Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren 2.0/Lineare Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen

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3. Tipp: Mit welcher Geschwindigkeit liest Susanne Seiten pro Minute? Welche Gleichung kennst du, mit der du ihre Lesegeschwindigkeit modellieren kannst? |2= Tipp |3=Tipp}}
3. Tipp: Mit welcher Geschwindigkeit liest Susanne Seiten pro Minute? Welche Gleichung kennst du, mit der du ihre Lesegeschwindigkeit modellieren kannst? |2= Tipp |3=Tipp}}
{{Lösung versteckt|1= Es gibt verschiedene Lösungsideen. Zwei Beispiele sind eine grafische Lösung mit Hilfe eines Koordinatensystems oder eine algebraische Lösung mit Hilfe einer linearen Funktion. Eine algebraische Lösung könnte wie folgt aussehen: <br>
{{Lösung versteckt|1= Es gibt verschiedene Lösungsideen. Zwei Beispiele sind eine grafische Lösung mit Hilfe eines Koordinatensystems oder eine algebraische Lösung mit Hilfe einer linearen Funktion. Eine algebraische Lösung könnte wie folgt aussehen: <br>
Die Zeitangaben für die Bearbeitung der Deutschaufgabe reichen aus, um die Aufgabe zu lösen. Alle anderen Zeitangaben helfen uns nicht. Als Marie die Nachricht liest, hat sie bereits 3 Seiten gelesen. Sie ließt mit einer Geschwindigkeit von 3 Seiten pro 5 Minuten. Wir können also jedem Zeitpunkt eine Anzahl von gelesenen Seiten zuordnen. Wir setzen den Startzeitpunkt auf den Moment, in dem sie die Nachricht bekommt. Und setzen, dass <math>x</math> die Einheit <math>\frac{Seiten}{5 Minuten}</math> hat. <br>
Die Zeitangaben für die Bearbeitung der Deutschaufgabe reichen aus, um die Aufgabe zu lösen. Alle anderen Zeitangaben helfen uns nicht. Als Marie die Nachricht liest, hat sie bereits 3 Seiten gelesen. Sie ließt mit einer Geschwindigkeit von 3 Seiten pro 5 Minuten. Wir können also jedem Zeitpunkt eine Anzahl von gelesenen Seiten zuordnen. Wir setzen den Startzeitpunkt auf den Moment, in dem sie die Nachricht bekommt. <math>x</math> soll die Einheit <math>\frac{Seiten}{5 Minuten}</math> haben. <br>
Also lautet unsere Gleichung: <br>
Dann lautet unsere Gleichung: <br>
<math>f(x)=3+3x</math> <br>
<math>f(x)=3+3x</math> <br>
Wir wollen wissen, wann Susanne 15 Seiten gelesen hat, also setzen wir für <math>f(x)=15</math> (Seiten) ein. <br>
Wir wollen wissen, wann Susanne 15 Seiten gelesen hat, also setzen wir für <math>f(x)=15</math> (Seiten) ein. <br>
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{{Box |1=<span style="color: blue">Aufgabe 10: Wasser für die Katze</span>|2= Marc und Claudia freuen sich schon auf ihren einwöchigen Urlaub. Leider dürfen ihre Katzen, Findus und Sabbel, nicht mit. Das Trockenfutter ist zwar ausreichend lang haltbar, aber damit die Katzen im heißen Sommer auch immer Wasser finden können, wollen die beiden einen Wasserspender kaufen. Im Geschäft sehen sie zwei verschiedene Typen von Wasserspendern, die unterschiedlich teuer sind. In den einen Wasserspender für 10€ (Wasserspender A) passen <math>8l</math> Wasser und er ist nach <math>30</math> Tagen leer. In den anderen Wasserspender für 25€ (Wasserspender B) passen <math>6l</math> und er ist schon nach <math>10</math> Tagen leer. Der Wassertrog der Katzen hat ein Fassungsvermögen von <math>500ml</math>. Überlaufendes Wasser fließt in Marcs und Claudias Garage in einen Gulli. Welche Wasserspender sollten Marc und Claudia für ihre Katzen kaufen?
{{Box |1=<span style="color: blue">Aufgabe 10: Wasser für die Katze</span>|2= Marc und Claudia freuen sich schon auf ihren 1 wöchigen Urlaub. Leider dürfen ihre Katzen, Findus und Sabbel, jedoch nicht mit. Das Trockenfutter ist zwar ausreichend lang haltbar, aber damit die Katzen im heißen Sommer auch immer Wasser finden können, wollen die Beiden einen Wasserspender kaufen. Im Geschäft sehen sie zwei verschiedene Typen von Wasserspendern, die unterschiedlich teuer sind. In den einen Wasserspender für 10€ (Wasserspender A) passen <math>8l</math> Wasser und er ist nach <math>30</math> Tagen leer. In den anderen Wasserspender für 25€ (Wasserspender B) passen <math>6l</math> und er ist schon nach <math>10</math> Tagen leer. Der Wassertrog der Katzen hat ein Fassungsvermögen von <math>500ml</math>. Überlaufendes Wasser fließt in Marcs und Claudias Garage in einen Gulli. Welche Wasserspender sollten Marc und Claudia für ihre Katzen kaufen?


