Digitale Werkzeuge in der Schule/Ableitungen üben und vertiefen/Von der mittleren zur momentanen (lokalen) Änderungsrate

Lernpfad

Dieser Lernpfad beschäftigt sich mit der durchschnittlichen und der momentanen Änderungsrate.

• In Aufgabe 1 geht es ausschließlich um die durchschnittliche Änderungsrate.
• In Aufgabe 2 geht es darum, zu erkennen, ob bei einem gegebenen Kontext die durchschnittliche oder die momentane Änderungsrate berechnet werden soll.
• Aufgabe 3 zeigt anhand einer realen Situation, wie durchschnittliche und momentane Änderungsrate zusammenhängen.

Die durchschnittliche Änderungsrate

In dieser Aufgabe erwarten dich drei Teilaufgaben. In der ersten geht es um die Berechnung der durchschnittlichen Änderungsrate. Solltest du da bereits sicher sein, kannst du dich auf 4. und 5. konzentrieren und direkt zu Teil b) übergehen, in dem ein Ergebnis aus a) erklärt werden soll. In Teil c) sollen einem Diagramm Informationen entnommen werden.

Aufgabe 1a: Berechnung der durchschnittlichen Änderungsrate

Wie groß ist die durchschnittliche Änderungsrate für ...

1. $f(x)=x^{2}$ im Intervall $[3,5]$ und im Intervall $[-1,1]$?
2. $g(x)=1-x^{2}$ im Intervall $[1,3]$?
3. $h(x)=-{\frac {1}{8}}x^{2}+2x$ im Intervall $[2,10]$?
4. $i(x)=x^{3}+4x$ im Intervall $[-5,6]$?
5. $j(x)=x^{4}+2x^{2}-x$ im Intervall $[-6,-2]$ ?

Achte auf die Vorzeichen!

Differenzenquotient? Was war das denn nochmal?

Der Quotient ${\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$ wird Differenzenquotient genannt. Dieser Quotient beschreibt, wie groß der Unterschied zwischen den Werten der Funktion an den Intervallgrenzen $(f(b)-f(a))$ im Verhältnis zu der Länge des Intervalls $(b-a)$ ist. Damit entspricht dieser Quotient der Steigung der Geraden (Sekanten) durch die Punkte $(a|f(a))$ und $(b|f(b))$.

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1. 8, 0
2. - 4
3. 0,5
4. 35
5. - 337

Aufgabe 1b: Erklärung eines Ergebnisses aus a)

Wie ist der zweite Wert (Ergebnis) bei a) 1. zu erklären?

Die Symmetrie der Normalparabel und das Intervall $[-1,1]$ führen in diesem Fall dazu, dass sich der Teil mit der negativen Steigung und der mit der positiven gegenseitig aufheben. Die Sekante ist in diesem Fall eine Konstante (Parallele zur x-Achse) und hat dementsprechend keine Steigung. Obwohl Weg zurück gelegt wird, kann es im Schnitt also so aussehen, als hätte man sich gar nicht bewegt.

Aufgabe 1c: Das Wetter in Münster und Lubumbashi

Temperature curve, Münster, Lubumbashi

Die Höchsttemperatur von 20°C wurde in Münster um 18 Uhr erreicht, während in Lubumbashi bereits um 14 Uhr der höchste Wert von 35°C gemessen wurde. Zwischen 0 und 4 Uhr stieg die Temperatur in Münster um 2°C. Pro Stunde änderte sich die Temperatur somit um 0,5°C. Im gleichen Zeitraum ist in Lubumbashi eine durchschnittliche Temperaturänderung von 0,5°C zu verzeichnen. Der größte Temperaturanstieg erfolgte in Lubumbashi zwischen 8 und 10 Uhr. Die Temperatur fiel am schnellsten zwischen 18 und 20 Uhr in Lubumbashi.

Unterscheidung von durchschnittlicher und momentaner Änderungsrate

In dieser Aufgabe erwarten dich zwei Teilaufgaben. In der ersten kannst du trainieren, wann die durchschnittliche und wann die momentane Änderungsrate zu berechnen ist. In Teilaufgabe b) wird das Erlernte dann vertieft. Diese Teilaufgabe ist besonders geeignet, wenn du in Teilaufgabe a) sehr sicher warst und danach eine Herausforderung suchst.

{{Aufgaben|2a: Entscheidungen im Kontext treffen|

In diesem Video wird noch einmal am Beispiel der Geschwindigkeit erläutert, wie die Entscheidung zwischen momentaner Änderungsrate und durchschnittlicher Änderungsrate zu treffen ist:

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Aufgabe 2b: Reflexion der Entscheidungen

Formuliere in deinem Heft, woran du die Entscheidung für die momentane oder durchschnittliche Änderungsrate festmachst!

Im Kontext der verstrichenen Zeit in Abhängigkeit einer anderen Größe muss die momentane Änderungsrate angewendet werden, wenn es sich um einen Zeitpunkt handelt. Bei einer Zeitspanne wird die durchschnittliche Änderungsrate benötigt.

Von der durchschnittlichen zur momentanen Änderungsrate - eine Fahrradtour durch Münster

In dieser Aufgabe erwarten dich fünf Teilaufgaben. In der ersten sollst du zunächst aus einem Video Daten extrahieren. In den Teilaufgaben b) und c) sollen dann anhand dieser Daten durchschnittliche Änderungsraten berechnet werden. In Teilaufgabe d) kannst du überprüfen, wie gut du die Bedeutung der durchschnittlichen Änderungsrate schon verstanden hast. In der letzten Teilaufgabe kannst du dann selber graphisch ausprobieren, wie aus der durchschnittlichen Änderungsrate die momentane Änderungsrate wird.
Die ersten drei Teilaufgaben zeigen also noch einmal anhand einer realen Situation, wann die durchschnittliche Änderungsrate im Alltag zum Einsatz kommt und die Teilaufgaben d) und e) helfen dir, dein Verständnis zu überprüfen und zu verbessern.

Aufgabe 3a: Fahrradfahren durch Münster

Eine Gruppe Touristen macht eine Sightseeing-Tour mit dem Fahrrad durch Münster. Sie starten in der Nähe von Münsters Schloss. Nachfolgend siehst du eine Video-Aufnahme,

die einer der Touristen auf der Tour aufnimmt. Übertrage folgende Tabelle in dein Heft:

Nr.	Streckenabschnitt	Zeit (Sek)	Entfernung (m)
1	Beginn der Aufnahme in der Frauenstraße		0
2	Abbiegen auf den Rad- & Fußweg an der eingerüsteten Überwasserkirche		150
3	Ankunft am Dom		400

it in dem Moment des Abbiegens. </popup>