Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Terme und Gleichungen: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Box| Aufgabe 11|Peter, sein Vater und seine Mutter sind zusammen 100 Jahre alt. Peters Vater ist dreimal so alt wie er und Peters Mutter ist 5 Jahre jünger als Peters Vater. Wie alt ist Peter, wie alt ist sein Vater und wie alt ist seine Mutter? | {{Box| Aufgabe 11|Peter, sein Vater und seine Mutter sind zusammen 100 Jahre alt. Peters Vater ist dreimal so alt wie er und Peters Mutter ist 5 Jahre jünger als Peters Vater. Wie alt ist Peter, wie alt ist sein Vater und wie alt ist seine Mutter? | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1=Führe eine unbekannte Variable x für ein Alter ein.|2=Tipp 1|3=schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Mathematisiere ausgehend von | {{Lösung versteckt|1=Mathematisiere ausgehend von dem Alter x durch geeignete Terme die anderen Altersangaben (z.B. bedeutet 5 Jahre älter x+5).|2=Tipp 2|3=schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=x= Alter von Peter | {{Lösung versteckt|1=x=Alter von Peter | ||
Wenn x das Alter von Peter ist, dann ist <math>(3 \cdot x)</math> das Alter des Vaters und somit ist das Alter der Mutter <math>(3 \cdot x-5)</math>. | Wenn x das Alter von Peter ist, dann ist <math>(3 \cdot x)</math> das Alter des Vaters und somit ist das Alter der Mutter <math>(3 \cdot x-5)</math>. | ||
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Alter von Peters Vater: 45|2=Lösung|3=schließen}}|Arbeitsmethode}} | Alter von Peters Vater: 45|2=Lösung|3=schließen}}|Arbeitsmethode}} | ||
{{Box| Aufgabe 12| | {{Box| Aufgabe 12|Merve schoss in der letzten Saison doppelt so viele Tore wie ihre Mitspielerin Lena. Marie erzielte 5 Tore weniger als Merve. Alle drei schossen insgesamt 30 Tore. | ||
Wie viele Tore erzielte | Wie viele Tore erzielte jede einzelne? | ||
{{Lösung versteckt|1=Setze von | {{Lösung versteckt|1=Setze von einer Spielerin die Anzahl der Tore als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Es ist egal von | {{Lösung versteckt|1=Es ist egal, von welcher Spielerin man die Anzahl der Tore als Variable setzt.|2=Tipp 2|3=schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=x=Anzahl der Tore von | {{Lösung versteckt|1=x=Anzahl der Tore von Merve | ||
<math>x+\frac{1}{2} \cdot x+(x-5)=30 \quad | Vereinfachen</math> | <math>x+\frac{1}{2} \cdot x+(x-5)=30 \quad | Vereinfachen</math> | ||
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<math>x=14</math> | <math>x=14</math> | ||
Merve: 14 Tore | |||
Lena: 7 Tore | |||
Marie: 9 Tore|2=Lösung|3=schließen}}|Arbeitsmethode}} | |||
===Lineare Gleichungen lösen=== | ===Lineare Gleichungen lösen=== |
Version vom 13. Juni 2019, 16:49 Uhr
Wiederholung: Terme und Gleichungen
Lies dir die Inhalte der folgenden Infokästchen sorgfältig durch und nutze sie, wenn du bei späteren Aufgaben ins Stocken kommst.
Ein Term ist ein mathematischer Ausdruck, der Zahlen, Variablen, Symbole für mathematische Verknüpfungen (Plus, Minus, Mal, Geteilt) und Klammern enthalten kann.
Beispiele:
.
Eine Gleichung ist eine Aussage über die Gleichheit zweier Terme, die mit Hilfe des Gleichheitszeichens ("=") symbolisiert wird.
Gleichungen sind entweder wahr (5 = 5) oder falsch (5 = 6).
Beispiele:
.