{{Lösung versteckt|1 = Als erstes könntest du versuchen je eine Funktionsvorschrift für die Wasserspender zu suchen. Kannst du an diesen Ablesen wie viel Wasser Sie jeden Tag zur Verfügung stellen? Im nächsten Schritt müsstest du herausfinden, wie viel Wasser jeden Tag benötigt wird. Hast du schon dafür alle notwendigen Infos gegeben? <br>
{{Lösung versteckt|1 = Als erstes könntest du versuchen je eine Funktionsvorschrift für die Wasserspender zu suchen. Kannst du an diesen Ablesen wie viel Wasser Sie jeden Tag zur Verfügung stellen? Im nächsten Schritt müsstest du herausfinden, wie viel Wasser jeden Tag benötigt wird. Hast du schon dafür alle notwendigen Infos gegeben? <br>
Nun kannst du den Verbrauch und das bereitgestellte Wasser in Beziehung zueinander stellen. Welchen Wasserspender sollten die Beiden kaufen? Reichen die Wasserspender für den ganzen Urlaub?| 2= Ein mögliches Vorgehen | 3= Ein mögliches Vorgehen}}
Nun kannst du den Verbrauch und das bereitgestellte Wasser in Beziehung zueinander stellen. Welchen Wasserspender sollten die beiden kaufen? Reichen die Wasserspender für den ganzen Urlaub?| 2= Ein mögliches Vorgehen | 3= Ein mögliches Vorgehen}}


{{Lösung versteckt|1 = Mit zwei Punkten kannst du bereits eine lineare Funktion aufstellen. Suche diese beiden Punkte im Text für die jeweiligen Behälter. Falls du die Punkte findest, aber Schwierigkeiten bei dem Aufstellen der Gleichung hast, schaue dir Aufgabe 4 an. <br>
{{Lösung versteckt|1 = Mit zwei Punkten kannst du bereits eine lineare Funktion aufstellen. Suche diese beiden Punkte im Text für die jeweiligen Behälter. Falls du die Punkte findest, aber Schwierigkeiten bei dem Aufstellen der Gleichung hast, schaue dir Aufgabe 4 an. <br>
Welche Bedeutung haben das m und das n der allgemeinen Form einer linearen Gleichung? <br>
Was könnte für Marc und Claudia neben der angemessen Wasserversorgung ihrer Katzen noch von Bedeutung sein?| 2=Tipp |3=Tipp }}
Was könnte für Marc und Claudia neben der angemessen Wasserversorgung ihrer Katzen noch von Bedeutung sein?| 2=Tipp |3=Tipp }}
   
