Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Winkel und Skalarprodukt (Vektoren bzw. Geraden): Unterschied zwischen den Versionen

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* ... geometrische Objekte und Situationen im Raum mit Hilfe des Skalarprodukts zu untersuchen.
 
* ... geometrische Objekte und Situationen im Raum mit Hilfe des Skalarprodukts zu untersuchen.
  
 
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(vgl. Kernlehrplan NRW Sek. II)
 
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:
 
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:
  
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{{Lösung versteckt|1= Der Betrag eines Vektors ist im geometrischen Sinne seine Länge. Die Formel zur Berechnung des Betrags lautet: <math> | \vec{u} | = | \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} | = \sqrt{u_1 ^2 + u_2 ^2 + u_3^2} </math>  
 
{{Lösung versteckt|1= Der Betrag eines Vektors ist im geometrischen Sinne seine Länge. Die Formel zur Berechnung des Betrags lautet: <math> | \vec{u} | = | \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} | = \sqrt{u_1 ^2 + u_2 ^2 + u_3^2} </math>  
Wenn du darüber noch mehr wissen möchtest, schaue dir Lernpfadkapitel [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Punkte und Vektoren im Raum]] an.
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Wenn du darüber noch mehr wissen möchtest, schaue dir das Lernpfadkapitel [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Punkte und Vektoren im Raum]] an.
 
|2= Erinnerung|3= Einklappen}}
 
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|2= Zwei Vektoren sind orthogonal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt null ist.
 
|2= Zwei Vektoren sind orthogonal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt null ist.
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{{Lösung versteckt|1= "Orthogonal" bedeutet, dass die Vektoren im 90°-Winkel zueinander stehen.
 
{{Lösung versteckt|1= "Orthogonal" bedeutet, dass die Vektoren im 90°-Winkel zueinander stehen.
 
|2= Tipp|3= Einklappen}}
 
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{{Box|1=Satz: Sonderfälle
 
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{<math> \mathbf{a)} \vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ u_2 \\ 3 \end{pmatrix} , \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} </math>}
 
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{<math> \mathbf{c)} \vec{u} = \begin{pmatrix} u_1 \\ 1 \\ 63 \end{pmatrix} , \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} </math>}
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|3= Arbeitsmethode}}
 
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{{Box|1= Aufgabe 7: Räumliches Vorstellungsvermögen
 
{{Box|1= Aufgabe 7: Räumliches Vorstellungsvermögen
 
|2= Sei <math> \vec{u} \perp \vec{v} </math> und <math> \vec{v} \perp \vec{w} </math>. Was lässt sich im zweidimensionalen Raum <math> \R^2 </math> über die Beziehung von <math> \vec{u} </math> und <math> \vec{w} </math> sagen?
 
|2= Sei <math> \vec{u} \perp \vec{v} </math> und <math> \vec{v} \perp \vec{w} </math>. Was lässt sich im zweidimensionalen Raum <math> \R^2 </math> über die Beziehung von <math> \vec{u} </math> und <math> \vec{w} </math> sagen?
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{{Lösung versteckt|1= Das <math> \perp </math> in <math> \vec{u} \perp \vec{v} </math> bedeutet, dass die Vektoren <math> \vec{u} </math> und <math> \vec{v} </math> orthogonal zueinander sind.
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{{Lösung versteckt|1= <math> \vec{u} </math> und <math> \vec{w} </math> sind parallel zueinander, d.h. <math> \vec{u} \parallel \vec{w} </math>.
 
|2= Lösung|3= Einklappen}}
 
|2= Lösung|3= Einklappen}}
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|2= Tipp|3= Einklappen}}
 
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{{Lösung versteckt|1= <math> \vec{u} </math> und <math> \vec{w} </math> sind nicht zwangsweise parallel zueinander. Durch die drei Dimensionen können sie drei unterschiedliche Richtungen haben. Dies lässt sich schon allein durch das Betrachten eines dreidimensionalen Koordinatensystems veranschaulichen.
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{{Lösung versteckt|1= <math> \vec{u} </math> und <math> \vec{w} </math> sind nicht zwangsweise parallel zueinander. Genau genommen weiß man erst einmal gar nichts über ihre Lage. Durch die drei Dimensionen können sie drei unterschiedliche Richtungen haben. Dies lässt sich schon allein durch das Betrachten eines dreidimensionalen Koordinatensystems veranschaulichen.
 
|2= Lösung|3= Einklappen}}
 
|2= Lösung|3= Einklappen}}
  
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{{Box|1= Aufgabe 8: Räumliches Vorstellungsvermögen
 
{{Box|1= Aufgabe 8: Räumliches Vorstellungsvermögen
|2= Wie häufig wird das Skalarprodukt zwischen den (als Vektoren gedeuteten) Zeiger einer Uhr täglich null?
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|2= Wie häufig wird das Skalarprodukt zwischen den (als Vektoren gedeuteten) Zeigern einer Uhr täglich null?
  
