Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren 2.0/Quadratische Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Box|1= <span style="color: blue" >3. Punkte auf dem Funktionsgraphen </span>|2=Gegeben seien die Funktion <math>f(x) =\frac {1} {4} \cdot (x-6)^2-3</math> und die Punkte <math> A=(10|?), B=\left(? |\frac { | {{Box|1= <span style="color: blue" >3. Punkte auf dem Funktionsgraphen </span>|2=Gegeben seien die Funktion <math>f(x) =\frac {1} {4} \cdot (x-6)^2-3</math> und die Punkte <math> A=(10|?), B=\left(? |\frac {36} {4}\right), C=(?|5), D=\left(\frac {43} {20}|?\right) </math> und <math>E=(5|?) </math> <br /> <br /> | ||
''' a) ''' Berechne von den oben genannten Punkten die jeweils fehlende x- bzw. y-Koordinate, so dass die Punkte auf dem Graphen der Funktion f liegen. <br /><br /> | ''' a) ''' Berechne von den oben genannten Punkten die jeweils fehlende x- bzw. y-Koordinate, so dass die Punkte auf dem Graphen der Funktion f liegen. <br /><br /> | ||
{{Lösung versteckt| 1= Was bedeuten die Variable <math> x </math> und <math> f(x) </math>? Wofür sind sie Platzhalter? {{Lösung versteckt| 1= Wenn du die x-Koordinate eines Punktes in eine Funktion einsetzt, berechnest du so seine y-Koordinate. | 2= Tipp 2| 3=schließen}} | {{Lösung versteckt| 1= Was bedeuten die Variable <math> x </math> und <math> f(x) </math>? Wofür sind sie Platzhalter? {{Lösung versteckt| 1= Wenn du die x-Koordinate eines Punktes in eine Funktion einsetzt, berechnest du so seine y-Koordinate. Möchtest du aber seine x-Koordinate bestimmen, so setzt du die y-Koordinate für f(x) ein und formst zu x um. Dabei kann dir die pq-Formel helfen. {{Box|pq-Formel|Eine Funktion der Form <math>f(x)=x^2+px+q </math> hat die Lösungen <math>x_{1} = -\frac{p}{2}-\sqrt{\left( \frac{p}{2}\right)^2-q}</math> sowie <math>x_{2} = -\frac{p}{2}+\sqrt{\left( \frac{p}{2}\right)^2-q}</math>. Dieses Hilfsmittel hilft dir bei der Berechnung der Nullstellen von <math>f(x) </math>. |Übung}} |2= Tipp 3|3= schließen}} | 2= Tipp 2| 3=schließen}} | ||
| 2= Tipp 1| 3= schließen}} | | 2= Tipp 1| 3= schließen}} | ||
{{Lösung versteckt | 1= Die Punkte besitzen, um auf dem Graphen der Funktion <math> f </math> zu liegen, folgende Koordinaten: <br /> | {{Lösung versteckt | 1= Die Punkte besitzen, um auf dem Graphen der Funktion <math> f </math> zu liegen, folgende Koordinaten: <br /> | ||
<math>A=(10|1), | Beachte, dass bei der Berechnung der x-Koordinate eines Punktes zwei mögliche x-Werte ausgerechnet werden. | ||
<math>A=(10|1), B_1=(\left(13|\frac {36} {4}\right) und B_2=(\left(-1|\frac {36} {4}\right) , C_1=(0|6) oder C_2=(12|6), D=\left(\frac{43} {20}|\frac{7}{10}\right) </math> und <math>E=\left(5|-\frac{11} {4}\right) </math> | |||
Falls du dir nicht sicher bist, wie man auf die Lösung kommt, findest du hier eine beispielhafte Lösung der Koordinatenberechnung von Punkt A: | Falls du dir nicht sicher bist, wie man auf die Lösung kommt, findest du hier eine beispielhafte Lösung der Koordinatenberechnung von Punkt A: | ||
<br />1. Da die x-Koordinate des Punktes gegeben ist, setzt man die x-Koordinate für x in die Funktion ein. Man erhält dann: <br /> | <br />1. Da die x-Koordinate des Punktes gegeben ist, setzt man die x-Koordinate für x in die Funktion ein. Man erhält dann: <br /> | ||
