style="color: #FF4040">'''Prozentwert'''</span> | → Also sind in diesem Fall die <span style="color: #FF4040">6</span> Schüler der <span style="color: #FF4040">'''Prozentwert'''</span> | ||
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→ die 20 Schüler der <span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span>, | → die <span style="color: #00B2EE">20</span> Schüler der <span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span>, | ||
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→ und die <span style="color: #76EE00">30%</span> der <span style="color:#76EE00">'''Prozentsatz'''</span>. | |||
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In der Grundgleichung würde die Rechnung so aussehen:<br /> | |||
<span style="color: #76EE00">'''0,3'''</span> • <span style="color: #00B2EE">'''20'''</span> = <span style="color: #FF4040">'''6'''</span> | |||
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Übe hier, ob du die Begriffe verstanden hast! | Übe hier, ob du die Begriffe verstanden hast! | ||
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{{Box|Merke|Wenn in der Aufgabe aber nicht nach dem Prozentwert gefragt ist, sondern nach dem Grundwert, verwendet man die Gleichung:|Merksatz}} | {{Box|Merke|Wenn in der Aufgabe aber nicht nach dem Prozentwert gefragt ist, sondern nach dem '''Grundwert''', verwendet man die Gleichung:|Merksatz}} | ||
<span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span> = <span style="color:#FF4040">'''Prozentwert'''</span> ÷ <span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span> | <span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span> = <span style="color:#FF4040">'''Prozentwert'''</span> ÷ <span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span> | ||
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[[Datei:Dreisatz Grundwert.png|450px|rechts|Herleitung der Formel zur Berechnung des Prozentsatzes über die Grundgleichung der Prozentrechnung / Dreisatz]] | |||
{{Box|1=Herleitung Grundwert|2=Für einen Urlaub müssen 20% des Preises, das sind 160€, angezahlt werden. <br /> | |||
Wie teuer ist der Urlaub insgesamt? | |||
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Sicherlich ist dir aufgefallen, dass es sich bei den "20% des Preises" um den Prozentsatz handelt. | |||
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Folglich muss also der Prozentwert durch den Prozentsatz geteilt werden, um den Grundwert zu erhalten. | |||
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Da man die 160€ durch 20 teilt und anschließend mit 100 wieder multipliziert, könnte man genauso durch 0,2 teilen. (20% = 0,2) | |||
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Daraus ergibt sich dann die Gleichung:|Lösung}} | Daraus ergibt sich dann die Gleichung: | ||
|3=Lösung}} | |||
<span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span> = <span style="color:#FF4040">'''Prozentwert'''</span> ÷ <span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span> | <span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span> = <span style="color:#FF4040">'''Prozentwert'''</span> ÷ <span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span> | ||
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<span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span> = <span style="color:#FF4040">'''160€'''</span> ÷ <span style="color: #76EE00">'''0,2'''</span> = 160€ ÷ <math>\frac{2}{10}</math> = 160€ · <math>\frac{10}{2}</math> = 160€ · 5 = <span style="color: #00B2EE">'''800€'''</span> | |||
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{{Box|Merke|Wenn der '''Prozentsatz '''gesucht ist, brauchst du zur Berechnung die Gleichung:|Merksatz}} | |||
<span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span> = <span style="color: #FF4040">'''Prozentwert'''</span> ÷ <span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span> | |||
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[[Datei: | [[Datei:Dreisatz Prozentsatz.png|450px|rechts|Herleitung der Formel zur Berechnung des Prozentsatzes über die Grundgleichung der Prozentrechnung / Dreisatz]] | ||
{{Box|Herleitung Prozentsatz|Der Familienurlaub kostet 800€, wobei | {{Box|1=Herleitung Prozentsatz|2=Der Familienurlaub kostet 800€, wobei 160€ direkt angezahlt werden müssen. <br /> | ||
Wie viel Prozent des Urlaubsgeldes muss also gleich überwiesen werden? | |||
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Die Gleichung für den Prozentsatz leitet sich ähnlich her: | |||
Daraus ergibt sich <math>\frac{1}{100} </math> | <br /> | ||
Man teilt den Grundwert, der ja das Ganze, also 100% repräsentiert, durch 100, um auf 1% zu kommen.<br /> | |||
Anschließend wird wieder mit 20 multipliziert, da man von 8€ auf den Prozentwert 160€ kommen will. | |||
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Daraus ergibt sich <math>\frac{1}{100} </math> • 20 = <math>\frac{20}{100} </math> = 20%. | |||
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Folglich lautet die Gleichung zur Berechnung des Prozentsatzes: | |||
|3=Lösung}} | |||
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<span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span> = <span style="color: #FF4040">'''Prozentwert'''</span> ÷ <span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span> | <span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span> = <span style="color: #FF4040">'''Prozentwert'''</span> ÷ <span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span> | ||
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<span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span> = <span style="color: #FF4040">'''160€'''</span> ÷ <span style="color: #00B2EE">'''800€'''</span> = <math>\frac{160}{800} </math> = <math>\frac{2}{10} </math> = <span style="color: #76EE00">'''20%'''</span> | |||
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Jetzt bist du bereit, dich an ein paar Anwendungsaufgaben zu versuchen. Viel Spaß dabei! | Jetzt bist du bereit, dich an ein paar Anwendungsaufgaben zu versuchen. Viel Spaß dabei! | ||
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Aktuelle Version vom 24. Februar 2020, 17:30 Uhr
In deinem Leben begegnen dir täglich viele Werte und Zahlen, manche von ihnen auch in Form von Prozenten.
→ Aber was bedeutet das, wenn gefragt ist, wie viel 15% von 100 ergeben?
→ Oder wie viel Prozent 25 von 50 sind?
Wie genau du nun Grundwert, Prozentsatz und Prozentwert berechnen kannst, erkläre ich dir jetzt.
Prozentsatz • Grundwert = Prozentwert
Begriffserklärung:
Der Grundwert ist der Ausgangswert.
Der Prozentsatz ist ein Anteil des Grundwertes, ausgedrückt in Prozent.
Der Prozentwert ist ein Teil vom Grundwert, ausgedrückt in einem Zahlenwert.
6 von 20 Schüern, sind ( 30%
→ Also sind in diesem Fall die 6 Schüler der Prozentwert
→ die 20 Schüler der Grundwert,
→ und die 30% der Prozentsatz.
In der Grundgleichung würde die Rechnung so aussehen:
0,3 • 20 = 6
Übe hier, ob du die Begriffe verstanden hast!
Grundwert = Prozentwert ÷ Prozentsatz
Grundwert = Prozentwert ÷ Prozentsatz
Grundwert = 160€ ÷ 0,2 = 160€ ÷ = 160€ · = 160€ · 5 = 800€
Prozentsatz = Prozentwert ÷ Grundwert
Prozentsatz = Prozentwert ÷ Grundwert
Prozentsatz = 160€ ÷ 800€ = = = 20%
Jetzt bist du bereit, dich an ein paar Anwendungsaufgaben zu versuchen. Viel Spaß dabei!