 
{{Lösung versteckt|1=  
 
{{Lösung versteckt|1=  
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| 2= Wenn sich zwei Geraden schneiden, kann man einen Schnittwinkel berechnen.
 
| 2= Wenn sich zwei Geraden schneiden, kann man einen Schnittwinkel berechnen.
Um den Schnittwinkel zwischen zwei Vektoren zu berechnen, betrachtest du lediglich die Richtungsvektoren der Geraden.
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Um den Schnittwinkel zwischen zwei Geraden zu berechnen, betrachtest du lediglich die Richtungsvektoren der Geraden.
  
 
{{Lösung versteckt|1= Mache dich mit den Eigenschaften von Geraden vertraut. Es gibt vier mögliche Lagen zweier Geraden:  
 
{{Lösung versteckt|1= Mache dich mit den Eigenschaften von Geraden vertraut. Es gibt vier mögliche Lagen zweier Geraden:  
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|2= Berechne den Schnittwinkel der Geraden <math> g </math> und <math> h </math>. <math> r, s \in \mathbb{R} </math>.
 
|2= Berechne den Schnittwinkel der Geraden <math> g </math> und <math> h </math>. <math> r, s \in \mathbb{R} </math>.
  
<math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} </math>;
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<math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
  
  
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{{Lösung versteckt
 
{{Lösung versteckt
 
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# Skalarprodukt der Richtungsvektoren berechnen
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1. Skalarprodukt der Richtungsvektoren berechnen
 
<math> \vec{u} \ast \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}  
 
<math> \vec{u} \ast \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}  
 
= 1 \cdot 1 + 3 \cdot (-1) + 0 \cdot 3 = -2 </math>
 
= 1 \cdot 1 + 3 \cdot (-1) + 0 \cdot 3 = -2 </math>
  
# Länge der Richtungsvektoren berechnen
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2. Länge der Richtungsvektoren berechnen
 
<math> |\vec{u}| = \sqrt{1^2+3^2+0^2} = \sqrt{10} </math>
 
<math> |\vec{u}| = \sqrt{1^2+3^2+0^2} = \sqrt{10} </math>
  
 
<math> |\vec{v}| = \sqrt{1^2+(-1)^2+3^2} = \sqrt{11} </math>
 
<math> |\vec{v}| = \sqrt{1^2+(-1)^2+3^2} = \sqrt{11} </math>
  
# Ergebnisse in die Formel einsetzen
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3. Ergebnisse in die Formel einsetzen
 
Die in Schritt 1 und 2 berechneten Ergebnisse setzt du nun in die Formel ein
 
Die in Schritt 1 und 2 berechneten Ergebnisse setzt du nun in die Formel ein
  
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<math> \cos(\alpha) = \frac {|{-}2|}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{11}} = \frac{2}{\sqrt{110}} </math>
 
<math> \cos(\alpha) = \frac {|{-}2|}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{11}} = \frac{2}{\sqrt{110}} </math>
  
# Formel nach <math> \alpha </math> auflösen
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4. Formel nach <math> \alpha </math> auflösen
  <math> \alpha = \cos^{-1} (\frac{2}{\sqrt{110}}) \approx 79{,}01^\circ </math>
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  <math> \alpha = \arccos (\frac{2}{\sqrt{110}}) \approx 79{,}01^\circ </math>
  
Der Schnittwinkel zwischen den beiden Geraden g und h beträgt ca. <math> 79{,}01^\circ </math>
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Der Schnittwinkel zwischen den beiden Geraden <math>g</math> und <math>h</math> beträgt ca. <math> 79{,}01^\circ </math>
  
 
|Lösung anzeigen
 
|Lösung anzeigen
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Aufgabe 11: Innenwinkel eines Dreiecks
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{{Box|1= Aufgabe 11: Innenwinkel eines Dreiecks
  
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(-3|2|-1), B(-1|-1|-3) und S(3|7|-1) sowie die Geraden <math> g=AB </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} </math> gegeben.
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|2= In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(-3|2|-1), B(-1|-1|-3) und S(3|7|-1) sowie die Geraden <math> g=AB </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} </math> gegeben.
  
 
'''Bestimme die Größe der Innenwinkel des Dreiecks ABS.'''
 
