Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren 2.0/Terme und Gleichungen: Unterschied zwischen den Versionen

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Viel Spaß!|Kurzinfo}}
Viel Spaß!|Kurzinfo}}




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'''b)''' <math> \frac{4}{3}x - \frac{3}{5}x = \frac{20}{15}x - \frac{9}{15} = \frac{11}{15}x </math> <br />
'''b)''' <math> \frac{4}{3}x - \frac{3}{5}x = \frac{20}{15}x - \frac{9}{15} = \frac{11}{15}x </math> <br />
'''c)''' <math> \frac{8}{2}x+7 </math> <br />
'''c)''' <math> \frac{8}{2}x+7 </math> <br />
'''d)''' <math> 15x - 5y </math> <br />
'''d)''' <math> 15x - 4y </math> <br />
'''e)''' <math> x + y </math> <br />
'''e)''' <math> x^2 + 2x - 2 </math> <br />
'''f)''' <math> 2x^2 -1 </math> | 2= Lösung| 3= Lösung}}
'''f)''' <math> x + y </math> | 2= Lösung| 3= Lösung}}
|3 = Arbeitsmethode}}
|3 = Arbeitsmethode}}


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{{Lösung versteckt|1= Überlege über welchen Weg du den Term am besten vereinfachen kannst. Schaue dir dafür in der Wiederholung "Terme - Vereinfachen" die verschiedneen Wege nochmal an.{{Lösung versteckt|1= Markiere dir die im Term zusammengehörenden Teilterme und sortiere sie der Reihe nach. z.B: <span style="color: orange">2x</span> + <span style="color: red">3</span> - <span style="color: orange">3x</span> - <span style="color: red">2</span> |2=Tipp 2 |3=Tipp 2 }}|2=Tipp 1 |3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1= Überlege über welchen Weg du den Term am besten vereinfachen kannst. Schaue dir dafür in der Wiederholung "Terme - Vereinfachen" die verschiedneen Wege nochmal an.{{Lösung versteckt|1= Markiere dir die im Term zusammengehörenden Teilterme und sortiere sie der Reihe nach. z.B: <span style="color: orange">2x</span> + <span style="color: red">3</span> - <span style="color: orange">3x</span> - <span style="color: red">2</span> |2=Tipp 2 |3=Tipp 2 }}|2=Tipp 1 |3=Tipp 1}}


{{Lösung versteckt|1= '''a)''' <math> 2x^2 - 3 + 3x + 2 - 3x = 2x^2 <s>+ 3x - 3x</s> - 3 + 2 = 2x^2 -1  </math> <br />  
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' <math> 2x^2 - 3 + 3x + 2 - 3x = 2x^2 + 3x - 3x - 3 + 2 = 2x^2 -1  </math> <br />  
'''b)''' <math> 10\frac{9}{3}x \frac{30}{20} </math> <br />
'''b)''' <math> 10\frac{9}{3}x + \frac{30}{20} </math> <br />
'''c)''' <math> 12x - 7xy </math> <br />
'''c)''' <math> 12x - 7xy </math> <br />
'''d)''' <math> 14x + 9y </math> <br />
'''d)''' <math> 14x + 9y </math> <br />
'''e)''' <math> -2xy +2yz - 4zx </math> <br /> | 2= Lösung| 3= Lösung}}|3 = Arbeitsmethode}}
'''e)''' <math> 2xy + 3yz +xz </math> <br /> | 2= Lösung| 3= Lösung}}|3 = Arbeitsmethode}}


{{Box|1 = <span style="color: green"> Aufgabe 1.3 </span>|2 = Fasse die Terme durch Addieren und Subtrahieren zusammen, vereinfache dabei soweit wie möglich.<br /> <br />  
{{Box|1 = <span style="color: green"> Aufgabe 1.3 </span>|2 = Fasse die Terme durch Addieren und Subtrahieren zusammen, vereinfache dabei soweit wie möglich.<br /> <br />  
<span style="color: green"> a) </span>  <math> (x-1) - (-x-5)-10x </math><br /> <br />  
<span style="color: green"> a) </span>  <math> (x-1) - (-x-5)-10x </math><br /> <br />  
<span style="color: green"> b) </span>  <math> \frac{14+23y}{3} - \frac{3y-3}{2}  </math><br /> <br />  
<span style="color: green"> b) </span>  <math> \frac{14+23y}{3} - \frac{3y-3}{2}  </math><br /> <br />  
<span style="color: green"> c) </span>  <math> \frac{66y +42x}{6} + \frac{18y-9}{3} </math><br /> <br />  
<span style="color: green"> c) </span>  <math> \frac{66y +42x}{6} - \frac{18y-9}{3} </math><br /> <br />  
<span style="color: green"> d) </span>  <math> \frac{8x^3 + 6x^2}{2} + \frac{20x^3 - 15x^2}{5} </math>
<span style="color: green"> d) </span>  <math> \frac{8x^3 + 6x^2}{2} + \frac{20x^3 - 15x^2}{5} </math>


{{Lösung versteckt|1= Überlege über welchen Weg du den Term am besten vereinfachen kannst. Schaue dir dafür in der Wiederholung "Terme - Vereinfachen" die verschiedneen Wege nochmal an.{{Lösung versteckt|1= Markiere dir die im Term zusammengehörenden Teilterme und sortiere sie der Reihe nach. z.B: <span style="color: orange">2x</span> + <span style="color: red">3</span> - <span style="color: orange">3x</span> - <span style="color: red">2</span> |2=Tipp 2 |3=Tipp 2 }}|2=Tipp 1 |3=Tipp 1 }}
{{Lösung versteckt|1= Überlege über welchen Weg du den Term am besten vereinfachen kannst. Schaue dir dafür in der Wiederholung "Terme - Vereinfachen" die verschiedneen Wege nochmal an.{{Lösung versteckt|1= Markiere dir die im Term zusammengehörenden Teilterme und sortiere sie der Reihe nach. z.B: <span style="color: orange">2x</span> + <span style="color: red">3</span> - <span style="color: orange">3x</span> - <span style="color: red">2</span> |2=Tipp 2 |3=Tipp 2 }}|2=Tipp|3=Tipp}}


{{Lösung versteckt|1= '''a)''' <math>  -8x + 4 </math> <br />  
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' <math>  (x-1) - (-x-5)-10x = x-1 + x + 5 - 10x = -10x+x+x-1+5 = -8x + 4 </math> <br />  
'''b)''' <math> \frac{37y+37}{6}  </math> <br />  
'''b)''' <math> \frac{37y+37}{6}  </math> <br />  
'''c)''' <math> \frac{30y+42x+18}{6} </math> <br />
'''c)''' <math> \frac{30y+42x+18}{6} </math> <br />
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|3 = Arbeitsmethode}}
|3 = Arbeitsmethode}}


{{Box|1=<span style="color: orange"> Aufgabe 2 </span>|2=Füge die zugehörigen Terme zusammen. Du kannst hierfür deinen Stift und Papier nutzen.{{LearningApp|width:75%|height:250px|app=1403704}}|3=Arbeitsmethode}}
{{Box|1=<span style="color: orange"> Aufgabe 2 </span>|2=Füge die zugehörigen Terme zusammen. Du kannst hierfür deinen Stift und Papier nutzen.{{LearningApp|width:75%|height:250px|app=2954651}}{{Lösung versteckt|1= Überlege über welchen Weg du den Term am besten vereinfachen kannst. Schaue dir dafür in der Wiederholung "Terme - Vereinfachen" die verschiedneen Wege nochmal an.{{Lösung versteckt|1= Markiere dir die im Term zusammengehörenden Teilterme und sortiere sie der Reihe nach. z.B: <span style="color: orange">2x</span> + <span style="color: red">3</span> - <span style="color: orange">3x</span> - <span style="color: red">2</span> |2=Tipp 2|3=Tipp 2}}|2=Tipp |3=Tipp}}|3=Arbeitsmethode}}




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{{Lösung versteckt|1= Beim Ausmultiplizieren musst du jeden Faktor vor der Klammer mit jedem in der Klammer multiplizieren. in der Wiederholung "Terme - Vereinfachen" siehst du ein Beispiel für das Ausmultiplizieren.|2=Tipp |3=Tipp }}
{{Lösung versteckt|1= Beim Ausmultiplizieren musst du jeden Faktor vor der Klammer mit jedem in der Klammer multiplizieren. in der Wiederholung "Terme - Vereinfachen" siehst du ein Beispiel für das Ausmultiplizieren.|2=Tipp |3=Tipp }}


{{Lösung versteckt|1= '''a)''' <math>  30x^2 </math> <br />  
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' <math>  (3x + 2x) \cdot 6x = 3x \cdot 6x + 2x \cdot 6x = 18x + 12x =30x^2 </math> <br />  
'''b)''' <math> 6x + 14 </math> <br />  
'''b)''' <math> 6x + 14 </math> <br />  
'''c)''' <math> 6x + 12y </math> <br />
'''c)''' <math> 6x + 12y </math> <br />
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{{Lösung versteckt|1= Beim Ausmultiplizieren musst du jeden Faktor vor der Klammer mit jedem in der Klammer multiplizieren. in der Wiederholung "Terme - Vereinfachen" siehst du ein Beispiel für das Ausmultiplizieren.|2=Tipp |3=Tipp }}
{{Lösung versteckt|1= Beim Ausmultiplizieren musst du jeden Faktor vor der Klammer mit jedem in der Klammer multiplizieren. in der Wiederholung "Terme - Vereinfachen" siehst du ein Beispiel für das Ausmultiplizieren.|2=Tipp |3=Tipp }}


{{Lösung versteckt|1= '''a)''' <math> 6xy - 8x^2 </math> <br />  
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' <math> 2x \cdot (3y - 4x) = 2x \cdot 3y - 2x \cdot 3x = 6xy - 8x^2 </math> <br />  
'''b)''' <math> -1\frac{2}{3} + y </math> <br />  
'''b)''' <math> -1\frac{2}{3} + y </math> <br />  
'''c)''' <math> x^2 + xy + xz </math> <br />
'''c)''' <math> x^2 + xy + xz </math> <br />
'''d)''' <math> \frac{6}{35}x^2 + \frac{8}{30}</math> <br /> | 2= Lösung| 3= Lösung}}|3= Arbeitsmethode}}
'''d)''' <math> \frac{6}{35}x^2 + \frac{8}{30}x</math> <br /> | 2= Lösung| 3= Lösung}}|3= Arbeitsmethode}}


