Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Terme und Gleichungen: Unterschied zwischen den Versionen

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===Wiederholung: Terme und Gleichungen===
===Wiederholung: Terme und Gleichungen===
Lies dir die folgenden Infokästchen sorgfältig durch und nutze sie, wenn du bei späteren Aufgaben ins Stocken kommst.
Lies dir die Inhalte der folgenden Infokästchen sorgfältig durch und nutze sie, wenn du bei späteren Aufgaben ins Stocken kommst.
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<math>1 + 2 </math>
<math>1 + 2 </math>
<math>7x - 9y</math>. |2=Was sind Terme?|3=schließen}}
<math>7x - 9y</math>. |2=Was ist ein Term?|3=schließen}}


{{Lösung versteckt|1= Eine '''Gleichung '''<nowiki>ist eine Aussage über die Gleichheit zweier Terme, die mit Hilfe des Gleichheitszeichens ("=") symbolisiert wird.</nowiki>
{{Lösung versteckt|1= Eine '''Gleichung '''<nowiki>ist eine Aussage über die Gleichheit zweier Terme, die mit Hilfe des Gleichheitszeichens ("=") symbolisiert wird.</nowiki>


<nowiki>Gleichungen sind entweder wahr (5 = 5) oder falsch (5 = 6)</nowiki>
<nowiki>Gleichungen sind entweder wahr (5 = 5) oder falsch (5 = 6).</nowiki>


Beispiele:  
Beispiele:  
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<math>4 = 1 + 3</math>
<math>4 = 1 + 3</math>


<math>5x = 10</math>.|2= Was sind Gleichungen?|3=schließen}}
<math>5x = 10</math>.|2= Was ist eine Gleichung?|3=schließen}}


{{Lösung versteckt|1=Terme vereinfachen bedeutet, die Terme durch die dir bekannten Methoden wie Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Ausmultiplizieren und Ausklammern zu verkürzen oder übersichtlicher darzustellen. Hier ein paar Beispiele.
{{Lösung versteckt|1=Terme zu vereinfachen bedeutet, die Terme durch die dir bekannten Methoden wie Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Ausmultiplizieren und Ausklammern zu verkürzen oder übersichtlicher darzustellen. Hier sind einige Beispiele.


Addieren:
Addieren:
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|2=Terme vereinfachen|3=schließen}}
|2=Terme vereinfachen|3=schließen}}


{{Lösung versteckt|1= Bei einer Gleichung mit einer Variable, z.B.  
{{Lösung versteckt|1= Bei einer Gleichung mit einer Variablen, z.B.  
<math>5 + x = 10</math>, ist vor allem derjenige x
<math>5 + x = 10</math>, ist vor allem derjenige x
-Wert von Interesse, für den die Gleichung erfüllt, das heißt '''wahr''', ist.
-Wert von Interesse, für den die Gleichung erfüllt, das heißt '''wahr''', ist.
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"Wozu brauche ich das alles überhaupt?!". Gute Frage! Vielleicht, um eine Million Euro zu gewinnen...?  
Einige Menschen fragen sich: "Wozu brauche ich das alles überhaupt?!". Das kommt im Alltag oft vor, z.B. wenn es um (dein) Geld geht. Vielleicht kannst du es auch gebrauchen, um eine Million Euro zu gewinnen...?  




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===Wiederholung: Bruchrechnung===
===Wiederholung: Bruchrechnung===
Beim Rechnen mit Termen und Gleichungen stößt man auch regelmäßig auf Brüche. Falls Du dich damit noch ein wenig unsicher fühlst, schau Dir folgenden Erklärungen an:
Beim Rechnen mit Termen und Gleichungen stößt man regelmäßig auf Brüche. Falls Du Dich damit noch ein wenig unsicher fühlst, schau Dir die folgenden Erklärungen an:


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{{Lösung versteckt|1= 1. Zwei Brüche '''mit gleichem Nenner''' werden addiert, indem man ihre Zähler addiert.
{{Lösung versteckt|1= 1. Zwei Brüche '''mit gleichem Nenner''' ('''gleichnamige Brüche''') werden addiert, indem man ihre Zähler addiert und den gemeinsamen Nenner beibehält.




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2. Vorgehensweise für '''ungleiche Brüche''':
2. Vorgehensweise für '''ungleichnamige Brüche''':


Ungleichnamige Brüche oder nicht gleichnamige Brüche sind Brüche, die unterschiedliche Nenner haben.


Ungleiche Brüche sind Brüche, bei denen beide Nenner unterschiedliche Werte haben.
Diese Brüche mit '''verschiedenen Nennern''' addiert man, indem man die Brüche auf denselben Nenner bringt.
 
Hierzu muss mindestens einer der Brüche gekürzt oder erweitert werden. Oftmals müssen beide Brüche erweitert werden. Der neue, gemeinsame Nenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache der alten Nenner. Anschließend kann wieder wie oben mit gleichen Nennern addiert werden.
Diese Brüche mit '''verschiedenen Nennern''' addiert man, indem man die Brüche auf einen Nenner bringt.
Hierzu müssen die Brüche gekürzt oder erweitert werden. Anschließend kann wieder wie oben mit gleichen Nennern addiert werden.




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<math>\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{a \cdot c}{b \cdot d}</math>|2= Brüche multiplizieren|3= Merke}}
<math>\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{a \cdot c}{b \cdot d}</math>|2= Brüche multiplizieren|3= Merke}}


===Terme durch Addieren und Subtrahieren zusammenfassen===  
===Terme durch Addieren und Subtrahieren zusammenfassen===  
{{Box|Aufgabe 1 - Terme mit einer Variablen|Fasse die Terme zusammen.
{{Box|Aufgabe 1 - Terme mit einer Variablen|Fasse zusammen.


a)  <math> 5x+18x</math>  
'''a)''' <math> 5x+18x</math>  


b) <math>\frac{11}{2}y + \frac{2}{4}y</math>  
'''b)''' <math>\frac{11}{2}y + \frac{2}{4}y</math>  


c) <math> \frac{4}{6}x - \frac{12}{5}x </math>  
'''c)''' <math> \frac{4}{6}x - \frac{12}{5}x </math>  
|Arbeitsmethode}}
|Arbeitsmethode}}


{{Lösung versteckt|1= Nutze das Distributivgesetz! Klammere die Variable aus und fasse den Term innerhalb der Klammer zusammen.  
{{Lösung versteckt|1= Nutze das Distributivgesetz! Klammere die Variable aus und fasse innerhalb der Klammer zusammen.  
''Beispiel:'' <math>4x+14x=(4+14) \cdot x=18x</math>. |2=Tipp 1|3=schließen}}
''Beispiel:'' <math>4x+14x=(4+14) \cdot x=18x</math>. |2=Tipp 1|3=schließen}}


{{Lösung versteckt|1= Zu b) und c): Um die Brüche zu addieren oder subtrahieren, bringe sie auf einen Nenner.  
{{Lösung versteckt|1= Zu b) und c): Um die Brüche zu addieren oder subtrahieren, bringe sie auf denselben Nenner.  


''Beispiel:'' <math> \frac{3}{5}+\frac{4}{3} = \frac{9}{15}+\frac{20}{15} =  \frac{9+20}{15} = \frac{29}{15}  </math>. |2=Tipp 2|3=schließen}}
''Beispiel:'' <math> \frac{3}{5}+\frac{4}{3} = \frac{9}{15}+\frac{20}{15} =  \frac{9+20}{15} = \frac{29}{15}  </math>. |2=Tipp 2|3=schließen}}


{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
a) <math>23x</math>
'''a)''' <math>23x</math>


b) <math>6y</math>
'''b)''' <math>6y</math>


c) <math>-\frac{26}{15}x</math>}}
'''c)''' <math>-\frac{26}{15}x</math>}}




{{Box|Aufgabe 2 - Terme mit einer Variablen und Konstanten|Fasse die Terme zusammen.
{{Box|Aufgabe 2 - Terme mit einer Variablen und Konstanten|Fasse zusammen.


a) <math> 5x + \frac{4}{2}x - 5 + 2</math>
'''a)''' <math> 5x + \frac{4}{2}x - 5 + 2</math>


b) <math> \frac{10}{5} + 20z + \frac{6}{3}z - \frac{20}{4}  </math>
'''b)''' <math> \frac{10}{5} + 20z + \frac{6}{3}z - \frac{20}{4}  </math>


c)* <math> \frac{12+21y}{3} - \frac{4y - 4}{2}  </math>
'''c)*''' <math> \frac{12+21y}{3} - \frac{4y - 4}{2}  </math>


{{Lösung versteckt|1= Nutze das Kommutativgesetz (gilt für Addition) und sortiere den Term nach der Variable!  
{{Lösung versteckt|1= Nutze das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz, gilt für Addition) und sortiere nach den Variablen!  


''Beispiel:'' <math>3x+5+8x-4=3x+8x+5-4</math>.  
''Beispiel:'' <math>3x+5+8x-4=3x+8x+5-4</math>.  


'''Beachte:''' Du kannst auch Subtraktionen als Addition umschreiben und so das Kommutativgesetz anweden.
'''Beachte:''' Du kannst auch Subtraktionen als Additionen umschreiben und anschließend das Kommutativgesetz anwenden.


''Beispiel:'' <math>x-y = x+(-y) = (-y)+x = -y+x</math>
''Beispiel:'' <math>x-y = x+(-y) = (-y)+x = -y+x</math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}
|2=Tipp 1|3=schließen}}


{{Lösung versteckt|1= Fasse jeweils die x-Werte und die Konstanten zusammen.
{{Lösung versteckt|1= Fasse jeweils die Terme mit gleicher Variable zusammen.


''Beispiel :'' <math>3x+8x+5-4=11x+1</math>.  
''Beispiel :'' <math>3x+8x+5-4=11x+1</math>.  
|2=Tipp 2|3=schließen}}
|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1= Kürze zunächst den Bruch und fasse dann zusammen. Gib besonders auf die Vorzeichen acht!
|2=Tipp 3 für c)|3=schließen}}


{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=


a) <math>7x-3</math>
'''a)''' <math>7x-3</math>


b) <math>22z-3</math>
'''b)''' <math>22z-3</math>


c) <math>5y+6</math>}}
'''c)''' <math>5y+6</math>}}




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{{Box|Aufgabe 3 - Terme mit zwei Variablen|Fasse die Terme zusammen
{{Box|Aufgabe 3 - Terme mit zwei Variablen|Fasse zusammen.


a) <math> 214x + 24y - 5x + 23y + 24</math>
'''a)''' <math> 214x + 24y - 5x + 23y + 24</math>


b) <math> \frac{6}{2}x +21 + 12x - 4 + 0 \cdot x + \frac{24}{6}y - y</math>
'''b)''' <math> \frac{6}{2}x +21 + 12x - 4 + 0 \cdot x + \frac{24}{6}y - y</math>


c)* <math> \frac{33y+21x}{3} - \frac{18y - 9}{3}</math>
'''c)*''' <math> \frac{33y+21x}{3} - \frac{18y - 9}{3}</math>




Zeile 184: Zeile 186:
|Arbeitsmethode}}
|Arbeitsmethode}}


{{Lösung versteckt|1= Nutze das Kommutativgesetz (gilt für Addition) und sortiere den Term nach Variablen!  
{{Lösung versteckt|1= Nutze das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz, es gilt für die Addition) und sortiere nach Variablen!  


''Beispiel:'' <math>3x+5y+9x-4+4y=3x+8x+5y+4y-4=11x+9y-4</math>.  
''Beispiel:'' <math>3x+5y+9x-4+4y=3x+8x+5y+4y-4=11x+9y-4</math>.  


'''Beachte''' Du kannst auch Subtraktionen als Addition umschreiben und so das Kommutativgesetz anweden.
'''Beachte''' Du kannst auch Subtraktionen als Additionen umschreiben und dann das Kommutativgesetz anwenden.


''Beispiel:'' <math>x-y = x+(-y) = (-y)+x = -y+x</math>
''Beispiel:'' <math>x-y = x+(-y) = (-y)+x = -y+x</math>
|2=Tipp 1|3=schließen
|2=Tipp 1|3=schließen}}
 
 
}}


{{Lösung versteckt|1= Zu c):
{{Lösung versteckt|1=


1) Nutze das Distributivgesetz und schreibe die beiden Brüche unter ''einen '' Bruchstrich!  
Kürze zunächst den Bruch und fasse anschließend zusammen. Achte besonders auf die Vorzeichen!


