Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren 2.0/Terme und Gleichungen: Unterschied zwischen den Versionen
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{{LearningApp|width:75%|height:250px|app=pt7a13xbn19}}{{Lösung versteckt|1= Klammere oder Multipliziere die Terme aus. Achte insbesondere auf Vorzeichen.{{Lösung versteckt|1= Schaue dir nochmal oben die Wiederholung an, in der das Ausmultiplizieren und Ausklammern erwähnt wird. |2=Tipp 2|3=Tipp 2}}|2=Tipp|3=Tipp}}|3=Arbeitsmethode}} | {{LearningApp|width:75%|height:250px|app=pt7a13xbn19}}{{Lösung versteckt|1= Klammere oder Multipliziere die Terme aus. Achte insbesondere auf Vorzeichen.{{Lösung versteckt|1= Schaue dir nochmal oben die Wiederholung an, in der das Ausmultiplizieren und Ausklammern erwähnt wird. |2=Tipp 2|3=Tipp 2}}|2=Tipp|3=Tipp}}|3=Arbeitsmethode}} | ||
===Gleichungen=== | ===Wiederholung: Gleichungen=== | ||
<br /> | <br /> | ||
In diesem Abschnitt kannst du trainieren, wie du lineare und quadratische Gleichungen aufstellst und löst. Falls du nicht mehr genau weißt, was eine Gleichung ist, lies dir die kurze Erklärung noch einmal durch: | In diesem Abschnitt kannst du trainieren, wie du lineare und quadratische Gleichungen aufstellst und löst. Falls du nicht mehr genau weißt, was eine Gleichung ist, lies dir die kurze Erklärung noch einmal durch: | ||
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{{Box|1 = <span style="color: orange"> Aufgabe 6.1 </span>| 2 = Löse folgende Gleichungen. <br /> <br /> | {{Box|1 = <span style="color: orange"> Aufgabe 6.1 </span>| 2 = Löse folgende lineare Gleichungen. <br /> <br /> | ||
<span style="color: orange"> a) </span> <math> 5x = 15 </math> <br /> <br /> | <span style="color: orange"> a) </span> <math> 5x = 15 </math> <br /> <br /> | ||
<span style="color: orange"> b) </span> <math> 20x = 10 </math> <br /> <br /> | <span style="color: orange"> b) </span> <math> 20x = 10 </math> <br /> <br /> | ||
<span style="color: orange"> c) </span> <math> x + \frac{3}{4} = 1 </math> <br /> <br /> | <span style="color: orange"> c) </span> <math> x + \frac{3}{4} = 1 </math> <br /> <br /> | ||
<span style="color: orange"> d) </span> <math> \frac{1}{2} x + 3 = 8 </math> <br /> <br /> | <span style="color: orange"> d) </span> <math> \frac{1}{2} x + 3 = 8 </math> <br /> <br /> | ||
{{Lösung versteckt|1= Überlege dir, was du rechnen musst, damit das <math> x </math> alleine auf einer der Seite der Gleichung steht. {{Lösung versteckt|1= Sortiere dazu erst die Summanden mit und ohne <math> x </math>, indem du sie addierst, subtrahierst und zusammenfasst. Anschließend dividierst du die Gleichung durch den Vorfaktor des Summanden mit dem <math> x </math> | 2= Tipp 2| 3= Tipp 2 }} | 2= Tipp 1| 3= Tipp 1}} | |||
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' <math> x = 3 </math> <br /> '''b)''' <math> x = \frac{1}{2} </math> <br /> '''c)''' <math> x = \frac{1}{4} </math> <br /> '''d)''' <math> x = 10 </math> <br /> | 2= Lösung| 3= Lösung}} | {{Lösung versteckt|1= '''a)''' <math> x = 3 </math> <br /> '''b)''' <math> x = \frac{1}{2} </math> <br /> '''c)''' <math> x = \frac{1}{4} </math> <br /> '''d)''' <math> x = 10 </math> <br /> | 2= Lösung| 3= Lösung}} | ||
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| 3 = Arbeitsmethode }} | | 3 = Arbeitsmethode }} | ||