{{Box|1 = <span style="color: green"> Aufgabe 3.3 </span>|2= Fasse die Terme durch Ausmultiplizieren zusammen. Vereinfache dabei soweit wie möglich.<br /> <br />  
{{Box|1 = <span style="color: green"> Aufgabe 3.3 </span>|2= Fasse die Terme durch Ausmultiplizieren zusammen. Vereinfache dabei soweit wie möglich.<br /> <br />  
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{{Lösung versteckt|1= Beim Ausmultiplizieren musst du jeden Faktor vor der Klammer mit jedem in der Klammer multiplizieren. in der Wiederholung "Terme - Vereinfachen" siehst du ein Beispiel für das Ausmultiplizieren.|2=Tipp |3=Tipp }}
{{Lösung versteckt|1= Beim Ausmultiplizieren musst du jeden Faktor vor der Klammer mit jedem in der Klammer multiplizieren. in der Wiederholung "Terme - Vereinfachen" siehst du ein Beispiel für das Ausmultiplizieren.|2=Tipp |3=Tipp }}


{{Lösung versteckt|1= '''a)''' <math> -2x^4 - 2y^4 + 2x^2 -2y^2 </math> <br />  
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' <math> (x^2 - y^2) \cdot (-2x^2 + 2y^2 + 2)= x^2 \cdot -2x^2 + x^2 \cdot 2y^2 + x^2 \cdot 2 - y^2 \cdot -2x^2 -y^2\cdot2y^2 - y^2\cdot 2 = -2x^4 + 2x^2+ 4x^2y^2 - 2y^2 - 2y^4 </math> <br />  
'''b)''' <math> -x + y  </math> <br />  
'''b)''' <math> -x + y  </math> <br />  
'''c)''' <math> 6x^2 - 5y </math> <br />
'''c)''' <math> 4x^2 - 5y </math> <br />
'''d)''' <math> x </math> <br /> | 2= Lösung| 3= Lösung}}|3= Arbeitsmethode}}
'''d)''' <math> x </math> <br /> | 2= Lösung| 3= Lösung}}|3= Arbeitsmethode}}


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'''b)''' <math> 3x \cdot (2+x) </math> <br />
'''b)''' <math> 3x \cdot (2+x) </math> <br />
'''c)''' <math> xy \cdot(12y - 2x - 1) </math> <br />
'''c)''' <math> xy \cdot(12y - 2x - 1) </math> <br />
'''d)''' <math> 3x \cdot \left(\frac{1+3x+4y}{2}\right) </math>| 2= Lösung| 3= Lösung}}|3=Arbeitsmethode}}
'''d)''' <math> 3x \cdot \left(\frac{1+3x-4y}{2}\right) </math>| 2= Lösung| 3= Lösung}}|3=Arbeitsmethode}}


{{Box|1= <span style="color: blue"> Aufgabe 4.2 </span>|2=Fasse die Terme durch Ausklammern zusammen, vereinfache dabei soweit wie möglich.<br /> <br />  
{{Box|1= <span style="color: blue"> Aufgabe 4.2 </span>|2=Fasse die Terme durch Ausklammern zusammen, vereinfache dabei soweit wie möglich.<br /> <br />  
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{{Lösung versteckt|1=Überlege welche(n) Faktor/Faktoren du ausklammern kannst. {{Lösung versteckt|1=Achte bei Tipp 1 auf den größten gemeinsamen Teiler.{{Lösung versteckt|1= Der größte gemeinsame Teiler (ggT) ist die größte Zahl, die die Teilermengen zweier/mehrerer Zahlen gemein haben. Beispiel: Wir suchen den ggT der Zahlen 12 und 18. Dafür suchen wir alle Zahlen die die Zahl 12 bzw 18 teilen (Teilermengen). T<sub>12</sub> = {1,2,3,4,<span style="color: green"> 6 </span>,12} und T<sub>18</sub> = {1,2,3,<span style="color: green">6</span>,9,18}. Damit ergibt sich, dass 6 der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 12 und 18 ist.|2=Tipp 3 |3=Tipp 3 }}|2=Tipp 2 |3=Tipp 2 }}|2=Tipp 1 |3=Tipp 1 }}
{{Lösung versteckt|1=Überlege welche(n) Faktor/Faktoren du ausklammern kannst. {{Lösung versteckt|1=Achte bei Tipp 1 auf den größten gemeinsamen Teiler.{{Lösung versteckt|1= Der größte gemeinsame Teiler (ggT) ist die größte Zahl, die die Teilermengen zweier/mehrerer Zahlen gemein haben. Beispiel: Wir suchen den ggT der Zahlen 12 und 18. Dafür suchen wir alle Zahlen die die Zahl 12 bzw 18 teilen (Teilermengen). T<sub>12</sub> = {1,2,3,4,<span style="color: green"> 6 </span>,12} und T<sub>18</sub> = {1,2,3,<span style="color: green">6</span>,9,18}. Damit ergibt sich, dass 6 der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 12 und 18 ist.|2=Tipp 3 |3=Tipp 3 }}|2=Tipp 2 |3=Tipp 2 }}|2=Tipp 1 |3=Tipp 1 }}


{{Lösung versteckt|1= '''a)''' <math> 3x \cdot (3-3y)  </math> <br />  
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' <math> 3x \cdot (2+x-3y)  </math> <br />  
'''b)''' <math> 8x \cdot (4x-2-8y)</math> <br />
'''b)''' <math> 8x \cdot (4x-2-8y)</math> <br />
'''c)''' <math> 4xy \cdot (4+9-1) = 48xy </math> <br />
'''c)''' <math> 4xy \cdot (4+9-1) = 48xy </math> <br />
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'''d)''' <math> 7xy \cdot(3 + 2x -6y + 9xy) </math>| 2= Lösung| 3= Lösung}}|3=Arbeitsmethode}}
'''d)''' <math> 7xy \cdot(3 + 2x -6y + 9xy) </math>| 2= Lösung| 3= Lösung}}|3=Arbeitsmethode}}


{{Box|1=<span style="color: orange"> Aufgabe 5 </span>|2=Füge die zugehörigen Terme zusammen.
{{Box|1=<span style="color: orange"> Aufgabe 5 </span>|2=Füge die zugehörigen Terme zusammen. Nutze Stift und Papier zur Hilfe.
{{LearningApp|width:75%|height:250px|app=1732909}}|3=Arbeitsmethode}}
{{LearningApp|width:75%|height:250px|app=pt7a13xbn19}}{{Lösung versteckt|1= Klammere oder Multipliziere die Terme aus. Achte insbesondere auf Vorzeichen.{{Lösung versteckt|1= Schaue dir nochmal oben die Wiederholung an, in der das Ausmultiplizieren und Ausklammern erwähnt wird. |2=Tipp 2|3=Tipp 2}}|2=Tipp|3=Tipp}}|3=Arbeitsmethode}}


===Gleichungen===
===Wiederholung: Gleichungen===
<br />
<br />
In diesem Abschnitt kannst du trainieren, wie du lineare und quadratische Gleichungen aufstellst und löst. Falls du nicht mehr genau weißt, was eine Gleichung ist, lies dir die kurze Erklärung noch einmal durch:
In diesem Abschnitt kannst du trainieren, wie du lineare und quadratische Gleichungen aufstellst und löst. Falls du nicht mehr genau weißt, was eine Gleichung ist, lies dir die kurze Erklärung noch einmal durch:
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<math>5x = 10</math>. | 2= Was ist eine Gleichung?| 3= Was ist eine Gleichung? }}
<math>5x = 10</math>. | 2= Was ist eine Gleichung?| 3= Was ist eine Gleichung? }}
====Aufgabe 6====
Löse folgende Gleichungen:




{|  
{{Box|1 = <span style="color: orange"> Aufgabe 6.1 </span>| 2 = Löse folgende lineare Gleichungen. <br /> <br />  
!<span style="color: orange"> I </span>
<span style="color: orange"> a) </span>  <math> 5x = 15 </math> <br /> <br />  
!<span style="color: blue"> II </span>
<span style="color: orange"> b) </span>  <math> 20x = 10 </math> <br /> <br />  
!<span style="color: green"> III </span>
<span style="color: orange"> c) </span>  <math> x + \frac{3}{4} = 1 </math> <br /> <br />  
|-
<span style="color: orange"> d) </span>  <math> \frac{1}{2} x + 3 = 8 </math> <br /> <br />
|<span style="color: orange"> a) </span>  <math> 5x = 15 </math> <br />
 
|<span style="color: blue"> a) </span>  <math> x + \frac{1}{2} = 2 - x </math>
{{Lösung versteckt|1= Überlege dir, was du rechnen musst, damit das <math> x </math> alleine auf einer der Seite der Gleichung steht. {{Lösung versteckt|1= Sortiere dazu erst die Summanden mit und ohne <math> x </math>, indem du sie addierst, subtrahierst und zusammenfasst. Anschließend dividierst du die Gleichung durch den Vorfaktor des Summanden mit dem <math> x </math> | 2= Tipp 2| 3= Tipp 2 }} | 2= Tipp 1| 3= Tipp 1}}
|<span style="color: green"> a) </span>  <math> \frac{3}{4}x + \frac{3}{8} = \frac{x}{2} </math>
 
|-
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' <math> x = 3 </math> <br /> '''b)''' <math> x = \frac{1}{2} </math> <br /> '''c)''' <math> x = \frac{1}{4} </math> <br /> '''d)''' <math> x = 10 </math> <br /> | 2= Lösung| 3= Lösung}}
|<span style="color: orange"> b) </span>  <math> 20x = 10 </math> <br />
 
|<span style="color: blue"> b) </span>  <math> x + 3 + 4x = 13 </math>
| 3 = Arbeitsmethode }}
|<span style="color: green"> b) </span>  <math> \frac{x}{2} + \frac{x}{5} = 1 </math>
|-
|<span style="color: orange"> c) </span>  <math> x + \frac{3}{4} = 1 </math> <br />
|<span style="color: blue"> c) </span>  <math> \frac{x}{4} + \frac{1}{2} = 1\frac{1}{4} </math>
|<span style="color: green"> c) </span>  <math> x + \frac{3}{7} = - x - \frac{1}{10} </math>
|-
|<span style="color: orange"> d) </span>  <math> \frac{1}{2} x + 3 = 8 </math> <br />
|<span style="color: blue"> d) </span>  <math> \frac{x}{2} + x = 6 </math>
|-
|}


