Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Terme und Gleichungen: Unterschied zwischen den Versionen
Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung |
Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung |
||
Zeile 739: | Zeile 739: | ||
Die Lösungsmenge ist also L={-2;8}.|2=Beispiel zur quadratischen Ergänzung|3=schließen}} | Die Lösungsmenge ist also L={-2;8}.|2=Beispiel zur quadratischen Ergänzung|3=schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|Teile die Gleichung erst durch 3. So bringst Du sie auf die sogenannte Normalform.|2=Tipp zu d)|3=schließen}} | {{Lösung versteckt|Teile die Gleichung erst durch 3. So bringst Du sie auf die sogenannte Normalform.|2=Tipp zu d)|3=schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1;7\}</math>|2= | {{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1;7\}</math>|2=Ergebnis von a)|3=schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-11;3\}</math>|2= | {{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-11;3\}</math>|2=Ergebnis von b)|3=schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-9;1\}</math>|2= | {{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-9;1\}</math>|2=Ergebnis von c)|3=schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-4;5\}</math>|2= | {{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-4;5\}</math>|2=Ergebnis von d)|3=schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Zeile 811: | Zeile 811: | ||
'''c)''' <math>(3x-4)^2-(4x-3)^2+(5x-2)(5x+2)=18(x+2)+3</math> | '''c)''' <math>(3x-4)^2-(4x-3)^2+(5x-2)(5x+2)=18(x+2)+3</math> | ||
'''d)''' Formuliere den Satz von Vieta. | |||
'''e)''' Beweise den Satz von Vieta. | |||
'''e)''' Bringe die Funktion <math>f(x)=ax^2+bx+c</math> auf Scheitelpunktform und erläutere dabei die quadratische Ergänzung. | |||
{{Lösung versteckt|1=Löse auf der linken Seite die Klammern auf. Fasse zusammen.|2=Tipp zu a)|3=schließen}} | {{Lösung versteckt|1=Löse auf der linken Seite die Klammern auf. Fasse zusammen.|2=Tipp zu a)|3=schließen}} | ||
Zeile 818: | Zeile 824: | ||
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Minusklammer auf der linken Seite.|2=Tipp zu c)|3=schließen}} | {{Lösung versteckt|1=Beachte die Minusklammer auf der linken Seite.|2=Tipp zu c)|3=schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-2,5;5\}</math>|2= | {{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-2,5;5\}</math>|2=Ergebnis von a)|3=schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{5;\frac{1}{3}\}</math>|2= | {{Lösung versteckt|1=<math>L=\{5;\frac{1}{3}\}</math>|2=Ergebnis von b)|3=schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1;2\}</math>|2= | {{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1;2\}</math>|2=Ergebnis von c)|3=schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Zeile 910: | Zeile 916: | ||
|2=Rechenweg zu c)|3=schließen}} | |2=Rechenweg zu c)|3=schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Satz von Vieta: | |||
Seien p und q die Koeffizienten der quadratischen Gleichung <math>x^2+px+q=0</math> und <math>x_1</math> und <math>x_2</math> deren Lösungen (Wurzeln). Dann gilt <math>p=-(x_1+x_2)</math> und <math>q=x_1\cdot x_2</math>. | |||
|2=Lösung von d)|3=schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Ein möglicher Beweis des Satzes von Vieta (mit Koeffizientenvergleich): | |||
Der Satz von Vieta ergibt sich direkt durch Ausmultiplizieren der Nullstellenform nach Koeffizientenvergleich: | |||
<math> x^2+px+q=(x-x_1)\cdot(x-x_2)=x^2-(x_1+x_2)\cdot x+x_1\cdot x_2</math> | |||
und daher <math>=-(x_1+x_2)</math> und <math>q=x_1\cdot x_2</math>. | |||
|2=Lösung von e)|3=schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= | |||
Man fügt eine nahrhafte Null ein, man macht eine Nullergänzung, damit man auf die binomische Formel kommt. | |||
Gegebene quadratische Funktion: | |||
<math>f(x)=y=ax^2+bx+c</math> | |||
Ausklammern des Leitkoeffizienten: | |||
<math>f(x)=y=a(x^2+\frac{b}{a}x)+c</math> | |||
Wir bringen den eingeklammerten Term in eine Form <math>x^2+2dx+d^2)-d^2</math>, so dass wir die erste binomische Formel anwenden können. | |||
Dabei wird <math>d^2-d^2=0</math> als nahrhafte Null oder als Nullergänzung bezeichnet. | |||
Alternativ kann man natürlich auf beiden Seiten der Gleichung <math>d^2</math> addieren, statt auf der linken <math>d^2</math> zu addieren und direkt wieder abzuziehen. | |||
Da es sich bei der Ergänzung um ein Quadrat handelt, spricht man von der quadratischen Ergänzung. | |||
Quadratische Ergänzung: | |||
<math>f(x)=y=a(x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2)+c</math> | |||
Bildung des Quadrats: | |||
<math>f(x)=y=a[(x+\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2]+c</math> | |||
Ausmultiplizieren: | |||
<math>f(x)=y=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{ab^2}{4a^2}+c</math> | |||
Scheitelform: | |||
<math>f(x)=y=a(x+\frac{b}{2a})^2+(c-\frac{b^2}{4a})</math> | |||
Ablesen des Scheitelpunkts: | |||
<math>S(-\frac{b}{2a};c-\frac{b^2}{4a}></math> | |||
|2=Lösung von f)|3=schließen}} | |||
|Arbeitsmethode}} | |Arbeitsmethode}} | ||
Version vom 27. Mai 2019, 11:41 Uhr
Wiederholung: Terme und Gleichungen
Lies dir die folgenden Infokästchen sorgfältig durch und nutze sie, wenn du bei späteren Aufgaben ins Stocken kommst.
Ein Term ist ein mathematischer Ausdruck, der Zahlen, Variablen, Symbole für mathematische Verknüpfungen (Plus, Minus, Mal, Geteilt) und Klammern enthalten kann.
Beispiele:
.
Eine Gleichung ist eine Aussage über die Gleichheit zweier Terme, die mit Hilfe des Gleichheitszeichens ("=") symbolisiert wird.
Gleichungen sind entweder wahr (5 = 5) oder falsch (5 = 6)
Beispiele:
.
Terme vereinfachen bedeutet, die Terme durch die dir bekannten Methoden wie Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Ausmultiplizieren und Ausklammern zu verkürzen oder übersichtlicher darzustellen. Hier ein paar Beispiele.
Addieren:
Subtrahieren:
Multiplizieren:
Ausmultiplizieren:
Ausklammern:
.Bei einer Gleichung mit einer Variable, z.B. , ist vor allem derjenige x -Wert von Interesse, für den die Gleichung erfüllt, das heißt wahr, ist.
Der x-Wert, für den die Gleichung erfüllt ist, heißt Lösung der Gleichung.
"Wozu brauche ich das alles überhaupt?!". Gute Frage! Vielleicht, um eine Million Euro zu gewinnen...?
Wiederholung: Bruchrechnung
Beim Rechnen mit Termen und Gleichungen stößt man auch regelmäßig auf Brüche. Falls Du dich damit noch ein wenig unsicher fühlst, schau Dir folgenden Erklärungen an:
1. Zwei Brüche mit gleichem Nenner werden addiert, indem man ihre Zähler addiert.
2. Vorgehensweise für ungleiche Brüche:
Ungleiche Brüche sind Brüche, bei denen beide Nenner unterschiedliche Werte haben.
Diese Brüche mit verschiedenen Nennern addiert man, indem man die Brüche auf einen Nenner bringt. Hierzu müssen die Brüche gekürzt oder erweitert werden. Anschließend kann wieder wie oben mit gleichen Nennern addiert werden.
Kürzen
Allgemein:
kürzen mit n:
Ein Beispiel:
kürzen mit 2:
Erweitern
Allgemein:
erweitern mit m:
Ein Beispiel:
erweitern mit 4:Brüche werden miteinander multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert.
Terme durch Addieren und Subtrahieren zusammenfassen
Nutze das Distributivgesetz! Klammere die Variable aus und fasse den Term innerhalb der Klammer zusammen.
Beispiel: .Zu b) und c): Um die Brüche zu addieren oder subtrahieren, bringe sie auf einen Nenner.
Beispiel: .a)
b)
c)
Nutze das Kommutativgesetz (gilt für Addition) und sortiere den Term nach Variablen!
Beispiel: .
Beachte Du kannst auch Subtraktionen als Addition umschreiben und so das Kommutativgesetz anweden.
Beispiel:a)
b)
c)
Gleiche Variablen mit unterschiedlichem Exponenten (z.B. und ) dürfen bei der Addition nicht zusammengefasst werden!
Beispiel: .a)
b) , das fällt hier weg, da sind.
c)
Klammern in Termen auflösen
Terme durch Ausklammern in Produkte umformen
Terme und Gleichungen zur Beschreibung von Sachsituationen
Lineare Gleichungen lösen
Quadratische Gleichungen lösen
Lineare Gleichungssysteme lösen
Für das Lösen von Gleichungssystemen gibt es unterschiedliche Verfahren und Herangehensweisen. Die folgenden Aufgaben können alle mithilfe von zwei Verfahren gelöst werden:
- Entscheide, welche Unbekannte du eliminieren willst
- Überlege, wie du die Gleichungen addieren musst, damit die Unbekannte weg fällt
- Berechne die Unbekannten
- Eine Gleichung nach einer Variable auflösen
- Den Term für diese Variable in die andere Gleichung einsetzen
- Gleichung nach der Variablen auflösen
- Die Lösung in die umgeformte Gleichung aus Schritt 1 einsetzen und so die andere Variable berechnen
Lineare Gleichungssysteme zum Lösen von Textaufgaben nutzen
Löse die folgenden Aufgaben in deinem Heft.