''Beispiel:'' <math>\frac{3x}{3}+\frac{6y+2x}{3}=\frac{1}{3} \cdot (3x)+ \frac{1}{3} \cdot (6y+2x)=\frac{1}{3}(3x+6y+2x)= \frac{3x+6y+2x}{3} </math>
|2=Tipp 2 für c)|3=schließen}}
 
2) Beachte zunächst nur den Zähler und orientiere dich beim Zusammenfassen an Tipp 1.
 
''Beispiel''<math> \frac{3x+y+2x}{3}= \frac{3x+2x+6y}{3}=\frac{5x+6y}{3}</math>
 
3) Nutze wieder das Distributivgesetz, um jeden Teilterm durch den Nenner zu teilen.
 
''Beispiel:'' <math> \frac{5x+6y}{3} = \frac{1}{3} \cdot (5x+6y) = \frac{1}{3} \cdot (5x) + \frac{1}{3} \cdot (6y)  </math>. |2=Tipp 2|3=schließen}}


{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
a) <math>209x+ 47y + 24</math>
'''a)''' <math>209x+ 47y + 24</math>


b) <math>15x+3y+17</math>
'''b)''' <math>15x+3y+17</math>


c) <math>7x-5y+3</math>}}
'''c)''' <math>7x+5y+3</math>}}




{{Box| Aufgabe 4 - Terme mit Variablen und Exponenten|
{{Box| Aufgabe 4 - Terme mit Variablen und Exponenten|Fasse zusammen.


a) <math> 24x^2 + 25y - 13x^2 + 3y - 24 </math>
'''a)''' <math> 24x^2 + 25y - 13x^2 + 3y - 24 </math>


b) <math> \frac{3}{4}x^2 + 3 x+ \frac{5}{4}y - 5x -\frac{20}{16}y - 2</math>
'''b)''' <math> \frac{3}{4}x^2 + 3 x+ \frac{5}{4}y - 5x -\frac{20}{16}y - 2</math>


c)* <math> \frac{4 x^3 + 6x^2}{2} + \frac{10x^3-15x^2}{5}</math>
'''c)*''' <math> \frac{4 x^3 + 6x^2}{2} + \frac{10x^3-15x^2}{5}</math>


|Arbeitsmethode}}
|Arbeitsmethode}}


{{Lösung versteckt|1= Gleiche Variablen mit unterschiedlichem Exponenten (z.B. <math>x </math> und <math>x^2 </math>) dürfen <span sttyle="color:red"> nicht </span> zusammengefasst werden!
{{Lösung versteckt|1= Gleiche Variablen mit unterschiedlichem Exponenten (z.B. <math>x </math> und <math>x^2 </math>) dürfen bei der Addition <span sttyle="color:red"> nicht </span> zusammengefasst werden!


''Beispiel:'' <math>3x^2+5x+9x^2=12x^2+5x</math>.  
''Beispiel:'' <math>3x^2+5x+9x^2=12x^2+5x</math>.  


|2=Tipp 1|3=schließen
|2=Tipp 1|3=schließen}}
}}
 
{{Lösung versteckt|1= Kürze zunächst und fasse dann zusammen.
 
|2=Tipp 2 für c)|3=schließen}}


{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
a) <math>11x^2+28y-24</math>
'''a)''' <math>11x^2+28y-24</math>


b) <math>\frac{3}{4}x^2 -2x  -2</math>
'''b)''' <math>\frac{3}{4}x^2 -2x  -2</math>, das <math>y</math> fällt hier weg, da <math>0 \cdot y = 0</math> sind.


c) <math>4x^3</math>}}
'''c)''' <math>4x^3</math>}}


{{Box|Aufgabe 5 - Pferderennen|
{{Box|Aufgabe 5 - Pferderennen! Kommst Du mit den Termen als Erste*r ins Ziel?|


{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pth88w7w319}}
{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pth88w7w319}}
Zeile 252: Zeile 246:
{{Box|1=Aufgabe 6 - Terme mit konstanten Faktoren|2=Löse die Klammern auf.
{{Box|1=Aufgabe 6 - Terme mit konstanten Faktoren|2=Löse die Klammern auf.


a) <math>5 (8-9y)</math>
a) <math>5\cdot(8-9y)</math>


b) <math>(2y-6x)\cdot(-\frac{5}{6})</math>
b) <math>(2y-6x)\cdot(-\frac{5}{6})</math>
Zeile 258: Zeile 252:
c) <math>\frac{1}{2} \cdot (x+\frac{2}{3})</math>
c) <math>\frac{1}{2} \cdot (x+\frac{2}{3})</math>


{{Lösung versteckt|Multipliziere den Faktor außerhalb der Klammer mit jedem Summanden in der Klammer. Die Vorzeichen der Ergebnisse werden übernommen. Bei einer Subtraktion wird entsprechend gleich gerechnet. ''Beispiel:'' <math>{\color{blue}4} \cdot ({\color{red}5}+{\color{green}7}) = {\color{blue}4} \cdot {\color{red}5} + {\color{blue}4} \cdot {\color{green}7} = 20+28 = 48</math>. Dieser Tipp geht auf das Distributivgesetz zurück.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|Multipliziere den Faktor außerhalb der Klammer mit jedem Summanden in der Klammer. Die Vorzeichen der Ergebnisse werden übernommen. Bei einer Subtraktion wird entsprechend gleich gerechnet. ''Beispiel:'' <math>{\color{blue}(-4)} \cdot ({\color{red}5}-{\color{green}7}) = {\color{blue}(-4)} \cdot {\color{red}5} - ({\color{blue}(-4)} \cdot {\color{green}7}) = -20 - (-28) = -20+28 = 8</math>. Dieser Tipp geht auf das Distributivgesetz zurück.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=zu b): Ob in dem Produkt erst die Klammer oder erst der konstante Faktor steht, ist egal. Es würde in beiden Fällen das gleiche Ergebnis herauskommen. Dies geht auf das Kommuntativgesetz der Multiplikation zurück.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=zu b): Ob in dem Produkt erst die Klammer oder erst der konstante Faktor steht, ist egal. Es würde in beiden Fällen das gleiche Ergebnis herauskommen. Dies geht auf das Kommutativgesetz der Multiplikation zurück.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=a) <math>40+45y</math>
{{Lösung versteckt|1=
a) <math>40-45y</math>


b) <math>-\frac{5}{3}y+5x</math>
b) <math>-\frac{5}{3}y+5x</math>
Zeile 267: Zeile 262:
|3=Arbeitsmethode}}
|3=Arbeitsmethode}}


{{Box|Aufgabe 7 - Terme mit variablen Faktoren|{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=psabenu2519}}
{{Box|1=Aufgabe 7 - Terme mit variablen Faktoren|2=Löse die Klammern auf.
{{Lösung versteckt|1=Variablen außerhalb der Klammer ändern nichts am Vorgehen.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Löse erst die einfachen Aufgaben, die dir keine Schwierigkeiten bereiten. Später kannst du dann eventuell durch Ausschließen die richtige Zuordnung finden.|2=Tipp 2|3=schließen}}|Arbeitsmethode}}
 
 
{{Box|Aufgabe 8 - Terme mit quadratischen Klammern|Löse die Klammern auf.


a) <math>3x \cdot (11+5y)</math>
a) <math>3x \cdot (11+5y)</math>
Zeile 278: Zeile 268:
b) <math>(11x-10y) \cdot 3x</math>
b) <math>(11x-10y) \cdot 3x</math>


c) <math>x (x-15y)</math>
c) <math>x \cdot (x-15y)</math>


{{Lösung versteckt|1=Auch wenn außerhalb der Klammer eine Variable steht, ändert sich das Vorgehen nicht.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Auch wenn außerhalb der Klammer eine Variable steht, ändert sich das Vorgehen nicht.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Achte auf die unterschiedlichen Variablen.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Achte auf die unterschiedlichen Variablen.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=a) <math>33x+15xy</math>
{{Lösung versteckt|1=
a) <math>33x+15xy</math>


b) <math>33x^2-30xy</math>
b) <math>33x^2-30xy</math>


c) <math>x^2-15xy</math>}}
c) <math>x^2-15xy</math>|2=Lösung|3=schließen}}|3=Arbeitsmethode}}
|3=Arbeitsmethode}}


{{Box|1=Aufgabe 9 - Terme mit quadratischen Klammern|2=
{{Box|1=Aufgabe 8 - Terme mit quadratischen Klammern|2=
Löse die Klammern auf.
Löse die Klammern auf.


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{{Lösung versteckt|1=Du kannst hier die binomischen Formeln anwenden.  
{{Lösung versteckt|1=Du kannst hier die binomischen Formeln anwenden.  
Das Bild soll dir eine Veranschaulichung der 1. Binomischen Formel geben:
Das große Quadrat <math>(a+b)^2</math> ist gleich der Summe der beiden kleinen Quadrate (<math>a^2</math> und <math>b^2</math>) und der beiden Rechtecke (jeweils <math>ab</math>).
[[Datei:1. Binomische Formel.jpg|1. Binomische Formel.jpg]]
[[Datei:1. Binomische Formel.jpg|1. Binomische Formel.jpg]]
und <math>(a-b)^2=a^2-2ab+b^2</math>|2=Tipp 1|3=schließen}}
 
2. Binomische Fomel:
 
<math>(a-b)^2=a^2-2ab+b^2</math>
 
3. Binomische Formel:
<math>(a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2</math>|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Statt die binomischen Formeln anzuwenden, kannst du die Klammer auch per Hand ausmultiplizieren. Der Exponent <math>()^2</math> bedeutet, dass die Klammer mit sich selbst multipliziert werden soll. ''Beispiel:'' <math>(x+4)^2=(x+4) \cdot (x+4)</math>.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Statt die binomischen Formeln anzuwenden, kannst du die Klammer auch per Hand ausmultiplizieren. Der Exponent <math>()^2</math> bedeutet, dass die Klammer mit sich selbst multipliziert werden soll. ''Beispiel:'' <math>(x+4)^2=(x+4) \cdot (x+4)</math>.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Beim Multiplizieren von zwei Klammern, muss jeder Summand mit jedem Summanden multipliziert werden. ''Beispiel:'' <math>({\color{blue}x}+{\color{red}4}) \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) = {\color{blue}x} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) + {\color{red}4} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) = {\color{blue}x} \cdot {\color{Orange}x} + {\color{blue}x} \cdot {\color{green}4} + {\color{red}4} \cdot {\color{Orange}4} + {\color{red}4} \cdot {\color{green}4} = x^2+4x+4x+16 = x^2+8x+16</math>. Diese Regel geht auf die doppelte Anwendung des Distributivgesetzes zurück.|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Beim Multiplizieren von zwei Klammern, muss jeder Summand mit jedem Summanden multipliziert werden. ''Beispiel:'' <math>({\color{blue}x}+{\color{red}4}) \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) = {\color{blue}x} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) + {\color{red}4} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) = {\color{blue}x} \cdot {\color{Orange}x} + {\color{blue}x} \cdot {\color{green}4} + {\color{red}4} \cdot {\color{Orange}4} + {\color{red}4} \cdot {\color{green}4} = x^2+4x+4x+16 = x^2+8x+16</math>. Diese Regel geht auf die doppelte Anwendung des Distributivgesetzes zurück.|2=Tipp 3|3=schließen}}
Zeile 313: Zeile 313:


===Terme durch Ausklammern in Produkte umformen===
===Terme durch Ausklammern in Produkte umformen===
{{Box|Aufgabe 10 - Ausklammern|Klammere möglichst viel aus.
{{Box|Aufgabe 9 - Ausklammern|Klammere möglichst viel aus.