{{Lösung versteckt|1= Bringe zunächst alle Terme mit x zusammen. Beispiel: <math> x - 1 = 2x </math> wird zu <math> -1 = x </math>, indem du auf beiden Seiten <math> -x </math> rechnest. | 2= Tipp zu II a)| 3= Tipp zu II a) }}
{{Box|1 = <span style="color: blue">  Aufgabe 6.2 </span>| 2 = Löse folgende lineare Gleichungen. <br /> <br />
<span style="color: blue"> a) </span>  <math> x + \frac{1}{2} = 2 - x </math> <br /> <br />
<span style="color: blue"> b) </span>  <math> x + 3 + 4x = 13 </math> <br /> <br />
<span style="color: blue"> c) </span>  <math> \frac{x}{4} + \frac{1}{2} = 1\frac{1}{4} </math> <br /> <br />
<span style="color: blue"> d) </span>  <math> \frac{x}{2} + x = 6 </math> <br /> <br />


{{Lösung versteckt|1= Falls du bei dieser Aufgabe Schwierigkeiten hast, betrachte im Kapitel "Terme" die Aufgaben zum Ausklammern. | 2= Tipp zu III a)| 3= Tipp zu III a) }}
{{Lösung versteckt|1= Überlege dir, was du rechnen musst, damit das <math> x </math> alleine auf einer der Seite der Gleichung steht. {{Lösung versteckt|1= Sortiere dazu erst die Summanden mit und ohne <math> x </math>, indem du sie addierst, subtrahierst und zusammenfasst. Anschließend dividierst du die Gleichung durch den Vorfaktor des Summanden mit dem  <math> x </math> | 2= Tipp 2| 3= Tipp 2 }}  | 2= Tipp 1| 3= Tipp 1}}


{{Lösung versteckt|1='''a)''' <math> x = \frac{3}{4} </math> <br />  '''b)''' <math> x = 2 </math> <br />  '''c)''' <math> x = 3 </math> <br /> '''d)''' <math> x = 4 </math> <br /> | 2= Lösung | 3= Lösung }}


{{Lösung versteckt|1=a) <math> x = 3 </math>  b) <math> x = \frac{1}{2} </math>  c) <math> x = \frac{1}{4} </math>  d) <math> x = 10 </math> | 2= Lösung zu I| 3= Lösung zu I }}
| 3 = Arbeitsmethode }}


{{Lösung versteckt|1=a) <math> x = \frac{3}{4} </math> b) <math> x = 2 </math> c) <math> x = 3 </math> d) <math> x = 4 </math> | 2= Lösung zu II| 3= Lösung zu II }}
{{Box|1 = <span style="color: green">  Aufgabe 6.3 </span>| 2 = Löse folgende lineare Gleichungen. <br /> <br />
<span style="color: green"> a) </span>  <math> \frac{3}{4}x + \frac{3}{8} = \frac{x}{2} </math> <br /> <br />
<span style="color: green"> b) </span>  <math> \frac{x}{2} + \frac{x}{5} = 1 </math> <br /> <br />
<span style="color: green"> c) </span>  <math> x + \frac{3}{7} = - x - \frac{1}{10} </math> <br /> <br />  


{{Lösung versteckt|1=a) <math> x = -\frac{1}{2} </math> b) <math> x = \frac{10}{7} = 1\frac{3}{7} </math>  c) <math> x = -\frac{37}{120} </math> | 2= Lösung zu III| 3= Lösung zu III }}
{{Lösung versteckt|1= Überlege dir, was du rechnen musst, damit das <math> x </math> alleine auf einer der Seite der Gleichung steht. (Bei Schwierigkeiten betrachte im Kaptiel "Terme" die Aufgaben zum Ausklammern.) {{Lösung versteckt|1= Sortiere dazu erst die Summanden mit und ohne <math> x </math>, indem du sie addierst, subtrahierst und zusammenfasst. Anschließend dividierst du die Gleichung durch den Vorfaktor des Summanden mit dem <math> x </math> | 2= Tipp 2| 3= Tipp 2 }}  | 2= Tipp 1| 3= Tipp 1}}


{{Lösung versteckt|1='''a)''' <math> x = -\frac{1}{2} </math> <br /> '''b)''' <math> x = \frac{10}{7} = 1\frac{3}{7} </math> <br /> '''c)''' <math> x = -\frac{37}{120} </math> <br /> | 2= Lösung| 3= Lösung }}


====Aufgabe 7====
| 3 = Arbeitsmethode }}
Löse folgende Gleichungen:




{|  
{{Box|1 = <span style="color: orange"> Aufgabe 7.1 </span>| 2 = Löse folgende quadratische Gleichungen. <br /> <br />  
!<span style="color: orange"> I </span>
<span style="color: orange"> a) </span>  <math> x^2 = 25 </math> <br /> <br />  
!<span style="color: blue"> II </span>
<span style="color: orange"> b) </span>  <math> x^2 - 2 = 14 </math> <br /> <br />  
!<span style="color: green"> III </span>
<span style="color: orange"> c) </span>  <math> x^2 = \frac{1}{4} </math> <br /> <br />
|-
<span style="color: orange"> d) </span>  <math> x^2 - 10x + 24 = 0 </math> <br /> <br />
|<span style="color: orange"> a) </span>  <math> x^2 = 25 </math> <br />
|<span style="color: blue"> a) </span>  <math> \frac{x^2}{4} = 16 </math>
|<span style="color: green"> a) </span>  <math> x^2 - 2x + 4 = 0 </math>
|-
|<span style="color: orange"> b) </span>  <math> x^2 - 2 = 14 </math> <br />
|<span style="color: blue"> b) </span>  <math> x^2 - 6x = 27 </math>
|<span style="color: green"> b) </span>  <math> \frac{x^2}{2} = x - \frac{3}{2} </math>
|-
|<span style="color: orange"> c) </span>  <math> x^2 = \frac{1}{4} </math> <br />
|<span style="color: blue"> c) </span>  <math> x^2 + 1 = 2x </math>
|-
|<span style="color: orange"> d) </span>  <math> x^2 - 10x + 24 = 0 </math> <br />
|-
|}


{{Lösung versteckt|1= Gleichungen der Form <math> x^2 + px + q = 0 </math>, wobei <math> p </math> und <math> q </math> für Zahlen stehen, kannst du mit der <math> p </math> - <math> q </math> - Formel lösen. Solltest du nicht mehr wissen, wie man mit der Formel arbeitet, kannst du dir das auf dieser Seite noch einmal anschauen: https://www.mathebibel.de/pq-formel  | 2= Tipp zu I d)| 3= Tipp zu I d) }}
{{Lösung versteckt|1= Eine quadratische Gleichung kann 2, 1 oder 0 Lösungen haben. Sortiere in einem ersten Schritt die Summanden beispielsweise wie in Aufgabe 6.  {{Lösung versteckt|1= Gleichungen der Form <math> x^2 + px + q = 0 </math>, wobei <math> p </math> und <math> q </math> für Zahlen stehen, kannst du mit der <math> p </math> - <math> q </math> - Formel lösen. Solltest du nicht mehr wissen, wie man mit der Formel arbeitet, kannst du dir das auf dieser Seite noch einmal anschauen: https://www.mathebibel.de/pq-formel  | 2= Tipp zu d)| 3= Tipp zu d) }} | 2= Tipp 1| 3= Tipp 1}}


{{Lösung versteckt|1= Bringe die Gleichung in die Form, in der du die <math> p </math> - <math> q </math> - Formel anwenden kannst. | 2= Tipp zu II b)| 3= Tipp zu II b) }}
{{Lösung versteckt|1='''a)''' <math> x_1 = 5 ; x_2 = -5 </math> <br /> '''b)''' <math> x_1 = 4 ; x_2 = -4 </math> <br /> '''c)''' <math> x_1 = \frac{1}{2}  ; x_2 = - \frac{1}{2} </math> <br /> '''d)''' <math> x_1 = 6 ; x_2 = 4 </math> <br /> | 2= Lösung | 3= Lösung }}


| 3 = Arbeitsmethode }}


{{Lösung versteckt|1=a) <math> x = 5 </math> b) <math> x = 4 </mathc) <math> x = \frac{1}{2} </math> d)  x<sub>1</sub> = 6 ; x<sub>2</sub> = 4 | 2= Lösung zu I| 3= Lösung zu I }}
{{Box|1 = <span style="color: blue">  Aufgabe 7.2 </span>| 2 = Löse folgende quadratische Gleichungen. <br /> <br />  
<span style="color: blue"> a) </span>  <math> \frac{x^2}{4} = 16 </math> <br /> <br />
<span style="color: blue"> b) </span> <math> x^2 - 6x = 27 </math> <br /> <br />  
<span style="color: blue"> c) </span<math> x^2 + 1 = 2x </math> <br /> <br />


{{Lösung versteckt|1=a) <math> x = 8 </math>   b) x<sub>1</sub> = 9 ; x<sub>2</sub> = -3  c) <math> x = 1 </math> (Es gibt nicht immer zwei Lösungen bei linearen Gleichungen!) | 2= Lösung zu II| 3= Lösung zu II }}
{{Lösung versteckt|1= Eine quadratische Gleichung kann 2, 1 oder 0 Lösungen haben. Sortiere dir zuerst die Summanden. Bringe die Gleichung zum Beispiel in die Form, in der du die <math> p </math> - <math> q </math> - Formel anwenden kannst. | 2= Tipp | 3= Tipp }}


{{Lösung versteckt|1=a) Diese Aufgabe hat keine Lösung (in den reellen Zahlen).  b)  x<sub>1</sub> = 3 ; x<sub>2</sub> = -1  | 2= Lösung zu III| 3= Lösung zu III }}<br />
{{Lösung versteckt|1='''a)''' <math> x_1 = 8 ; x_2 = -8 </math> <br />  '''b)''' <math> x_1 = 9 ; x_2 = -3 </math> <br /> '''c)''' <math> x = 1 </math> (Es gibt nicht immer zwei Lösungen bei quadratischen Gleichungen!) <br />| 2= Lösung| 3= Lösung }}
 
| 3 = Arbeitsmethode }}
 
{{Box|1 = <span style="color: green">  Aufgabe 7.3 </span>| 2 = Löse folgende quadratische Gleichungen. <br /> <br />
<span style="color: green"> a) </span>  <math> x^2 - 2x + 4 = 0 </math> <br /> <br />
<span style="color: green"> b) </span>  <math> \frac{x^2}{2} = x + \frac{3}{2} </math> <br /> <br />
 
{{Lösung versteckt|1= Eine quadratische Gleichung kann 2, 1 oder 0 Lösungen haben. Sortiere dir die Summanden der Gleichung. Bringe die Gleichung zum Beispiel in die Form, in der du die <math> p </math> - <math> q </math> - Formel anwenden kannst. | 2= Tipp | 3= Tipp }}
 
{{Lösung versteckt|1='''a)''' Diese Aufgabe hat keine Lösung (in den reellen Zahlen). Berechnet man die Lösung der Gleichung mit der <math> p </math> - <math> q </math> - Formel, so sieht man, dass der Radiant negativ ist und somit die Gleichung nicht in den reellen Zahlen gelöst werden kann.
 