'''Bestimme die Größe der Innenwinkel des Dreiecks ABS.'''
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|Lösung verbergen
 
|Lösung verbergen
 
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|3= Arbeitsmethode}}
  
  

Version vom 31. Mai 2021, 15:55 Uhr

Info

In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit dem Skalarprodukt und dem Winkel zwischen zwei Vektoren beziehungsweise dem Winkel zwischen zwei Geraden. Du lernst...

  • ... das Skalarprodukt zu berechnen und geometrisch zu deuten.
  • ... Vektoren und Geraden mit Hilfe des Skalarprodukts auf Orthogonalität zu überprüfen.
  • ... den Winkel zwischen Vektoren und Geraden zu berechnen.
  • ... geometrische Objekte und Situationen im Raum mit Hilfe des Skalarprodukts zu untersuchen.

(vgl. Kernlehrplan NRW Sek. II) Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:

  • Mit Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
  • Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit
  • und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.
Wir wünschen dir viel Erfolg!

Skalarprodukt

In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit dem Skalarprodukt. Dieses ist ein wichtiger Bestandteil, um im weiteren Verlauf den Winkel zwischen zwei Vektoren und zwei Geraden berechnen zu können.

Definitionen und Eigenschaften

Definition: Skalarprodukt

Für die beiden Vektoren und kann man das Skalarprodukt berechnen mit .

Als Ergebnis des Skalarprodukts erhälst du keinen Vektor, sondern eine reelle Zahl.


Eigenschaften des Skalarprodukts

Für das Skalarprodukt gilt das...

  • Kommutativgesetz. Es gilt also .
  • Distributivgesetz. Es gilt also .
  • Assoziativgesetz. Es gilt also mit .


Du hast immer noch keine genaue Vorstellung davon, wie du das Skalarprodukt zweier Vektoren berechnen kannst? Dann schaue dir das Video zum Thema Skalarprodukt an:


Übungen

Aufgabe 1: Das Skalarprodukt berechnen

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren und . Notiere dein Ergebnis in dem jeweiligen Kästchen.


Aufgabe 2: Skalarprodukt oder Multiplikation?

Entscheide in den folgenden Aufgaben, ob es sich um ein Skalarprodukt oder eine Multiplikation handelt.


Bei der Multiplikation von zwei reellen Zahlen erhältst du wieder eine reelle Zahl. Das Skalarprodukt von zwei Vektoren liefert jedoch nicht einen Vektor, sondern ebenfalls eine reelle Zahl.


Aufgabe 3: Beweis des Distributivgesetzes

Beweise das Distributivgesetz, also .

Schreibe zunächst den Vektor als Spaltenvektor und überlege dir, was das Skalarprodukt bedeutet.
Löse die Klammern auf und sortiere die Terme sinnvoll.

1. Den Vektor als Spaltenvektor darstellen.

2. Die Klammern mit Hilfe des Skalarprodukts auflösen.

3. Die Terme sortieren.

4. Die Terme zusammenfassen.


Winkel

Im Folgenden schauen wir uns den Umgang mit Winkeln zwischen Vektoren und Geraden an.

Einführung

Definition: Winkel zwischen zwei Vektoren

Die beiden Vektoren und haben den Innenwinkel .

Es gilt:

Stellt man die Formel nach um, erhält man: .

Der Betrag eines Vektors ist im geometrischen Sinne seine Länge. Die Formel zur Berechnung des Betrags lautet:

Wenn du darüber noch mehr wissen möchtest, schaue dir das Lernpfadkapitel Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Punkte und Vektoren im Raum an.


Merksatz: Orthogonalität

Zwei Vektoren sind orthogonal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt null ist.

"Orthogonal" bedeutet, dass die Vektoren im 90°-Winkel zueinander stehen.


Satz: Sonderfälle

Neben dem Sonderfall der Orthogonalität gibt es noch zwei weitere:

Wenn , dann haben die beiden Vektoren die gleiche Richtung.

Wenn , dann haben die beiden Vektoren entgegengesetzte Richtungen.
Video

Du hast immer noch keine genaue Vorstellung davon, wie du den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen kannst? Dann schaue dir das Video an:

Aufgaben

Winkel zwischen zwei Vektoren

Aufgabe 4: Winkelberechnung

Berechne die Größe des Winkels zwischen den Vektoren und . Du darfst dafür deinen Taschenrechner verwenden. Runde das Ergebnis auf die zweite Nachkommastelle.

1

2

3


Aufgabe 5: Orthogonalität I

Stehen die Vektoren senkrecht (orthogonal) aufeinander?