'''a)''' <math>9x+9y+9z</math>


'''b)''' <math>81x+45y</math>


a) <math>9x+9y+9z</math>
'''c)''' <math>5x-4xy+9xz</math>


b) <math>81x+45y</math>
'''d)''' <math>25a-35ab+50ax</math>


c) <math>5x-4xy+9xz</math>
'''e)''' <math>8ax+24xy+64abxz</math>  


d) <math>25a-35ab+50ax</math>
'''f)''' <math>4abx+6axy+32abxyz</math>


e) <math>8ax+24xy+64abxz</math>
{{Lösung versteckt|1=Die 24 hat die Teiler 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 und 24. Die 36 hat die Teiler 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 und 36. Die größte in beiden Teilermengen vorkommende Zahl ist die 12. Also ist 12 der größte gemeinsame Teiler (ggT) von 24 und 36.|2=Beispiel: Der größte gemeinsame Teiler von 24 und 36|3=schließen}}


f) <math>4abx+6axy+32abxyz</math>
{{Lösung versteckt|1=Die Teiler einer Zahl kannst Du schneller finden, wenn Du die Teilbarkeitsregeln kennst. Eine Zahl ist genau dann durch 2 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer gerade ist (0, 2, 4, 6 oder 8). Eine Zahl ist genau dann durch 4 teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten beiden Ziffern gebildet wird, durch 4 teilbar ist. Eine Zahl ist genau dann durch 8 teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten drei Ziffern gebildet wird, durch 8 teilbar ist. Eine Zahl ist genau dann durch 5 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer durch 5 teilbar ist (0 oder 5). Eine Zahl ist genau dann durch 10 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine 0 ist. Eine Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. Eine Zahl ist genau dann durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist. Eine Zahl ist genau dann durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.
|2=Erinnerung: Teilbarkeitsregeln|3=schließen}}


{{Lösung versteckt|1=Finde den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aller Summanden. Er wird vor die Klammer gesetzt. Die Summanden in der Klammer sind jeweils das, was beim Teilen durch den ggT (Weglassen) übrigbleibt.|2=Tipp 1, allgemeiner Tipp|3=schließen}}  
{{Lösung versteckt|1=Bestimme den ggT aller Summanden. Er wird als Faktor vor die Klammer gesetzt (ausgeklammert). Die verbleibenden Summanden in der Klammer sind jeweils das Ergebnis des Teilens durch den ggT.|2=allgemeiner Tipp|3=schließen}}  


{{Lösung versteckt|1=Dieselbe Zahl:
{{Lösung versteckt|1=Der ggT ist 9.|2=Tipp zu a)|3=schließen}}
"Beispiel" Bei 3x+3y soll ausgeklammert werden. 3x und 3y haben die 3 gemeinsam. Also können wir folgendermaßen ausklammern: <math>3x+3y=3(x+y)</math>. |2=Tipp 2, Tipp zu a)|3=schließen}}


{{Lösung versteckt|1=Nicht dieselbe Zahl, aber die Zahlen haben einen gemeinsamen Teiler:
{{Lösung versteckt|1=Der ggT ist 9.|2=Tipp zu b)|3=schließen}}
"Beispiel" Bei 12x+18y soll ausgeklammert werden. Der ggT ist 6. Also klammern wir die 6 aus: <math>12x+18y=6(2x+3y)</math>|2=Tipp 3, Tipp zu b)|3=schließen}}


{{Lösung versteckt|1=Gemeinsamer ggT der Zahlen und mindestens ein gemeinsamer Buchstabe:
{{Lösung versteckt|1=Hier kann man die Variable x ausklammern.|2=Tipp zu c)|3=schließen}}
"Beispiel" Bei 21x+35xy soll ausgeklammert werden. Die 21 und die 35 haben den ggT 7. Außerdem kommt der Buchstabe x bei beiden Summanden vor. Also klammern wir das 7x aus: <math>21x+35xy=7x(3+5y)</math>.|2=Tipp 4, Tipp zu c)|3=schließen}}


{{Lösung versteckt|1= <math>9(x+y+z)</math>. |2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Hier kann man 5a ausklammern.|2=Tipp zu d)|3=schließen}}
 
{{Lösung versteckt|1=Hier kann man 8x ausklammern.|2=Tipp zu e)|3=schließen}}
 
{{Lösung versteckt|1=Hier kann man 2ax ausklammern.|2=Tipp zu f)|3=schließen}}
 
{{Lösung versteckt|1= <math>9(x+y+z)</math> |2=Lösung von a)|3=schließen}}


{{Lösung versteckt|1=<math>9(9x+5y)</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>9(9x+5y)</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}


{{Lösung versteckt|1= <math>x(5-4y+9z)</math>.|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1= <math>x(5-4y+9z)</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}


{{Lösung versteckt|1= <math>5a(5-7b+10x)</math>.|2=Lösung von d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1= <math>5a(5-7b+10x)</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}


{{Lösung versteckt|1= <math>8x(a+3y+8abz)</math>.|2=Lösung von e)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1= <math>8x(a+3y+8abz)</math>|2=Lösung von e)|3=schließen}}


{{Lösung versteckt|1= <math>2ax(2b+3y+16byz)</math>.|2=Lösung von f)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1= <math>2ax(2b+3y+16byz)</math>|2=Lösung von f)|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}


{{Lösung versteckt|1= a) <math>9(x+y+z)</math>.
===Terme und Gleichungen zur Beschreibung von Sachsituationen===
{{Box| Aufgabe 10|Ein Parallelogramm hat einen Umfang von 132 Längeneinheiten. Eine Seite ist 38 Längenheiten kürzer als die andere. Wie lang sind die Seiten des Parallelogramms?
{{Lösung versteckt|1=Setze eine Länge als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Ein Parallelogramm hat jeweils 2 gleich lange Seiten.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x=kürzere Seite


b) <math>9(9x+5y)</math>.
<math>2 \cdot x+2 \cdot (x+38)=132 \quad | Vereinfachen</math>


c) <math>x(5-4y+9z)</math>.
<math>2 \cdot x+2 \cdot x+76=132 \quad | Vereinfachen</math>


d) <math>5a(5-7b+10x)</math>.
<math>4 \cdot x+76=132 \quad | -76</math>


e) <math>8x(a+3y+8abz)</math>.
<math>4 \cdot x=56 \quad | :4</math>


f) <math>2ax(2b+3y+16byz)</math>|2=Lösungen von allen Teilaufgaben|3=schließen}}
<math>x=14</math>
|Arbeitsmethode}}


===Terme und Gleichungen zur Beschreibung von Sachsituationen===
kürzere Seite: 14
{{Box| Aufgabe 11|Mein Vater, meine Mutter und ich sind zusammen 100 Jahre alt. Mein Vater ist 3 Mal so alt wie ich und meine Mutter ist 5 Jahre jünger als mein Vater. Wie alt bin ich, mein Vater und meine Mutter?
{{Lösung versteckt|1=Setze ein Alter als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x=mein Alter


<math>x+3x+(3x-5)=100</math>
längere Seite: 52|2=Lösung|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}


<math>5x=105</math>
{{Box| Aufgabe 11|Peter, sein Vater und seine Mutter sind zusammen 100 Jahre alt. Peters Vater ist dreimal so alt wie er und Peters Mutter ist 5 Jahre jünger als Peters Vater. Wie alt ist Peter, wie alt ist sein Vater und wie alt ist seine Mutter?
{{Lösung versteckt|1=Führe eine unbekannte Variable x für ein Alter ein.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Mathematisiere ausgehend von dem Alter x durch geeignete Terme die anderen Altersangaben (z.B. bedeutet 5 Jahre älter x+5).|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x=Alter von Peter


<math>x=15</math>
Wenn x das Alter von Peter ist, dann ist <math>(3 \cdot x)</math> das Alter des Vaters und somit ist das Alter der Mutter <math>(3 \cdot x-5)</math>.


mein Alter: 15
Also:  


Alter meiner Mutter: 40
<math>x+3 \cdot x+(3 \cdot x-5)=100 \quad | Vereinfachen</math>


Alter meines Vater: 45|2=Lösung|3=schließen}}|Arbeitsmethode}}
<math>7 \cdot x-5=100 \quad | +5</math>
{{Box| Aufgabe 12|Finn schoss in der letzten Saison doppelt so viele Tore wie sein Mitspieler Jürgen. Herbert erzielte 5 Tore weniger als Finn. Alle drei schossen insgesamt 30 Tore.
Wie viele Tore erzielte jeder einzelne?
{{Lösung versteckt|1=Setze von einem Spieler die Anzahl der Tore als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Es ist egal von welchem Spieler man die Anzahl der Tore als Variable setzt.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x=Anzahl der Tore von Finn


<math>x+1/2 \cdot x+(x-5)=30</math>
<math>7 \cdot x=105 \quad | :7</math>


<math>2,5x=35</math>
<math>x=15</math>


<math>x=14</math>
Peters Alter: 15


Finn: 14 Tore
Alter von Peters Mutter: 40


Jürgen: 7 Tore
Alter von Peters Vater: 45|2=Lösung|3=schließen}}|Arbeitsmethode}}


Herbert: 9 Tore|2=Lösung|3=schließen}}|Arbeitsmethode}}
{{Box| Aufgabe 12|Merve schoss in der letzten Saison doppelt so viele Tore wie ihre Mitspielerin Lena. Marie erzielte 5 Tore weniger als Merve. Alle drei schossen insgesamt 30 Tore.  
{{Box| Aufgabe 13|Ein Parallelogramm hat einen Umfang von 132 Längeneinheiten. Eine Seite ist 38 Längenheiten kürzer als die andere. Wie lang sind die Seiten des Parallelogramms?
Wie viele Tore erzielte jede einzelne?
{{Lösung versteckt|1=Setze eine Länge als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Setze von einer Spielerin die Anzahl der Tore als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Ein Parallelogramm hat jeweils 2 gleich lange Seiten.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Es ist egal, von welcher Spielerin man die Anzahl der Tore als Variable setzt.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x=kürzere Seite
{{Lösung versteckt|1=x=Anzahl der Tore von Merve


<math>2x+2(x+38)=132</math>
<math>x+\frac{1}{2} \cdot x+(x-5)=30 \quad | Vereinfachen</math>


<math>2x+2x+76=132</math>
<math>2,5 \cdot x-5=30 \quad | +5</math>


<math>4x=56</math>
<math>2,5 \cdot x=35 \quad | :2,5</math>


<math>x=14</math>
<math>x=14</math>


kürzere Seite: 14
Merve: 14 Tore
 
Lena: 7 Tore


längere Seite: 52|2=Lösung|3=schließen}}
Marie: 9 Tore|2=Lösung|3=schließen}}|Arbeitsmethode}}
|Arbeitsmethode}}


===Lineare Gleichungen lösen===
===Lineare Gleichungen lösen===
Zeile 421: Zeile 428:
Eine '''lineare Gleichung''' ist eine Gleichung 1. Grades. Das heißt: Die Variable x hat als Exponenten höchstens die Zahl 1:  
Eine '''lineare Gleichung''' ist eine Gleichung 1. Grades. Das heißt: Die Variable x hat als Exponenten höchstens die Zahl 1:  


(<math> x^1=x </math>).
<math> x^1=x </math>.


Ihre einfachste Form ist: <math> a \cdot x + b = 0 </math>, wobei <math> a </math> und <math> b </math> reelle Zahlen sind  
Ihre einfachste Form ist: <math> a \cdot x + b = 0 </math>, wobei <math> a </math> und <math> b </math> reelle Zahlen sind  
und <math> x </math> eine Variable.
und <math> x </math> eine Variable.
|Kurzinfo}}


{{Box| Aufgabe 14 - Gleichungen lösen|  
Zur Wiederholung schaue dir doch das zugehörige Kapitel in diesem [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Lineare Funktionen|Lernpfad zu linearen Funktionen]] nochmal an.
|Merksatz}}
 
{{Box| Aufgabe 13 - Lineare Gleichungen lösen|  


{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=620067}}
{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pitodik3519}}




{{Lösung versteckt|1= Bringe die Teilterme mit einer Variablen und die ohne Variablen auf jeweils eine Seite.
{{Lösung versteckt|1= Bringe die Teilterme mit einer Variablen und die ohne Variablen auf jeweils eine Seite.
Beispiel:
<math> 3x + 8 = 5x -4 \quad \quad \quad | -3x</math>
<math> \Leftrightarrow 8 = 5x -4 -3x \quad \quad | +4 </math>
<math> \Leftrightarrow 8 +4 = 5x -3x  </math>
<math> \Leftrightarrow 12 = 2x </math>
<math> \Leftrightarrow 6 = x </math>
  |2=Tipp 1|3=schließen}}
  |2=Tipp 1|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}
|Arbeitsmethode}}


===Quadratische Gleichungen lösen===
===Quadratische Gleichungen lösen===
{{Box|Aufgabe 15|Löse mit Hilfe der pq-Formel die folgenden quadratischen Gleichungen.
{{Box|Aufgabe 14|Löse mit Hilfe der pq-Formel die folgenden quadratischen Gleichungen.  
 