{{Box|1 = <span style="color: blue"> Aufgabe 6.2 </span>| 2 = Löse folgende Gleichungen. <br /> <br /> | {{Box|1 = <span style="color: blue"> Aufgabe 6.2 </span>| 2 = Löse folgende lineare Gleichungen. <br /> <br /> | ||
<span style="color: blue"> a) </span> <math> x + \frac{1}{2} = 2 - x </math> <br /> <br /> | <span style="color: blue"> a) </span> <math> x + \frac{1}{2} = 2 - x </math> <br /> <br /> | ||
<span style="color: blue"> b) </span> <math> x + 3 + 4x = 13 </math> <br /> <br /> | <span style="color: blue"> b) </span> <math> x + 3 + 4x = 13 </math> <br /> <br /> | ||
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<span style="color: blue"> d) </span> <math> \frac{x}{2} + x = 6 </math> <br /> <br /> | <span style="color: blue"> d) </span> <math> \frac{x}{2} + x = 6 </math> <br /> <br /> | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= Überlege dir, was du rechnen musst, damit das <math> x </math> alleine auf einer der Seite der Gleichung steht. {{Lösung versteckt|1= Sortiere dazu erst die Summanden mit und ohne <math> x </math>, indem du sie addierst, subtrahierst und zusammenfasst. Anschließend dividierst du die Gleichung durch den Vorfaktor des Summanden mit dem <math> x </math> | 2= Tipp 2| 3= Tipp 2 }} | 2= Tipp 1| 3= Tipp 1}} | ||
{{Lösung versteckt|1='''a)''' <math> x = \frac{3}{4} </math> <br /> '''b)''' <math> x = 2 </math> <br /> '''c)''' <math> x = 3 </math> <br /> '''d)''' <math> x = 4 </math> <br /> | 2= Lösung | 3= Lösung }} | {{Lösung versteckt|1='''a)''' <math> x = \frac{3}{4} </math> <br /> '''b)''' <math> x = 2 </math> <br /> '''c)''' <math> x = 3 </math> <br /> '''d)''' <math> x = 4 </math> <br /> | 2= Lösung | 3= Lösung }} | ||
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| 3 = Arbeitsmethode }} | | 3 = Arbeitsmethode }} | ||
{{Box|1 = <span style="color: green"> Aufgabe 6.3 </span>| 2 = Löse folgende Gleichungen. <br /> <br /> | {{Box|1 = <span style="color: green"> Aufgabe 6.3 </span>| 2 = Löse folgende lineare Gleichungen. <br /> <br /> | ||
<span style="color: green"> a) </span> <math> \frac{3}{4}x + \frac{3}{8} = \frac{x}{2} </math> <br /> <br /> | <span style="color: green"> a) </span> <math> \frac{3}{4}x + \frac{3}{8} = \frac{x}{2} </math> <br /> <br /> | ||
<span style="color: green"> b) </span> <math> \frac{x}{2} + \frac{x}{5} = 1 </math> <br /> <br /> | <span style="color: green"> b) </span> <math> \frac{x}{2} + \frac{x}{5} = 1 </math> <br /> <br /> | ||
<span style="color: green"> c) </span> <math> x + \frac{3}{7} = - x - \frac{1}{10} </math> <br /> <br /> | <span style="color: green"> c) </span> <math> x + \frac{3}{7} = - x - \frac{1}{10} </math> <br /> <br /> | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= Überlege dir, was du rechnen musst, damit das <math> x </math> alleine auf einer der Seite der Gleichung steht. (Bei Schwierigkeiten betrachte im Kaptiel "Terme" die Aufgaben zum Ausklammern.) {{Lösung versteckt|1= Sortiere dazu erst die Summanden mit und ohne <math> x </math>, indem du sie addierst, subtrahierst und zusammenfasst. Anschließend dividierst du die Gleichung durch den Vorfaktor des Summanden mit dem <math> x </math> | 2= Tipp 2| 3= Tipp 2 }} | 2= Tipp 1| 3= Tipp 1}} | ||
{{Lösung versteckt|1='''a)''' <math> x = -\frac{1}{2} </math> <br /> '''b)''' <math> x = \frac{10}{7} = 1\frac{3}{7} </math> <br /> '''c)''' <math> x = -\frac{37}{120} </math> <br /> | 2= Lösung| 3= Lösung }} | {{Lösung versteckt|1='''a)''' <math> x = -\frac{1}{2} </math> <br /> '''b)''' <math> x = \frac{10}{7} = 1\frac{3}{7} </math> <br /> '''c)''' <math> x = -\frac{37}{120} </math> <br /> | 2= Lösung| 3= Lösung }} | ||
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{{Box|1 = <span style="color: orange"> Aufgabe 7.1 </span>| 2 = Löse folgende Gleichungen. <br /> <br /> | {{Box|1 = <span style="color: orange"> Aufgabe 7.1 </span>| 2 = Löse folgende quadratische Gleichungen. <br /> <br /> | ||
<span style="color: orange"> a) </span> <math> x^2 = 25 </math> <br /> <br /> | <span style="color: orange"> a) </span> <math> x^2 = 25 </math> <br /> <br /> | ||
<span style="color: orange"> b) </span> <math> x^2 - 2 = 14 </math> <br /> <br /> | <span style="color: orange"> b) </span> <math> x^2 - 2 = 14 </math> <br /> <br /> | ||
<span style="color: orange"> c) </span> <math> x^2 = \frac{1}{4} </math> <br /> <br /> | <span style="color: orange"> c) </span> <math> x^2 = \frac{1}{4} </math> <br /> <br /> | ||
<span style="color: orange"> | <span style="color: orange"> d) </span> <math> x^2 - 10x + 24 = 0 </math> <br /> <br /> | ||
{{Lösung versteckt|1= Gleichungen der Form <math> x^2 + px + q = 0 </math>, wobei <math> p </math> und <math> q </math> für Zahlen stehen, kannst du mit der <math> p </math> - <math> q </math> - Formel lösen. Solltest du nicht mehr wissen, wie man mit der Formel arbeitet, kannst du dir das auf dieser Seite noch einmal anschauen: https://www.mathebibel.de/pq-formel | 2= Tipp zu d)| 3= Tipp zu d) }} | {{Lösung versteckt|1= Eine quadratische Gleichung kann 2, 1 oder 0 Lösungen haben. Sortiere in einem ersten Schritt die Summanden beispielsweise wie in Aufgabe 6. {{Lösung versteckt|1= Gleichungen der Form <math> x^2 + px + q = 0 </math>, wobei <math> p </math> und <math> q </math> für Zahlen stehen, kannst du mit der <math> p </math> - <math> q </math> - Formel lösen. Solltest du nicht mehr wissen, wie man mit der Formel arbeitet, kannst du dir das auf dieser Seite noch einmal anschauen: https://www.mathebibel.de/pq-formel | 2= Tipp zu d)| 3= Tipp zu d) }} | 2= Tipp 1| 3= Tipp 1}} | ||
{{Lösung versteckt|1='''a)''' <math> x_1 = 5 ; x_2 = -5 </math> <br /> '''b)''' <math> x_1 = 4 ; x_2 = -4 </math> <br /> '''c)''' <math> x_1 = \frac{1}{2} ; x_2 = - \frac{1}{2} </math> <br /> '''d)''' <math> x_1 = 6 ; x_2 = 4 </math> <br /> | 2= Lösung | 3= Lösung }} | {{Lösung versteckt|1='''a)''' <math> x_1 = 5 ; x_2 = -5 </math> <br /> '''b)''' <math> x_1 = 4 ; x_2 = -4 </math> <br /> '''c)''' <math> x_1 = \frac{1}{2} ; x_2 = - \frac{1}{2} </math> <br /> '''d)''' <math> x_1 = 6 ; x_2 = 4 </math> <br /> | 2= Lösung | 3= Lösung }} | ||
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| 3 = Arbeitsmethode }} | | 3 = Arbeitsmethode }} | ||
{{Box|1 = <span style="color: blue"> Aufgabe 7.2 </span>| 2 = Löse folgende Gleichungen. <br /> <br /> | {{Box|1 = <span style="color: blue"> Aufgabe 7.2 </span>| 2 = Löse folgende quadratische Gleichungen. <br /> <br /> | ||
<span style="color: blue"> a) </span> <math> \frac{x^2}{4} = 16 </math> <br /> <br /> | <span style="color: blue"> a) </span> <math> \frac{x^2}{4} = 16 </math> <br /> <br /> | ||
