Julius-Echter-Gymnasium/Mathematik/Berechnung von Grundwert, Prozentsatz und Prozentwert: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 24. Februar 2020, 18:30 Uhr

In deinem Leben begegnen dir täglich viele Werte und Zahlen, manche von ihnen auch in Form von Prozenten.
→ Aber was bedeutet das, wenn gefragt ist, wie viel 15% von 100 ergeben?
→ Oder wie viel Prozent 25 von 50 sind?

Wie genau du nun Grundwert, Prozentsatz und Prozentwert berechnen kannst, erkläre ich dir jetzt.

Grundgleichung der Prozentrechnung:

Zunächst musst du dir die folgende Grundgleichung der Prozentrechnung gut einprägen:

"Der Prozentsatz vom Grundwert ist der Prozentwert."

  Prozentsatz • Grundwert = Prozentwert

Begriffserklärung:

Der Grundwert ist der Ausgangswert.

Der Prozentsatz ist ein Anteil des Grundwertes, ausgedrückt in Prozent.

Der Prozentwert ist ein Teil vom Grundwert, ausgedrückt in einem Zahlenwert.

Beispiel

Damit dir das Thema zugänglicher wird, erkläre ich die Begriffe noch einmal an einem Beispiel.

Im Jahrgangsstufentest für Mathematik der 5. Klasse bekamen 6 der 20 Schüler die Note 1:

6 von 20 Schüern, sind ( ${\frac {6}{20}}={\frac {30}{100}}=)$ 30%

→ Also sind in diesem Fall die 6 Schüler der Prozentwert

→ die 20 Schüler der Grundwert,

→ und die 30% der Prozentsatz.

In der Grundgleichung würde die Rechnung so aussehen:
0,3 • 20 = 6

Übe hier, ob du die Begriffe verstanden hast!

Aufgabe 1

Bei der Berechnung von Grundwert, Prozentsatz und Prozentwert geht es um das Ausrechnen von Teilen des Ganzen, des Ganzen selbst, bzw. des Teiles, welcher in Prozent angegeben werden soll.
Das Ganze, heißt Grundwert. Er ist der Wert, von dem man ausgeht.
Die Zahl, die in Prozent angegeben ist, heißt Prozentsatz.
Wenn man ihn mit dem Grundwert multipliziert, erhält man den Prozentwert, der dann einen Teil des Ganzen, des Grundwertes, darstellt.

Aufgabe 2

Merke

Wenn in der Aufgabe aber nicht nach dem Prozentwert gefragt ist, sondern nach dem Grundwert, verwendet man die Gleichung:

Grundwert = Prozentwert ÷ Prozentsatz

Herleitung der Formel zur Berechnung des Prozentsatzes über die Grundgleichung der Prozentrechnung / Dreisatz

Herleitung Grundwert

Für einen Urlaub müssen 20% des Preises, das sind 160€, angezahlt werden.
Wie teuer ist der Urlaub insgesamt?

Sicherlich ist dir aufgefallen, dass es sich bei den "20% des Preises" um den Prozentsatz handelt.
Folglich muss also der Prozentwert durch den Prozentsatz geteilt werden, um den Grundwert zu erhalten.

Da man die 160€ durch 20 teilt und anschließend mit 100 wieder multipliziert, könnte man genauso durch 0,2 teilen. (20% = 0,2)

Daraus ergibt sich dann die Gleichung:

Grundwert = Prozentwert ÷ Prozentsatz

Grundwert = 160€ ÷ 0,2 = 160€ ÷ ${\frac {2}{10}}$ = 160€ · ${\frac {10}{2}}$ = 160€ · 5 = 800€

Merke

Wenn der Prozentsatz gesucht ist, brauchst du zur Berechnung die Gleichung:

Prozentsatz =  Prozentwert ÷ Grundwert

Herleitung Prozentsatz

Der Familienurlaub kostet 800€, wobei 160€ direkt angezahlt werden müssen.
Wie viel Prozent des Urlaubsgeldes muss also gleich überwiesen werden?
Die Gleichung für den Prozentsatz leitet sich ähnlich her:
Man teilt den Grundwert, der ja das Ganze, also 100% repräsentiert, durch 100, um auf 1% zu kommen.
Anschließend wird wieder mit 20 multipliziert, da man von 8€ auf den Prozentwert 160€ kommen will.
Daraus ergibt sich ${\frac {1}{100}}$ • 20 = ${\frac {20}{100}}$ = 20%.