'''a)''' <math>x^2-11x+24=0</math>
 
'''b)''' <math>y^2+7y-8=0</math>
 
'''c)''' <math>z^2-20z+96=0</math>
 
'''d)''' <math>x^2+\frac{26}{9}x-\frac{544}{162}=0</math>
 
{{Lösung versteckt|1=Wenn Du eine quadratische Gleichung <math>x^2+px+q=0</math> lösen willst, hilft Dir die pq-Formel: <math>x=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}</math>.|2=Die pq-Formel|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Die pq-Formel erhalten wir aus der Normalform der quadratischen Gleichung durch quadratische Ergänzung:
 
<math>x^2+px+q=0\mid -q</math>
 
<math>\Leftrightarrow x^2+px=-q\mid +(\frac{p}{2})^2</math>(quadratische Ergänzung)
 
<math>\Leftrightarrow x^2+2\cdot\frac{p}{2}x+(\frac{p}{2})^2=(\frac{p}{2})^2-q\mid</math>binomische Formel
 
<math>\Leftrightarrow (x+\frac{p}{2})^2=(\frac{p}{2})^2-q\mid</math>Wurzelziehen
 
<math>\Leftrightarrow x+\frac{p}{2}=\pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}\mid-\frac{p}{2}</math>
 
<math>\Leftrightarrow x=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}</math>|2=Herleitung der pq-Formel|3=schließen}}
 
{{Lösung versteckt|1=<math>x^2-11x+24=0\mid</math>pq-Formel mit p=-11 und q=24
 
<math>\Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{11}{2}\pm\sqrt{\frac{121}{4}-24}</math>
 
<math>\Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{11}{2}\pm\sqrt{\frac{121}{4}-\frac{96}{4}}</math>
 
<math>\Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{11}{2}\pm\sqrt{\frac{25}{4}}</math>
 
<math>\Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{11}{2}\pm\frac{5}{2}</math>
 
<math> \Leftrightarrow x=\frac{6}{2}\lor x=\frac{16}{2}</math>
 
<math> \Leftrightarrow x=3\lor x=8</math>
 
<math> L=\{3;8\} </math>
|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
<math>y^2+7y-8=0\mid</math>pq-Formel mit p=7 und q=-8
 
<math>\Leftrightarrow y_{1,2}=-\frac{7}{2}\pm\sqrt{\frac{49}{4}+8}</math>
 
<math>\Leftrightarrow y_{1,2}=-\frac{7}{2}\pm\sqrt{\frac{49}{4}+\frac{32}{4}}</math>
 
<math>\Leftrightarrow y_{1,2}=-\frac{7}{2}\pm\sqrt{\frac{81}{4}}</math>
 
<math>\Leftrightarrow y_{1,2}=-\frac{7}{2}\pm\frac{9}{2}</math>
 
<math> \Leftrightarrow y=-\frac{16}{2}\lor y=\frac{2}{2}</math>
 
<math> \Leftrightarrow y=-8\lor y=1</math>
 
<math> L=\{-8;1\} </math>
|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
<math>z^2-20z+96=0\mid</math>pq-Formel mit p=-20 und q=96
 
<math>\Leftrightarrow z_{1,2}=\frac{20}{2}\pm\sqrt{(\frac{20}{2})^2-96}</math>
 
<math>\Leftrightarrow z_{1,2}=10\pm\sqrt{10^2-96}</math>
 
<math>\Leftrightarrow z_{1,2}=10\pm\sqrt{100-96}</math>
 
<math>\Leftrightarrow z_{1,2}=10\pm\sqrt{4}</math>
 
<math>\Leftrightarrow z_{1,2}=10\pm\sqrt{2}</math>


<math> \Leftrightarrow z=8\lor z=12</math>


<math> L=\{8;12\} </math>
|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
<math>x^2+\frac{26}{9}x-\frac{544}{162}=0\mid</math>pq-Formel mit <math>p=\frac{26}{9}</math> und <math>q=\frac{544}{162}=\frac{272}{81}</math>(gekürzt)


a) <math>x^2-11x+24=0</math>
<math>\Leftrightarrow x_{1,2}=-\frac{13}{9}\pm\sqrt{(\frac{13}{9})^2+\frac{544}{162}}</math>


<math>\Leftrightarrow x_{1,2}=-\frac{13}{9}\pm\sqrt{\frac{169}{81}+\frac{272}{81}}</math>


<math>\Leftrightarrow x_{1,2}=-\frac{13}{9}\pm\sqrt{\frac{441}{81}}</math>


b) <math>y^2+7y-8=0</math>
<math>\Leftrightarrow x_{1,2}=-\frac{13}{9}\pm\frac{21}{9}</math>


<math> \Leftrightarrow x=-\frac{34}{9}\lor x=\frac{8}{9}</math>


<math> L=\{-3\frac{7}{9};\frac{8}{9}\} </math>
|2=Lösung von d)|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}


c) <math>z^2-20z+96=0</math>


{{Box|Aufgabe 15|Löse mit Hilfe der Nullproduktregel die folgenden quadratischen Gleichungen.


'''a)''' <math>(x+8)\cdot(x-2)=0</math>


d) <math>x^2+48x+135=0</math>
'''b)''' <math>(2x-6)\cdot(3x+5)=0</math>


'''c)''' <math>(\frac{1}{2}x-7)\cdot(\frac{2}{3}x+6)=0</math>


{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt aus zwei Faktoren ist genau dann 0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren 0 ist.|2=Die Nullproduktregel|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=linker Faktor:


e) <math>a^2+107a-108=0</math>
<math>x+8=0\mid-8</math>


<math>\Leftrightarrow x=-8</math>


rechter Faktor:


f) <math>x^2+6x+8=0</math>
<math>x-2=0\mid+2</math>


<math>\Leftrightarrow x=2</math>


<math> L=\{-8;2\} </math>
|2=Lösung von a)|3=schließen}}


g) <math>x^2+\frac{26}{9}x+\frac{16}{9}=0</math>
{{Lösung versteckt|linker Faktor:


<math>2x-6=0\mid+6</math>


<math>\Leftrightarrow 2x=6\mid :3</math>


h) <math>x^2-9x+20=0</math>
<math>\Leftrightarrow x=3</math>


{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{3;8\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
rechter Faktor:
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-8;1\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{8;12\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-45;-3\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-108;1\}</math>|2=Lösung von e)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-4;2\}</math>|2=Lösung von f)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{\frac{8}{9};2\}</math>|2=Lösung von g)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{4;5\}</math>|2=Lösung von h)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}


<math>3x+5=0\mid -5</math>


{{Box|Aufgabe 16|Löse mit Hilfe der Nullproduktregel die folgenden quadratischen Gleichungen.
<math>\Leftrightarrow 3x=-5\mid :3</math>


<math>\Leftrightarrow x=-\frac{5}{3}\mid</math> als gemischte Zahl (muss nicht sein)


<math>\Leftrightarrow x=-1\frac{2}{3}</math>


a) <math>(x+8)\cdot(x-2)=0</math>
<math> L=\{-1\frac{2}{3};3\} </math>
|2=Lösung von b)|3=schließen}}


{{Lösung versteckt|linker Faktor:


<math>\frac{1}{2}x-7=0\mid +7</math>


b) <math>(2x-6)\cdot(3x+5)=0</math>
<math>\Leftrightarrow \frac{1}{2}x=7\mid\cdot 2</math>


<math>\Leftrightarrow x=14</math>


rechter Faktor:


c) <math>(\frac{1}{2}x-7)\cdot(\frac{2}{3}+6)=0</math>
<math>\frac{2}{3}x+6=0\mid -6</math>


{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt aus zwei Faktoren ist genau dann 0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren 0 ist.|2=Tipp|3=schließen}}
<math>\Leftrightarrow \frac{2}{3}x=-6\mid\cdot\frac{3}{2}</math>
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-8;2\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-2\frac{2}{3};3\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-9;14\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}


{{Box|Aufgabe 17|Löse mit Hilfe der quadratischen Ergänzung die folgenden quadratischen Gleichungen.
<math>\Leftrightarrow x=-9</math>


<math> L=\{-9;14\} </math>
|2=Lösung von c)|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}


{{Box|Aufgabe 16|Löse die folgenden quadratischen Gleichungen. Mache bei c) und d) die quadratische Ergänzung.


a) <math>(x-3)^2=16</math>
'''a)''' <math>(x-3)^2=16</math>


'''b)''' <math>x^2+8x+16=49</math>


'''c)''' <math>x^2+8x=9</math>


b) <math>x^2+8x+16=49</math>
'''d)''' <math>3x^2-3x-60=0</math>


{{Lösung versteckt|1=Addiere auf beiden Seiten der Gleichung in c) das Quadrat der Hälfte des gemischten Terms, damit Du die binomische Formel anwenden kannst.|2=quadratische Ergänzung|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Gegebene quadratische Gleichung:


<math>2x^2-12x=32</math>


c) <math>x^2+8x=9</math>
Normierung (auf Normalform bringen):


<math>x^2-6x=16</math>


Die linke Seite wird in die Form <math>x^2-2dx+d^2</math> gebracht, so dass wir die zweite binomische Formel anwenden können. <math>d^2</math> wird auch auf der rechten Seite addiert.


d) <math>3x^2-3x-60=0</math>
Man nimmt also das Quadrat der Hälfte von p und addiert es auf beiden Seiten der Gleichung. In unserem Beispiel müssen wir also 9 addieren, um die binomische Formel ("rückwärts") anwenden zu können.


{{Lösung versteckt|Teile die Gleichung erst durch 3.|2=Tipp zu d)|3=schließen}}
Wir machen die quadratische Ergänzung:
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1;7\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-11;3\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-9;1\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-4;5\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=


<math>(x-3)^2=16</math>
<math>x^2-6x+9=16+9</math>


Wir bilden das Quadrat:


<math>(x-3)^2=25</math>


<math>\sqrt{(x-3)^2}=\sqrt{16}</math>
Wir ziehen die Wurzel:


<math>x-3=\pm 5\mid +3</math>


<math>\Leftrightarrow x=3\pm 5</math>


<math>x-3=4\lor x-3=-4</math>
<math>\Leftrightarrow x=-2\lor x=8</math>


Die Lösungsmenge ist also L={-2;8}.|2=Beispiel zur quadratischen Ergänzung|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|Teile die Gleichung erst durch 3. So bringst Du sie auf die sogenannte Normalform.|2=Tipp zu d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=


<math>(x-3)^2=16</math>


<math>x_1=7\lor x_2=-1</math>
<math>\Leftrightarrow\sqrt{(x-3)^2}=\sqrt{16}</math>


<math>\Leftrightarrow x-3=4\lor x-3=-4</math>


<math>\Leftrightarrow x_1=7\lor x_2=-1</math>


<math>L=\{-1;7\}</math>
<math> L=\{-1;7\} </math>


|2=Rechenweg zu a)|3=schließen}}
|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=


<math>x^2+8x+16=49</math>
<math>x^2+8x+16=49</math>


<math>\Leftrightarrow (x+4)^2=49</math>


<math>\Leftrightarrow x+4=7\lor x+4=-7</math>


<math>(x+4)^2=49</math>
<math>\Leftrightarrow x_1=3\lor x_2=-11</math>


<math> L=\{-11;3\} </math>


|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
<math>x^2+8x=9</math>


<math>x+4=7\lor x+4=-7</math>
<math>\Leftrightarrow x^2+8x+16=9+16</math>


<math>\Leftrightarrow(x+4)^2=25</math>


<math>\Leftrightarrow x+4=5\lor x+4=-5</math>


<math>x_1=3\lor x_2=-11</math>
<math>\Leftrightarrow x_1=1\lor x_2=-9</math>


<math> L=\{-9;1\} </math>


|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=


<math>L=\{-11;3\}</math>
<math>3x^2-3x-60=0</math>


<math>\Leftrightarrow x^2-x-20=0</math>


|2=Rechenweg zu b)|3=schließen}}
<math>\Leftrightarrow x^2-x=20</math>
{{Lösung versteckt|1=


<math>x^2+8x=9</math>
<math>\Leftrightarrow x^2-x+\frac{1}{4}=20+\frac{1}{4}</math>


<math>\Leftrightarrow (x-\frac{1}{2})^2=20\frac{1}{4}</math>


<math>\Leftrightarrow x-\frac{1}{2}=\frac{9}{2}\lor x-\frac{1}{2}=-\frac{9}{2}</math>


<math>x^2+8x+16=9+16</math>
<math>\Leftrightarrow x_1=5\lor x_2=-4</math>


<math> L=\{-4;5\} </math>


|2=Lösung von d)|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}


<math>(x+4)^2=25</math>
{{Box|Aufgabe 17**|Löse die quadratischen Gleichungen von a), b) und c). Du kannst Dir aussuchen, welches der obigen Lösungsverfahren Du verwendest. In d) geht es um einen Beweis einer wichtigen Aussage zum Zusammenhang zwischen den Lösungen einer quadratischen Gleichung und ihren Koeffizienten p und q.