[[Datei:TG Lösung zu A7.3a.png|350px|Lösung zu Aufgabe 7.3a im Kapitel Terme und Gleichungen des Lernpfads "Wie Funktionen funktionieren 2.0"(nicht korrekt via Mathe-Umgebung darstellbar)]] <br /> '''b)''' <math> x_1 = 3 ; x_2 = -1 </math> <br /> |2=Lösung|3=Lösung }}
 
|3=Arbeitsmethode }}
 
 
{{Box|1 = <span style="color: orange"> Aufgabe 8 </span> | 2 = Linda hat aus 750g Ton 3 Vasen getöpfert, die alle gleich schwer sind. Stelle eine Gleichung auf, mit der man berechnen kann, wieviel jede einzelne der Vasen wiegt.
 
{{Lösung versteckt|1= Benenne die Größe, die du suchst, mit x. | 2= Tipp| 3= Tipp }}
 
{{Lösung versteckt|1= <math> 3x = 750 </math> In der Gleichung steht das <math> x </math> für das Gewicht einer Vase. Wird dieses mal 3 genommen, erhält man das Gesamtgewicht von 750. | 2= Lösung| 3= Lösung }}
| 3 = Arbeitsmethode }}


====<span style="color: orange"> Aufgabe 8 </span>====
Linda hat aus 750g Ton 3 Vasen getöpfert, die alle gleich schwer sind. Stelle eine Gleichung auf, mit der man berechnen kann, wieviel jede einzelne der Vasen wiegt.


{{Lösung versteckt|1= <math> 3x = 750 </math>  | 2= Lösung| 3= Lösung }}


<br />
<br />
====<span style="color: blue"> Aufgabe 9 </span>====
{{Box|1 = <span style="color: blue"> Aufgabe 9 </span> | 2 = {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=8139511}}
| 3 = Arbeitsmethode }}


{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=8139511}}
{{Box|1 = <span style="color: orange"> Aufgabe 10 </span> | 2 = Eva kauft sich bei einer Rabattaktion 3 Bücher für 12€. Wieviel hat sie für jedes einzelne Buch bezahlt?
<br />
{{Lösung versteckt|1= Suche zunächst nach der Größe, die du suchst und wähle diese als Unbekannte <math> x </math>.  | 2= Tipp 1| 3= Tipp 1}}


====<span style="color: orange"> Aufgabe 10 </span>====
{{Lösung versteckt|1= In diesem Fall ist die unbekannte Größe der Preis eines einzelnen Buches.  | 2= Tipp 2| 3= Tipp 2 }}
Eva kauft sich bei einer Rabattaktion 3 Bücher für 12€. Wieviel hat sie für jedes einzelne Buch bezahlt?
<br />
{{Lösung versteckt|1= Suche zunächst nach der Größe, die du suchst und wähle diese als Unbekannte <math> x </math>. In diesem Fall ist die unbekannte Größe der Preis eines einzelnen Buches.  | 2= Tipp| 3= Tipp }}


{{Lösung versteckt|1=  Sie hat für jedes Buch 4€ bezahlt. | 2= Lösung| 3= Lösung }}
{{Lösung versteckt|1=  Sie hat für jedes Buch 4€ bezahlt. {{Lösung versteckt|1= Die Gleichung, mit der sich dies berechnen ließ, war: <math> 3x = 12 </math>, wenn man auf jeder Seite durch 3 teilt, erhält man das Ergebnis. | 2= Lösungsweg| 3= Lösungsweg }} | 2= Lösung| 3= Lösung }}
| 3 = Arbeitsmethode }}


====<span style="color: blue"> Aufgabe 11 </span>====
{{Box|1 = <span style="color: blue"> Aufgabe 11 </span> | 2 = Linda bezahlt bei ihrem Handytarif 13ct pro Minute oder SMS und hat letzten Monat 8,06€ bezahlt. Anna zahlt 3,90€ Grundgebühr, dafür nur 6ct pro Minute oder SMS. Sie hat letzten Monat 7,80€ bezahlt.
Linda bezahlt bei ihrem Handytarif 13ct pro Minute oder SMS und hat letzten Monat 8,06€ bezahlt. Anna zahlt 3,90€ Grundgebühr, dafür nur 6ct pro Minute oder SMS. Sie hat letzten Monat 7,80€ bezahlt.


Wer hat im letzten Monat mehr telefoniert bzw. SMS geschickt? Berechne mithilfe von Gleichungen.
Wer hat im letzten Monat mehr telefoniert bzw. SMS geschickt (SMS und telefonieren müssen nicht getrennt berechnet werden)? Berechne mithilfe von Gleichungen.


<br />
<br />
Zeile 285: Zeile 291:
{{Lösung versteckt|1= Linda hat 62 Minuten/SMS verbraucht und Anna 65. Die Gleichungen, mit denen man dies berechnen konnte, sehen so aus: Linda: <math> 0,13x = 8,06 </math>, Anna: <math> 3,90 + 0,06x = 7,80 </math>  | 2= Lösung| 3= Lösung }}
{{Lösung versteckt|1= Linda hat 62 Minuten/SMS verbraucht und Anna 65. Die Gleichungen, mit denen man dies berechnen konnte, sehen so aus: Linda: <math> 0,13x = 8,06 </math>, Anna: <math> 3,90 + 0,06x = 7,80 </math>  | 2= Lösung| 3= Lösung }}


===Lineare Gleichungssysteme===
| 3 = Arbeitsmethode }}
 
 
===Wiederholung: Lineare Gleichungssysteme===


Für das Lösen von Gleichungssystemen gibt es mehrere Verfahren. Grundsätzlich sind alle Verfahren zielführend. Falls du dir noch unsicher bist, kannst du hier die Verfahren noch einmal wiederholen:
Für das Lösen von Gleichungssystemen gibt es mehrere Verfahren. Grundsätzlich sind alle Verfahren zielführend. Falls du dir noch unsicher bist, kannst du hier die Verfahren noch einmal wiederholen:
Zeile 305: Zeile 314:
Nun kannst du die Gleichung I berechnen.
Nun kannst du die Gleichung I berechnen.


<math> I </math> <math> 11x + 0y = 11 </math> <math> |:2 </math>
<math> I </math> <math> 11x + 0y = 11 </math> <math> |:11 </math>


<math> I </math> <math> x = 1 </math>
<math> I </math> <math> x = 1 </math>
Zeile 369: Zeile 378:
<math> II </math> <math> x = 4 - y </math>
<math> II </math> <math> x = 4 - y </math>


Nun kannst du die Gleichungen gleichsetzten.
Nun kannst du die Gleichungen gleichsetzen.


<math> 4 - y = 5 - 2y </math>
<math> 4 - y = 5 - 2y </math>
Zeile 377: Zeile 386:
Den errechneten y-Wert kannst du nun in eine Gleichung deiner Wahl einsetzen und die Gleichung lösen.
Den errechneten y-Wert kannst du nun in eine Gleichung deiner Wahl einsetzen und die Gleichung lösen.


<math> II) </math> <math> x + 1 = 4 </math> <math> |-1 </math>
<math> II </math> <math> x + 1 = 4 </math> <math> |-1 </math>


<math> II) </math> <math> x = 3 </math>
<math> II </math> <math> x = 3 </math>




Schau dir weitere Beispiele und Erklärungen unter https://www.mathebibel.de/gleichsetzungsverfahren an.|Gleichsetzungsverfahren|Gleichsetzungsverfahren}}
Schau dir weitere Beispiele und Erklärungen unter https://www.mathebibel.de/gleichsetzungsverfahren an.|Gleichsetzungsverfahren|Gleichsetzungsverfahren}}


{{Box|1=<span style="color: orange"> Aufgabe 12</span>|2=Überlege, welches Verfahren zum Lösen der Gleichungssysteme am sinnvollsten wäre. Denke daran, dass grundsätzlich alle Verfahren zielführend sind.{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=8115209}}|3=Arbeitsmethode}}
{{Box|1=<span style="color: orange"> Aufgabe 12.1: Lineare Gleichungssysteme lösen </span>|2=Löse das folgende Gleichungssystem in deinem Heft bzw. Collegeblock:
{{Box|1=<span style="color: orange"> Aufgabe 13.1 </span>|2=Löse das folgende Gleichungssystem in deinem Heft bzw. Collegeblock:


<math> I </math> <math>  2x + 3y =13 </math>
<math> I </math> <math>  2x + 3y =13 </math>


<math> II </math> <math> 8x + 3y = 16  </math>
<math> II </math> <math> 8x + 3y = 16  </math>




Zeile 399: Zeile 406:
<math> II </math> <math>  8x + 3y = 16 </math>
<math> II </math> <math>  8x + 3y = 16 </math>


Addiere Gleichung I zur Gleichung II.
Subtrahiere Gleichung I von der Gleichung II.


<math> I </math> <math>  2x + 3y =13 </math>
<math> I </math> <math>  2x + 3y =13 </math>
Zeile 419: Zeile 426:
<math> I </math> <math> 1 + 3y = 13 </math> <math> | -1 </math>
<math> I </math> <math> 1 + 3y = 13 </math> <math> | -1 </math>


<math> I </math> <math> 3y = 12 </math>
<math> I </math> <math> 3y = 12 </math> <math> | :3 </math>


<math> I </math> <math> y = 4 </math>
<math> I </math> <math> y = 4 </math>


Lösung:
Lösung:
<math> x = \frac{1}{2} </math> , <math> y = 4 </math>.|Lösungsweg|Lösungsweg}} |Lösung|Lösung}}|3=Arbeitsmethode}}
<math> x = \frac{1}{2} </math> , <math> y = 4 </math>.|Möglicher Lösungsweg|Möglicher Lösungsweg}} |Lösung|Lösung}}|3=Arbeitsmethode}}


{{Box|1=<span style="color: blue"> Aufgabe 13.2 </span>|2=Löse das folgende Gleichungssystem in deinem Heft bzw. Collegeblock:
{{Box|1=<span style="color: blue"> Aufgabe 12.2: Lineare Gleichungssysteme lösen </span>|2=Löse das folgende Gleichungssystem in deinem Heft bzw. Collegeblock:


<math> I </math> <math> \frac{3}{2}x + 4y =30  </math>
<math> I </math> <math> \frac{3}{2}x + 4y =30  </math>
Zeile 444: Zeile 451:
<math> II </math> <math>  \frac{1}{2}x - 4y = -6 </math>
<math> II </math> <math>  \frac{1}{2}x - 4y = -6 </math>


Addiere die Gleichung I zu Gleichung II.
Addiere die Gleichung I zur Gleichung II.