   
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{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
Durch eine Internetrecherche können wir herausfinden, dass Katzen 200-250ml Wasser am Tag zu sich nehmen sollten. Um auf Nummer sicher zu gehen gehen wir also davon aus, dass Findus und Sabbel zusammen <math>500ml=0,5l</math> benötigen. <br>
Durch eine Internetrecherche können wir herausfinden, dass Katzen 200-250ml Wasser am Tag zu sich nehmen sollten. Um auf Nummer sicher zu gehen, nehmen wir an, dass Findus und Sabbel zusammen <math>500ml=0,5l</math> benötigen. <br>
'''Wasserspender A: '''
'''Wasserspender A: '''



Version vom 11. November 2019, 20:00 Uhr

Info

In diesem Lernpfad kannst du dein Wissen über lineare Funktionen anwenden und erweitern und dein Verständnis vertiefen. Das Kapitel behandelt die Zusammenhänge zwischen linearen Funktionen, ihren Funktionsgleichungen, ihren Funktionsgraphen und darauf liegenden Punkten.

In Aufgaben, die gelb gefärbt sind, kannst du Gelerntes wiederholen und vertiefen.

Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.

Und Aufgaben mit grüner Hinterlegung sind Knobelaufgaben.

Das Kapitel beginnt mit einem kurzen Lückentext zur Wiederholung und endet mit drei Anwendungsaufgaben.


Lineare Funktionen - eine kurze Wiederholung

Aufgabe 1: Lückentext über Lineare Funktionen

Wiederhole die wichtigen Eigenschaften linearer Funktionen, indem du den folgenden Lückentext bearbeitest. Für jede Lücke gibt es nur eine richtige Antwort. Anschließend kannst du in der folgenden Grafik die Werte und verändern und beobachten, wie sich der Funktionsgraph verändert. Setze beispielsweise und variiere .



GeoGebra

Lineare Funktionen erkennen

Aufgabe 2: Welche Art von Funktion ist es?

Sieh dir den jeweiligen Graphen oder die jeweilige Funktionsvorschrift (bzw. Gleichung) an. Stellt der Graph oder die Funktionsvorschrift eine lineare, eine andere Funktion oder gar keine Funktion dar?

Bei Funktionen muss welcher Variablen auf welcher Achse genau 1 Wert auf der anderen Achse zugeordnet werden? Schau dir den Lückentext in Aufgabe 1 noch einmal an. Wie sieht der Graph einer jeden linearen Funktion aus? Wie ist die allgemeine Form von lineren Funktionen?

Keine Funktion: Der Kreis und die zur -Achse parallelen Gerade sind keine Funktionen. Funktionen ordnen jedem x-Wert genau einen y-Wert zu. Bei Kreisen werden jedem x-Wert genau 2 y-Werte zugeordnet. Bei Geraden parallel zur y-Achse werden einem x-Wert sogar alle y-Werte zugeordnet. Also sind Kreise und Geraden parallel zur y-Achse keine Funktionen.

Lineare Funktionen: Alle Geraden, die nicht parallel zur -Achse verlaufen (also nicht senkrecht sind) und alle Funktionen, bei denen die Variabel den Exponent oder hat, sind lineare Funktionen. Die allgemeine Zuordnungsvorschrift für lineare Funktionen lautet: .

Andere Funktionen: Alle Funktionen, die keine linearen Funktionen sind, sind andere Funktionen.

Lineare Funktionen - Bestimmung von Geradengleichungen

Aufgabe 3: Eine Geradengleichung mithilfe von einem Punkt und der Steigung bestimmen

In den folgenden Teilaufgaben hast du jeweils die Steigung der Geraden und einen Punkt gegeben, durch den die Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweiligen Gleichungen der Geraden in der Form .

Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form ein.

a) Die Steigung ist und der Punkt .

  1. Setze zunächst für die Steigung , sodass dein erstes Gerüst entsteht.
  2. Nutze die Angabe des Punktes , sodass du mit und die Gleichung erhältst.
  3. Bestimme nun mit Auflösung nach den Wert , sodass sich schließlich die Geradengleichung ergibt.

b) Die Steigung ist und der Punkt .

