Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Winkel und Skalarprodukt (Vektoren bzw. Geraden): Unterschied zwischen den Versionen

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* ... geometrische Objekte und Situationen im Raum mit Hilfe des Skalarprodukts zu untersuchen.
 
* ... geometrische Objekte und Situationen im Raum mit Hilfe des Skalarprodukts zu untersuchen.
  
Dazu haben wir für dich Übungen in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:
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Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:
  
 
*Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen.
 
*Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen.
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===Übungen===
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===Aufgaben===
  
 
{{Box|1= Aufgabe 1: Das Skalarprodukt berechnen
 
{{Box|1= Aufgabe 1: Das Skalarprodukt berechnen
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<math> \vec{u} \ast ( \vec{v} + \vec{w}) = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} \ast (\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{pmatrix})</math>
 
<math> \vec{u} \ast ( \vec{v} + \vec{w}) = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} \ast (\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{pmatrix})</math>
  
2. Addiere die Vektoren <math> \vec{u}, \vec{v} </math> und <math> \vec{w} </math> komponentenweise.
+
2. Addiere die Vektoren <math> \vec{v} </math> und <math> \vec{w} </math> komponentenweise.
  
<math> = u_1 \cdot \vec{v} + u_1 \cdot \vec{w} + u_2 \cdot \vec{v} + u_2 \cdot \vec{w} + u_3 \cdot \vec{v} + u_3 \cdot \vec{w} </math>
+
<math> = \vec{u} \ast \begin{pmatrix} v_1 + w_1 \\ v_2 + w_2 \\ v_3 + w_3 \end{pmatrix} </math>
  
3. Sortiere die Terme sinnvoll.
+
3. Wende die Formel für das Skalarprodukt an.
  
<math> = u_1 \cdot \vec{v} + u_2 \cdot \vec{v} + u_3 \cdot \vec{v} + u_1 \cdot \vec{w} + u_2 \cdot \vec{w} + u_3 \cdot \vec{w} </math>
+
<math> = u_1 \cdot (v_1 + w_1) + u_2 \cdot (v_2 + w_2) + u_3 \cdot (v_3 + w_3) </math>
  
4. Fasse die Terme zusammen.
+
4. Multipliziere die Klammern aus (Distributivgesetz der reellen Zahlen).
 +
 
 +
<math> = u_1 \cdot v_1 + u_1 \cdot w_1 + u_2 \cdot v_2 + u_1 \cdot w_2 + u_3 \cdot v_3 + u_1 \cdot w_3 </math>
 +
 
 +
5. Sortiere die Summen (Kommutativgesetz der reellen Zahlen).
 +
 
 +
<math> = u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2 + u_3 \cdot v_3 + u_1 \cdot w_1 + u_1 \cdot w_2 + u_1 \cdot w_3 </math>
 +
 
 +
6. Wende die Formel für das Skalarprodukt "rückwärts" an.
  
 
<math> = \vec{u} \ast \vec{v} + \vec{u} \ast \vec{w} </math>
 
<math> = \vec{u} \ast \vec{v} + \vec{u} \ast \vec{w} </math>
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{{Lösung versteckt|1= Der Betrag eines Vektors ist im geometrischen Sinne seine Länge. Die Formel zur Berechnung des Betrags lautet: <math> | \vec{u} | = | \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} | = \sqrt{u_1 ^2 + u_2 ^2 + u_3^2} </math>  
 
{{Lösung versteckt|1= Der Betrag eines Vektors ist im geometrischen Sinne seine Länge. Die Formel zur Berechnung des Betrags lautet: <math> | \vec{u} | = | \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} | = \sqrt{u_1 ^2 + u_2 ^2 + u_3^2} </math>  
Wenn du darüber noch mehr wissen möchtest, schaue dir das Lernpfadkapitel [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Punkte und Vektoren im Raum]] an.
+
Wenn du darüber noch mehr wissen möchtest, schaue dir das Lernpfadkapitel [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Punkte und Vektoren im Raum|Punkte und Vektoren im Raum]] an.
 
|2= Erinnerung|3= Einklappen}}
 
|2= Erinnerung|3= Einklappen}}
  
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|3=Merksatz}}
 
|3=Merksatz}}
  
===Übungen===
+
===Aufgaben===
 
====Winkel zwischen zwei Vektoren====
 
====Winkel zwischen zwei Vektoren====
 
{{Box|1= Aufgabe 7: Winkelberechnung
 
{{Box|1= Aufgabe 7: Winkelberechnung
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====Winkel zwischen zwei Geraden====
 
====Winkel zwischen zwei Geraden====
  
In diesem Abschnitt lernst du, wie man den '''Schnittwinkel''' zweier Geraden berechnet. Dabei sind die beiden Geraden in Parameterform gegeben.
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In diesem Abschnitt lernst du, wie man den '''Winkel''' zwischen zwei Geraden berechnet. Dabei sind die beiden Geraden in Parameterform gegeben.
  