Folglich lautet die Gleichung zur Berechnung des Prozentsatzes:

Prozentsatz = Prozentwert ÷ Grundwert

Prozentsatz = 160€ ÷ 800€ = ${\frac {160}{800}}$ = ${\frac {2}{10}}$ = 20%

Jetzt bist du bereit, dich an ein paar Anwendungsaufgaben zu versuchen. Viel Spaß dabei!

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

Aufgabe 4

Aufgabe 5

Aufgabe 6

Rechenvorteile

Inhaltsverzeichnis

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 {{Box|'''Grundgleichung der Prozentrechnung:'''|Zunächst musst du dir die folgende '''Grundgleichung der Prozentrechnung''' gut einprägen:<br />
-"Der Prozentsatz vom Grundwert ist der Prozentwert.|Merksatz}}
+"Der Prozentsatz vom Grundwert ist der Prozentwert."|Merksatz}}
     <span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span> • <span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span> = <span style="color: #FF4040">'''Prozentwert'''</span>
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-Der <span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span> ist ein Teil des Grundwertes, ausgedrückt in Prozent.
+Der <span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span> ist ein Anteil des Grundwertes, ausgedrückt in Prozent.
 <br />
-Der <span style="color: #FF4040">'''Prozentwert'''</span> ist das Ergebnis aus der Multiplikation von Grundwert und Prozentsatz, ausgedrückt in einem Zahlenwert.
+Der <span style="color: #FF4040">'''Prozentwert'''</span> ist ein Teil vom Grundwert, ausgedrückt in einem Zahlenwert.
+<br />
+<br />
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-→ Also sind in diesem Fall die 6 Schüler der <span style="color: #FF4040">'''Prozentwert'''</span>
+→ Also sind in diesem Fall die <span style="color: #FF4040">6</span> Schüler der <span style="color: #FF4040">'''Prozentwert'''</span>
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-→ die 20 Schüler der <span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span>,
+→ die <span style="color: #00B2EE">20</span> Schüler der <span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span>,
+<br />
+→ und die <span style="color: #76EE00">30%</span> der <span style="color:#76EE00">'''Prozentsatz'''</span>.
+<br />
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-→ und die 30% der <span style="color:#76EE00">'''Prozentsatz'''</span>.
+In der Grundgleichung würde die Rechnung so aussehen:<br />
+<span style="color: #76EE00">'''0,3'''</span> • <span style="color: #00B2EE">'''20'''</span> = <span style="color: #FF4040">'''6'''</span>
+<br />
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 Übe hier, ob du die Begriffe verstanden hast!
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-{{Box|Merke|Wenn in der Aufgabe aber nicht nach dem Prozentwert gefragt ist, sondern nach dem Grundwert, verwendet man die Gleichung:|Merksatz}}
+{{Box|Merke|Wenn in der Aufgabe aber nicht nach dem Prozentwert gefragt ist, sondern nach dem '''Grundwert''', verwendet man die Gleichung:|Merksatz}}
-<br />
   <span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span> = <span style="color:#FF4040">'''Prozentwert'''</span> ÷ <span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span>
-<br />
-{{Box|Merke|Und wenn der Prozentwert gesucht ist, brauchst du zur Berechnung die Gleichung:|Merksatz}}
-<br />
- <span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span> =  <span style="color: #FF4040">'''Prozentwert'''</span> ÷ <span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span>
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+[[Datei:Dreisatz Grundwert.png|450px|rechts|Herleitung der Formel zur Berechnung des Prozentsatzes über die Grundgleichung der Prozentrechnung / Dreisatz]]
+{{Box|1=Herleitung Grundwert|2=Für einen Urlaub müssen 20% des Preises, das sind 160€, angezahlt werden. <br />
+Wie teuer ist der Urlaub insgesamt?
+<br />
-[[Datei:Herleitung 1.png|thumb|300px|Berechnung des Grundwertes]]
+Sicherlich ist dir aufgefallen, dass es sich bei den "20% des Preises" um den Prozentsatz handelt.