Aufgabe 6: Orthogonalität II

Bestimme die fehlende Koordinate so, dass die Vektoren und orthogonal zueinander sind.

1

2

3


Aufgabe 7: Räumliches Vorstellungsvermögen

Sei und . Was lässt sich im zweidimensionalen Raum über die Beziehung von und sagen?

Das in bedeutet, dass die Vektoren und orthogonal zueinander sind.
und sind parallel zueinander, d.h. .

Im Vergleich dazu: Was lässt sich über die Beziehung von und im dreidimensionalen Raum sagen?

Du kannst dir einen Körper als Hilfe nehmen. Denke zum Beispiel an einen Würfel. Wenn es dir hilft, mache eine kleine Skizze zur Veranschaulichung.
und sind nicht zwangsweise parallel zueinander. Genau genommen weiß man erst einmal gar nichts über ihre Lage. Durch die drei Dimensionen können sie drei unterschiedliche Richtungen haben. Dies lässt sich schon allein durch das Betrachten eines dreidimensionalen Koordinatensystems veranschaulichen.


Aufgabe 8: Räumliches Vorstellungsvermögen

Wie häufig wird das Skalarprodukt zwischen den (als Vektoren gedeuteten) Zeigern einer Uhr täglich null?

Mache dir zunächst einmal klar, was es für die Uhrzeiger bedeutet, wenn ihr Skalarprodukt null ist.
Wie häufig wird das Skalarprodukt innerhalb von einer Stunde null?

Jede Stunde befinden sich die beiden Uhrzeiger zweimal orthogonal zueinander. Viermal am Tag, nämlich zu den Uhrzeiten 3, 9, 15 und 21Uhr, zählt der rechte Winkel zweimal.

Damit ergibt sich, dass das Skalarprodukt der beiden Uhrzeiger täglich 48 - 4 = 44 Mal null beträgt.


Winkel zwischen zwei Geraden

In diesem Abschnitt lernst du, wie man den Schnittwinkel zweier Geraden berechnet. Dabei sind die beiden Geraden in Parameterform gegeben.

Wenn du nicht mehr weißt, wie man eine Geradengleichung aufstellt, schau dir das Lernpfadkapitel Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Geraden im Raum an.


Schnittwinkel

Wenn sich zwei Geraden schneiden, kann man einen Schnittwinkel berechnen. Um den Schnittwinkel zwischen zwei Geraden zu berechnen, betrachtest du lediglich die Richtungsvektoren der Geraden.

Mache dich mit den Eigenschaften von Geraden vertraut. Es gibt vier mögliche Lagen zweier Geraden:

1. echt parallele Geraden,

2. identische Geraden,

3. windschiefe Geraden,

4. sich schneidende Geraden.


Schnittwinkel zwischen zwei Geraden
Mit dem Schnittwinkel ist immer der spitze Winkel zwischen zwei Geraden und nie der Stumpfwinkel gemeint, d.h. . Aus diesem Grund wird im Zähler der Winkelformel auch der Betrag verwendet.


Schnittwinkel zweier Geraden - Formel

Gegeben sind zwei sich schneidende Geraden in Parameterform

Die Formel zur Berechnung des Schnittwinkels der beiden Geraden lautet

.


Vorgehensweise
  1. Skalarprodukt der Richtungsvektoren berechnen
  2. Länge der Richtungsvektoren berechnen
  3. Ergebnisse in die Formel einsetzen
  4. Formel nach auflösen


Aufgabe 9: Schnittwinkel berechnen

Berechne den Schnittwinkel der Geraden und . .



1. Skalarprodukt der Richtungsvektoren berechnen

2. Länge der Richtungsvektoren berechnen

3. Ergebnisse in die Formel einsetzen Die in Schritt 1 und 2 berechneten Ergebnisse setzt du nun in die Formel ein

und erhältst somit

4. Formel nach auflösen


Der Schnittwinkel zwischen den beiden Geraden und beträgt ca.


Aufgabe 10: Zusammenfassung

Die folgende Aufgabe besteht darin, diesen Lückentext mit den fehlenden Begriffen zu vervollständigen. Wenn du auf das jeweilige Feld tippst, erscheinen dir Antwortmöglichkeiten, unter denen du auswählen kannst.


2
-1), B(-1



Wie geht es nun weiter?

Wenn du alle Aufgaben richtig beantwortet hast:

  • Suche dir aus den folgenden Kapiteln eines (oder mehrere) aus. In jedem Kapitel gibt es auch Knobelaufgaben, mit denen du dich beschäftigen kannst.

Wenn du einen oder auch mehrere Fehler gemacht hast: