Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Terme und Gleichungen: Unterschied zwischen den Versionen

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(Terme durch Ausklammern in Produkte umformen)
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(Terme und Gleichungen zur Beschreibung von Sachsituationen)
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===Wiederholung: Terme und Gleichungen===
 
===Wiederholung: Terme und Gleichungen===
Lies dir die folgenden Infokästchen sorgfältig durch und nutze sie, wenn du bei späteren Aufgaben ins Stocken kommst.
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{{Lösung versteckt|1= Eine '''Gleichung '''<nowiki>ist eine Aussage über die Gleichheit zweier Terme, die mit Hilfe des Gleichheitszeichens ("=") symbolisiert wird.</nowiki>
 
{{Lösung versteckt|1= Eine '''Gleichung '''<nowiki>ist eine Aussage über die Gleichheit zweier Terme, die mit Hilfe des Gleichheitszeichens ("=") symbolisiert wird.</nowiki>
  
<nowiki>Gleichungen sind entweder wahr (5 = 5) oder falsch (5 = 6)</nowiki>
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<nowiki>Gleichungen sind entweder wahr (5 = 5) oder falsch (5 = 6).</nowiki>
  
 
Beispiele:  
 
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<math>5x = 10</math>.|2= Was ist eine Gleichung?|3=schließen}}
 
<math>5x = 10</math>.|2= Was ist eine Gleichung?|3=schließen}}
  
{{Lösung versteckt|1=Terme vereinfachen bedeutet, die Terme durch die dir bekannten Methoden wie Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Ausmultiplizieren und Ausklammern zu verkürzen oder übersichtlicher darzustellen. Hier ein paar Beispiele.
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{{Lösung versteckt|1=Terme zu vereinfachen bedeutet, die Terme durch die dir bekannten Methoden wie Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Ausmultiplizieren und Ausklammern zu verkürzen oder übersichtlicher darzustellen. Hier sind einige Beispiele.
  
 
Addieren:
 
Addieren:
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|2=Terme vereinfachen|3=schließen}}
 
|2=Terme vereinfachen|3=schließen}}
  
{{Lösung versteckt|1= Bei einer Gleichung mit einer Variable, z.B.  
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{{Lösung versteckt|1= Bei einer Gleichung mit einer Variablen, z.B.  
 
<math>5 + x = 10</math>, ist vor allem derjenige x
 
<math>5 + x = 10</math>, ist vor allem derjenige x
 
-Wert von Interesse, für den die Gleichung erfüllt, das heißt '''wahr''', ist.
 
-Wert von Interesse, für den die Gleichung erfüllt, das heißt '''wahr''', ist.
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"Wozu brauche ich das alles überhaupt?!". Gute Frage! Vielleicht, um eine Million Euro zu gewinnen...?  
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Einige Menschen fragen sich: "Wozu brauche ich das alles überhaupt?!". Das kommt im Alltag oft vor, z.B. wenn es um (dein) Geld geht. Vielleicht kannst du es auch gebrauchen, um eine Million Euro zu gewinnen...?  
  
  
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'''c)''' <math>4x^3</math>}}
 
'''c)''' <math>4x^3</math>}}
  
{{Box|Aufgabe 5 - Pferderennen|
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{{Box|Aufgabe 5 - Pferderennen! Kommst Du mit den Termen als Erste*r ins Ziel?|
  
 
{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pth88w7w319}}
 
{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pth88w7w319}}
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{{Box| Aufgabe 11|Peter, sein Vater und seine Mutter sind zusammen 100 Jahre alt. Peters Vater ist dreimal so alt wie er und Peters Mutter ist 5 Jahre jünger als Peters Vater. Wie alt ist Peter, wie alt ist sein Vater und wie alt ist seine Mutter?
 
{{Box| Aufgabe 11|Peter, sein Vater und seine Mutter sind zusammen 100 Jahre alt. Peters Vater ist dreimal so alt wie er und Peters Mutter ist 5 Jahre jünger als Peters Vater. Wie alt ist Peter, wie alt ist sein Vater und wie alt ist seine Mutter?
{{Lösung versteckt|1=Setze ein Alter als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
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{{Lösung versteckt|1=Führe eine unbekannte Variable x für ein Alter ein.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Mathematisiere ausgehend von einem Alter x durch Terme die anderen Alter (z.B. 5 Jahre älter bedeutet (x+5).|2=Tipp 2|3=schließen}}
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{{Lösung versteckt|1=Mathematisiere ausgehend von dem Alter x durch geeignete Terme die anderen Altersangaben (z.B. bedeutet 5 Jahre älter x+5).|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x= Alter von Peter
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{{Lösung versteckt|1=x=Alter von Peter
  
 
Wenn x das Alter von Peter ist, dann ist <math>(3 \cdot x)</math> das Alter des Vaters und somit ist das Alter der Mutter <math>(3 \cdot x-5)</math>.
 
Wenn x das Alter von Peter ist, dann ist <math>(3 \cdot x)</math> das Alter des Vaters und somit ist das Alter der Mutter <math>(3 \cdot x-5)</math>.
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Alter von Peters Vater: 45|2=Lösung|3=schließen}}|Arbeitsmethode}}
 
Alter von Peters Vater: 45|2=Lösung|3=schließen}}|Arbeitsmethode}}
  
{{Box| Aufgabe 12|Finn schoss in der letzten Saison doppelt so viele Tore wie sein Mitspieler Jürgen. Herbert erzielte 5 Tore weniger als Finn. Alle drei schossen insgesamt 30 Tore.  
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{{Box| Aufgabe 12|Merve schoss in der letzten Saison doppelt so viele Tore wie ihre Mitspielerin Lena. Marie erzielte 5 Tore weniger als Merve. Alle drei schossen insgesamt 30 Tore.  
Wie viele Tore erzielte jeder einzelne?
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Wie viele Tore erzielte jede einzelne?
{{Lösung versteckt|1=Setze von einem Spieler die Anzahl der Tore als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
+
{{Lösung versteckt|1=Setze von einer Spielerin die Anzahl der Tore als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Es ist egal von welchem Spieler man die Anzahl der Tore als Variable setzt.|2=Tipp 2|3=schließen}}
+
{{Lösung versteckt|1=Es ist egal, von welcher Spielerin man die Anzahl der Tore als Variable setzt.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x=Anzahl der Tore von Finn
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{{Lösung versteckt|1=x=Anzahl der Tore von Merve
  
 
<math>x+\frac{1}{2} \cdot x+(x-5)=30 \quad | Vereinfachen</math>
 
<math>x+\frac{1}{2} \cdot x+(x-5)=30 \quad | Vereinfachen</math>
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<math>x=14</math>
 
<math>x=14</math>
  
Finn: 14 Tore
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Merve: 14 Tore
  
Jürgen: 7 Tore
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Lena: 7 Tore
  
Herbert: 9 Tore|2=Lösung|3=schließen}}|Arbeitsmethode}}
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Marie: 9 Tore|2=Lösung|3=schließen}}|Arbeitsmethode}}
  
 
===Lineare Gleichungen lösen===
 
===Lineare Gleichungen lösen===
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===Lineare Gleichungssysteme lösen===
 
===Lineare Gleichungssysteme lösen===
Für das Lösen von Gleichungssystemen gibt es unterschiedliche Verfahren und Herangehensweisen. Die folgenden Aufgaben können alle mithilfe von zwei Verfahren gelöst werden:
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Für das Lösen von Gleichungssystemen gibt es mehrere Verfahren. Die folgenden Aufgaben können alle mithilfe von zwei Verfahren (Additionsverfahren und Einsetzungsverfahren) gelöst werden.
  
 
{{Lösung versteckt|1=
 
{{Lösung versteckt|1=
# Entscheide, welche Unbekannte du eliminieren willst
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# Entscheide, welche Unbekannte du eliminieren willst.
# Überlege, wie du die Gleichungen addieren musst, damit die Unbekannte weg fällt
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# Überlege, wie du die Gleichungen addieren musst, damit diese Unbekannte wegfällt.
# Berechne die Unbekannten
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# Berechne die Unbekannten.
  
 
Beispiele dafür findest Du hier: https://www.mathebibel.de/additionsverfahren|2=Additionsverfahren|3=schließen}}
 
Beispiele dafür findest Du hier: https://www.mathebibel.de/additionsverfahren|2=Additionsverfahren|3=schließen}}
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{{Lösung versteckt|1=
 
{{Lösung versteckt|1=
# Eine Gleichung nach einer Variable auflösen
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# Löse eine Gleichung nach einer Variablen auf.
# Den Term für diese Variable in die andere Gleichung einsetzen
+
# Setze den Term für diese Variable in die andere Gleichung ein.
# Gleichung nach der Variablen auflösen
+
# Löse die Gleichung nach der in ihr vorkommenden Variablen auf.
# Die Lösung in die umgeformte Gleichung aus Schritt 1 einsetzen und so die andere Variable berechnen
+
# Setze die Lösung in die umgeformte Gleichung aus Schritt 1 ein und berechne die andere Variable.
  
 
Beispiele dafür findest Du hier: https://www.mathebibel.de/einsetzungsverfahren|2=Einsetzungsverfahren|3=schließen}}
 
Beispiele dafür findest Du hier: https://www.mathebibel.de/einsetzungsverfahren|2=Einsetzungsverfahren|3=schließen}}
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{{Box|Aufgabe 18|Löse das folgende Gleichungssystem in deinem Heft:
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{{Box|Aufgabe 18|Löse das folgende Gleichungssystem in deinem Heft bzw. Collegeblock:
  
 
<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>
 
<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>
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<math>II\quad 5x - 4y = -6</math>
 
<math>II\quad 5x - 4y = -6</math>
  
Addiere Gleichung I zu Gleichung II
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Addiere Gleichung I zu Gleichung II.
  
 
<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>
 
<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>
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<math>II\quad 8x + 0y = 16</math>
 
<math>II\quad 8x + 0y = 16</math>
  
Berechne die Lösung für II
+
Berechne die Lösung für II.
  
 
<math>8x + 0y = 16\quad|:8</math>
 
<math>8x + 0y = 16\quad|:8</math>
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<math>x = 2</math>
 
<math>x = 2</math>
  
Setze x = 2 in I ein
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Setze x = 2 in I ein.
  
 
<math>3x + 4y = 22</math>
 
<math>3x + 4y = 22</math>
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{{Lösung versteckt|1=Die Lösung kannst Du mithilfe eines Gleichungssystems für zwei Variablen (z.B. x und y) berechnen. Die Variablen stehen für die Anzahl der Vier- bzw. Sechsbettzimmer.|2=Tipp 1|3=schließen}}
 
{{Lösung versteckt|1=Die Lösung kannst Du mithilfe eines Gleichungssystems für zwei Variablen (z.B. x und y) berechnen. Die Variablen stehen für die Anzahl der Vier- bzw. Sechsbettzimmer.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Eine Gleichung sollte 18, die andere 84 als Ergebnis haben.|2=Tipp 2|3=schließen}}
+
{{Lösung versteckt|1=Auf der rechten Seite der einen Gleichung sollte 18 stehen, auf der rechten Seite der anderen 84.|2=Tipp 2|3=schließen}}
 
{{Lösung versteckt|1=Das zu lösende Gleichungssystem ist:
 
{{Lösung versteckt|1=Das zu lösende Gleichungssystem ist:
  
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'''Es gibt 12 Vier- und 6 Sechsbettzimmer'''.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode}}
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'''Es gibt 12 Vier- und 6 Sechsbettzimmer.'''|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode}}
  
  
{{Box|Aufgabe 20**|Drei Personen werden nach ihrem Vermögen gefragt. Der Erste und der Zweite besitzen
+
{{Box|Aufgabe 20**|Drei Personen werden nach ihrem Vermögen gefragt. Die erste und die zweite besitzen
zusammen um 20 Denare (römische Währung) mehr als der Dritte; der Erste und der Dritte haben zusammen um
+
zusammen 20 Denare (römische Währung) mehr als die dritte Person. Die erste und die dritte besitzen zusammen 40 Denare mehr als die zweite Person. Die zweite und die dritte besitzen zusammen 30
40 Denare mehr als der Zweite; und der Zweite und der Dritte haben zusammen um 30
+
Denare mehr als die erste Person. Wie viel besitzt jede der drei Personen? (nach Diophant, 3. Jh. n. Chr.)
Denare mehr als der Erste. Wie viel besitzt jeder der Drei? (nach Diophant, 3. Jh. n. Chr.)
 