{{Lösung versteckt|1= Wenn du nicht mehr weißt, wie man eine Geradengleichung aufstellt, schau dir das Lernpfadkapitel [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Geraden im Raum]] an.
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{{Lösung versteckt|1= Wenn du nicht mehr weißt, wie man eine Geradengleichung aufstellt, schau dir das Lernpfadkapitel [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Geraden im Raum|Geraden im Raum]] an.
 
|2= Tipp|3= Einklappen}}
 
|2= Tipp|3= Einklappen}}
  
{{Box|1= Schnittwinkel zweier Geraden
+
{{Box|1=Winkel zwischen zweier Geraden
|2= Wenn sich zwei Geraden schneiden, kann man einen Schnittwinkel berechnen.
+
|2=Auch zwischen zwei Geraden kann man einen Winkel berechnen, sogar dann, wenn sich die Geraden gar nicht schneiden.
Um den Schnittwinkel zwischen zwei Geraden zu berechnen, betrachtest du lediglich die Richtungsvektoren der Geraden.
+
Um den Winkel zu berechnen, in den zwei Geraden zueinander stehen, betrachtest du lediglich die Richtungsvektoren der Geraden.
 
 
{{Lösung versteckt|1= Mache dich mit den Eigenschaften von Geraden vertraut. Es gibt vier mögliche Lagen zweier Geraden:
 
 
 
1. echt parallele Geraden,
 
 
 
2. identische Geraden,
 
 
 
3. windschiefe Geraden,
 
 
 
4. sich schneidende Geraden.
 
 
 
Gegeben sind zwei sich schneidende Geraden in Parameterform
 
  
*<math> g \colon \vec{x} = \vec{a} + r \vec{u} </math>
+
{{Lösung versteckt|1=Die Formel zur Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren lautet
*<math> h \colon \vec{x} = \vec{b} + s \vec{v} </math>
 
 
 
Die Formel zur Berechnung des Schnittwinkels der beiden Geraden lautet
 
  
 
<math> \cos(\alpha) = \frac {\vec{u} \ast \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} </math>. |2= Erinnerung|3= Einklappen}}
 
<math> \cos(\alpha) = \frac {\vec{u} \ast \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} </math>. |2= Erinnerung|3= Einklappen}}
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4. Formel nach <math> \alpha </math> auflösen
 
4. Formel nach <math> \alpha </math> auflösen
 +
 +
5. ggf. spitzen Winkel berechnen (siehe nächste Box)
 
|2= Vorgehensweise
 
|2= Vorgehensweise
 
|3= Einklappen}}
 
|3= Einklappen}}
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|3= Merksatz}}
 
|3= Merksatz}}
  
{{Box|Schnittwinkel zwischen zwei Geraden|Mit dem Schnittwinkel ist immer der spitze Winkel zwischen zwei Geraden und nie der Stumpfwinkel gemeint, d.h. <math> 0^\circ \leq \alpha \leq 90^\circ </math>. Aus diesem Grund wird im Zähler der Winkelformel auch der Betrag verwendet.|3= Merksatz}}
+
{{Box|Winkel zwischen zwei Geraden|Mit dem Winkel ist immer der spitze Winkel zwischen zwei Geraden und nie der Stumpfwinkel gemeint, d. h. <math> 0^\circ \leq \beta < 90^\circ </math>. Dies wird in der Formel nicht berücksichtigt. Stattdessen muss man, falls <math> \alpha \geq 90^\circ </math>, noch <math> \beta = 180^\circ - \alpha </math> berechnen. Der gesuchte Winkel ist dann <math> \beta </math>.|3= Merksatz}}
  
{{Box|1= Aufgabe 9: Schnittwinkel berechnen
+
{{Box|1= Aufgabe 9: Winkel berechnen
|2= Berechne den Schnittwinkel der Geraden <math> g </math> und <math> h </math>. <math> r, s \in \mathbb{R} </math>.
+
|2= Berechne den Winkel zwischen den Geraden <math> g </math> und <math> h </math>. <math> r, s \in \mathbb{R} </math>.
  