  1. Setze zunächst für die Steigung ein, sodass dein erstes Gerüst entsteht.
  2. Nutze die Angabe des Punktes , sodass du mit und die Gleichung erhältst.
  3. Bestimme nun mit Auflösung nach den Wert , sodass sich schließlich die Geradengleichung ergibt.

c) Die Steigung ist und der Punkt .

  1. Setze zunächst für die Steigung , sodass dein erstes Gerüst entsteht.
  2. Nutze die Angabe des Punktes , sodass du mit und die Gleichung erhältst.
  3. Bestimme nun mit Auflösung nach den Wert , sodass sich schließlich die Geradengleichung ergibt.


Merke "Das Steigungsdreieck"

Die Steigung einer linearen Funktion bestimmt man in der Regel mithilfe des Steigungsdreiecks. Dazu führt man folgende Schritte durch:

  1. Zunächst benötigt man zwei beliebige Punkte und .
  2. Um den Höhenunterschied der Punkte zu bestimmen, benötigt man die y-Koordinaten der Punkte und .
  3. Um den Längenunterschied der Punkte zu bestimmen, benötigt man die x-Koordinaten der Punkte und .
  4. Für die Steigung der Geraden gilt:
GeoGebra


Aufgabe 4: Eine Geradengleichung mithilfe von zwei Punkten bestimmen

Gegeben seien stets zwei Punkte, durch die eine Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweiligen Gleichungen der Geraden in der Form .

  1. Berechne zunächst die Steigung , indem du wie im Merkkasten zum Steigungsdreieck vorgehst.
  2. Berechne anschließend den y-Achsenabschnitt , indem du die Steigung und einen der beiden Punkte in die Geradengleichung der Form einsetzt.

Du kannst die Geradengleichung auch auf anderen Wegen erhalten:

  • Lösung mit Hilfe eines linearen Gleichungssystems:
    • Stelle zwei Gleichungen mit jeweils den Unbekannten und auf, indem du die x-Koordinaten der Punkte und für und die y-Koordinaten der Punkte und für in die Geradengleichung einsetzt.
    • Beide Gleichungen ergeben ein lineares Gleichungssystem, welches du zum Beispiel mit Hilfe des Eliminationsverfahres lösen kannst, um die beiden Unbekannten und zu bestimmen.
    • Die bestimmten Unbekannten setzt du anschließend in die Geradengleichung ein.
  • Lösung mit Hilfe eines Graphen:
    • Zeichne die Punkte und in ein Koordinatensystem ein.
    • Zeichne eine Gerade, die durch die Punkte und verläuft.
    • Bestimme mit Hilfe des Steigungsdreiecks die Steigung .
    • Lies den y-Achsenabschnitt am Graphen ab.
    • Setze alles in die Geradengleichung ein.

a) Gegeben seien die Punkte und .

Funktionsgleichung:

  • Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte und wie folgt berechnen:
  • Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte und wie folgt berechnen:
  • Für die Steigung der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen:
  • Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung und einen der Punkte in die Geradengleichung ein:
    • Falls du als Punkt gewählt hast, erhälst du also
    • Falls du als Punkt gewählt hast, erhälst du also
  • Als letztes setzt du und in die Geradengleichung ein.
  • Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte und in die Geradengleichung ergeben sind und .
  • Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du eliminieren.
  • Nun kannst du eine Gleichung nach auflösen und erhälst .
  • Dies setzt du nun in die andere Gleichung für ein und erhälst .
  • Als letztes setzt du und in die Geradengleichung ein.
Graphischer Lösungsweg

b) Gegeben seien die Punkte und .

Funktionsgleichung:

  • Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte und wie folgt berechnen:
  • Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte und wie folgt berechnen:
  • Für die Steigung der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen:
  • Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung und einen der Punkte in die Geradengleichung ein:
    • Falls du als Punkt gewählt hast, erhälst du also
    • Falls du als Punkt gewählt hast, erhälst du also
  • Als letztes setzt du und in die Geradengleichung ein.
  • Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte und in die Geradengleichung ergeben sind und .
  • Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du eliminieren.
  • Nun kannst du eine Gleichung nach auflösen und erhälst .
  • Dies setzt du nun in die andere Gleichung für ein und erhälst .
  • Als letztes setzt du und in die Geradengleichung ein.
Graphischer Lösungsweg

c) Gegeben seien die Punkte und .