  
 
{{Lösung versteckt|1=Die Lösung kannst du mithilfe eines Gleichungssystems für drei Variablen (z.B. a, b und c) berechnen.|2=Tipp 1|3=schließen}}
 
{{Lösung versteckt|1=Die Lösung kannst du mithilfe eines Gleichungssystems für drei Variablen (z.B. a, b und c) berechnen.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Wenn Person A 10€ mehr hat als Person B, gilt: A - B = 10€|2=Tipp 2|3=schließen}}
+
{{Lösung versteckt|1=Wenn Person A das Vermögen a besitzt und Person B das Vermögen b besitzt und die Person A 10€ mehr besitzt als Person B, kannst Du schreiben: a - b = 10€|2=Tipp 2|3=schließen}}
 
{{Lösung versteckt|1=Das zu lösende Gleichungssystem ist:
 
{{Lösung versteckt|1=Das zu lösende Gleichungssystem ist:
  
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'''Der Erste hat 30, der Zweite 25 und der Dritte 35 Denare'''.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode
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'''Die erste Person hat 30, die zweite 25 und die dritte 35 Denare.'''|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode
 
}}
 
}}

Version vom 13. Juni 2019, 18:49 Uhr


Terme und Gleichungen

Dieses Kapitel des Lernpfades soll Dir helfen, dein Wissen über Terme und Gleichungen zu überprüfen und aufzufrischen. Du kannst selbst auswählen, in welcher Reihenfolge du das Kapitel bearbeiten möchtest und welche Aufgaben für dich am geeignetsten sind.

Damit du etwas anspruchsvollere Aufgaben direkt erkennst, sind Aufgaben, die dich fordern mit einem Stern (*) und knifflige Knobelaufgaben mit zwei Sternen (**) gekennzeichnet.

Viel Spaß!

Wiederholung: Terme und Gleichungen

Lies dir die Inhalte der folgenden Infokästchen sorgfältig durch und nutze sie, wenn du bei späteren Aufgaben ins Stocken kommst.

Ein Term ist ein mathematischer Ausdruck, der Zahlen, Variablen, Symbole für mathematische Verknüpfungen (Plus, Minus, Mal, Geteilt) und Klammern enthalten kann.

Beispiele:

.

Eine Gleichung ist eine Aussage über die Gleichheit zweier Terme, die mit Hilfe des Gleichheitszeichens ("=") symbolisiert wird.

Gleichungen sind entweder wahr (5 = 5) oder falsch (5 = 6).

Beispiele:

.

Terme zu vereinfachen bedeutet, die Terme durch die dir bekannten Methoden wie Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Ausmultiplizieren und Ausklammern zu verkürzen oder übersichtlicher darzustellen. Hier sind einige Beispiele.

Addieren:

Subtrahieren:

Multiplizieren:

Ausmultiplizieren:

Ausklammern:

.

Bei einer Gleichung mit einer Variablen, z.B. , ist vor allem derjenige x -Wert von Interesse, für den die Gleichung erfüllt, das heißt wahr, ist.

Der x-Wert, für den die Gleichung erfüllt ist, heißt Lösung der Gleichung.


Einige Menschen fragen sich: "Wozu brauche ich das alles überhaupt?!". Das kommt im Alltag oft vor, z.B. wenn es um (dein) Geld geht. Vielleicht kannst du es auch gebrauchen, um eine Million Euro zu gewinnen...?




Wiederholung: Bruchrechnung

Beim Rechnen mit Termen und Gleichungen stößt man regelmäßig auf Brüche. Falls Du Dich damit noch ein wenig unsicher fühlst, schau Dir die folgenden Erklärungen an:


1. Zwei Brüche mit gleichem Nenner (gleichnamige Brüche) werden addiert, indem man ihre Zähler addiert und den gemeinsamen Nenner beibehält.



2. Vorgehensweise für ungleichnamige Brüche:

Ungleichnamige Brüche oder nicht gleichnamige Brüche sind Brüche, die unterschiedliche Nenner haben.

Diese Brüche mit verschiedenen Nennern addiert man, indem man die Brüche auf denselben Nenner bringt. Hierzu muss mindestens einer der Brüche gekürzt oder erweitert werden. Oftmals müssen beide Brüche erweitert werden. Der neue, gemeinsame Nenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache der alten Nenner. Anschließend kann wieder wie oben mit gleichen Nennern addiert werden.


Kürzen

Allgemein:

kürzen mit n:

Ein Beispiel:

kürzen mit 2:


Erweitern

Allgemein:

erweitern mit m:

Ein Beispiel:

erweitern mit 4:

Brüche werden miteinander multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert.

Terme durch Addieren und Subtrahieren zusammenfassen

Aufgabe 1 - Terme mit einer Variablen

Fasse zusammen.

a)

b)

c)

Nutze das Distributivgesetz! Klammere die Variable aus und fasse innerhalb der Klammer zusammen.

Beispiel: .

Zu b) und c): Um die Brüche zu addieren oder subtrahieren, bringe sie auf denselben Nenner.

Beispiel: .

a)

b)

c)


Aufgabe 2 - Terme mit einer Variablen und Konstanten

Fasse zusammen.

a)

b)

c)*

Nutze das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz, gilt für Addition) und sortiere nach den Variablen!

Beispiel: .

Beachte: Du kannst auch Subtraktionen als Additionen umschreiben und anschließend das Kommutativgesetz anwenden.

Beispiel:

Fasse jeweils die Terme mit gleicher Variable zusammen.

Beispiel : .
Kürze zunächst den Bruch und fasse dann zusammen. Gib besonders auf die Vorzeichen acht!

a)

b)

c)



Aufgabe 3 - Terme mit zwei Variablen

Fasse zusammen.

a)

b)

c)*


Nutze das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz, es gilt für die Addition) und sortiere nach Variablen!

Beispiel: .

Beachte Du kannst auch Subtraktionen als Additionen umschreiben und dann das Kommutativgesetz anwenden.

Beispiel:
Kürze zunächst den Bruch und fasse anschließend zusammen. Achte besonders auf die Vorzeichen!

a)

b)

c)


Aufgabe 4 - Terme mit Variablen und Exponenten

Fasse zusammen.

a)

b)

c)*

Gleiche Variablen mit unterschiedlichem Exponenten (z.B. und ) dürfen bei der Addition nicht zusammengefasst werden!

Beispiel: .
Kürze zunächst und fasse dann zusammen.

a)

b) , das fällt hier weg, da sind.

c)


Aufgabe 5 - Pferderennen! Kommst Du mit den Termen als Erste*r ins Ziel?



Klammern in Termen auflösen

Aufgabe 6 - Terme mit konstanten Faktoren

Löse die Klammern auf.

a)

b)

c)

Multipliziere den Faktor außerhalb der Klammer mit jedem Summanden in der Klammer. Die Vorzeichen der Ergebnisse werden übernommen. Bei einer Subtraktion wird entsprechend gleich gerechnet. Beispiel: . Dieser Tipp geht auf das Distributivgesetz zurück.
zu b): Ob in dem Produkt erst die Klammer oder erst der konstante Faktor steht, ist egal. Es würde in beiden Fällen das gleiche Ergebnis herauskommen. Dies geht auf das Kommutativgesetz der Multiplikation zurück.

a)

b)

c)


Aufgabe 7 - Terme mit variablen Faktoren

Löse die Klammern auf.

a)

b)

c)

Auch wenn außerhalb der Klammer eine Variable steht, ändert sich das Vorgehen nicht.
Achte auf die unterschiedlichen Variablen.

a)

b)

c)


Aufgabe 8 - Terme mit quadratischen Klammern

Löse die Klammern auf.

a)

b)

c)


Du kannst hier die binomischen Formeln anwenden. Das Bild soll dir eine Veranschaulichung der 1. Binomischen Formel geben:

Das große Quadrat ist gleich der Summe der beiden kleinen Quadrate ( und ) und der beiden Rechtecke (jeweils ).

