Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren 2.0/Lineare Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen
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3. Tipp: Mit welcher Geschwindigkeit liest Susanne Seiten pro Minute? Welche Gleichung kennst du, mit der du ihre Lesegeschwindigkeit modellieren kannst? |2= Tipp |3=Tipp}} | 3. Tipp: Mit welcher Geschwindigkeit liest Susanne Seiten pro Minute? Welche Gleichung kennst du, mit der du ihre Lesegeschwindigkeit modellieren kannst? |2= Tipp |3=Tipp}} | ||
{{Lösung versteckt|1= Es gibt verschiedene Lösungsideen. Zwei Beispiele sind eine grafische Lösung mit Hilfe eines Koordinatensystems oder eine algebraische Lösung mit Hilfe einer linearen Funktion. Eine algebraische Lösung könnte wie folgt aussehen: <br> | {{Lösung versteckt|1= Es gibt verschiedene Lösungsideen. Zwei Beispiele sind eine grafische Lösung mit Hilfe eines Koordinatensystems oder eine algebraische Lösung mit Hilfe einer linearen Funktion. Eine algebraische Lösung könnte wie folgt aussehen: <br> | ||
Die Zeitangaben für die Bearbeitung der Deutschaufgabe reichen aus, um die Aufgabe zu lösen. Alle anderen Zeitangaben helfen uns nicht. Als Marie die Nachricht liest, hat sie bereits 3 Seiten gelesen. Sie ließt mit einer Geschwindigkeit von 3 Seiten pro 5 Minuten. Wir können also jedem Zeitpunkt eine Anzahl von gelesenen Seiten zuordnen. Wir setzen den Startzeitpunkt auf den Moment, in dem sie die Nachricht bekommt. <math>x</math> | Die Zeitangaben für die Bearbeitung der Deutschaufgabe reichen aus, um die Aufgabe zu lösen. Alle anderen Zeitangaben helfen uns nicht. Als Marie die Nachricht liest, hat sie bereits 3 Seiten gelesen. Sie ließt mit einer Geschwindigkeit von 3 Seiten pro 5 Minuten. Wir können also jedem Zeitpunkt eine Anzahl von gelesenen Seiten zuordnen. Wir setzen den Startzeitpunkt auf den Moment, in dem sie die Nachricht bekommt. Und setzen, dass <math>x</math> die Einheit <math>\frac{Seiten}{5 Minuten}</math> hat. <br> | ||
Also lautet unsere Gleichung: <br> | |||
<math>f(x)=3+3x</math> <br> | <math>f(x)=3+3x</math> <br> | ||
Wir wollen wissen, wann Susanne 15 Seiten gelesen hat, also setzen wir für <math>f(x)=15</math> (Seiten) ein. <br> | Wir wollen wissen, wann Susanne 15 Seiten gelesen hat, also setzen wir für <math>f(x)=15</math> (Seiten) ein. <br> | ||
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|3=Merke}} | |3=Merke}} | ||
{{Box |1=<span style="color: blue">Aufgabe 10: Wasser für die Katze</span>|2= Marc und Claudia freuen sich schon auf ihren 1 wöchigen Urlaub. Leider dürfen ihre Katzen, Findus und Sabbel, jedoch nicht mit. Das Trockenfutter ist zwar ausreichend lang haltbar, aber damit die Katzen im heißen Sommer auch immer Wasser finden können, wollen die Beiden einen Wasserspender kaufen. Im Geschäft sehen sie zwei verschiedene Typen von Wasserspendern, die unterschiedlich teuer sind. In den einen Wasserspender für 10€ (Wasserspender A) passen <math>8l</math> Wasser und er ist nach <math>30</math> Tagen leer. In den anderen Wasserspender für 25€ (Wasserspender B) passen <math>6l</math> und er ist schon nach <math>10</math> Tagen leer. Der Wassertrog der Katzen hat ein Fassungsvermögen von <math>500ml</math>. Überlaufendes Wasser fließt in Marcs und Claudias Garage in einen Gulli. Welche Wasserspender sollten Marc und Claudia für ihre Katzen kaufen? | |||
{{ | {{Lösung versteckt|1 = Als erstes könntest du versuchen je eine Funktionsvorschrift für die Wasserspender zu suchen. Kannst du an diesen Ablesen wie viel Wasser Sie jeden Tag zur Verfügung stellen? Hast du schon alle notwendigen Infos gegeben? <br> | ||
Welchen Wasserspender sollten die Beiden kaufen?| 2= Ein mögliches Vorgehen | 3= Ein mögliches Vorgehen}} | |||
{{Lösung versteckt|1 = Mit zwei Punkten kannst du bereits eine lineare Funktion aufstellen. Suche diese beiden Punkte im Text für die jeweiligen Behälter. Falls du die Punkte findest, aber Schwierigkeiten bei dem Aufstellen der Gleichung hast, schaue dir Aufgabe 4 an. | |||
| 2=Tipp |3=Tipp }} | |||