<span style="color: blue"> b) </span> <math> x^2 - 6x = 27 </math> <br /> <br /> | <span style="color: blue"> b) </span> <math> x^2 - 6x = 27 </math> <br /> <br /> | ||
<span style="color: blue"> c) </span> <math> x^2 + 1 = 2x </math> <br /> <br /> | <span style="color: blue"> c) </span> <math> x^2 + 1 = 2x </math> <br /> <br /> | ||
{{Lösung versteckt|1= Bringe die Gleichung in die Form, in der du die <math> p </math> - <math> q </math> - Formel anwenden kannst. | 2= Tipp | {{Lösung versteckt|1= Eine quadratische Gleichung kann 2, 1 oder 0 Lösungen haben. Sortiere dir zuerst die Summanden. Bringe die Gleichung zum Beispiel in die Form, in der du die <math> p </math> - <math> q </math> - Formel anwenden kannst. | 2= Tipp | 3= Tipp }} | ||
{{Lösung versteckt|1='''a)''' <math> x_1 = 8 ; x_2 = -8 </math> <br /> '''b)''' <math> x_1 = 9 ; x_2 = -3 </math> <br /> '''c)''' <math> x = 1 </math> (Es gibt nicht immer zwei Lösungen bei quadratischen Gleichungen!) <br />| 2= Lösung| 3= Lösung }} | {{Lösung versteckt|1='''a)''' <math> x_1 = 8 ; x_2 = -8 </math> <br /> '''b)''' <math> x_1 = 9 ; x_2 = -3 </math> <br /> '''c)''' <math> x = 1 </math> (Es gibt nicht immer zwei Lösungen bei quadratischen Gleichungen!) <br />| 2= Lösung| 3= Lösung }} | ||
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| 3 = Arbeitsmethode }} | | 3 = Arbeitsmethode }} | ||
{{Box|1 = <span style="color: green"> Aufgabe 7.3 </span>| 2 = Löse folgende Gleichungen. <br /> <br /> | {{Box|1 = <span style="color: green"> Aufgabe 7.3 </span>| 2 = Löse folgende quadratische Gleichungen. <br /> <br /> | ||
<span style="color: green"> a) </span> <math> x^2 - 2x + 4 = 0 </math> <br /> <br /> | <span style="color: green"> a) </span> <math> x^2 - 2x + 4 = 0 </math> <br /> <br /> | ||
<span style="color: green"> b) </span> <math> \frac{x^2}{2} = x + \frac{3}{2} </math> <br /> <br /> | <span style="color: green"> b) </span> <math> \frac{x^2}{2} = x + \frac{3}{2} </math> <br /> <br /> | ||
{{Lösung versteckt|1='''a)''' Diese Aufgabe hat keine Lösung (in den reellen Zahlen). <br /> '''b)''' <math> x_1 = 3 ; x_2 = -1 </math> <br /> | 2= Lösung| 3= Lösung }} | {{Lösung versteckt|1= Eine quadratische Gleichung kann 2, 1 oder 0 Lösungen haben. Sortiere dir die Summanden der Gleichung. Bringe die Gleichung zum Beispiel in die Form, in der du die <math> p </math> - <math> q </math> - Formel anwenden kannst. | 2= Tipp | 3= Tipp }} | ||
{{Lösung versteckt|1='''a)''' Diese Aufgabe hat keine Lösung (in den reellen Zahlen). Berechnet man die Lösung der Gleichung mit der <math> p </math> - <math> q </math> - Formel <math> x_{1/2} = - \frac{-2}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{-2}{2} \right) ^2 -4}= 1 \pm \sqrt{-3}</math>, so sieht man, dass der Radiant negativ ist und somit die Gleichung nicht in den reellen Zahlen gelöst werden kann. <br /> '''b)''' <math> x_1 = 3 ; x_2 = -1 </math> <br /> | 2= Lösung| 3= Lösung }} | |||
| 3 = Arbeitsmethode }} | | 3 = Arbeitsmethode }} | ||
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{{Lösung versteckt|1= Benenne die Größe, die du suchst, mit x. | 2= Tipp| 3= Tipp }} | {{Lösung versteckt|1= Benenne die Größe, die du suchst, mit x. | 2= Tipp| 3= Tipp }} | ||