'''a)''' <math>(x+1)\cdot(2x+3)=4x^2-22</math>


'''b)''' <math>(2x-3)^2=(x-1)(x-4)+9x</math>


<math>x+4=5\lor x+4=-5</math>
'''c)''' <math>(3x-4)^2-(4x-3)^2+(5x-2)(5x+2)=18(x+2)+3</math>


'''d)''' Der Satz von Vieta besagt: Seien p und q die Koeffizienten der quadratischen Gleichung <math>x^2+px+q=0</math> und <math>x_1</math> und <math>x_2</math> deren Lösungen. Dann gilt <math>p=-(x_1+x_2)</math> und <math>q=x_1\cdot x_2</math>.


Beweise den Satz von Vieta.


<math>x_1=1\lor x_2=-9</math>
{{Lösung versteckt|1=Löse auf der linken Seite die Klammern auf. Fasse zusammen.|2=Tipp zu a)|3=schließen}}


{{Lösung versteckt|1=Wende auf der linken Seite die binomische Formel an.|2=Tipp zu b)|3=schließen}}


{{Lösung versteckt|1=Beachte die Minusklammer auf der linken Seite.|2=Tipp zu c)|3=schließen}}


<math>L=\{-9;1\}</math>
{{Lösung versteckt|1=Wenn <math>x_1</math> und <math>x_2</math> die Lösungen der quadratischen Gleichung <math>x^2+px+q=0</math> sind, haben wir die zugehörigen Linearfaktoren <math>x-x_1</math> und <math>x-x_2</math>, d.h. <math>x^2+px+q=(x-x_1)\cdot(x-x_2)</math> (vgl. Nullproduktregel und Aufgabe 15). Der Trick ist also, <math>(x-x_1)\cdot(x-x_2)</math> auszumultiplizieren und einen Koeffizientenvergleich zu machen, um die Formeln für p und q aus dem Satz von Vieta zu erhalten.|2=Tipp zu d)|3=schließen}}


|2=Rechenweg zu c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=


<math>3x^2-3x-60=0</math>
<math>(x+1)\cdot(2x+3)=4x^2-22\mid</math>Ausmultiplizieren der Klammern auf der linken Seite
 
<math>\Leftrightarrow 2x^2+3x+2x+3=4x^2-22\mid</math>Vereinfachen (Zusammenfassen)
 
<math>\Leftrightarrow 2x^2+5x+3=4x^2-22\mid</math>Umdrehen (linke und rechte Seite vertauschen)
 
<math> \Leftrightarrow 4x^2-22=2x^2+5x+3\mid -2x^2</math>
 
<math> \Leftrightarrow 2x^2-22=5x+3\mid -5x</math>
 
<math> \Leftrightarrow 2x^2-5x-22=3\mid -3</math>
 
<math> \Leftrightarrow 2x^2-5x-25=0\mid :2</math>
 
<math> \Leftrightarrow x^2-\frac{5}{2}x-\frac{25}{2}=0\mid</math>pq-Formel
 
<math> \Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{5}{4}\pm\sqrt{\frac{25}{16}+\frac{200}{16}}</math>


<math> \Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{5}{4}\pm\sqrt{\frac{225}{16}}</math>


<math> \Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{5}{4}\pm\frac{15}{4}</math>


<math>x^2-x-20=0</math>
<math> \Leftrightarrow x_{1,2}=-\frac{10}{4}\pm\frac{20}{4}</math>


<math> \Leftrightarrow x=-\frac{5}{2}\lor x=5</math>


<math> L=\{-2,5;5\} </math>
|2=Lösung von a)|3=schließen}}


<math>x^2-x=20</math>
{{Lösung versteckt|1=


<math>(2x-3)^2=(x-1)(x-4)+9x\mid</math>links die binomische Formel anwenden und rechts die Klammern auflösen


<math> \Leftrightarrow 4x^2-12x+9=x^2-4x-x+4+9x\mid</math>Vereinfachen


<math>x^2-x+\frac{1}{4}=20+\frac{1}{4}</math>
<math> \Leftrightarrow 4x^2-12x+9=x^2+4x+4\mid-x^2</math>


<math> \Leftrightarrow 3x^2-12x+9=4x+4\mid-4x</math>


<math> \Leftrightarrow 3x^2-16x+9=4\mid -4</math>


<math>(x-\frac{1}{2})^2=20\frac{1}{4}</math>
<math> \Leftrightarrow 3x^2-16x+5=0</math>


<math> \Leftrightarrow x^2-\frac{16}{3}x+\frac{5}{3}=0</math>


<math> \Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{8}{3}\pm\sqrt{\frac{64}{9}-\frac{5}{3}}</math>


<math>x-\frac{1}{2}=\frac{9}{2}\lor x-\frac{1}{2}=-\frac{9}{2}</math>
<math> \Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{8}{3}\pm\sqrt{\frac{64}{9}-\frac{15}{9}}</math>


<math> \Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{8}{3}\pm\sqrt{\frac{49}{9}}</math>


<math> \Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{8}{3}\pm\frac{7}{3}</math>


<math>x_1=5\lor x_2=-4</math>
<math> \Leftrightarrow x=\frac{1}{3}\lor x=\frac{15}{3}</math>


<math> \Leftrightarrow x=\frac{1}{3}\lor x=5</math>


<math> L=\{5;\frac{1}{3}\} </math>
|2=Lösung von b)|3=schließen}}


<math>L=\{-4;5\}</math>
{{Lösung versteckt|1=


|2=Rechenweg zu d)|3=schließen}}
<math>(3x-4)^2-(4x-3)^2+(5x-2)(5x+2)=18(x+2)+3\mid</math>zweimal die binomische Formel
|3=Arbeitsmethode}}


{{Box|Aufgabe 18*|Löse die folgenden quadratischen Gleichungen.
<math>\Leftrightarrow 18x^2+3=18x+39</math>


<math>\Leftrightarrow 18x^2-18x+3=39</math>


<math>\Leftrightarrow 18x^2-18x-36=0</math>


a) <math>(x+1)\cdot(2x+3)=4x^2-22</math>
<math>\Leftrightarrow x^2-x-2=0</math>


<math>\Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{1}{4}+2}</math>


<math>\Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{8}{4}}</math>


b) <math>(2x-3)^2=(x-1)(x-4)+9x</math>
<math>\Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{9}{4}}</math>


<math>\Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{1}{2}\pm\frac{3}{2}</math>


<math> \Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}\lor x=\frac{4}{2}</math>


c) <math>(3x-4)^2-(4x-3)^2+(5x-2)(5x+2)=18(x+2)+3</math>
<math> \Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}\lor x=2</math>


<math> L=\{-1;2\} </math>
|2=Lösung von c)|3=schließen}}


{{Lösung versteckt|1=Ein möglicher Beweis des Satzes von Vieta (mit Koeffizientenvergleich):
Der Satz von Vieta ergibt sich direkt durch Ausmultiplizieren der Nullstellenform nach Koeffizientenvergleich:


d) <math>(2y+6)(17,5-2,5y)-(10+5y)(2y-3)=(7y+20)(4-1,4y)</math>
<math> x^2+px+q=(x-x_1)\cdot(x-x_2)=x^2-x\cdot x_2-x_1\cdot x+x_1\cdot x_2=x^2-(x_1+x_2)\cdot x+x_1\cdot x_2</math>


{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{4,95;-2,5\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
und daher <math>p=-(x_1+x_2)</math> und <math>q=x_1\cdot x_2</math>.
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{5;\frac{1}{3}\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
|2=Lösung von d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1;2\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-5;-2\frac{3}{26}\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}


===Lineare Gleichungssysteme lösen===
===Lineare Gleichungssysteme lösen===
Für das Lösen von Gleichungssystemen gibt es unterschiedliche Verfahren und Herangehensweisen. Die folgenden Aufgaben können alle mithilfe von zwei Verfahren gelöst werden:
Für das Lösen von Gleichungssystemen gibt es mehrere Verfahren. Die folgenden Aufgaben können alle mithilfe von zwei Verfahren (Additionsverfahren und Einsetzungsverfahren) gelöst werden.


{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
# Entscheide, welche Unbekannte du eliminieren willst
# Entscheide, welche Unbekannte du eliminieren willst.
# Überlege, wie du die Gleichungen addieren musst, damit die Unbekannte weg fällt
# Überlege, wie du die Gleichungen addieren musst, damit diese Unbekannte wegfällt.
# Berechne die Unbekannten
# Berechne die Unbekannten.


Beispiele dafür findest Du hier: https://www.mathebibel.de/additionsverfahren|2=Additionsverfahren|3=schließen}}
Beispiele dafür findest Du hier: https://www.mathebibel.de/additionsverfahren|2=Additionsverfahren|3=schließen}}
Zeile 664: Zeile 848:


{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
# Eine Gleichung nach einer Variable auflösen
# Löse eine Gleichung nach einer Variablen auf.
# Den Term für diese Variable in die andere Gleichung einsetzen
# Setze den Term für diese Variable in die andere Gleichung ein.
# Gleichung nach der Variablen auflösen
# Löse die Gleichung nach der in ihr vorkommenden Variablen auf.
# Die Lösung in die umgeformte Gleichung aus Schritt 1 einsetzen und so die andere Variable berechnen
# Setze die Lösung in die umgeformte Gleichung aus Schritt 1 ein und berechne die andere Variable.


Beispiele dafür findest Du hier: https://www.mathebibel.de/einsetzungsverfahren|2=Einsetzungsverfahren|3=schließen}}
Beispiele dafür findest Du hier: https://www.mathebibel.de/einsetzungsverfahren|2=Einsetzungsverfahren|3=schließen}}
Zeile 674: Zeile 858:




{{Box|Aufgabe 19|Löse das folgende Gleichungssystem in deinem Heft:
{{Box|Aufgabe 18|Löse das folgende Gleichungssystem in deinem Heft bzw. Collegeblock:


<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>
<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>
Zeile 688: Zeile 872:
<math>II\quad 5x - 4y = -6</math>
<math>II\quad 5x - 4y = -6</math>


Addiere Gleichung I zu Gleichung II
Addiere Gleichung I zu Gleichung II.


<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>
<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>
Zeile 694: Zeile 878:
<math>II\quad 8x + 0y = 16</math>
<math>II\quad 8x + 0y = 16</math>


Berechne die Lösung für II
Berechne die Lösung für II.


<math>8x + 0y = 16\quad|:8</math>
<math>8x + 0y = 16\quad|:8</math>
Zeile 700: Zeile 884:
<math>x = 2</math>
<math>x = 2</math>


Setze x = 2 in I ein
Setze x = 2 in I ein.


