Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2.3 Wertetabelle und Funktionsgleichung
2.3) Zusammenhang zwischen Wertetabelle und Funktionsgleichung
Wiederholung: Erstellen einer Wertetabelle mithilfe der Funktionsgleichung
Du hast in den Einführungsbeispielen schon Wertetabellen erstellt. Schauen wir uns das Beispiel zum Bootsverleih noch einmal an. Die Funktionsgleichung lautet f(x) = 2x + 5
Um nun eine Wertetabelle zu erstellen, setze für x verschiedene Werte ein und berechne den zugehörigen y-Wert, den Funktionswert. Erinnerung: Werte von Termen berechnen (7. Klasse)
Das Video fasst das Vorgehen noch einmal zusammen:
Gib die Funktionsgleichungen bei GeoGebra ein und prüfe, ob die von dir errechneten Punkte auf dem Graphen der Funktion liegen.
https://www.geogebra.org/graphing
Punktprobe: Liegt der Punkt auf der Geraden?
Bei der Punktprobe entscheidest du rechnerisch, ob ein Punkt auf dem Funktionsgraphen liegt.
Tom und Lisa leihen für 3 Stunden ein Tretboot. Der Bootsverleiher rechnet den Preis 10€ aus. Kann das sein?
geg: Punkt A(3|10); Funktion f(x) = 2x + 5
ges: Liegt der Punkt A auf dem Graphen der Funktion?
In der Zeichnung erkennen wir sofort, dass dies nicht der Fall ist.
_%3D_2x_%2B_5_Punkt_A_liegt_nicht_auf_dem_Graphen.png)
Gegeben ist die Funktionsgleichung y = 2x + 5. Liegt der Punkt A(3|10) auf dem Graphen der Funktion?
(Hier ist es leichter y statt f(x) zu schreiben, der Zusammenhang zu den Koordinaten des Punktes sind dann leichter zu erkennen.)
Idee: Setze die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung ein und prüfe, ob die Gleichung erfüllt wird.
y= 2x + 5 A(3|10)
10 = 2·3 + 5
10 = 6 + 5
10 = 11 (f)
Es ergibt sich eine falsche Aussage, die Gleichung ist nicht erfüllt, also liegt der Punkt nicht auf dem Graphen. Wir prüfen ebenso, ob der Punkt B(4|13) auf der Geraden liegt:
Punktprobe:
y = 2x + 5 B(4|13)
13 = 2·4 + 5
13 = 8 + 5
13 = 13 (w)
Es ergibt sich eine wahre Aussage, die Gleichung ist erfüllt, also liegt der Punkt auf dem Graphen.
Das folgende Video fasst noch einmal zusammen:
Fehlende Koordinate eines Punktes der Funktion berechnen
Du kannst mithilfe der Funktionsgleichung fehlende Koordinaten berechnen.
1. Möglichkeit: x-Koordinate ist gegeben
Tom und Lisa leihen ein Tretboot für 1,5 Stunden. Wie viel müssen sie bezahlen?
geg: x = 1,5 und f(x) = 2x+5
ges: zugehöriger y-Wert
Setze die x-Koordinate in die Funktionsgleichung ein und berechne: f(x) = 2x + 5
y = 2·1,5 + 5
= 3 + 5
= 8 P(1,5|8)
Sie müssen 8€ bezahlen.
2. Möglichkeit: y-Koordinate ist gegeben:
Tom und Lisa bezahlen 10 €. Wie lange haben sie das Tretboot ausgeliehen?
geg: y = 10 und f(x) = 2x+5
ges: zugehörige x-Koordinate
Setze die y-Koordinate in die Funktionsgleichung ein und löse nach x auf:
f(x) = 2x + 5
10 = 2x + 5 |-5
5 = 2x |:2
2,5 = x P(2,5|10)
Sie haben das Boot für 2,5 Stunden geliehen.
Aufstellen der Funktionsgleichung durch den Punkt P mit m oder b gegeben
Die vorangegangenen Übungen zur "Punktprobe" können dir helfen:
Sezte in die allgemeine Funktionsgleichung f(x) = mx + b die gegebenen Größen ein und löse nach der gesuchten Größe auf.Zu Nr. 9: Wenn die Gerade parallel zur Geraden von f(x)= 1,5x + 1 verläuft, haben die Geraden dieselbe Steigung! Also ist m = 1,5 gegeben. Außerdem hast du den Punkt P(2I6) gegeben. Gesucht ist b.
Setze die gegebenen Größen ein und löse nach b auf.
Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen bestimmen
Nullstelle (Schnittpunkt mit der x-Achse): f(x) = 0, also -x+4 = 0
y-Achsenabschnitt (Schnittpunkt mit der y-Achse): x = 0, also f(0) = -0+4
Prüfe dein Ergebnis mithilfe von GeoGebra https://www.geogebra.org/graphing . Gib dort die Funktionsgleichung ein und vergleiche deine rechnerischen Lösungen mit dem Graphen. Wo schneidet der Graph die Koordinatenachsen?_%3D_-x%2B4_Schnittpunkte_mit_den_Koordinatenachsen.png)
_%3D_-0.5x%2B5.png)
_%3D_1.5x%2B3.png)
_%3D_0.25x-2.png)
2.4) Lineare Funktionen im Aktivurlaub und andere Anwendungen
Es gibt Situationen in unserem Alltag, in denen sich Probleme oder Fragen mithilfe von linearen Funktionen beschreiben und lösen lassen. Solche Aufgaben nennen wir "Anwendungsaufgaben". Die Alltagssituation wird in ein mathematisches Modell übertragen, mit unserem Wissen zu den linearen Funktionen mathematisch gelöst und diese Lösung dann auf die Situation bezogen. Die nachfolgende Struktur hilft dir dabei:
Die Zuordnung lautet Zeit [Stunden] Kosten [€]
x gibt also die Zeit an, f(x) die Kosten.