<math> I </math> <math> \frac{3}{2}x + 4y = 30 </math>  
<math> I </math> <math> \frac{3}{2}x + 4y = 30 </math>  
Zeile 469: Zeile 476:


Lösung:
Lösung:
<math> x = 12 </math> , <math> y = 3 </math>.|Lösungsweg|Lösungsweg}} |Lösung|Lösung}}|3=Arbeitsmethode}}
<math> x = 12 </math> , <math> y = 3 </math>.|Möglicher Lösungsweg|Möglicher Lösungsweg}} |Lösung|Lösung}}|3=Arbeitsmethode}}




{{Box|1=<span style="color: green"> Aufgabe 13.3 </span>|2=Löse das folgende Gleichungssystem in deinem Heft bzw. Collegeblock:
{{Box|1=<span style="color: green"> Aufgabe 12.3: Lineare Gleichungssysteme lösen </span>|2=Löse das folgende Gleichungssystem in deinem Heft bzw. Collegeblock:


<math> I </math> <math> x + \frac{1}{2}y - z =15 </math>
<math> I </math> <math> x + \frac{1}{2}y - z =15 </math>
Zeile 519: Zeile 526:
Lösung:
Lösung:


<math> x = 10 </math> , <math> y = 20  </math> , <math> z = 5 </math>.|Lösungsweg|Lösungsweg}} |Lösung|Lösung}}|3=Arbeitsmethode}}
<math> x = 10 </math> , <math> y = 20  </math> , <math> z = 5 </math>.|Möglicher Lösungsweg|Möglicher Lösungsweg}} |Lösung|Lösung}}|3=Arbeitsmethode}}
 
===Textaufgaben mit Hilfe linearer Gleichungssysteme lösen===
 
{{Box|1=<span style="color: blue"> Aufgabe 13: Textaufgaben und Gleichungssysteme zuordnen</span>|2=Überlege, welches lineare Gleichungssystem zu der jeweiligen Textaufgabe passt. Es gibt mehr Gleichungsysteme als du benötigst.
 
Hinweis: Mit dem blauen Button rechts unten kannst du deine Eingaben überprüfen. Mit dem Symbol rechts oben kannst du die Aufgabe im Vollbildmodus bearbeiten.
{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=8283084}}
|3=Arbeitsmethode}}


{{Box|1=<span style="color: orange"> Aufgabe 14: Beim Imbiss </span>|2=Anna und Max sind mit Freunden im Freibad und kaufen etwas zu essen. Anna bestellt einen Burger und zwei Portionen Pommes. Dafür zahlt sie 5,10 €. Max bestellt zwei Burger und zwei Portionen Pommes und zahlt 7,20 € .
{{Box|1=<span style="color: orange"> Aufgabe 14: Beim Imbiss </span>|2=Anna und Max sind mit Freunden im Freibad und kaufen etwas zu essen. Anna bestellt einen Burger und zwei Portionen Pommes. Dafür zahlt sie 5,10 €. Max bestellt zwei Burger und zwei Portionen Pommes und zahlt 7,20 € .
Zeile 545: Zeile 560:
<math> I </math> <math> y = 1,50 </math>
<math> I </math> <math> y = 1,50 </math>


Die Lösung des Gleichungssystems ist <math> x = 2,10 </math> und <math> y= 1,50 </math>. Also kostet ein Burger 2,10 € und eine Portion Pommes kostet 1,50 €.|Lösungsweg|Lösungsweg}} |Lösung|Lösung}}|3=Arbeitsmethode
Die Lösung des Gleichungssystems ist <math> x = 2,10 </math> und <math> y= 1,50 </math>. Also kostet ein Burger 2,10 € und eine Portion Pommes kostet 1,50 €.|Möglicher Lösungsweg|Möglicher Lösungsweg}} |Lösung|Lösung}}|3=Arbeitsmethode
}}
}}




{{Box|1=<span style="color: blue"> Aufgabe 15: Jugendherberge</span>|2=In einer Jugendherberge gibt es 20 Zimmer, aufgeteilt in Vier- und Sechsbettzimmer. Insgesamt können 92 Jugendliche untergebracht werden. Wie viele Vier- bzw. Sechsbettzimmer gibt es?
{{Box|1=<span style="color: blue"> Aufgabe 15: In der Jugendherberge</span>|2=In einer Jugendherberge gibt es 20 Zimmer, aufgeteilt in Vier- und Sechsbettzimmer. Insgesamt können 92 Jugendliche untergebracht werden. Wie viele Vier- bzw. Sechsbettzimmer gibt es?
 
 
{{Lösung versteckt|
 
1=Du kannst die Aufgabe lösen, indem du ein Gleichungssystem für zwei Variablen (z.B. x und y) aufstellst. Eine Variable könnte für die Anzahl der Viererzimmer, die andere könnte für die Anzahl der Sechserzimmer stehen.
 
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie viele Jugendliche in einem Viererzimmer und wie viele in einem Sechserzimmer übernachten können und wie dies im Verhältnis zu den 92 Jugendlichen steht.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
 
|2=Tipp|3=Tipp}}


{{Lösung versteckt|Du kannst die Aufgabe lösen, indem du ein Gleichungssystem für zwei Variablen (z.B. x und y) aufstellst. Eine Variable könnte für die Anzahl der Viererzimmer, die andere könnte für die Anzahl der Sechserzimmer stehen.|Tipp 1|Tipp}}


{{Lösung versteckt|Überlege dir, wie viele Jugendliche in einem Viererzimmer und wie viele in einem Sechserzimmer übernachten können und wie dies im Verhältnis zu den 92 Jugendlichen steht. |Tipp 2|Tipp}}


{{Lösung versteckt|Es gibt also 14 Vierbettzimmer und 6 Sechsbettzimmer. {{Lösung versteckt|Die Variable x steht für die Anzahl der Vierbettzimmer und die Variable y steht für die Anzahl der Sechsbettzimmer. Dann ist das zu lösende Gleichungssystem:
{{Lösung versteckt|Es gibt also 14 Vierbettzimmer und 6 Sechsbettzimmer. {{Lösung versteckt|Die Variable x steht für die Anzahl der Vierbettzimmer und die Variable y steht für die Anzahl der Sechsbettzimmer. Dann ist das zu lösende Gleichungssystem:
Zeile 613: Zeile 635:
<math> II </math> <math> y = 6 </math>
<math> II </math> <math> y = 6 </math>


Es gibt also 14 Vierbettzimmer und 6 Sechsbettzimmer.|Lösungsweg|Lösungsweg}} |Lösung|Lösung}}|3=Arbeitsmethode
Setzte nun den y-Wert in Gleichung I ein, um x zu berechnen.


}}
<math> I </math> <math> x = 20 - 6 </math>


{{box |1=<span style="color: green"> Aufgabe 16: Geldvergleich</span>|2=Valerie und Miriam besitzen zusammen 40 € mehr als Jakob. Valerie und Jakob besitzen zusammen 50 € mehr als Miriam. Miriam und Jakob besitzen zusammen 10 € mehr als Valerie. Wie viel besitzt jede Person?
<math> I </math> <math> x = 14 </math>
{{Lösung versteckt|Person A besitzt das Vermögen a, Person B besitzt das Vermögen b und Person C besitzt das Vermögen c. Wenn Person A und Person B zusammen 30 EURO mehr besitzen als Person C, so gilt


Es gibt also 14 Vierbettzimmer und 6 Sechsbettzimmer.|Möglicher Lösungsweg|Möglicher Lösungsweg}} |Lösung|Lösung}}|3=Arbeitsmethode


<math> a + b - c = 30 </math>.|Tipp|Tipp}}
}}


{{Lösung versteckt|Valerie hat 45 €, Miriam 25 € und Jakob 30 €.{{Lösung versteckt|Die Variable x steht für das Vermögen von Valerie. Die Variable y steht für das Vermögen von Miriam und die Variable z steht für das Vermögen von Jakon. Dann ist das zu lösende Gleichungssystem
{{Box |1=<span style="color: green"> Aufgabe 16: Die Spardose</span>|2=Valerie und Miriam besitzen zusammen 40 € mehr als Jakob. Valerie und Jakob besitzen zusammen 50 € mehr als Miriam. Miriam und Jakob besitzen zusammen 10 € mehr als Valerie. Wie viel besitzt jede Person?
{{Lösung versteckt|1=Valerie besitzt das Vermögen x, Miriam besitzt das Vermögen y und Jakob besitzt das Vermögen z. Wenn Valerie und Miriam zusammen 30 € mehr besitzen als Jakob, so gilt x+y-z=30.|2=Tipp|3=Tipp}}
 
{{Lösung versteckt|1=Valerie hat 45 €, Miriam 25 € und Jakob 30 €.{{Lösung versteckt|Die Variable x steht für das Vermögen von Valerie. Die Variable y steht für das Vermögen von Miriam und die Variable z steht für das Vermögen von Jakon. Dann ist das zu lösende Gleichungssystem


<math> I </math> <math> x + y - z = 40 </math>  
<math> I </math> <math> x + y - z = 40 </math>  
Zeile 640: Zeile 665:
<math> III </math> <math> 2y = 50 </math>  
<math> III </math> <math> 2y = 50 </math>  


Löse nun die Gleichungen I und II.
Löse nun die Gleichungen II und III.


<math> II </math> <math> 2x  = 90 </math> <math> |:2 </math>
<math> II </math> <math> 2x  = 90 </math> <math> |:2 </math>
Zeile 661: Zeile 686:
<math> I </math> <math> z = 30  </math>  
<math> I </math> <math> z = 30  </math>  


Valerie hat 45 €, Miriam 25 € und Jakob hat 30 €.|Lösungsweg|Lösungsweg}}|Lösung|Lösung}}|3=Arbeitsmethode}}
Valerie hat 45 €, Miriam 25 € und Jakob hat 30 €.|Möglicher Lösungsweg|Möglicher Lösungsweg}}|2=Lösung|3=Lösung}}|3=Arbeitsmethode}}
 
{{Box|1= Aufgabe 17|2= Teste dein Wissen zu Termen und Gleichungen und löse das Quiz! (Beachte die Glühlampe für einen Tipp.)
</br> {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pa2pxxqx219}}
|3=Arbeitsmethode}}
 
 
 
 
{{Navigation verstecken|
Genug zu dem Thema "Terme und Gleichungen" wiederholt? Dann schau auf deinen Diagnosetest und wähle eines der anderen beiden Themen aus.
 