Funktionsgleichung:

  • Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte und wie folgt berechnen:
  • Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte und wie folgt berechnen:
  • Für die Steigung der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen:
  • Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung und einen der Punkte in die Geradengleichung ein:
    • Falls du als Punkt gewählt hast, erhälst du also
    • Falls du als Punkt gewählt hast, erhälst du also
  • Als letztes setzt du und in die Geradengleichung ein.
  • Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte und in die Geradengleichung ergeben sind und .
  • Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du eliminieren.
  • Nun kannst du eine Gleichung nach auflösen und erhälst .
  • Dies setzt du nun in die andere Gleichung für ein und erhälst .
  • Als letztes setzt du und in die Geradengleichung ein.
Graphischer Lösungsweg

Prüfen, ob Punkte auf einer Geraden liegen

Aufgabe 5: Punkte auf dem Graphen

Prüfe für die angegebenen linearen Funktionen, welche Punkte auf dem Funktionsgraphen liegen. Arbeite zunächst im Heft und ordne dann jeder Funktion die Punkte zu, die auf ihrem Graphen liegen. Klicke dabei immer zunächst auf die Funktion und anschließend auf die zugehörigen Punkte. Je mehr Punkte du ihren Funktionen richtig zuweist, desto mehr wird sich ein Bild im Hintergrund aufdecken!
Hinweis: Einer Funktion können mehrere Punkte zugeordnet sein, aber jedem Punkt ist nur genau eine Funktion zugeordnet.



Setze die x-Koordinaten der Punkte in die Funktionen ein und vergleiche den Funktionswert mit den y-Koordinaten der Punkte
  • Auf dem Graphen der Funktion liegen die Punkte: , , , .
  • Auf dem Graphen der Funktion liegen die Punkte: , , , .
  • Auf dem Graphen der Funktion liegen die Punkte: , .
  • Auf dem Graphen der Funktion liegen die Punkte: , .

Beispielhafter Lösungsweg:

  • Wir setzen die x-Koordinate des Punktes in die Funktion ein und berechnen den Funktionswert:
    • .
    • Der Punkt liegt also auf dem Graphen der Funktion.
  • Nun setzen wir in dieselbe Funktion noch den x-Wert des Punktes ein und berechnen wieder den Funktionswert:
    • .
    • Der Funktionswert an der Stelle 2 ist nicht 10, sondern 7.
    • Der Punkt liegt also nicht auf dem Graphen.

Eine lineare Gleichung einer Geraden zuordnen

Aufgabe 6: Funktionen zeichnen

Zeichne die folgenden drei Funktionen alle in ein Koordinatensystem. Überlege dir vorher, wie groß das Koordinatensystem für diese Funktionen sein muss, damit man jeden Schnitt zwischen jeweils zwei Geraden erkennt.

a)

b)

c)

Für ist der -Achsenabschnitt und die Steigung.
Mit den Reglern kannst du die Werte für die Steigung (m) und den y-Achsenabschnitt (b) ändern und so dein Ergebnis überprüfen.
GeoGebra


Aufgabe 7: Finde Paare

Ordne den gegebenen linearen Gleichungen die zugehörige Gerade zu. Beachte: Nicht zu jeder Gleichung ist eine Gerade gegeben.



Nicht vergessen: Für ist der -Achsenabschnitt und die Steigung. Vielleicht erkennst du alleine anhand des -Achsenabschnitts schon einige der Funktionen?

Den Schnittpunkt zweier Geraden bestimmen

Aufgabe 8: Bestimme den Schnittpunkt

Zeichne zunächst beide Graphen in ein Koordinatensystem in dein Heft. Bestimme anschließend den x-Wert des Schnittpunktes der beiden Geraden.