<math>3x + 4y = 22</math>
<math>3x + 4y = 22</math>
Zeile 718: Zeile 902:


===Lineare Gleichungssysteme zum Lösen von Textaufgaben nutzen===
===Lineare Gleichungssysteme zum Lösen von Textaufgaben nutzen===
Löse die folgenden Aufgaben in deinem Heft.{{Box|Aufgabe 20*|In einer Jugendherberge gibt es 18 Zimmer (Vier- und Sechsbettzimmer). Insgesamt können 84 Jugendliche untergebracht werden. Wie viele Vier- bzw. Sechsbettzimmer gibt es?
Löse die folgenden Aufgaben in deinem Heft.{{Box|Aufgabe 19*|In einer Jugendherberge gibt es 18 Zimmer, aufgeteilt in Vier- und Sechsbettzimmer. Insgesamt können 84 Jugendliche untergebracht werden. Wie viele Vier- bzw. Sechsbettzimmer gibt es?




{{Lösung versteckt|1=Die Lösung kannst Du mithilfe eines Gleichungssystems für zwei Variablen (z.B. x und y) berechnen. Die Variablen stehen für die Anzahl der Vier- bzw. Sechsbettzimmer.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Die Lösung kannst Du mithilfe eines Gleichungssystems für zwei Variablen (z.B. x und y) berechnen. Die Variablen stehen für die Anzahl der Vier- bzw. Sechsbettzimmer.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Eine Gleichung sollte 18, die andere 84 als Ergebnis haben.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Auf der rechten Seite der einen Gleichung sollte 18 stehen, auf der rechten Seite der anderen 84.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Das zu lösende Gleichungssystem ist:
{{Lösung versteckt|1=Das zu lösende Gleichungssystem ist:


Zeile 789: Zeile 973:




'''Es gibt 12 Vier- und 6 Sechsbettzimmer'''.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode}}
'''Es gibt 12 Vier- und 6 Sechsbettzimmer.'''|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode}}




{{Box|Aufgabe 21**|Drei Personen werden nach ihrem Vermögen gefragt. Der Erste und der Zweite besitzen
{{Box|Aufgabe 20**|Drei Personen werden nach ihrem Vermögen gefragt. Die erste und die zweite besitzen
zusammen um 20 Denare (römische Währung) mehr als der Dritte; der Erste und der Dritte haben zusammen um
zusammen 20 Denare (römische Währung) mehr als die dritte Person. Die erste und die dritte besitzen zusammen 40 Denare mehr als die zweite Person. Die zweite und die dritte besitzen zusammen 30
40 Denare mehr als der Zweite; und der Zweite und der Dritte haben zusammen um 30
Denare mehr als die erste Person. Wie viel besitzt jede der drei Personen? (nach Diophant, 3. Jh. n. Chr.)
Denare mehr als der Erste. Wie viel besitzt jeder der Drei? (nach Diophant, 3. Jh. n. Chr.)


{{Lösung versteckt|1=Die Lösung kannst du mithilfe eines Gleichungssystems für drei Variablen (z.B. a, b und c) berechnen.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Die Lösung kannst du mithilfe eines Gleichungssystems für drei Variablen (z.B. a, b und c) berechnen.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Wenn Person A 10€ mehr hat als Person B, gilt: A - B = 10€|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Wenn Person A das Vermögen a besitzt und Person B das Vermögen b besitzt und die Person A 10€ mehr besitzt als Person B, kannst Du schreiben: a - b = 10€|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Das zu lösende Gleichungssystem ist:
{{Lösung versteckt|1=Das zu lösende Gleichungssystem ist:


Zeile 844: Zeile 1.027:




'''Der Erste hat 30, der Zweite 25 und der Dritte 35 Denare'''.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode
'''Die erste Person hat 30, die zweite 25 und die dritte 35 Denare.'''|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode
}}
}}

Aktuelle Version vom 16. Juni 2019, 22:52 Uhr


Terme und Gleichungen

Dieses Kapitel des Lernpfades soll Dir helfen, dein Wissen über Terme und Gleichungen zu überprüfen und aufzufrischen. Du kannst selbst auswählen, in welcher Reihenfolge du das Kapitel bearbeiten möchtest und welche Aufgaben für dich am geeignetsten sind.

Damit du etwas anspruchsvollere Aufgaben direkt erkennst, sind Aufgaben, die dich fordern mit einem Stern (*) und knifflige Knobelaufgaben mit zwei Sternen (**) gekennzeichnet.

Viel Spaß!

Wiederholung: Terme und Gleichungen

Lies dir die Inhalte der folgenden Infokästchen sorgfältig durch und nutze sie, wenn du bei späteren Aufgaben ins Stocken kommst.

Ein Term ist ein mathematischer Ausdruck, der Zahlen, Variablen, Symbole für mathematische Verknüpfungen (Plus, Minus, Mal, Geteilt) und Klammern enthalten kann.

Beispiele:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1 + 2 }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 7x - 9y} .

Eine Gleichung ist eine Aussage über die Gleichheit zweier Terme, die mit Hilfe des Gleichheitszeichens ("=") symbolisiert wird.

Gleichungen sind entweder wahr (5 = 5) oder falsch (5 = 6).

Beispiele:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4 = 1 + 3}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5x = 10} .

Terme zu vereinfachen bedeutet, die Terme durch die dir bekannten Methoden wie Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Ausmultiplizieren und Ausklammern zu verkürzen oder übersichtlicher darzustellen. Hier sind einige Beispiele.

Addieren: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3x + x = 4x}

Subtrahieren: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5y - 2y = 3y}

Multiplizieren: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x \cdot 2x^2 = 2x^3}

Ausmultiplizieren: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z \cdot (4 + 3) = 4z + 3z}

Ausklammern:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3x + 12x^2 = x \cdot (3 + 12x)} .

Bei einer Gleichung mit einer Variablen, z.B. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5 + x = 10} , ist vor allem derjenige x -Wert von Interesse, für den die Gleichung erfüllt, das heißt wahr, ist.

Der x-Wert, für den die Gleichung erfüllt ist, heißt Lösung der Gleichung.


Einige Menschen fragen sich: "Wozu brauche ich das alles überhaupt?!". Das kommt im Alltag oft vor, z.B. wenn es um (dein) Geld geht. Vielleicht kannst du es auch gebrauchen, um eine Million Euro zu gewinnen...?




Wiederholung: Bruchrechnung

Beim Rechnen mit Termen und Gleichungen stößt man regelmäßig auf Brüche. Falls Du Dich damit noch ein wenig unsicher fühlst, schau Dir die folgenden Erklärungen an:


1. Zwei Brüche mit gleichem Nenner (gleichnamige Brüche) werden addiert, indem man ihre Zähler addiert und den gemeinsamen Nenner beibehält.


Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{a}{n}+\frac{b}{n}=\frac{a+b}{n}}


2. Vorgehensweise für ungleichnamige Brüche:

Ungleichnamige Brüche oder nicht gleichnamige Brüche sind Brüche, die unterschiedliche Nenner haben.

Diese Brüche mit verschiedenen Nennern addiert man, indem man die Brüche auf denselben Nenner bringt. Hierzu muss mindestens einer der Brüche gekürzt oder erweitert werden. Oftmals müssen beide Brüche erweitert werden. Der neue, gemeinsame Nenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache der alten Nenner. Anschließend kann wieder wie oben mit gleichen Nennern addiert werden.


Kürzen

Allgemein:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{a}{b}} kürzen mit n: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{a:n}{b:n}}

Ein Beispiel:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{4}{12}} kürzen mit 2:Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{4:2}{12:2}=\frac{2}{6}}


Erweitern

Allgemein:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{a}{b}} erweitern mit m: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{a \cdot m}{b \cdot m}}

Ein Beispiel:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{2}{3}} erweitern mit 4: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4}=\frac{8}{12}}

Brüche werden miteinander multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{a \cdot c}{b \cdot d}}

Terme durch Addieren und Subtrahieren zusammenfassen

Aufgabe 1 - Terme mit einer Variablen

Fasse zusammen.

a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5x+18x}

b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{11}{2}y + \frac{2}{4}y}

c) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{4}{6}x - \frac{12}{5}x }

Nutze das Distributivgesetz! Klammere die Variable aus und fasse innerhalb der Klammer zusammen.

Beispiel: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4x+14x=(4+14) \cdot x=18x} .

Zu b) und c): Um die Brüche zu addieren oder subtrahieren, bringe sie auf denselben Nenner.

Beispiel: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{3}{5}+\frac{4}{3} = \frac{9}{15}+\frac{20}{15} = \frac{9+20}{15} = \frac{29}{15} } .

a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 23x}

b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 6y}

c) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -\frac{26}{15}x}


Aufgabe 2 - Terme mit einer Variablen und Konstanten

Fasse zusammen.

a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5x + \frac{4}{2}x - 5 + 2}

b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{10}{5} + 20z + \frac{6}{3}z - \frac{20}{4} }

c)* Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{12+21y}{3} - \frac{4y - 4}{2} }

Nutze das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz, gilt für Addition) und sortiere nach den Variablen!

Beispiel: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3x+5+8x-4=3x+8x+5-4} .

Beachte: Du kannst auch Subtraktionen als Additionen umschreiben und anschließend das Kommutativgesetz anwenden.

Beispiel: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x-y = x+(-y) = (-y)+x = -y+x}

Fasse jeweils die Terme mit gleicher Variable zusammen.

Beispiel : Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3x+8x+5-4=11x+1} .
Kürze zunächst den Bruch und fasse dann zusammen. Gib besonders auf die Vorzeichen acht!

a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 7x-3}

b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 22z-3}

c) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5y+6}



Aufgabe 3 - Terme mit zwei Variablen

Fasse zusammen.

a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 214x + 24y - 5x + 23y + 24}

b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{6}{2}x +21 + 12x - 4 + 0 \cdot x + \frac{24}{6}y - y}

c)* Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{33y+21x}{3} - \frac{18y - 9}{3}}


Nutze das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz, es gilt für die Addition) und sortiere nach Variablen!

Beispiel: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3x+5y+9x-4+4y=3x+8x+5y+4y-4=11x+9y-4} .

Beachte Du kannst auch Subtraktionen als Additionen umschreiben und dann das Kommutativgesetz anwenden.

Beispiel: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x-y = x+(-y) = (-y)+x = -y+x}
Kürze zunächst den Bruch und fasse anschließend zusammen. Achte besonders auf die Vorzeichen!

a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 209x+ 47y + 24}

b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 15x+3y+17}

c) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 7x+5y+3}


Aufgabe 4 - Terme mit Variablen und Exponenten

Fasse zusammen.

a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 24x^2 + 25y - 13x^2 + 3y - 24 }

b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{3}{4}x^2 + 3 x+ \frac{5}{4}y - 5x -\frac{20}{16}y - 2}

c)* Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{4 x^3 + 6x^2}{2} + \frac{10x^3-15x^2}{5}}

Gleiche Variablen mit unterschiedlichem Exponenten (z.B. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x } und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^2 } ) dürfen bei der Addition nicht zusammengefasst werden!

Beispiel: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3x^2+5x+9x^2=12x^2+5x} .
Kürze zunächst und fasse dann zusammen.

a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 11x^2+28y-24}

b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{3}{4}x^2 -2x -2} , das Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} fällt hier weg, da Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0 \cdot y = 0} sind.

c) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4x^3}


Aufgabe 5 - Pferderennen! Kommst Du mit den Termen als Erste*r ins Ziel?