In jedem Kapitel gibt es sowohl Aufgaben zum Üben von Inhalten, bei denen du ein ''Minus'' oder einen ''Kreis'' bekommen hast als auch Knobelaufgaben für die Themen, die du schon gut konntest.
 
[[Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren 2.0/Lineare Funktionen|Lineare Funktionen]]
 
[[Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren 2.0/Quadratische Funktionen|Quadratische Funktionen]]
 
 
<small><<< zurück zu [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren 2.0|Wie Funktionen funktionieren 2.0]]</small>
|Wie geht es weiter?|schließen}}


{{Box|Aufgabe 17|Teste dein Wissen zu Termen und Gleichungen und löse das Quiz!|Arbeitsmethode
}}


{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pa2pxxqx219}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule|!]]

Version vom 29. November 2019, 14:54 Uhr

Info

Dieses Kapitel des Lernpfades soll Dir helfen, dein Wissen über Terme und Gleichungen zu überprüfen und aufzufrischen. Du kannst selbst auswählen, in welcher Reihenfolge du das Kapitel bearbeiten möchtest und welche Aufgaben für dich am geeignetsten sind.

In Aufgaben, die gelb gefärbt sind, kannst du Gelerntes wiederholen und vertiefen.

Aufgaben in blauer Farbe sind mittlerer Schwierigkeitsgrad.

Und Aufgaben mit grüner Hinterlegung sind besonders Knobelaufgaben.


Viel Spaß!


Wiederholung: Terme

Lies dir die Inhalte der folgenden Infokästchen sorgfältig durch und nutze sie, wenn du bei späteren Aufgaben ins Stocken kommst.

Ein Term ist ein mathematischer Ausdruck, der Zahlen, Variablen, Symbole für mathematische Verknüpfungen (Plus, Minus, Mal, Geteilt) und Klammern enthalten kann.

Beispiele:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1 + 2 }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 7x - 9y}

Terme zu vereinfachen bedeutet, die Terme durch die dir bekannten Methoden wie Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Ausmultiplizieren und Ausklammern zu verkürzen oder übersichtlicher darzustellen. Hier sind einige Beispiele:

Addieren: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3x + x = 4x}

Subtrahieren: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5y - 2y = 3y}

Multiplizieren: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x \cdot 2x^2 = 2x^3}

Ausmultiplizieren: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x \cdot (4x + 3) = 4x^2 + 3x}

Ausklammern:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3x + 12x^2 = x \cdot (3 + 12x)}

Terme zusammenfassen

Aufgabe 1.1

Fasse die Terme durch Addieren und Subtrahieren zusammen, vereinfache dabei soweit wie möglich.

a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 6x + 13x }

b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{4}{3}x - \frac{3}{5}x }

c) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{5}{2}x + \frac{6}{4}x + 7 }

d) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 11x - 7y + 4x + 3y }

e) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2x^2+x-2+x-x^2 }

f) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (8x - 9y) - (7x -10y) }

Überlege über welchen Weg du den Term am besten vereinfachen kannst. Schaue dir dafür in der Wiederholung "Terme - Vereinfachen" die verschiedneen Wege nochmal an.
Markiere dir die im Term zusammengehörenden Teilterme und sortiere sie der Reihe nach. z.B: 2x + 3 - 3x - 2

a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 6x + 13x = (6+13)x = 19x }
b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{4}{3}x - \frac{3}{5}x = \frac{20}{15}x - \frac{9}{15} = \frac{11}{15}x }
c) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{8}{2}x+7 }
d) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 15x - 4y }
e) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^2 + 2x - 2 }

f) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x + y }


Aufgabe 1.2

Fasse die Terme durch Addieren und Subtrahieren zusammen, vereinfache dabei soweit wie möglich.

a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2x^2 - 3 + 3x + 2 - 3x }

b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{20}{5} + 10x + \frac{9}{3}x - \frac{10}{4} }

c) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 6x - (4xy - 6x) - 3xy }

d) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (6x +7y) - (2x - 2y) }

e) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -3xy + 3yz - 5zy + 5yx -zy +xz }

Überlege über welchen Weg du den Term am besten vereinfachen kannst. Schaue dir dafür in der Wiederholung "Terme - Vereinfachen" die verschiedneen Wege nochmal an.
Markiere dir die im Term zusammengehörenden Teilterme und sortiere sie der Reihe nach. z.B: 2x + 3 - 3x - 2

a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2x^2 - 3 + 3x + 2 - 3x = 2x^2 + 3x - 3x - 3 + 2 = 2x^2 -1 }
b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 10\frac{9}{3}x + \frac{30}{20} }
c) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 12x - 7xy }
d) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 14x + 9y }

e) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2xy + 3yz +xz }


Aufgabe 1.3

Fasse die Terme durch Addieren und Subtrahieren zusammen, vereinfache dabei soweit wie möglich.

a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x-1) - (-x-5)-10x }

b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{14+23y}{3} - \frac{3y-3}{2} }

c) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{66y +42x}{6} - \frac{18y-9}{3} }

d) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{8x^3 + 6x^2}{2} + \frac{20x^3 - 15x^2}{5} }

Überlege über welchen Weg du den Term am besten vereinfachen kannst. Schaue dir dafür in der Wiederholung "Terme - Vereinfachen" die verschiedneen Wege nochmal an.
Markiere dir die im Term zusammengehörenden Teilterme und sortiere sie der Reihe nach. z.B: 2x + 3 - 3x - 2

a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x-1) - (-x-5)-10x = x-1 + x + 5 - 10x = -10x+x+x-1+5 = -8x + 4 }
b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{37y+37}{6} }
c) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{30y+42x+18}{6} }

d) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{80x^3}{10} = 8x^3 }


Aufgabe 2

Füge die zugehörigen Terme zusammen. Du kannst hierfür deinen Stift und Papier nutzen.

Überlege über welchen Weg du den Term am besten vereinfachen kannst. Schaue dir dafür in der Wiederholung "Terme - Vereinfachen" die verschiedneen Wege nochmal an.
Markiere dir die im Term zusammengehörenden Teilterme und sortiere sie der Reihe nach. z.B: 2x + 3 - 3x - 2


Aufgabe 3.1

Fasse die Terme durch Ausmultiplizieren zusammen. Vereinfache dabei soweit wie möglich.

a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (3x + 2x) \cdot 6x }

b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2 \cdot (3x + 7) }

c) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (2x + 4y)\cdot 3 }

d) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3x \cdot (4x+3) }

Beim Ausmultiplizieren musst du jeden Faktor vor der Klammer mit jedem in der Klammer multiplizieren. in der Wiederholung "Terme - Vereinfachen" siehst du ein Beispiel für das Ausmultiplizieren.

a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (3x + 2x) \cdot 6x = 3x \cdot 6x + 2x \cdot 6x = 18x + 12x =30x^2 }
b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 6x + 14 }
c) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 6x + 12y }

d) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 12x^2 + 9x }


Aufgabe 3.2

Fasse die Terme durch Ausmultiplizieren zusammen. Vereinfache dabei soweit wie möglich.

a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2x \cdot (3y - 4x)}

b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{1}{3}x + 2 \cdot (\frac{1}{2}y - x) }

c) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x + y + z) \cdot x }

d) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{2}{5}x \cdot (\frac{3}{7}x + \frac{4}{6}) }

Beim Ausmultiplizieren musst du jeden Faktor vor der Klammer mit jedem in der Klammer multiplizieren. in der Wiederholung "Terme - Vereinfachen" siehst du ein Beispiel für das Ausmultiplizieren.

a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2x \cdot (3y - 4x) = 2x \cdot 3y - 2x \cdot 3x = 6xy - 8x^2 }
b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -1\frac{2}{3} + y }
c) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^2 + xy + xz }

d) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{6}{35}x^2 + \frac{8}{30}x}


Aufgabe 3.3

Fasse die Terme durch Ausmultiplizieren zusammen. Vereinfache dabei soweit wie möglich.

a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x^2 - y^2) \cdot (-2x^2 + 2y^2 + 2) }

b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle [2x - (5y - 2)] - [2 +3 \cdot(x - 2y)] }

c) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^2 - y - 4 \cdot \left(y + \frac{5}{4}\cdot x^2\right) }

d) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle [6x-(3-2x)+3] - [x + (3\cdot 2x)] }

Beim Ausmultiplizieren musst du jeden Faktor vor der Klammer mit jedem in der Klammer multiplizieren. in der Wiederholung "Terme - Vereinfachen" siehst du ein Beispiel für das Ausmultiplizieren.

a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x^2 - y^2) \cdot (-2x^2 + 2y^2 + 2)= x^2 \cdot -2x^2 + x^2 \cdot 2y^2 + x^2 \cdot 2 - y^2 \cdot -2x^2 -y^2\cdot2y^2 - y^2\cdot 2 = -2x^4 + 2x^2+ 4x^2y^2 - 2y^2 - 2y^4 }
b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -x + y }
c) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4x^2 - 5y }

d) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x }


Aufgabe 4.1

Fasse die Terme durch Ausklammern zusammen, vereinfache dabei soweit wie möglich.

a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 18xy - 9x + 81x }

b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 6x + 3x^2 }

c) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 12xy^2 - 2x^2y - xy }

d) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{3x + 9x^2 - 12xy}{6x}}

Überlege welche(n) Faktor/Faktoren du ausklammern kannst.
Achte bei Tipp 1 auf den größten gemeinsamen Teiler.
Der größte gemeinsame Teiler (ggT) ist die größte Zahl, die die Teilermengen zweier/mehrerer Zahlen gemein haben. Beispiel: Wir suchen den ggT der Zahlen 12 und 18. Dafür suchen wir alle Zahlen die die Zahl 12 bzw 18 teilen (Teilermengen). T12 = {1,2,3,4, 6 ,12} und T18 = {1,2,3,6,9,18}. Damit ergibt sich, dass 6 der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 12 und 18 ist.

a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 9x \cdot (2y -1 +9) = 9x \cdot (2y +8) }
b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3x \cdot (2+x) }
c) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle xy \cdot(12y - 2x - 1) }

d) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3x \cdot \left(\frac{1+3x-4y}{2}\right) }


Aufgabe 4.2

Fasse die Terme durch Ausklammern zusammen, vereinfache dabei soweit wie möglich.

a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 6x +3x^2 -9xy }

b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{32x^2-16x-64xy}{8x} }

c) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 16yx + 36xy - 4yx }

d) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{-2xy}{-8x^3y+6xy-2xy^3} }