<math>f( | <math>f(10) =\frac {1} {4} \cdot (10-6)^2-3</math> <br /> | ||
2. Jetzt muss man den Term noch ausrechnen: <br /> | 2. Jetzt muss man den Term noch ausrechnen: <br /> | ||
<math>\frac {1} {4} \cdot (10-6)^2-3 </math> <br /> | <math>\frac {1} {4} \cdot (10-6)^2-3 </math> <br /> | ||
<math> = \frac {1} {4} \cdot (4)^2-3</math> <br /> | <math> = \frac {1} {4} \cdot (4)^2-3</math> <br /> | ||
<math> = 4-3 </math> <br /> | <math> = 4-3 </math> <br /> | ||
<math> = 1 </math>| 2=Lösung | 3= schließen}} | <math> = 1 </math> <br \> | ||
Hier findest du auch eine beispielhafte Lösung der Koordinatenberechnung von Punkt C: | |||
1. Man setzt die y-Koordinate für <math> f(x)</math> in die Gleichung ein. So erhält man: <br \> | |||
<math> 6=\frac {1} {4} \cdot (x-6)^2-3 </math> | |||
2. Nun muss man die Gleichung wie folgt umformen: | |||
<math> | |||
\begin{array}{rlll} | |||
&& 6 &&=&& \frac {1} {4} \cdot (x-6)^2-3 &\mid +3\\ | |||
&\Leftrightarrow& 9 &&=&& \frac {1} {4} \cdot (x-6)^2 &\mid :\frac {1} {4} \\ | |||
&\Leftrightarrow& 36 &&=&& (x-6)^2 \\ | |||
&\Leftrightarrow& 36 &&=&& x^2-12x+36 &\mid -36 \\ | |||
&\Leftrightarrow& 0&&=&& x^2-12x & \mid \pm\sqrt{} \\ | |||
\end{array} | |||
</math> | |||
<br /> | |||
3. Nun kannst du mit Hilfe der pq-Formel x ausrechnen. Dabei ist dein p=-12 und dein q=0.<br /> | |||
<math> | |||
\begin{array} {rlll} | |||
&\Rightarrow&x_{1} = -\frac{-12} {2}-\sqrt{\left( -\frac{\frac{12}{2}\right)^2-0}& \textrm{sowie}& x_{2} = -\frac{-\frac{-12}}{2}+\sqrt{\left( -\frac{\frac{-12}}{2}\right)^2-0}\\ | |||
&\Rightarrow&x_1 = 0& \textrm{und}& x_2 = 12\\ | |||
\end{array} </math> | |||
| 2=Lösung | 3= schließen}} | |||
Version vom 19. November 2019, 19:27 Uhr
Scheitelpunktform
Die Punkte besitzen, um auf dem Graphen der Funktion zu liegen, folgende Koordinaten:
Beachte, dass bei der Berechnung der x-Koordinate eines Punktes zwei mögliche x-Werte ausgerechnet werden.
und
Falls du dir nicht sicher bist, wie man auf die Lösung kommt, findest du hier eine beispielhafte Lösung der Koordinatenberechnung von Punkt A:
1. Da die x-Koordinate des Punktes gegeben ist, setzt man die x-Koordinate für x in die Funktion ein. Man erhält dann:
2. Jetzt muss man den Term noch ausrechnen:
Hier findest du auch eine beispielhafte Lösung der Koordinatenberechnung von Punkt C:
1. Man setzt die y-Koordinate für in die Gleichung ein. So erhält man:
2. Nun muss man die Gleichung wie folgt umformen:
3. Nun kannst du mit Hilfe der pq-Formel x ausrechnen. Dabei ist dein p=-12 und dein q=0.
b) Zeichne den Graphen der Funktion f mit den oben genannten Punkten nun in dein Heft.
|3=Arbeitsmethode}}
Umwandlung Scheitelpunktform und Normalform
Der bisherige Lernpfad hat sich bis hier hin intensiv mit der Scheitelpunktform beschäftigt. Quadratische Funktionen können jedoch auch in der Normalform geschrieben werden. In diesem Abschnitt kannst du dein bisheriges Wissen über die Umwandlung von einer Form in die andere Form wiederholen, auffrischen und üben.
Nullstellen
Anwendungsaufgaben