Terme zu vereinfachen bedeutet, die Terme durch die dir bekannten Methoden wie Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Ausmultiplizieren und Ausklammern zu verkürzen oder übersichtlicher darzustellen. Hier sind einige Beispiele.
Addieren:
Subtrahieren:
Multiplizieren:
Ausmultiplizieren:
Ausklammern:
.Bei einer Gleichung mit einer Variablen, z.B. , ist vor allem derjenige x -Wert von Interesse, für den die Gleichung erfüllt, das heißt wahr, ist.
Der x-Wert, für den die Gleichung erfüllt ist, heißt Lösung der Gleichung.
Einige Menschen fragen sich: "Wozu brauche ich das alles überhaupt?!". Das kommt im Alltag oft vor, z.B. wenn es um (dein) Geld geht. Vielleicht kannst du es auch gebrauchen, um eine Million Euro zu gewinnen...?
Wiederholung: Bruchrechnung
Beim Rechnen mit Termen und Gleichungen stößt man regelmäßig auf Brüche. Falls Du Dich damit noch ein wenig unsicher fühlst, schau Dir die folgenden Erklärungen an:
1. Zwei Brüche mit gleichem Nenner (gleichnamige Brüche) werden addiert, indem man ihre Zähler addiert und den gemeinsamen Nenner beibehält.
2. Vorgehensweise für ungleichnamige Brüche:
Ungleichnamige Brüche oder nicht gleichnamige Brüche sind Brüche, die unterschiedliche Nenner haben.
Diese Brüche mit verschiedenen Nennern addiert man, indem man die Brüche auf denselben Nenner bringt. Hierzu muss mindestens einer der Brüche gekürzt oder erweitert werden. Oftmals müssen beide Brüche erweitert werden. Der neue, gemeinsame Nenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache der alten Nenner. Anschließend kann wieder wie oben mit gleichen Nennern addiert werden.
Kürzen
Allgemein:
kürzen mit n:
Ein Beispiel:
kürzen mit 2:
Erweitern
Allgemein:
erweitern mit m:
Ein Beispiel:
erweitern mit 4:Brüche werden miteinander multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert.
Terme durch Addieren und Subtrahieren zusammenfassen
Nutze das Distributivgesetz! Klammere die Variable aus und fasse innerhalb der Klammer zusammen.
Beispiel: .Zu b) und c): Um die Brüche zu addieren oder subtrahieren, bringe sie auf denselben Nenner.
Beispiel: .a)
b)
c)
Nutze das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz, es gilt für die Addition) und sortiere nach Variablen!
Beispiel: .
Beachte Du kannst auch Subtraktionen als Additionen umschreiben und dann das Kommutativgesetz anwenden.
Beispiel:a)
b)
c)
Gleiche Variablen mit unterschiedlichem Exponenten (z.B. und ) dürfen bei der Addition nicht zusammengefasst werden!
Beispiel: .a)
b) , das fällt hier weg, da sind.
c)
Klammern in Termen auflösen
Terme durch Ausklammern in Produkte umformen
Terme und Gleichungen zur Beschreibung von Sachsituationen
Lineare Gleichungen lösen
Quadratische Gleichungen lösen
Lineare Gleichungssysteme lösen
Für das Lösen von Gleichungssystemen gibt es mehrere Verfahren. Die folgenden Aufgaben können alle mithilfe von zwei Verfahren (Additionsverfahren und Einsetzungsverfahren) gelöst werden.
- Entscheide, welche Unbekannte du eliminieren willst.
- Überlege, wie du die Gleichungen addieren musst, damit diese Unbekannte wegfällt.
- Berechne die Unbekannten.
- Löse eine Gleichung nach einer Variablen auf.
- Setze den Term für diese Variable in die andere Gleichung ein.
- Löse die Gleichung nach der in ihr vorkommenden Variablen auf.
- Setze die Lösung in die umgeformte Gleichung aus Schritt 1 ein und berechne die andere Variable.
Lineare Gleichungssysteme zum Lösen von Textaufgaben nutzen
Löse die folgenden Aufgaben in deinem Heft.