Überlege welche(n) Faktor/Faktoren du ausklammern kannst.
Achte bei Tipp 1 auf den größten gemeinsamen Teiler.
Der größte gemeinsame Teiler (ggT) ist die größte Zahl, die die Teilermengen zweier/mehrerer Zahlen gemein haben. Beispiel: Wir suchen den ggT der Zahlen 12 und 18. Dafür suchen wir alle Zahlen die die Zahl 12 bzw 18 teilen (Teilermengen). T12 = {1,2,3,4, 6 ,12} und T18 = {1,2,3,6,9,18}. Damit ergibt sich, dass 6 der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 12 und 18 ist.

a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3x \cdot (2+x-3y) }
b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 8x \cdot (4x-2-8y)}
c) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4xy \cdot (4+9-1) = 48xy }

d) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2xy \cdot \left( \frac{-1}{-4x^2+3-y^2} \right) }


Aufgabe 4.3

Fasse die Terme durch Ausklammern zusammen, vereinfache dabei soweit wie möglich.

a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3xyz-9x^2y+12xy^2-6xy }

b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -2x^4y^4 + 2x^2y^2 -2xy^2 }

c) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{-3x^2y + 6x^3y^2}{6x^2y-3x^3y^3} }

d) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 21xy + 14x^2y - 42xy^2 + 63 x^2y^2 }

Überlege welche(n) Faktor/Faktoren du ausklammern kannst.
Achte bei Tipp 1 auf den größten gemeinsamen Teiler.
Der größte gemeinsame Teiler (ggT) ist die größte Zahl, die die Teilermengen zweier/mehrerer Zahlen gemein haben. Beispiel: Wir suchen den ggT der Zahlen 12 und 18. Dafür suchen wir alle Zahlen die die Zahl 12 bzw 18 teilen (Teilermengen). T12 = {1,2,3,4, 6 ,12} und T18 = {1,2,3,6,9,18}. Damit ergibt sich, dass 6 der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 12 und 18 ist.

a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3xy \cdot (z-3x + 4y - 2) }
b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2xy^2 \cdot (-x^3y^2+x-1) }
c) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3x^2y\cdot \left(\frac{-1+2xy}{2-xy^2}\right) }

d) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 7xy \cdot(3 + 2x -6y + 9xy) }


Aufgabe 5

Füge die zugehörigen Terme zusammen. Nutze Stift und Papier zur Hilfe.

Klammere oder Multipliziere die Terme aus. Achte insbesondere auf Vorzeichen.
Schaue dir nochmal oben die Wiederholung an, in der das Ausmultiplizieren und Ausklammern erwähnt wird.

Wiederholung: Gleichungen


In diesem Abschnitt kannst du trainieren, wie du lineare und quadratische Gleichungen aufstellst und löst. Falls du nicht mehr genau weißt, was eine Gleichung ist, lies dir die kurze Erklärung noch einmal durch:

Eine Gleichung ist eine Aussage über die Gleichheit zweier Terme, die mit Hilfe des Gleichheitszeichens ("=") symbolisiert wird.

Gleichungen sind entweder wahr (5 = 5) oder falsch (5 = 6).

Beispiele:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4 = 1 + 3}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5x = 10} .


Aufgabe 6.1

Löse folgende lineare Gleichungen.

a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5x = 15 }

b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 20x = 10 }

c) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x + \frac{3}{4} = 1 }

d) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{1}{2} x + 3 = 8 }

Überlege dir, was du rechnen musst, damit das Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x } alleine auf einer der Seite der Gleichung steht.
Sortiere dazu erst die Summanden mit und ohne Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x } , indem du sie addierst, subtrahierst und zusammenfasst. Anschließend dividierst du die Gleichung durch den Vorfaktor des Summanden mit dem Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x }
a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = 3 }
b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = \frac{1}{2} }
c) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = \frac{1}{4} }
d) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = 10 }


Aufgabe 6.2

Löse folgende lineare Gleichungen.

a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x + \frac{1}{2} = 2 - x }

b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x + 3 + 4x = 13 }

c) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{x}{4} + \frac{1}{2} = 1\frac{1}{4} }

d) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{x}{2} + x = 6 }

Überlege dir, was du rechnen musst, damit das Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x } alleine auf einer der Seite der Gleichung steht.
Sortiere dazu erst die Summanden mit und ohne Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x } , indem du sie addierst, subtrahierst und zusammenfasst. Anschließend dividierst du die Gleichung durch den Vorfaktor des Summanden mit dem Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x }
a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = \frac{3}{4} }
b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = 2 }
c) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = 3 }
d) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = 4 }


Aufgabe 6.3

Löse folgende lineare Gleichungen.

a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{3}{4}x + \frac{3}{8} = \frac{x}{2} }

b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{x}{2} + \frac{x}{5} = 1 }

c) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x + \frac{3}{7} = - x - \frac{1}{10} }

Überlege dir, was du rechnen musst, damit das Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x } alleine auf einer der Seite der Gleichung steht. (Bei Schwierigkeiten betrachte im Kaptiel "Terme" die Aufgaben zum Ausklammern.)
Sortiere dazu erst die Summanden mit und ohne Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x } , indem du sie addierst, subtrahierst und zusammenfasst. Anschließend dividierst du die Gleichung durch den Vorfaktor des Summanden mit dem Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x }
a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = -\frac{1}{2} }
b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = \frac{10}{7} = 1\frac{3}{7} }
c) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = -\frac{37}{120} }


Aufgabe 7.1

Löse folgende quadratische Gleichungen.

a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^2 = 25 }

b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^2 - 2 = 14 }

c) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^2 = \frac{1}{4} }

d) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^2 - 10x + 24 = 0 }

Eine quadratische Gleichung kann 2, 1 oder 0 Lösungen haben. Sortiere in einem ersten Schritt die Summanden beispielsweise wie in Aufgabe 6.
Gleichungen der Form Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^2 + px + q = 0 } , wobei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p } und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q } für Zahlen stehen, kannst du mit der Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p } - Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q } - Formel lösen. Solltest du nicht mehr wissen, wie man mit der Formel arbeitet, kannst du dir das auf dieser Seite noch einmal anschauen: https://www.mathebibel.de/pq-formel
a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1 = 5 ; x_2 = -5 }
b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1 = 4 ; x_2 = -4 }
c) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1 = \frac{1}{2} ; x_2 = - \frac{1}{2} }
d) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1 = 6 ; x_2 = 4 }


Aufgabe 7.2

Löse folgende quadratische Gleichungen.

a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{x^2}{4} = 16 }

b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^2 - 6x = 27 }

c) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^2 + 1 = 2x }

Eine quadratische Gleichung kann 2, 1 oder 0 Lösungen haben. Sortiere dir zuerst die Summanden. Bringe die Gleichung zum Beispiel in die Form, in der du die Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p } - Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q } - Formel anwenden kannst.
a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1 = 8 ; x_2 = -8 }
b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1 = 9 ; x_2 = -3 }
c) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = 1 } (Es gibt nicht immer zwei Lösungen bei quadratischen Gleichungen!)


Aufgabe 7.3

Löse folgende quadratische Gleichungen.

a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^2 - 2x + 4 = 0 }

b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{x^2}{2} = x + \frac{3}{2} }

Eine quadratische Gleichung kann 2, 1 oder 0 Lösungen haben. Sortiere dir die Summanden der Gleichung. Bringe die Gleichung zum Beispiel in die Form, in der du die Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p } - Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q } - Formel anwenden kannst.

a) Diese Aufgabe hat keine Lösung (in den reellen Zahlen). Berechnet man die Lösung der Gleichung mit der Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p } - Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q } - Formel, so sieht man, dass der Radiant negativ ist und somit die Gleichung nicht in den reellen Zahlen gelöst werden kann.

Lösung zu Aufgabe 7.3a im Kapitel Terme und Gleichungen des Lernpfads "Wie Funktionen funktionieren 2.0"(nicht korrekt via Mathe-Umgebung darstellbar)
b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1 = 3 ; x_2 = -1 }


Aufgabe 8

Linda hat aus 750g Ton 3 Vasen getöpfert, die alle gleich schwer sind. Stelle eine Gleichung auf, mit der man berechnen kann, wieviel jede einzelne der Vasen wiegt.

Benenne die Größe, die du suchst, mit x.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3x = 750 } In der Gleichung steht das Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x } für das Gewicht einer Vase. Wird dieses mal 3 genommen, erhält man das Gesamtgewicht von 750.



Aufgabe 9


Aufgabe 10

Eva kauft sich bei einer Rabattaktion 3 Bücher für 12€. Wieviel hat sie für jedes einzelne Buch bezahlt?

Suche zunächst nach der Größe, die du suchst und wähle diese als Unbekannte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x } .
In diesem Fall ist die unbekannte Größe der Preis eines einzelnen Buches.
Sie hat für jedes Buch 4€ bezahlt.
Die Gleichung, mit der sich dies berechnen ließ, war: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3x = 12 } , wenn man auf jeder Seite durch 3 teilt, erhält man das Ergebnis.


Aufgabe 11

Linda bezahlt bei ihrem Handytarif 13ct pro Minute oder SMS und hat letzten Monat 8,06€ bezahlt. Anna zahlt 3,90€ Grundgebühr, dafür nur 6ct pro Minute oder SMS. Sie hat letzten Monat 7,80€ bezahlt.

Wer hat im letzten Monat mehr telefoniert bzw. SMS geschickt (SMS und telefonieren müssen nicht getrennt berechnet werden)? Berechne mithilfe von Gleichungen.


Linda hat 62 Minuten/SMS verbraucht und Anna 65. Die Gleichungen, mit denen man dies berechnen konnte, sehen so aus: Linda: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0,13x = 8,06 } , Anna: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3,90 + 0,06x = 7,80 }


Wiederholung: Lineare Gleichungssysteme

Für das Lösen von Gleichungssystemen gibt es mehrere Verfahren. Grundsätzlich sind alle Verfahren zielführend. Falls du dir noch unsicher bist, kannst du hier die Verfahren noch einmal wiederholen:

Beim Additionsverfahren überlegst du dir, welche Variable du eliminieren bzw. auf Null bringen kannst. Dann entscheidest du, was du tun musst, damit die Variable wegfällt.

Ein Beispiel:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 7x + 2y = 9 }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4x - 2y = 2 }

Hier bietet es sich an, die Gleichung I mit der Gleichung II zu addieren, damit die Variable y wegfällt:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 11x + 0y = 11 }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4x - 2y = 2 }

Nun kannst du die Gleichung I berechnen.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 11x + 0y = 11 } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |:11 }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = 1 }

Den errechneten x-Wert kannst du nun in die Gleichung II einsetzen.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4 \cdot 1 - 2y = 2 }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4 - 2y = 2 } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |-4 }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -2y = -2 } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |:(-2) }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y = 1 }


Schau dir weitere Beispiele und Erklärungen unter https://www.mathebibel.de/additionsverfahren an.