 
<math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
 
<math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
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<math> |\vec{v}| = \sqrt{1^2+(-1)^2+3^2} = \sqrt{11} </math>
 
<math> |\vec{v}| = \sqrt{1^2+(-1)^2+3^2} = \sqrt{11} </math>
  
3. Ergebnisse in die Formel einsetzen
+
3. Ergebnisse in die Formel einsetzen: Die in Schritt 1 und 2 berechneten Ergebnisse setzt du nun in die Formel ein.
Die in Schritt 1 und 2 berechneten Ergebnisse setzt du nun in die Formel ein
 
  
 
<math> \cos(\alpha) = \frac {\vec{u} \ast \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} </math>
 
<math> \cos(\alpha) = \frac {\vec{u} \ast \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} </math>
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und erhältst somit
 
und erhältst somit
  
<math> \cos(\alpha) = \frac {|{-}2|}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{11}} = \frac{2}{\sqrt{110}} </math>
+
<math> \cos(\alpha) = \frac {-2}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{11}} </math>
  
 
4. Formel nach <math> \alpha </math> auflösen
 
4. Formel nach <math> \alpha </math> auflösen
<math> \alpha = \cos^{-1} (\frac{2}{\sqrt{110}}) \approx 79{,}01^\circ </math>
 
  
Der Schnittwinkel zwischen den beiden Geraden <math>g</math> und <math>h</math> beträgt ca. <math> 79{,}01^\circ </math>
+
<math> \alpha = \cos^{-1} (\frac{-2}{\sqrt{110}}) \approx 101^\circ </math>
 +
 
 +
5. spitzen Winkel berechnen, da <math> \alpha \geq 90^\circ </math>
 +
 
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<math> \beta = 180^\circ - 101^\circ = 79^\circ </math>
 +
 
 +
Der Schnittwinkel zwischen den beiden Geraden <math>g</math> und <math>h</math> beträgt ca. <math> 79^\circ </math>
  
 
|Lösung anzeigen
 
|Lösung anzeigen
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1. Die Richtungsvektoren zwischen den Ortsvektoren bestimmen:
 
1. Die Richtungsvektoren zwischen den Ortsvektoren bestimmen:
  
<math> \vec{a} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2\\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} </math>
+
<math> \vec{a} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 2\\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} </math>
  
<math> \vec{b} = \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} </math>
+
<math> \vec{b} = \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} </math>
  
 
<math> \vec{c} = \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
 
<math> \vec{c} = \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
 
  
 
Betrachten wir das Skalarprodukt der Vektoren <math> \vec{b}</math> und <math> \vec{c}</math>:
 
Betrachten wir das Skalarprodukt der Vektoren <math> \vec{b}</math> und <math> \vec{c}</math>:
<math> \vec{b} \ast \vec{c} = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = (-2) \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 2 \cdot 2 = - 2 + 2 = 0</math>.
+
<math> \vec{b} \ast \vec{c} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = 2 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + (-2) \cdot 2 = 2 + 0 + (-2) = 0</math>.
  
Dann wissen wir, wenn das Skalarprodukt null ist, dass der Winkel <math> \alpha</math> zwischen den Vektoren <math> \vec{b}</math> und <math> \vec{c}</math> null ist, also <math> \alpha = 0^\circ</math>.
+
Dann wissen wir, wenn das Skalarprodukt null ist, dass die beiden Vektoren <math> \vec{b}</math> und <math> \vec{c} </math> orthogonal zueinander stehen, also <math> \alpha = 90^\circ</math>.
  
 
2. Die Länge der Richtungsvektoren bestimmen:
 
2. Die Länge der Richtungsvektoren bestimmen:
  
<math> |\vec{a}| = \sqrt{(-1)^2+1^2+3^2} = \sqrt{11} </math>
+
<math> |\vec{a}| = \sqrt{1^2+(-1)^2+(-3)^2} = \sqrt{11} </math>
  
<math> |\vec{b}| = \sqrt{(-2)^2+0^2+2^2} = \sqrt{8} </math>
+
<math> |\vec{b}| = \sqrt{2^2+0^2+(-2)^2} = \sqrt{8} </math>
  
 
<math> |\vec{c}| = \sqrt{1^2+1^2+1^2} = \sqrt{3} </math>
 
<math> |\vec{c}| = \sqrt{1^2+1^2+1^2} = \sqrt{3} </math>
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Diese Längen entsprechen auch den '''Seitenlängen''' des Dreiecks <math>ABC</math>.
 
