Julius-Echter-Gymnasium/Mathematik/Berechnung von Grundwert, Prozentsatz und Prozentwert: Unterschied zwischen den Versionen

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In deinem Leben begegnen dir täglich viele Werte und Zahlen, manche von ihnen auch in Form von Prozenten.
 
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→  Aber was bedeutet das, wenn gefragt ist, wie viel 15% von 100 ergeben?<br />
 
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→  Oder wie viel Prozent 25 von 50 sind?  
 
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Nun stellt sich die Frage, wie man solche Aufgaben lösen kann.
 
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Wie genau du nun Grundwert, Prozentsatz und Prozentwert berechnen kannst, erkläre ich dir jetzt.<br />
 
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{{Box|'''Grundgleichung der Prozentrechnung:'''|Zunächst musst du dir die folgende '''Grundgleichung der Prozentrechnung''' gut einprägen:<br />
Zunächst musst du dir die folgende '''Grundgleichung der Prozentrechnung''' gut einprägen:
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"Der Prozentsatz vom Grundwert ist der Prozentwert.|Merksatz}}
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Damit dir das Thema zugänglicher wird, erkläre ich die Begriffe noch einmal an einem Beispiel.
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Im Jahrgangsstufentest für Mathematik der 5. Klasse bekamen 6 der 20 Schüler die Note 1:  
 
Im Jahrgangsstufentest für Mathematik der 5. Klasse bekamen 6 der 20 Schüler die Note 1:  
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|Arbeitsmethode}}
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<span style="color: #FF4040">'''6'''</span> von <span style="color: #00B2EE">'''20 Schüern'''</span>, sind ( <math>\frac{6}{20} = \frac{30}{100}= ) </math> <span style="color: #76EE00">'''30%'''</span>
<span style="color: #76EE00">'''6'''</span> von <span style="color: #00B2EE">'''20 Schüern'''</span>, sind ( <math>\frac{6}{20} = \frac{30}{100}= ) </math> <span style="color: #FF4040">'''30%'''</span>
 
  
 
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{{Box|Merke|Wenn in der Aufgabe aber nicht nach dem Prozentwert gefragt ist, sondern nach dem Grundwert, verwendet man die Gleichung:|Merksatz}}
Wenn in der Aufgabe aber nicht nach dem Prozentwert gefragt ist, sondern nach dem Grundwert, verwendet man die Gleichung:  
 
 
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  <span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span> = <span style="color:#FF4040">'''Prozentwert'''</span> ÷ <span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span>
 
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Und wenn der Prozentwert gesucht ist, brauchst du zur Berechnung die Gleichung:
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  <span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span> =  <span style="color: #FF4040">'''Prozentwert'''</span> ÷ <span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span>
 
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{{Box|Herleitung Grundwert|Für einen Urlaub müssen 20% angezahlt werden, das sind 160€. Wie teuer ist der gesamte Urlaub?<br>
Für einen Urlaub müssen 20% angezahlt werden, das sind 160€. Wie teuer ist der gesamte Urlaub?<br>
 
 
Da man die 160€ durch 20 teilt und anschließend wieder mit 100 multipliziert, könnte man genauso durch 0,2 teilen (das sind 20%).
 
Da man die 160€ durch 20 teilt und anschließend wieder mit 100 multipliziert, könnte man genauso durch 0,2 teilen (das sind 20%).
 
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Folglich muss der Prozentwert durch den Prozentsatz geteilt werden, damit man den Grundwert erhält.
 
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Daraus ergibt sich dann die Gleichung: <br /><br />
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Daraus ergibt sich dann die Gleichung:|Lösung}}
  
 
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<span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span> = <span style="color:#FF4040">'''Prozentwert'''</span> ÷ <span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span>
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{{Box|Herleitung Prozentsatz|Der Familienurlaub kostet 800€, wobei 20% angezahlt werden müssen. Wie viel Geld muss also gleich überwiesen werden? <br>
Der Familienurlaub kostet 800€, wobei 20% angezahlt werden müssen. Wie viel Geld muss also gleich überwiesen werden? <br>
 
 
Die Gleichung für den Prozentsatz leitet sich ähnlich her:<br>
 
Die Gleichung für den Prozentsatz leitet sich ähnlich her:<br>
 
Man teilt zunächst durch 100, um auf 1% zu kommen.<br>
 
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Daraus ergibt sich <math>\frac{1}{100} </math> 20 =  <math>\frac{20}{100} </math> = 20%.
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Folglich lautet die Gleichung zum Ausrechnen des Prozentsatzes:
 