1. Binomische Formel.jpg

2. Binomische Fomel:

3. Binomische Formel:

Statt die binomischen Formeln anzuwenden, kannst du die Klammer auch per Hand ausmultiplizieren. Der Exponent bedeutet, dass die Klammer mit sich selbst multipliziert werden soll. Beispiel: .
Beim Multiplizieren von zwei Klammern, muss jeder Summand mit jedem Summanden multipliziert werden. Beispiel: . Diese Regel geht auf die doppelte Anwendung des Distributivgesetzes zurück.

a)

b)

c)

Terme durch Ausklammern in Produkte umformen

Aufgabe 9 - Ausklammern

Klammere möglichst viel aus.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Wir wollen den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen 42 und 12 bestimmen. Die 42 ist in der 7er-Reihe. Denn . Also ist 42 durch 7 teilbar. Eine Umkehraufgabe von ist also . Wenn wir 42 durch 7 teilen, kommt also eine ganze Zahl heraus, nämlich die 6. Das ist mit Teilbarkeit gemeint, beim Teilen kommt eine ganze Zahl heraus. Merke Dir also den Teiler 7. Wir gehen alle anderen Einmaleinsreihen durch und fragen uns, in welchen die 42 vorkommt. Die 42 ist auch in der 2er-Reihe, somit ist sie durch 2 teilbar, 2 ist ein Teiler von 42. Und die 42 ist in der 3er-Reihe, also ist sie durch durch 3 teilbar, 3 ist ein Teiler von 42. Die 42 ist auch in der 6er-Reihe, also ist 6 ein Teiler von 42. Danach gehen wir über das kleine Einmaleins hinaus und suchen weitere Teiler. Natürlich ist die 42 auch durch 42 und durch 1 teilbar. Jede Zahl ist nämlich durch sich selbst und durch 1 teilbar. Wir fassen das zusammen: Die 42 hat die Teiler 1, 2, 3, 6, 7, 21 und 42. Nimm als nächstes die Zahl 12. Sie ist natürlich durch 12 und durch 1 teilbar. Außerdem hat die 12 die Teiler 2, 3, 4 und 6. Wir fassen das auch zusammen: Die 12 hat die Teiler 1, 2, 3, 4, 6 und 12. Die gemeinsamen Teiler von 42 und 12 sind also 1, 2, 3 und 6. Der größte gemeinsame Teiler (kurz ggT wegen der Anfangsbuchstaben) von 12 und 42 ist also 6. Dies kann man kürzer schreiben: ggT(12,42)=6.
Die Teiler einer Zahl kannst Du schneller finden, wenn Du die Teilbarkeitsregeln kennst. Eine Zahl ist genau dann durch 2 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer gerade ist (0, 2, 4, 6 oder 8). Eine Zahl ist genau dann durch 4 teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten beiden Ziffern gebildet wird, durch 4 teilbar ist. Eine Zahl ist genau dann durch 8 teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten drei Ziffern gebildet wird, durch 8 teilbar ist. Eine Zahl ist genau dann durch 5 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer durch 5 teilbar ist (0 oder 5). Eine Zahl ist genau dann durch 10 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine 0 ist. Eine Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. Eine Zahl ist genau dann durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist. Eine Zahl ist genau dann durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.
Bestimme den ggT aller Summanden. Er wird vor die Klammer gesetzt. Der größte gemeinsame Teiler ist die größte Die Summanden in der Klammer sind jeweils das, was beim Teilen durch den ggT (Weglassen) übrigbleibt.

Dieselbe Zahl:

Beispiel: Bei 3x+3y soll ausgeklammert werden. 3x und 3y haben die 3 gemeinsam. Also können wir sie ausklammern: .

Nicht dieselbe Zahl, aber die Zahlen haben einen gemeinsamen Teiler:

"Beispiel" Bei 12x+18y soll ausgeklammert werden. 12 und 18 sind in der 6er-Reihe. Der ggT von 12 und 18 ist 6. Also klammern wir die 6 aus:

Gemeinsamer ggT der Zahlen und mindestens eine gemeinsame Variable:

Beispiel: Bei 21x+35xy soll ausgeklammert werden. Die 21 und die 35 sind beide in der 7er-Reihe. Außerdem kommt die Variable x bei beiden Summanden vor. Also klammern wir 7x aus: .

Terme und Gleichungen zur Beschreibung von Sachsituationen

Aufgabe 10

Ein Parallelogramm hat einen Umfang von 132 Längeneinheiten. Eine Seite ist 38 Längenheiten kürzer als die andere. Wie lang sind die Seiten des Parallelogramms?

Setze eine Länge als unbekannte Variable.
Ein Parallelogramm hat jeweils 2 gleich lange Seiten.

x=kürzere Seite

kürzere Seite: 14

längere Seite: 52


Aufgabe 11

Peter, sein Vater und seine Mutter sind zusammen 100 Jahre alt. Peters Vater ist dreimal so alt wie er und Peters Mutter ist 5 Jahre jünger als Peters Vater. Wie alt ist Peter, wie alt ist sein Vater und wie alt ist seine Mutter?

Führe eine unbekannte Variable x für ein Alter ein.
Mathematisiere ausgehend von dem Alter x durch geeignete Terme die anderen Altersangaben (z.B. bedeutet 5 Jahre älter x+5).

x=Alter von Peter

Wenn x das Alter von Peter ist, dann ist das Alter des Vaters und somit ist das Alter der Mutter .

Also:

Peters Alter: 15

Alter von Peters Mutter: 40

Alter von Peters Vater: 45


Aufgabe 12

Merve schoss in der letzten Saison doppelt so viele Tore wie ihre Mitspielerin Lena. Marie erzielte 5 Tore weniger als Merve. Alle drei schossen insgesamt 30 Tore. Wie viele Tore erzielte jede einzelne?

Setze von einer Spielerin die Anzahl der Tore als unbekannte Variable.
Es ist egal, von welcher Spielerin man die Anzahl der Tore als Variable setzt.

x=Anzahl der Tore von Merve

Merve: 14 Tore

Lena: 7 Tore

Marie: 9 Tore

Lineare Gleichungen lösen

Was sind überhaupt lineare Gleichungen?

Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung 1. Grades. Das heißt: Die Variable x hat als Exponenten höchstens die Zahl 1:

.

Ihre einfachste Form ist: , wobei und reelle Zahlen sind und eine Variable.

Zur Wiederholung schaue dir doch das zugehörige Kapitel in diesem Lernpfad zu linearen Funktionen nochmal an.


Aufgabe 13 - Lineare Gleichungen lösen



Bringe die Teilterme mit einer Variablen und die ohne Variablen auf jeweils eine Seite.

Beispiel:

Quadratische Gleichungen lösen

Aufgabe 14

Löse mit Hilfe der pq-Formel zunächst die quadratischen Gleichungen a) bis d).

a)

b)

c)

d)

Wenn Du noch mehr Übung brauchst, trainiere mit e) bis h) weiter.

e)

f)

g)

h)

Wenn Du eine quadratische Gleichung lösen willst, hilft Dir die pq-Formel: .

Die pq-Formel erhalten wir aus der Normalform der quadratischen Gleichung durch quadratische Ergänzung:

(quadratische Ergänzung)

binomische Formel

Wurzelziehen

pq-Formel mit p=-11 und q=24

pq-Formel mit p=7 und q=-8

pq-Formel mit p=-20 und q=96

pq-Formel mit p=48 und q=135

pq-Formel mit p=107 und q=-108

pq-Formel mit p=6 und q=8

pq-Formel mit und (gekürzt)

pq-Formel mit p=-9 und q=20


Aufgabe 15

Löse mit Hilfe der Nullproduktregel die folgenden quadratischen Gleichungen.

a)

b)

c)

Ein Produkt aus zwei Faktoren ist genau dann 0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren 0 ist.

linker Faktor:

rechter Faktor:

linker Faktor:

rechter Faktor:

als gemischte Zahl (muss nicht sein)

linker Faktor:

rechter Faktor:


Aufgabe 16

Löse die folgenden quadratischen Gleichungen. Mache bei c) und d) die quadratische Ergänzung.

a)

b)

c)

d)

Addiere auf beiden Seiten der Gleichung in c) das Quadrat der Hälfte des gemischten Terms, damit Du die binomische Formel anwenden kannst.

Gegebene quadratische Gleichung:

Normierung (auf Normalform bringen):

Die linke Seite wird in die Form gebracht, so dass wir die zweite binomische Formel anwenden können. wird auch auf der rechten Seite addiert.

Man nimmt also das Quadrat der Hälfte von p und addiert es auf beiden Seiten der Gleichung. In unserem Beispiel müssen wir also 9 addieren, um die binomische Formel ("rückwärts") anwenden zu können.

Wir machen die quadratische Ergänzung:

Wir bilden das Quadrat:

Wir ziehen die Wurzel:

Die Lösungsmenge ist also L={-2;8}.
Teile die Gleichung erst durch 3. So bringst Du sie auf die sogenannte Normalform.