{{Lösung versteckt|1 = Mit zwei Punkten kannst du bereits eine lineare Funktion aufstellen. Suche diese beiden Punkte im Text für die jeweiligen Behälter. Falls du die Punkte findest, aber Schwierigkeiten bei dem Aufstellen der Gleichung hast, schaue dir Aufgabe 4 an. | |||
{{Lösung versteckt|1 = Die Punkte für den Wasserspender A sind <math> (0|8)</math> und <math>(30|0)</math>. Die Punkte für den Wasserspender B sind <math> (0|6)</math> und <math>(10|0)</math>. Setze für jeden Wasserspender die jeweiligen beiden Punkte in die allgemeine Form der linearen Funktion ein. |2=Zwischenergebnis für das Finden der Punkte|3=Zwischenergebnis für das Finden der Punkte}} | {{Lösung versteckt|1 = Die Punkte für den Wasserspender A sind <math> (0|8)</math> und <math>(30|0)</math>. Die Punkte für den Wasserspender B sind <math> (0|6)</math> und <math>(10|0)</math>. Setze für jeden Wasserspender die jeweiligen beiden Punkte in die allgemeine Form der linearen Funktion ein. |2=Zwischenergebnis für das Finden der Punkte|3=Zwischenergebnis für das Finden der Punkte}} | ||
{{Lösung versteckt|1 = Welche Informationen fehlen dir noch für das Lösen der Aufgabe? Diese fehlenden Informationen könntest du durch eine kurze Internetrecherche finden. | |||
| 2=Tipp |3=Tipp }} | |||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Durch eine Internetrecherche können wir herausfinden, dass Katzen 200-250ml Wasser am Tag zu sich nehmen sollten. Um auf Nummer sicher zu gehen | Durch eine Internetrecherche können wir herausfinden, dass Katzen 200-250ml Wasser am Tag zu sich nehmen sollten. Um auf Nummer sicher zu gehen gehen wir also davon aus, dass Findus und Sabbel zusammen <math>500ml=0,5l</math> benötigen. <br> | ||
'''Wasserspender A: ''' | '''Wasserspender A: ''' | ||
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Setzt man nun <math>m</math> und <math>b</math> in die Funktionsgleichung ein, erhalten wir <math> f(x) = -\frac{4}{15} \cdot x + 8</math> <br> | Setzt man nun <math>m</math> und <math>b</math> in die Funktionsgleichung ein, erhalten wir <math> f(x) = -\frac{4}{15} \cdot x + 8</math> <br> | ||
Die Steigung der Funktionsvorschrift von Wasserspender A ist also <math>m=-\frac{4}{15}</math>. Wasserspender A gibt also jeden Tag etwas mehr Wasser als 250ml und somit lediglich ausreichend viel Wasser für eine Katze ab. | Die Steigung der Funktionsvorschrift von Wasserspender A ist also <math>m=-\frac{4}{15}=</math>. Wasserspender A gibt also jeden Tag etwas mehr Wasser als 250ml und somit lediglich ausreichend viel Wasser für eine Katze ab. | ||
Außerdem ist Wasserspender A nach 7 Tagen noch nicht leer: <br> | Außerdem ist Wasserspender A nach 7 Tagen noch nicht leer: <br> | ||
<math>f(7)= -\frac{4}{15} \cdot 7 + 8 = \frac{92}{15}=6 \frac{2}{15} > 0</math> <br> | <math>f(7)= -\frac{4}{15} \cdot 7 + 8 = \frac{92}{15}=6 \frac{2}{15} > 0</math> <br> | ||
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Die Steigung der Funktionsvorschrift von Wasserspender B ist <math>n=-\frac{3}{5}</math>. Wasserspender B gibt also jeden Tag <math>600ml</math> und somit ausreichend viel Wasser für beide Katzen ab. <br> | Die Steigung der Funktionsvorschrift von Wasserspender B ist <math>n=-\frac{3}{5}</math>. Wasserspender B gibt also jeden Tag <math>600ml</math> und somit ausreichend viel Wasser für beide Katzen ab. <br> | ||
Nun können wir nachvollziehbarerweise annehmen, dass Claudia und Marc möglichst wenig Geld ausgeben wollen. Zwei Wasserbehälter A kosten <math>2 \cdot | Außerdem ist auch Wasserspender B nach 7 Tagen noch nicht leer: <br> | ||
<math>g(7) = -\frac{3}{5} \cdot 7 + 6 = \frac{9}{5}=1 \frac{4}{5} > 0 </math> <br> | |||
Nun können wir nachvollziehbarerweise annehmen, dass Claudia und Marc möglichst wenig Geld ausgeben wollen. Zwei Wasserbehälter A kosten <math>2 \cdot 10€</math> also <math>5€</math> weniger als ein Wasserspender B (<math>25€</math>). | |||
'''Abschließende Antwort''' <br> | '''Abschließende Antwort''' <br> | ||
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|2=Lösungsvorschlag|3=Lösungsvorschlag}} | |2=Lösungsvorschlag|3=Lösungsvorschlag}} | ||
|3=Arbeitsmethode}} | |3=Arbeitsmethode}} | ||