Folglich lautet die Gleichung zum Ausrechnen des Prozentsatzes:
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<span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span> =  <span style="color: #FF4040">'''Prozentwert'''</span> ÷ <span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span>
 
<span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span> =  <span style="color: #FF4040">'''Prozentwert'''</span> ÷ <span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span>
 
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{{Box|Aufgabe 3|{{LearningApp|app=p6x7i8yxn18|width=100%|height=500px}}|Üben}}
 
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{{Box|Aufgabe 4|{{LearningApp|app=po15gtre218|width=100%|height=500px}}|Üben}}
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{{Box|Aufgabe 5|{{LearningApp|app=pwynjbxjn18|width=100%|height=500px}}|Üben}}
 
{{Box|Aufgabe 5|{{LearningApp|app=pwynjbxjn18|width=100%|height=500px}}|Üben}}

Version vom 24. Februar 2020, 18:00 Uhr

In deinem Leben begegnen dir täglich viele Werte und Zahlen, manche von ihnen auch in Form von Prozenten.
→ Aber was bedeutet das, wenn gefragt ist, wie viel 15% von 100 ergeben?
→ Oder wie viel Prozent 25 von 50 sind?

Wie genau du nun Grundwert, Prozentsatz und Prozentwert berechnen kannst, erkläre ich dir jetzt.

Grundgleichung der Prozentrechnung:

Zunächst musst du dir die folgende Grundgleichung der Prozentrechnung gut einprägen:

"Der Prozentsatz vom Grundwert ist der Prozentwert.


  ProzentsatzGrundwert = Prozentwert


Begriffserklärung:

Der Grundwert ist der Ausgangswert.

Der Prozentsatz ist ein Teil des Grundwertes, ausgedrückt in Prozent.

Der Prozentwert ist das Ergebnis aus der Multiplikation von Grundwert und Prozentsatz, ausgedrückt in einem Zahlenwert.


Beispiel

Damit dir das Thema zugänglicher wird, erkläre ich die Begriffe noch einmal an einem Beispiel.

Im Jahrgangsstufentest für Mathematik der 5. Klasse bekamen 6 der 20 Schüler die Note 1:


6 von 20 Schüern, sind ( 30%



→ Also sind in diesem Fall die 6 Schüler der Prozentwert

→ die 20 Schüler der Grundwert,

→ und die 30% der Prozentsatz.


Übe hier, ob du die Begriffe verstanden hast!


Aufgabe 1

Bei der Berechnung von Grundwert, Prozentsatz und Prozentwert geht es um das Ausrechnen von Teilen des Ganzen, des Ganzen selbst, bzw. des Teiles, welcher in Prozent angegeben werden soll.
Das Ganze, heißt Grundwert. Er ist der Wert, von dem man ausgeht.
Die Zahl, die in Prozent angegeben ist, heißt Prozentsatz.
Wenn man ihn mit dem Grundwert multipliziert, erhält man den Prozentwert, der dann einen Teil des Ganzen, des Grundwertes, darstellt.


Aufgabe 2



Merke
Wenn in der Aufgabe aber nicht nach dem Prozentwert gefragt ist, sondern nach dem Grundwert, verwendet man die Gleichung:


Grundwert = Prozentwert ÷ Prozentsatz


Merke
Und wenn der Prozentwert gesucht ist, brauchst du zur Berechnung die Gleichung:


Prozentsatz =  Prozentwert ÷ Grundwert



Datei:Herleitung 1.png
Berechnung des Grundwertes
Herleitung Grundwert

Für einen Urlaub müssen 20% angezahlt werden, das sind 160€. Wie teuer ist der gesamte Urlaub?
Da man die 160€ durch 20 teilt und anschließend wieder mit 100 multipliziert, könnte man genauso durch 0,2 teilen (das sind 20%).
Sicherlich ist dir aufgefallen, dass es sich hierbei um den Prozentsatz handelt.
Folglich muss der Prozentwert durch den Prozentsatz geteilt werden, damit man den Grundwert erhält.

Daraus ergibt sich dann die Gleichung:

Grundwert = Prozentwert ÷ Prozentsatz



Berechnung des Prozentsatzes

Herleitung Prozentsatz
Lösung


•· Prozentsatz = Prozentwert ÷ Grundwert

Jetzt bist du bereit, dich an ein paar Anwendungsaufgaben zu versuchen. Viel Spaß dabei!


Aufgabe 1


Aufgabe 2


Aufgabe 3


Aufgabe 4


Aufgabe 5


Aufgabe 6