-{{Box|Herleitung Grundwert|Für einen Urlaub müssen 20% angezahlt werden, das sind 160€. Wie teuer ist der gesamte Urlaub?<br>
-Da man die 160€ durch 20 teilt und anschließend wieder mit 100 multipliziert, könnte man genauso durch 0,2 teilen (das sind 20%).
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-Sicherlich ist dir aufgefallen, dass es sich hierbei um den Prozentsatz handelt.
+Folglich muss also der Prozentwert durch den Prozentsatz geteilt werden, um den Grundwert zu erhalten.
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-Folglich muss der Prozentwert durch den Prozentsatz geteilt werden, damit man den Grundwert erhält.
+Da man die 160€ durch 20 teilt und anschließend mit 100 wieder multipliziert, könnte man genauso durch 0,2 teilen. (20% = 0,2)
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-Daraus ergibt sich dann die Gleichung:|Lösung}}
+Daraus ergibt sich dann die Gleichung:
+|3=Lösung}}
 <span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span> = <span style="color:#FF4040">'''Prozentwert'''</span> ÷ <span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span>
+<br />
+<br />
+<span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span> = <span style="color:#FF4040">'''160€'''</span> ÷ <span style="color: #76EE00">'''0,2'''</span> = 160€ ÷ <math>\frac{2}{10}</math> = 160€ &middot; <math>\frac{10}{2}</math> = 160€ &middot; 5 = <span style="color: #00B2EE">'''800€'''</span>
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+{{Box|Merke|Wenn der '''Prozentsatz '''gesucht ist, brauchst du zur Berechnung die Gleichung:|Merksatz}}
+ <span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span> =  <span style="color: #FF4040">'''Prozentwert'''</span> ÷ <span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span>
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-[[Datei:Herleitung 2.png|300px|Berechnung des Prozentsatzes]]
+[[Datei:Dreisatz Prozentsatz.png|450px|rechts|Herleitung der Formel zur Berechnung des Prozentsatzes über die Grundgleichung der Prozentrechnung / Dreisatz]]
-{{Box|Herleitung Prozentsatz|Der Familienurlaub kostet 800€, wobei 20% angezahlt werden müssen. Wie viel Geld muss also gleich überwiesen werden? <br>
+{{Box|1=Herleitung Prozentsatz|2=Der Familienurlaub kostet 800€, wobei 160€ direkt angezahlt werden müssen. <br />
-Die Gleichung für den Prozentsatz leitet sich ähnlich her:<br>
+Wie viel Prozent des Urlaubsgeldes muss also gleich überwiesen werden?
-Man teilt zunächst durch 100, um auf 1% zu kommen.<br>
-Anschließend wird wieder mit 20 multipliziert, da 8€ ja nicht dem Prozentwert entsprechen, sondern 160€.
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+Die Gleichung für den Prozentsatz leitet sich ähnlich her:
-Daraus ergibt sich <math>\frac{1}{100} </math> · 20 =  <math>\frac{20}{100} </math> = 20%.
+<br />
+Man teilt den Grundwert, der ja das Ganze, also 100% repräsentiert, durch 100, um auf 1% zu kommen.<br />
+Anschließend wird wieder mit 20 multipliziert, da man von 8€ auf den Prozentwert 160€ kommen will.
+<br />
+Daraus ergibt sich <math>\frac{1}{100} </math> • 20 =  <math>\frac{20}{100} </math> = 20%.
+<br />
+Folglich lautet die Gleichung zur Berechnung des Prozentsatzes:
+|3=Lösung}}
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-Folglich lautet die Gleichung zum Ausrechnen des Prozentsatzes:
-|Lösung}}<br />
-•·
 <span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span> =  <span style="color: #FF4040">'''Prozentwert'''</span> ÷ <span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span>
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+<span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span> =  <span style="color: #FF4040">'''160€'''</span> ÷ <span style="color: #00B2EE">'''800€'''</span> = <math>\frac{160}{800} </math> = <math>\frac{2}{10} </math> = <span style="color: #76EE00">'''20%'''</span>
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 Jetzt bist du bereit, dich an ein paar Anwendungsaufgaben zu versuchen. Viel Spaß dabei!
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