{{Box|1=<span style="color: green">Aufgabe 11: Schulbus</span>|2=Nach der Schule verpasst Isolde den Bus und müsste nun den Weg von 11km nach Hause laufen. Sie ruft ihre Mutter an und bittet sie, sie abzuholen. Ihre Mutter fährt ihr auf der Landstraße mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 72 km/h entgegen. Isolde geht ihrer Mutter entgegen und geht dabei durchschnittlich 75m pro Minute. Beide machen sich gleichzeitig nach dem Telefonat auf den Weg. | |||
'''a)''' Stelle eine Funktionsvorschrift für Isoldes Entfernung von zu Hause und eine Funktionsvorschrift für die Entfernung der Mutter von zu Hause in Abhängigkeit von der Zeit auf. | |||
{{Lösung versteckt|1 = Lineare Funktionen haben immer die Form <math>f(x)= mx + n </math>. Hierbei ist <math> m </math> die Steigung und <math> n </math> der <math>y</math>-Achsenabschnitt. Welche Informationen aus der Aufgabe entsprechen welchen Eigenschaften der gesuchten Funktionen? | |||
Achte auch darauf, dass die Funktionen die Entfernung in der gleichen Einheit angeben und auch für die Zeit beide die gleiche Einheit verwenden sollten. Das erleichtert das spätere Rechnen mit den Funktionen. | |||
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, dass du zwei Funktionen aufstellen musst: Eine Funktion stellt den Abstand zum Haus für Isolde dar und eine den Abstand ihrer Mutter. Für Isolde gilt, dass sie 11 km entfernt ist. Dies stellt den y-Achsenabschnitt dar. Die Distanz zu ihrem Haus verringert sich um 75m pro Minute. Die ist die (negative) Steigung in Isoldes Funktion, denn sie kommt den Haus ja näher und der Abstand von 11.000 m verringert sich. Mit dem gleichen Verfahren erkennst du auch die Funktion für ihre Mutter. Nur sie startet bei 0 und die Steigung ist positiv. Achte jedoch auf die Einheiten, denn vielleicht musst du umrechnen. |2=Tipp|3=Tipp}} | |||
|2=Tipp|3=Tipp}} | |||
{{Lösung versteckt|1 = Wir geben die Zeit in Minuten und die Entfernung in Metern an. Die Funktion <math>f(x)=ax+b</math> soll Isoldes Entfernung von zu Hause und die Funktion <math>g(x)=cx+d</math> die Entfernung der Mutter von zu Hause beschreiben.<br /> Isolde ist zu Beginn 11km, also 11000m von zu Hause entfernt. Der y-Achsenabschnitt von f ist demnach a=11000. Isolde legt pro Minute 75m zurück. Dabei entfernt sie sich nicht von zu Hause, sondern nähert sich. Die Steigung b ist deshalb negativ und beträgt -75. Insgesamt ergibt sich die Vorschrift <math>f(x)=-75x+11000</math>.<br />Die Mutter startet zu Hause, der y-Achsenabschnitt d von g(x) ist also gleich 0. Sie fährt mit einer Geschwindigkeit von 72km/h, was 1200m pro Minute entspricht. Damit entfernt sie sich von zu Hause, die Steigung d ist deshalb positiv und beträgt 1200. Insgesamt ergibt sich die Vorschrift <math>g(x)=1200x</math>.<br /> |2=Lösung|3=Lösung}} | |||
'''b)''' Berechne, wie lange es dauert, bis die beiden sich treffen. | |||
{{Lösung versteckt|1 = Welchem Punkt der Funktionsgraphen von f und g entspricht dem Treffpunkt der beiden Funktionen? Wie berechnet man diesen Punkt?|2=Tipp|3=Tipp}} | |||
{{Lösung versteckt|1 = Erinnere dich daran, dass die x-Achse die Zeit angibt, die verstrichen ist, seitdem Isolde losgegangen ist. Die y-Achse gibt den Abstand an, den die Mutter ihrer Tochter bereits entgegen gefahren ist. Dieser Abstand verringert sich dadurch, dass Isolde ihrer Mutter entgegengeht, somit hat die Funktion von Isolde eine negative Steigung. Der Schnittpunkt beider Funktionsgraphen gibt auf dem x-Wert an, wann sich die beiden treffen. Wir setzen die Funktionsvorschriften gleich, um den x-Wert des Schnittpunktes zu bestimmen.<br /><math>\begin{align} -75x+11000 & = 1200x \quad | +75x \\ | |||
11000 & = 1275x \quad | : 1275 \\ | |||
\frac{440}{51} & = x \approx 8,6\end{align}</math>.<br /> | |||
Es dauert ungefähr 9 Minuten, bis die beiden sich treffen.|2=Lösung|3=Lösung}}|3=Arbeitsmethode | |||
}} |
Version vom 11. November 2019, 20:51 Uhr
Lineare Funktionen - eine kurze Wiederholung
Lineare Funktionen erkennen
Lineare Funktionen - Bestimmung von Geradengleichungen
Prüfen, ob Punkte auf einer Geraden liegen
Eine lineare Gleichung einer Geraden zuordnen
Den Schnittpunkt zweier Geraden bestimmen
Anwendungsaufgaben