Um die Geraden zu zeichnen, betrachte zunächst den y-Achsenabschnitt. Falls du dir unsicher bist, was der y-Achsenabschnitt ist, scrolle hoch zum Lückentext in Aufgabe 1.

Anschließend betrachte die Steigung der Geraden. Zeichne ein Steigungsdreieck (Hilfe im Lückentext in Aufgabe 1) und zeichne die Gerade mit Hilfe der Steigung und des y-Achsenabschnitts.
Um die Koordinaten des Schnittpunktes zu bestimmten, setzte die beiden Geraden gleich und löse dann nach x auf.
a) Gegeben sind die beiden Geraden  und .
Der Schnittpunkt liegt bei x= 4


b) Gegeben sind die beiden Geraden und .

Der Schnittpunkt liegt bei x= 2


c) Gegeben sind die beiden Geraden und .

Der Schnittpunkt liegt bei x= 20

Anwendungsaufgaben

Aufgabe 9: Was man nicht alles für Freundinnen tut.

Susanne ist 13 Jahre alt und geht in die 7. Klasse. Heute ist sie um 13.45 Uhr von der Schule nach Hause gekommen. Beim Mittagessen erzählt sie für 30min von ihrem Schultag. Bevor sie zum Sport geht, soll sie noch ihre Hausaufgaben erledigen. Jedoch fängt sie nicht sofort an, sondern daddelt erst noch 60min. Dann beginnt sie jedoch mit ihren Hausaufgaben. Nach 30min hat sie ihre Mathehausaufgaben fertig und muss nun nur noch Deutsch machen.
Dafür muss sie noch ein 15-seitiges Kapitel in einem Roman lesen. Als sie nach 5 Minuten die dritte Seite fertig gelesen hat, schaut sie auf ihr Handy. Sie hat nur noch 20min bis sie sich für ihr Fußball-Training fertig machen muss. Gleichzeitig sieht sie eine Whats-App Nachricht von ihrer Freundin Marie, die schreibt: "Hey, hast du Deutsch schon fertig? Hab das Kapitel nicht gerafft. Kannst du mir das beim Sport zusammenfassen?"
Kann Susanne ihrer Freundin, Marie, versprechen ihr das Kapitel beim Fußball zu erklären?

1. Tipp: Überlege welche Zeitangaben für die Lösung der Aufgabe notwendig sind.
2. Tipp: Trage die relvanten Informationen als Punkte in ein Koordinatensystem.

3. Tipp: Mit welcher Geschwindigkeit liest Susanne Seiten pro Minute? Welche Gleichung kennst du, mit der du ihre Lesegeschwindigkeit modellieren kannst?

Es gibt verschiedene Lösungsideen. Zwei Beispiele sind eine grafische Lösung mit Hilfe eines Koordinatensystems oder eine algebraische Lösung mit Hilfe einer linearen Funktion. Eine algebraische Lösung könnte wie folgt aussehen:
Die Zeitangaben für die Bearbeitung der Deutschaufgabe reichen aus, um die Aufgabe zu lösen. Alle anderen Zeitangaben helfen uns nicht. Als Marie die Nachricht liest, hat sie bereits 3 Seiten gelesen. Sie ließt mit einer Geschwindigkeit von 3 Seiten pro 5 Minuten. Wir können also jedem Zeitpunkt eine Anzahl von gelesenen Seiten zuordnen. Wir setzen den Startzeitpunkt auf den Moment, in dem sie die Nachricht bekommt. soll die Einheit haben.
Dann lautet unsere Gleichung:

Wir wollen wissen, wann Susanne 15 Seiten gelesen hat, also setzen wir für (Seiten) ein.


.

Also braucht Susanne noch mal Minuten, also insgesamt 20min. Wenn sie sich beeilt, kann sie es also noch schaffen.