Klammern in Termen auflösen

Aufgabe 6 - Terme mit konstanten Faktoren

Löse die Klammern auf.

a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5\cdot(8-9y)}

b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (2y-6x)\cdot(-\frac{5}{6})}

c) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{1}{2} \cdot (x+\frac{2}{3})}

Multipliziere den Faktor außerhalb der Klammer mit jedem Summanden in der Klammer. Die Vorzeichen der Ergebnisse werden übernommen. Bei einer Subtraktion wird entsprechend gleich gerechnet. Beispiel: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\color{blue}(-4)} \cdot ({\color{red}5}-{\color{green}7}) = {\color{blue}(-4)} \cdot {\color{red}5} - ({\color{blue}(-4)} \cdot {\color{green}7}) = -20 - (-28) = -20+28 = 8} . Dieser Tipp geht auf das Distributivgesetz zurück.
zu b): Ob in dem Produkt erst die Klammer oder erst der konstante Faktor steht, ist egal. Es würde in beiden Fällen das gleiche Ergebnis herauskommen. Dies geht auf das Kommutativgesetz der Multiplikation zurück.

a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 40-45y}

b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -\frac{5}{3}y+5x}

c) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{1}{2}x+\frac{1}{3}}


Aufgabe 7 - Terme mit variablen Faktoren

Löse die Klammern auf.

a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3x \cdot (11+5y)}

b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (11x-10y) \cdot 3x}

c) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x \cdot (x-15y)}

Auch wenn außerhalb der Klammer eine Variable steht, ändert sich das Vorgehen nicht.
Achte auf die unterschiedlichen Variablen.

a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 33x+15xy}

b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 33x^2-30xy}

c) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^2-15xy}


Aufgabe 8 - Terme mit quadratischen Klammern

Löse die Klammern auf.

a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (7+5b)^2}

b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (5c+6d)^2}

c) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (-6f-t)^2}


Du kannst hier die binomischen Formeln anwenden. Das Bild soll dir eine Veranschaulichung der 1. Binomischen Formel geben:

Das große Quadrat Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (a+b)^2} ist gleich der Summe der beiden kleinen Quadrate (Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a^2} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b^2} ) und der beiden Rechtecke (jeweils Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ab} ).

1. Binomische Formel.jpg

2. Binomische Fomel:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (a-b)^2=a^2-2ab+b^2}

3. Binomische Formel:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2}
Statt die binomischen Formeln anzuwenden, kannst du die Klammer auch per Hand ausmultiplizieren. Der Exponent Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ()^2} bedeutet, dass die Klammer mit sich selbst multipliziert werden soll. Beispiel: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x+4)^2=(x+4) \cdot (x+4)} .
Beim Multiplizieren von zwei Klammern, muss jeder Summand mit jedem Summanden multipliziert werden. Beispiel: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ({\color{blue}x}+{\color{red}4}) \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) = {\color{blue}x} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) + {\color{red}4} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) = {\color{blue}x} \cdot {\color{Orange}x} + {\color{blue}x} \cdot {\color{green}4} + {\color{red}4} \cdot {\color{Orange}4} + {\color{red}4} \cdot {\color{green}4} = x^2+4x+4x+16 = x^2+8x+16} . Diese Regel geht auf die doppelte Anwendung des Distributivgesetzes zurück.

a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 49+70b+25b^2}

b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 25c^2+60cd+36d^2}

c) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 36f^2+12ft+t^2}

Terme durch Ausklammern in Produkte umformen

Aufgabe 9 - Ausklammern

Klammere möglichst viel aus.

a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 9x+9y+9z}

b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 81x+45y}

c) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5x-4xy+9xz}

d) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 25a-35ab+50ax}

e) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 8ax+24xy+64abxz}

f) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4abx+6axy+32abxyz}

Die 24 hat die Teiler 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 und 24. Die 36 hat die Teiler 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 und 36. Die größte in beiden Teilermengen vorkommende Zahl ist die 12. Also ist 12 der größte gemeinsame Teiler (ggT) von 24 und 36.
Die Teiler einer Zahl kannst Du schneller finden, wenn Du die Teilbarkeitsregeln kennst. Eine Zahl ist genau dann durch 2 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer gerade ist (0, 2, 4, 6 oder 8). Eine Zahl ist genau dann durch 4 teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten beiden Ziffern gebildet wird, durch 4 teilbar ist. Eine Zahl ist genau dann durch 8 teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten drei Ziffern gebildet wird, durch 8 teilbar ist. Eine Zahl ist genau dann durch 5 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer durch 5 teilbar ist (0 oder 5). Eine Zahl ist genau dann durch 10 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine 0 ist. Eine Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. Eine Zahl ist genau dann durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist. Eine Zahl ist genau dann durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.
Bestimme den ggT aller Summanden. Er wird als Faktor vor die Klammer gesetzt (ausgeklammert). Die verbleibenden Summanden in der Klammer sind jeweils das Ergebnis des Teilens durch den ggT.
Der ggT ist 9.
Der ggT ist 9.
Hier kann man die Variable x ausklammern.
Hier kann man 5a ausklammern.
Hier kann man 8x ausklammern.
Hier kann man 2ax ausklammern.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 9(x+y+z)}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 9(9x+5y)}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x(5-4y+9z)}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5a(5-7b+10x)}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 8x(a+3y+8abz)}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2ax(2b+3y+16byz)}

Terme und Gleichungen zur Beschreibung von Sachsituationen

Aufgabe 10

Ein Parallelogramm hat einen Umfang von 132 Längeneinheiten. Eine Seite ist 38 Längenheiten kürzer als die andere. Wie lang sind die Seiten des Parallelogramms?

Setze eine Länge als unbekannte Variable.
Ein Parallelogramm hat jeweils 2 gleich lange Seiten.

x=kürzere Seite

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2 \cdot x+2 \cdot (x+38)=132 \quad | Vereinfachen}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2 \cdot x+2 \cdot x+76=132 \quad | Vereinfachen}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4 \cdot x+76=132 \quad | -76}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4 \cdot x=56 \quad | :4}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=14}

kürzere Seite: 14

längere Seite: 52


Aufgabe 11

Peter, sein Vater und seine Mutter sind zusammen 100 Jahre alt. Peters Vater ist dreimal so alt wie er und Peters Mutter ist 5 Jahre jünger als Peters Vater. Wie alt ist Peter, wie alt ist sein Vater und wie alt ist seine Mutter?

Führe eine unbekannte Variable x für ein Alter ein.
Mathematisiere ausgehend von dem Alter x durch geeignete Terme die anderen Altersangaben (z.B. bedeutet 5 Jahre älter x+5).

x=Alter von Peter

Wenn x das Alter von Peter ist, dann ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (3 \cdot x)} das Alter des Vaters und somit ist das Alter der Mutter Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (3 \cdot x-5)} .

Also:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x+3 \cdot x+(3 \cdot x-5)=100 \quad | Vereinfachen}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 7 \cdot x-5=100 \quad | +5}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 7 \cdot x=105 \quad | :7}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=15}

Peters Alter: 15

Alter von Peters Mutter: 40

Alter von Peters Vater: 45


Aufgabe 12

Merve schoss in der letzten Saison doppelt so viele Tore wie ihre Mitspielerin Lena. Marie erzielte 5 Tore weniger als Merve. Alle drei schossen insgesamt 30 Tore. Wie viele Tore erzielte jede einzelne?

Setze von einer Spielerin die Anzahl der Tore als unbekannte Variable.
Es ist egal, von welcher Spielerin man die Anzahl der Tore als Variable setzt.

x=Anzahl der Tore von Merve

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x+\frac{1}{2} \cdot x+(x-5)=30 \quad | Vereinfachen}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2,5 \cdot x-5=30 \quad | +5}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2,5 \cdot x=35 \quad | :2,5}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=14}

Merve: 14 Tore

Lena: 7 Tore

Marie: 9 Tore

Lineare Gleichungen lösen

Was sind überhaupt lineare Gleichungen?

Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung 1. Grades. Das heißt: Die Variable x hat als Exponenten höchstens die Zahl 1:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^1=x } .

Ihre einfachste Form ist: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a \cdot x + b = 0 } , wobei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a } und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b } reelle Zahlen sind und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x } eine Variable.

Zur Wiederholung schaue dir doch das zugehörige Kapitel in diesem Lernpfad zu linearen Funktionen nochmal an.


Aufgabe 13 - Lineare Gleichungen lösen



Bringe die Teilterme mit einer Variablen und die ohne Variablen auf jeweils eine Seite.

Beispiel:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3x + 8 = 5x -4 \quad \quad \quad | -3x}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow 8 = 5x -4 -3x \quad \quad | +4 }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow 8 +4 = 5x -3x }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow 12 = 2x }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow 6 = x }

Quadratische Gleichungen lösen

Aufgabe 14

Löse mit Hilfe der pq-Formel die folgenden quadratischen Gleichungen.

a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^2-11x+24=0}

b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y^2+7y-8=0}

c) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z^2-20z+96=0}

d) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^2+\frac{26}{9}x-\frac{544}{162}=0}

Wenn Du eine quadratische Gleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^2+px+q=0} lösen willst, hilft Dir die pq-Formel: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}} .

Die pq-Formel erhalten wir aus der Normalform der quadratischen Gleichung durch quadratische Ergänzung:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^2+px+q=0\mid -q}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow x^2+px=-q\mid +(\frac{p}{2})^2} (quadratische Ergänzung)

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow x^2+2\cdot\frac{p}{2}x+(\frac{p}{2})^2=(\frac{p}{2})^2-q\mid} binomische Formel

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow (x+\frac{p}{2})^2=(\frac{p}{2})^2-q\mid} Wurzelziehen

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow x+\frac{p}{2}=\pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}\mid-\frac{p}{2}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow x=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^2-11x+24=0\mid} pq-Formel mit p=-11 und q=24

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{11}{2}\pm\sqrt{\frac{121}{4}-24}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{11}{2}\pm\sqrt{\frac{121}{4}-\frac{96}{4}}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{11}{2}\pm\sqrt{\frac{25}{4}}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{11}{2}\pm\frac{5}{2}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow x=\frac{6}{2}\lor x=\frac{16}{2}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow x=3\lor x=8}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L=\{3;8\} }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y^2+7y-8=0\mid} pq-Formel mit p=7 und q=-8

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow y_{1,2}=-\frac{7}{2}\pm\sqrt{\frac{49}{4}+8}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow y_{1,2}=-\frac{7}{2}\pm\sqrt{\frac{49}{4}+\frac{32}{4}}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow y_{1,2}=-\frac{7}{2}\pm\sqrt{\frac{81}{4}}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow y_{1,2}=-\frac{7}{2}\pm\frac{9}{2}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow y=-\frac{16}{2}\lor y=\frac{2}{2}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow y=-8\lor y=1}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L=\{-8;1\} }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z^2-20z+96=0\mid} pq-Formel mit p=-20 und q=96

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow z_{1,2}=\frac{20}{2}\pm\sqrt{(\frac{20}{2})^2-96}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow z_{1,2}=10\pm\sqrt{10^2-96}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow z_{1,2}=10\pm\sqrt{100-96}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow z_{1,2}=10\pm\sqrt{4}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow z_{1,2}=10\pm\sqrt{2}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow z=8\lor z=12}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L=\{8;12\} }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^2+\frac{26}{9}x-\frac{544}{162}=0\mid} pq-Formel mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p=\frac{26}{9}} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q=\frac{544}{162}=\frac{272}{81}} (gekürzt)

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow x_{1,2}=-\frac{13}{9}\pm\sqrt{(\frac{13}{9})^2+\frac{544}{162}}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow x_{1,2}=-\frac{13}{9}\pm\sqrt{\frac{169}{81}+\frac{272}{81}}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow x_{1,2}=-\frac{13}{9}\pm\sqrt{\frac{441}{81}}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow x_{1,2}=-\frac{13}{9}\pm\frac{21}{9}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow x=-\frac{34}{9}\lor x=\frac{8}{9}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L=\{-3\frac{7}{9};\frac{8}{9}\} }


Aufgabe 15

Löse mit Hilfe der Nullproduktregel die folgenden quadratischen Gleichungen.

a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x+8)\cdot(x-2)=0}

b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (2x-6)\cdot(3x+5)=0}

c) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\frac{1}{2}x-7)\cdot(\frac{2}{3}x+6)=0}

Ein Produkt aus zwei Faktoren ist genau dann 0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren 0 ist.

linker Faktor:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x+8=0\mid-8}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow x=-8}

rechter Faktor:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x-2=0\mid+2}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow x=2}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L=\{-8;2\} }

linker Faktor:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2x-6=0\mid+6}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow 2x=6\mid :3}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow x=3}

rechter Faktor:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3x+5=0\mid -5}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow 3x=-5\mid :3}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow x=-\frac{5}{3}\mid} als gemischte Zahl (muss nicht sein)

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow x=-1\frac{2}{3}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L=\{-1\frac{2}{3};3\} }

linker Faktor:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{1}{2}x-7=0\mid +7}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow \frac{1}{2}x=7\mid\cdot 2}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow x=14}

rechter Faktor:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{2}{3}x+6=0\mid -6}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow \frac{2}{3}x=-6\mid\cdot\frac{3}{2}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow x=-9}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L=\{-9;14\} }


Aufgabe 16

Löse die folgenden quadratischen Gleichungen. Mache bei c) und d) die quadratische Ergänzung.

a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x-3)^2=16}

b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^2+8x+16=49}

c) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^2+8x=9}

d) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3x^2-3x-60=0}

Addiere auf beiden Seiten der Gleichung in c) das Quadrat der Hälfte des gemischten Terms, damit Du die binomische Formel anwenden kannst.