Beim Einsetzungsverfahren löst du eine Gleichung nach einer Variablen auf und setzt diesen Term in die andere Geichung ein.

Ein Beispiel:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2x + y = 4 }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5x + 3y = 11 }

Hier bietet es sich an die Gleichung I nach der Variablen y aufzulösen.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2x + y = 4 } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |-2x }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y = 4 - 2x }

Nun setzt du diesen Term für y in Gleichung II ein.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5x + 3 (4-2x) = 11 }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5x + 12 - 6x = 11 }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 12 - x = 11 }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = 1 }


Schau dir weitere Beispiele und Erklärungen unter https://www.mathebibel.de/einsetzungsverfahren an.

Beim Gleichsetzungsverfahren löst du beide Gleichungen nach der gleichen Variablen auf und stellst diese gleich.

Ein Beispiel:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x + 2y = 5 }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x + y = 4 }

Löse beide Gleichungen nach x auf.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x + 2y = 5 } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |-2y }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = 5 - 2y }


Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x + y = 4 } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |-y }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = 4 - y }

Nun kannst du die Gleichungen gleichsetzen.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4 - y = 5 - 2y }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y = 1 }

Den errechneten y-Wert kannst du nun in eine Gleichung deiner Wahl einsetzen und die Gleichung lösen.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x + 1 = 4 } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |-1 }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = 3 }


Schau dir weitere Beispiele und Erklärungen unter https://www.mathebibel.de/gleichsetzungsverfahren an.


Aufgabe 12.1: Lineare Gleichungssysteme lösen

Löse das folgende Gleichungssystem in deinem Heft bzw. Collegeblock:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2x + 3y =13 }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 8x + 3y = 16 }


Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = \frac{1}{2} } , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y = 4 }


Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2x + 3y =13 }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 8x + 3y = 16 }

Subtrahiere Gleichung I von der Gleichung II.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2x + 3y =13 }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 6x + 0y = 3 }

Berechne die Lösung für Gleichung II.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 6x + 0y = 3 } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |:6 }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = \frac{3}{6}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = \frac{1}{2} }

Setze den x-Wert in Gleichung I ein.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2 \cdot \frac{1}{2} + 3y =13 }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1 + 3y = 13 } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle | -1 }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3y = 12 } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle | :3 }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y = 4 }

Lösung:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = \frac{1}{2} } , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y = 4 } .


Aufgabe 12.2: Lineare Gleichungssysteme lösen

Löse das folgende Gleichungssystem in deinem Heft bzw. Collegeblock:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{3}{2}x + 4y =30 }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{1}{4}x - 2y = -3 }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = 12 } , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y = 3 }


Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{3}{2}x + 4y =30 }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{1}{4}x - 2y = -3 }

Multipliziere Gleichung II mit 2.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{3}{2}x + 4y = 30}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{1}{2}x - 4y = -6 }

Addiere die Gleichung I zur Gleichung II.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{3}{2}x + 4y = 30 }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2x + 0y = 24 }

Berechne die Lösung für Gleichung II.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2x + 0y = 24 } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |:2 }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = 12}

Setze den x-Wert in Gleichung I ein.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{3}{2} \cdot 12 + 4y = 30 }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{36}{2} + 4y = 30 }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 18 + 4y = 30 } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle | -18 }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4y = 12 } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle | :4 }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y = 3 }

Lösung:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = 12 } , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y = 3 } .


Aufgabe 12.3: Lineare Gleichungssysteme lösen

Löse das folgende Gleichungssystem in deinem Heft bzw. Collegeblock:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x + \frac{1}{2}y - z =15 }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x - \frac{1}{2}y + z = 5 }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle III } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -x + y + z =15 }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = 10 } , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y = 20 } , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z = 5 }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x + \frac{1}{2}y - z =15 }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x - \frac{1}{2}y + z = 5 }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle III } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -x + y + z =15 }

Addiere die Gleichung I und II und die Gleichung I und III.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x + \frac{1}{2} y - z = 15 }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2x + 0y + 0z = 20 }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle III } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0x + \frac{3}{2} y + 0z = 30 }

Berechne die Lösung für Gleichung II und III.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2x = 20 } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |:2 }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = 10 }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle III } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{3}{2}y = 30 } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle | \cdot \frac{2}{3} }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle III } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y = 20}

Setze den x-Wert und den y-Wert in Gleichung I ein.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 10 + \frac{1}{2} \cdot 20 - z = 15 }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 10 + 10 - z = 15 }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 20 - z = 15 } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle | -20 }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -z = -5 } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle | \cdot (-1) }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z = 5 }

Lösung:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = 10 } , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y = 20 } , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z = 5 } .

Textaufgaben mit Hilfe linearer Gleichungssysteme lösen

Aufgabe 13: Textaufgaben und Gleichungssysteme zuordnen

Überlege, welches lineare Gleichungssystem zu der jeweiligen Textaufgabe passt. Es gibt mehr Gleichungsysteme als du benötigst.

Hinweis: Mit dem blauen Button rechts unten kannst du deine Eingaben überprüfen. Mit dem Symbol rechts oben kannst du die Aufgabe im Vollbildmodus bearbeiten.


Aufgabe 14: Beim Imbiss

Anna und Max sind mit Freunden im Freibad und kaufen etwas zu essen. Anna bestellt einen Burger und zwei Portionen Pommes. Dafür zahlt sie 5,10 €. Max bestellt zwei Burger und zwei Portionen Pommes und zahlt 7,20 € . Wie viel kostet ein Burger? Wie viel kostet eine Portion Pommes?

Du kannst die Aufgabe lösen, indem du ein Gleichungssystem für zwei Variablen (z.B. x und y) aufstellst. Eine Variable könnte für die Anzahl der Burger stehen, die andere könnte die Anzahl der Portionen Pommes repräsentieren.
Ein Burger kostet 2,10 € und eine Portion Pommes kostet 1,50 €.

Die Variable x steht für die Burger. Die Variable y steht für die Portion Pommes. Das zu lösende Gleichungssystem ist:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x + 2y = 5,10 }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2x + 2y = 7,20 }

Subtrahiere die Gleichung I von der Gleichung II.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x + 2y = 5,10 }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x + 0y = 2,10 }

Setze nun den x-Wert in die Gleichung I ein.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2,10 + 2y = 5,10 } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle | -2,10 }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2y = 3 } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |:2 }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y = 1,50 }

Die Lösung des Gleichungssystems ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = 2,10 } und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y= 1,50 } . Also kostet ein Burger 2,10 € und eine Portion Pommes kostet 1,50 €.


Aufgabe 15: In der Jugendherberge

In einer Jugendherberge gibt es 20 Zimmer, aufgeteilt in Vier- und Sechsbettzimmer. Insgesamt können 92 Jugendliche untergebracht werden. Wie viele Vier- bzw. Sechsbettzimmer gibt es?


Du kannst die Aufgabe lösen, indem du ein Gleichungssystem für zwei Variablen (z.B. x und y) aufstellst. Eine Variable könnte für die Anzahl der Viererzimmer, die andere könnte für die Anzahl der Sechserzimmer stehen.

Überlege dir, wie viele Jugendliche in einem Viererzimmer und wie viele in einem Sechserzimmer übernachten können und wie dies im Verhältnis zu den 92 Jugendlichen steht.


Es gibt also 14 Vierbettzimmer und 6 Sechsbettzimmer.

Die Variable x steht für die Anzahl der Vierbettzimmer und die Variable y steht für die Anzahl der Sechsbettzimmer. Dann ist das zu lösende Gleichungssystem:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x + y = 20 }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4x + 6y = 92 }

Du kannst dir aussuchen, welches Verfahren du anwenden möchtest.

Mit dem Additionsverfahren löst du das Gleichungssystem wie folgt:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x + y = 20 }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4x + 6y = 92 }

Addiere das (-4)-fache von Gleichung I zu Gleichung II.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x + y = 20 }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0x + 2y = 12 }

Löse nun die Gleichung II.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2y = 12 } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |:2 }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y = 6 }

Setze den y-Wert in Gleichung I ein.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x + 6 = 20 } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |-6 }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = 14 }


Mit dem Einsetzungsverfahren löst du das Gleichungssystem wie folgt:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x + y = 20 }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4x + 6y = 92 }

Löse Gleichung I nach x auf.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x + y = 20 } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |-y }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = 20 - y }

Setze nun die Gleichung für x in II ein und löse nach y auf.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4(20-y) + 6y = 92 }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 80 - 4y + 6y = 92 }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 80 + 2y = 92 } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |-80 }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2y = 12 } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |:2 }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y = 6 }

Setzte nun den y-Wert in Gleichung I ein, um x zu berechnen.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = 20 - 6 }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = 14 }

Es gibt also 14 Vierbettzimmer und 6 Sechsbettzimmer.


Aufgabe 16: Die Spardose

Valerie und Miriam besitzen zusammen 40 € mehr als Jakob. Valerie und Jakob besitzen zusammen 50 € mehr als Miriam. Miriam und Jakob besitzen zusammen 10 € mehr als Valerie. Wie viel besitzt jede Person?

Valerie besitzt das Vermögen x, Miriam besitzt das Vermögen y und Jakob besitzt das Vermögen z. Wenn Valerie und Miriam zusammen 30 € mehr besitzen als Jakob, so gilt x+y-z=30.
Valerie hat 45 €, Miriam 25 € und Jakob 30 €.

Die Variable x steht für das Vermögen von Valerie. Die Variable y steht für das Vermögen von Miriam und die Variable z steht für das Vermögen von Jakon. Dann ist das zu lösende Gleichungssystem

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Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x - y + z = 50 }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle III } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -x + y + z = 10 }

Du kannst zum Beispiel das Additionsverfahren verwenden, um das Gleichungssystem zu lösen. Addiere dazu die Gleichungen I zur Gleichung II und die Gleichung I zur Gleichung III.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x + y - z = 40 }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2x = 90 }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle III } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2y = 50 }

Löse nun die Gleichungen II und III.

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Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = 45 }


Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle III } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2y = 50 } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |:2 }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle III } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y = 25 }

Setze nun den x-Wert und den y-Wert in die Gleichung I ein.

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Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 70 - z = 40 } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |-70 }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle - z = -30 } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle | \cdot (-1) }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z = 30 }

Valerie hat 45 €, Miriam 25 € und Jakob hat 30 €.


Aufgabe 17

Teste dein Wissen zu Termen und Gleichungen und löse das Quiz! (Beachte die Glühlampe für einen Tipp.)