Aufgabe 10: Wasser für die Katze

Marc und Claudia freuen sich schon auf ihren einwöchigen Urlaub. Leider dürfen ihre Katzen, Findus und Sabbel, nicht mit. Das Trockenfutter ist zwar ausreichend lang haltbar, aber damit die Katzen im heißen Sommer auch immer Wasser finden können, wollen die beiden einen Wasserspender kaufen. Im Geschäft sehen sie zwei verschiedene Typen von Wasserspendern, die unterschiedlich teuer sind. In den einen Wasserspender für 10€ (Wasserspender A) passen Wasser und er ist nach Tagen leer. In den anderen Wasserspender für 25€ (Wasserspender B) passen und er ist schon nach Tagen leer. Der Wassertrog der Katzen hat ein Fassungsvermögen von . Überlaufendes Wasser fließt in Marcs und Claudias Garage in einen Gulli. Welche Wasserspender sollten Marc und Claudia für ihre Katzen kaufen?

Als erstes könntest du versuchen je eine Funktionsvorschrift für die Wasserspender zu suchen. Kannst du an diesen Ablesen wie viel Wasser Sie jeden Tag zur Verfügung stellen? Im nächsten Schritt müsstest du herausfinden, wie viel Wasser jeden Tag benötigt wird. Hast du schon dafür alle notwendigen Infos gegeben?

Nun kannst du den Verbrauch und das bereitgestellte Wasser in Beziehung zueinander stellen. Welchen Wasserspender sollten die beiden kaufen? Reichen die Wasserspender für den ganzen Urlaub?

Mit zwei Punkten kannst du bereits eine lineare Funktion aufstellen. Suche diese beiden Punkte im Text für die jeweiligen Behälter. Falls du die Punkte findest, aber Schwierigkeiten bei dem Aufstellen der Gleichung hast, schaue dir Aufgabe 4 an.

Was könnte für Marc und Claudia neben der angemessen Wasserversorgung ihrer Katzen noch von Bedeutung sein?
Die Punkte für den Wasserspender A sind und . Die Punkte für den Wasserspender B sind und . Setze für jeden Wasserspender die jeweiligen beiden Punkte in die allgemeine Form der linearen Funktion ein.

Durch eine Internetrecherche können wir herausfinden, dass Katzen 200-250ml Wasser am Tag zu sich nehmen sollten. Um auf Nummer sicher zu gehen, nehmen wir an, dass Findus und Sabbel zusammen benötigen.
Wasserspender A:

Wir haben die Punkte und und die allgemeine Funktionsgleichung . In diese setzten wir die beiden Punkte jeweils ein:

: , wodurch folgt.

: . Da wir schon wissen, dass ist, folgt hieraus, dass ist.

Setzt man nun und in die Funktionsgleichung ein, erhalten wir

Die Steigung der Funktionsvorschrift von Wasserspender A ist also . Wasserspender A gibt also jeden Tag etwas mehr Wasser als 250ml und somit lediglich ausreichend viel Wasser für eine Katze ab. Außerdem ist Wasserspender A nach 7 Tagen noch nicht leer:

Wasserspender B:

Wir haben die Punkte und und die allgemeine Funktionsgleichung . In diese setzten wir die beiden Punkte jeweils ein:

: , wodurch folgt.

: . Da wir schon wissen, dass ist, folgt hieraus, dass ist.

Setzt man nun und in die Funktionsgleichung ein, erhalten wir

Die Steigung der Funktionsvorschrift von Wasserspender B ist . Wasserspender B gibt also jeden Tag und somit ausreichend viel Wasser für beide Katzen ab.

Außerdem ist auch Wasserspender B nach 7 Tagen noch nicht leer:


Nun können wir nachvollziehbarerweise annehmen, dass Claudia und Marc möglichst wenig Geld ausgeben wollen. Zwei Wasserbehälter A kosten Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 2 \cdot 10€} also Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 5€} weniger als ein Wasserspender B (Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 25€} .

Abschließende Antwort

Zwar könnte ein Wasserspender der Sorte B für die beiden Katzen 1 Woche genug Wasser bereitstellen, aber zwei Wasserspender der Sorte A sind zusammen immer noch preisweiter und können gemeinsam immer noch genügend Wasser für die beiden Katzen bereitstellen. Claudia und Marc sollten also zwei Wasserspender des Typs A kaufen.