Gegebene quadratische Gleichung:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2x^2-12x=32}

Normierung (auf Normalform bringen):

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^2-6x=16}

Die linke Seite wird in die Form Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^2-2dx+d^2} gebracht, so dass wir die zweite binomische Formel anwenden können. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d^2} wird auch auf der rechten Seite addiert.

Man nimmt also das Quadrat der Hälfte von p und addiert es auf beiden Seiten der Gleichung. In unserem Beispiel müssen wir also 9 addieren, um die binomische Formel ("rückwärts") anwenden zu können.

Wir machen die quadratische Ergänzung:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^2-6x+9=16+9}

Wir bilden das Quadrat:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x-3)^2=25}

Wir ziehen die Wurzel:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x-3=\pm 5\mid +3}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow x=3\pm 5}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow x=-2\lor x=8}

Die Lösungsmenge ist also L={-2;8}.
Teile die Gleichung erst durch 3. So bringst Du sie auf die sogenannte Normalform.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x-3)^2=16}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow\sqrt{(x-3)^2}=\sqrt{16}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow x-3=4\lor x-3=-4}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow x_1=7\lor x_2=-1}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L=\{-1;7\} }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^2+8x+16=49}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow (x+4)^2=49}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow x+4=7\lor x+4=-7}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow x_1=3\lor x_2=-11}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L=\{-11;3\} }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^2+8x=9}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow x^2+8x+16=9+16}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow(x+4)^2=25}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow x+4=5\lor x+4=-5}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow x_1=1\lor x_2=-9}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L=\{-9;1\} }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3x^2-3x-60=0}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow x^2-x-20=0}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow x^2-x=20}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow x^2-x+\frac{1}{4}=20+\frac{1}{4}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow (x-\frac{1}{2})^2=20\frac{1}{4}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow x-\frac{1}{2}=\frac{9}{2}\lor x-\frac{1}{2}=-\frac{9}{2}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow x_1=5\lor x_2=-4}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L=\{-4;5\} }


Aufgabe 17**

Löse die quadratischen Gleichungen von a), b) und c). Du kannst Dir aussuchen, welches der obigen Lösungsverfahren Du verwendest. In d) geht es um einen Beweis einer wichtigen Aussage zum Zusammenhang zwischen den Lösungen einer quadratischen Gleichung und ihren Koeffizienten p und q.

a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x+1)\cdot(2x+3)=4x^2-22}

b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (2x-3)^2=(x-1)(x-4)+9x}

c) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (3x-4)^2-(4x-3)^2+(5x-2)(5x+2)=18(x+2)+3}

d) Der Satz von Vieta besagt: Seien p und q die Koeffizienten der quadratischen Gleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^2+px+q=0} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2} deren Lösungen. Dann gilt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p=-(x_1+x_2)} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q=x_1\cdot x_2} .

Beweise den Satz von Vieta.

Löse auf der linken Seite die Klammern auf. Fasse zusammen.
Wende auf der linken Seite die binomische Formel an.
Beachte die Minusklammer auf der linken Seite.
Wenn Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2} die Lösungen der quadratischen Gleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^2+px+q=0} sind, haben wir die zugehörigen Linearfaktoren Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x-x_1} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x-x_2} , d.h. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^2+px+q=(x-x_1)\cdot(x-x_2)} (vgl. Nullproduktregel und Aufgabe 15). Der Trick ist also, Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x-x_1)\cdot(x-x_2)} auszumultiplizieren und einen Koeffizientenvergleich zu machen, um die Formeln für p und q aus dem Satz von Vieta zu erhalten.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x+1)\cdot(2x+3)=4x^2-22\mid} Ausmultiplizieren der Klammern auf der linken Seite

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow 2x^2+3x+2x+3=4x^2-22\mid} Vereinfachen (Zusammenfassen)

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow 2x^2+5x+3=4x^2-22\mid} Umdrehen (linke und rechte Seite vertauschen)

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow 4x^2-22=2x^2+5x+3\mid -2x^2}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow 2x^2-22=5x+3\mid -5x}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow 2x^2-5x-22=3\mid -3}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow 2x^2-5x-25=0\mid :2}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow x^2-\frac{5}{2}x-\frac{25}{2}=0\mid} pq-Formel

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{5}{4}\pm\sqrt{\frac{25}{16}+\frac{200}{16}}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{5}{4}\pm\sqrt{\frac{225}{16}}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{5}{4}\pm\frac{15}{4}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow x_{1,2}=-\frac{10}{4}\pm\frac{20}{4}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow x=-\frac{5}{2}\lor x=5}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L=\{-2,5;5\} }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (2x-3)^2=(x-1)(x-4)+9x\mid} links die binomische Formel anwenden und rechts die Klammern auflösen

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow 4x^2-12x+9=x^2-4x-x+4+9x\mid} Vereinfachen

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow 4x^2-12x+9=x^2+4x+4\mid-x^2}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow 3x^2-12x+9=4x+4\mid-4x}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow 3x^2-16x+9=4\mid -4}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow 3x^2-16x+5=0}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow x^2-\frac{16}{3}x+\frac{5}{3}=0}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{8}{3}\pm\sqrt{\frac{64}{9}-\frac{5}{3}}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{8}{3}\pm\sqrt{\frac{64}{9}-\frac{15}{9}}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{8}{3}\pm\sqrt{\frac{49}{9}}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{8}{3}\pm\frac{7}{3}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow x=\frac{1}{3}\lor x=\frac{15}{3}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow x=\frac{1}{3}\lor x=5}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L=\{5;\frac{1}{3}\} }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (3x-4)^2-(4x-3)^2+(5x-2)(5x+2)=18(x+2)+3\mid} zweimal die binomische Formel

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow 18x^2+3=18x+39}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow 18x^2-18x+3=39}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow 18x^2-18x-36=0}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow x^2-x-2=0}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{1}{4}+2}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{8}{4}}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{9}{4}}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{1}{2}\pm\frac{3}{2}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}\lor x=\frac{4}{2}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}\lor x=2}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L=\{-1;2\} }

Ein möglicher Beweis des Satzes von Vieta (mit Koeffizientenvergleich): Der Satz von Vieta ergibt sich direkt durch Ausmultiplizieren der Nullstellenform nach Koeffizientenvergleich:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^2+px+q=(x-x_1)\cdot(x-x_2)=x^2-x\cdot x_2-x_1\cdot x+x_1\cdot x_2=x^2-(x_1+x_2)\cdot x+x_1\cdot x_2}

und daher Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p=-(x_1+x_2)} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q=x_1\cdot x_2} .

Lineare Gleichungssysteme lösen

Für das Lösen von Gleichungssystemen gibt es mehrere Verfahren. Die folgenden Aufgaben können alle mithilfe von zwei Verfahren (Additionsverfahren und Einsetzungsverfahren) gelöst werden.

  1. Entscheide, welche Unbekannte du eliminieren willst.
  2. Überlege, wie du die Gleichungen addieren musst, damit diese Unbekannte wegfällt.
  3. Berechne die Unbekannten.
Beispiele dafür findest Du hier: https://www.mathebibel.de/additionsverfahren


  1. Löse eine Gleichung nach einer Variablen auf.
  2. Setze den Term für diese Variable in die andere Gleichung ein.
  3. Löse die Gleichung nach der in ihr vorkommenden Variablen auf.
  4. Setze die Lösung in die umgeformte Gleichung aus Schritt 1 ein und berechne die andere Variable.
Beispiele dafür findest Du hier: https://www.mathebibel.de/einsetzungsverfahren



Aufgabe 18

Löse das folgende Gleichungssystem in deinem Heft bzw. Collegeblock:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I\quad 3x + 4y = 22}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II\quad 5x - 4y = -6}

Du kannst zum Lösen das Additionsverfahren benutzen, um die Variable y zu eliminieren.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I\quad 3x + 4y = 22}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II\quad 5x - 4y = -6}

Addiere Gleichung I zu Gleichung II.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I\quad 3x + 4y = 22}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II\quad 8x + 0y = 16}

Berechne die Lösung für II.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 8x + 0y = 16\quad|:8}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = 2}

Setze x = 2 in I ein.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3x + 4y = 22}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3 \cdot 2 + 4y = 22}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 6 + 4y = 22\quad|-6}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4y = 16\quad|:4}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y = 4}

Lösung:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = 2, y = 4} .

Lineare Gleichungssysteme zum Lösen von Textaufgaben nutzen

Löse die folgenden Aufgaben in deinem Heft.

Aufgabe 19*

In einer Jugendherberge gibt es 18 Zimmer, aufgeteilt in Vier- und Sechsbettzimmer. Insgesamt können 84 Jugendliche untergebracht werden. Wie viele Vier- bzw. Sechsbettzimmer gibt es?


Die Lösung kannst Du mithilfe eines Gleichungssystems für zwei Variablen (z.B. x und y) berechnen. Die Variablen stehen für die Anzahl der Vier- bzw. Sechsbettzimmer.
Auf der rechten Seite der einen Gleichung sollte 18 stehen, auf der rechten Seite der anderen 84.

Das zu lösende Gleichungssystem ist:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I\quad x + y = 18}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II\quad 4x + 6y = 84}

Additionsverfahren:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I\quad x + y = 18}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II\quad 4x + 6y = 84}

Addiere das (-4)-fache von I zu II.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I\quad x + y = 18}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II\quad 0x + 2y = 12}

Löse die Gleichung II.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2y = 12 \quad| :2}

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Setze y in I ein.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x + y =18}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x + 6 = 18 \quad| -2}

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Einsetzungsverfahren

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I\quad x + y = 18}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II\quad 4x + 6y = 84}

Löse I nach x auf.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x + y =18 \quad| -y}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = 18 - y}

Setze die Gleichung für x in II ein

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Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 72 - 4y + 6y = 84 \quad| -72}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2y = 12 \quad| :2}

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Setze y in I ein.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x + y =18}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x + 6 = 18 \quad| -2}

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Es gibt 12 Vier- und 6 Sechsbettzimmer.


Aufgabe 20**

Drei Personen werden nach ihrem Vermögen gefragt. Die erste und die zweite besitzen zusammen 20 Denare (römische Währung) mehr als die dritte Person. Die erste und die dritte besitzen zusammen 40 Denare mehr als die zweite Person. Die zweite und die dritte besitzen zusammen 30 Denare mehr als die erste Person. Wie viel besitzt jede der drei Personen? (nach Diophant, 3. Jh. n. Chr.)

Die Lösung kannst du mithilfe eines Gleichungssystems für drei Variablen (z.B. a, b und c) berechnen.
Wenn Person A das Vermögen a besitzt und Person B das Vermögen b besitzt und die Person A 10€ mehr besitzt als Person B, kannst Du schreiben: a - b = 10€

Das zu lösende Gleichungssystem ist:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I\quad a + b - c = 20}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II\quad a - b + c = 40}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle III\quad -a + b + c =30}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I\quad a + b - c = 20}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II\quad a - b + c = 40}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle III\quad -a + b + c = 30}

Addiere I + II und I + III.

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Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II\quad 2a + 0b + 0c = 60}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle III\quad 0a + 2b + 0c = 30}

Löse die Gleichungen II und III.

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Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II\quad a = 30}

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Setze a und b in I ein.

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Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 30 + 25 - c = 20 \quad| -30 \quad| - 25}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -c = -35}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c = 35}


Die erste Person hat 30, die zweite 25 und die dritte 35 Denare.