{{Lösung versteckt|1= <math> 3x = 750 </math> | 2= Lösung| 3= Lösung }} | {{Lösung versteckt|1= <math> 3x = 750 </math> In der Gleichung steht das <math> x </math> für das Gewicht einer Vase. Wird dieses mal 3 genommen, erhält man das Gesamtgewicht von 750. | 2= Lösung| 3= Lösung }} | ||
| 3 = Arbeitsmethode }} | | 3 = Arbeitsmethode }} | ||
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===Lineare Gleichungssysteme=== | ===Wiederholung: Lineare Gleichungssysteme=== | ||
Für das Lösen von Gleichungssystemen gibt es mehrere Verfahren. Grundsätzlich sind alle Verfahren zielführend. Falls du dir noch unsicher bist, kannst du hier die Verfahren noch einmal wiederholen: | Für das Lösen von Gleichungssystemen gibt es mehrere Verfahren. Grundsätzlich sind alle Verfahren zielführend. Falls du dir noch unsicher bist, kannst du hier die Verfahren noch einmal wiederholen: |
Version vom 28. November 2019, 10:12 Uhr
Wiederholung: Terme
Lies dir die Inhalte der folgenden Infokästchen sorgfältig durch und nutze sie, wenn du bei späteren Aufgaben ins Stocken kommst.
Ein Term ist ein mathematischer Ausdruck, der Zahlen, Variablen, Symbole für mathematische Verknüpfungen (Plus, Minus, Mal, Geteilt) und Klammern enthalten kann.
Beispiele:
Terme zu vereinfachen bedeutet, die Terme durch die dir bekannten Methoden wie Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Ausmultiplizieren und Ausklammern zu verkürzen oder übersichtlicher darzustellen. Hier sind einige Beispiele:
Addieren:
Subtrahieren:
Multiplizieren:
Ausmultiplizieren:
Ausklammern:
Terme zusammenfassen
Wiederholung: Gleichungen
In diesem Abschnitt kannst du trainieren, wie du lineare und quadratische Gleichungen aufstellst und löst. Falls du nicht mehr genau weißt, was eine Gleichung ist, lies dir die kurze Erklärung noch einmal durch:
Eine Gleichung ist eine Aussage über die Gleichheit zweier Terme, die mit Hilfe des Gleichheitszeichens ("=") symbolisiert wird.
Gleichungen sind entweder wahr (5 = 5) oder falsch (5 = 6).
Beispiele:
.
Wiederholung: Lineare Gleichungssysteme
Für das Lösen von Gleichungssystemen gibt es mehrere Verfahren. Grundsätzlich sind alle Verfahren zielführend. Falls du dir noch unsicher bist, kannst du hier die Verfahren noch einmal wiederholen:
Beim Additionsverfahren überlegst du dir, welche Variable du eliminieren bzw. auf Null bringen kannst. Dann entscheidest du, was du tun musst, damit die Variable wegfällt.
Ein Beispiel:
Hier bietet es sich an, die Gleichung I mit der Gleichung II zu addieren, damit die Variable y wegfällt:
Nun kannst du die Gleichung I berechnen.
Den errechneten x-Wert kannst du nun in die Gleichung II einsetzen.
Beim Einsetzungsverfahren löst du eine Gleichung nach einer Variablen auf und setzt diesen Term in die andere Geichung ein.
Ein Beispiel:
Hier bietet es sich an die Gleichung I nach der Variablen y aufzulösen.
Nun setzt du diesen Term für y in Gleichung II ein.
Beim Gleichsetzungsverfahren löst du beide Gleichungen nach der gleichen Variablen auf und stellst diese gleich.
Ein Beispiel:
Löse beide Gleichungen nach x auf.
Nun kannst du die Gleichungen gleichsetzen.
Den errechneten y-Wert kannst du nun in eine Gleichung deiner Wahl einsetzen und die Gleichung lösen.
Textaufgaben mit Hilfe linearer Gleichungssysteme lösen