Diese Längen entsprechen auch den '''Seitenlängen''' des Dreiecks <math>ABC</math>.
  
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3. Winkel <math> \delta </math> zwischen den beiden Vektoren <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{c} </math> bestimmen:
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<math> \cos(\delta) = \frac {\vec{a} \ast \vec{c}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{c}|} </math>
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<math> \cos(\delta) = \frac {1+(-1)+(-3)}{\sqrt{11} \cdot \sqrt{3}} = \frac{-3}{\sqrt{33}} </math>
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4. Formel nach <math> \delta </math> auflösen
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<math> \delta = \cos^{-1} \left(\frac{-3}{\sqrt{33}} \right) \approx 121{,}5^\circ </math>
  
3. Winkel <math> \beta </math> zwischen den beiden Vektoren <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{c} </math> bestimmen:
+
Da wir bereits wissen, dass <math> \alpha = 90^\circ</math>, kann der Dreiecksinnenwinkel beim Punkt <math>B</math> nicht <math> 121{,}5^\circ </math> sein, da die Winkelsumme sonst bereits bei <math> 90^\circ + 121{,}5^\circ = 211{,}5^\circ > 180^\circ </math> liegen würde. Also berechnen wir den Winkel:
  
<math> \cos(\beta) = \frac {\vec{a} \ast \vec{c}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{c}|} </math>
+
5. spitzen Winkel berechnen
  
<math> \cos(\beta) = \frac {-1+1+3}{\sqrt{11} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{33}} </math>
+
<math> \beta = 180^\circ - 121{,}5^\circ = 58{,}5^\circ </math>  
  
<math> \beta = \cos^{-1} \left(\frac{3}{\sqrt{33}} \right) \approx 58{,}52^\circ </math>
+
Den dritten Innenwinkel können wir anschließend wie folgt berechnen:
  
<math> \gamma = 180^\circ - \alpha - \beta = 90^\circ - 58{,}52^\circ = 31{,}18^\circ </math>
+
<math> \gamma = 180^\circ - \alpha - \beta = 180^\circ - 90^\circ - 58{,}5^\circ = 31{,}5^\circ </math>
  
Die '''Innenwinkel''' des Dreiecks <math> ABC </math> sind <math> \alpha = 90^\circ, \beta = 58{,}52^\circ \text{ und } \gamma = 31{,}18^\circ.</math>
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Die '''Innenwinkel''' des Dreiecks <math> ABC </math> sind <math> \alpha = 90^\circ, \beta = 58{,}5^\circ \text{ und } \gamma = 31{,}5^\circ.</math>
 
|Lösung anzeigen
 
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|Lösung verbergen
 
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|3= Arbeitsmethode}}
 
|3= Arbeitsmethode}}
  
 
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{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_–_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum#Kapitelauswahl}}
{{Box|Wie geht es nun weiter?|'''Wenn du alle Aufgaben richtig beantwortet hast:'''
 
*Suche dir aus den folgenden Kapiteln eines (oder mehrere) aus. In jedem Kapitel gibt es auch Knobelaufgaben, mit denen du dich beschäftigen kannst.
 
 
 
'''Wenn du einen oder auch mehrere Fehler gemacht hast:'''
 
*bei den Aufgaben 1 - 3, gehe zum Kapitel [[/Punkte und Vektoren im Raum|Punkte und Vektoren im Raum]]
 
*bei den Aufgaben 4 - 6, gehe zum Kapitel [[/Geraden im Raum|Geraden im Raum]]
 
*bei den Aufgaben 7 - 9, gehe zum Kapitel [[/Winkel und Skalarprodukt (Vektoren bzw. Geraden)|Winkel und Skalarprodukt (Vektoren bzw. Geraden)]]
 
*bei den Aufgaben 10 - 12, gehe zum Kapitel [[/Ebenen im Raum|Ebenen im Raum]]
 
*bei den Aufgaben 13 - 15, gehe zum Kapitel [[/Lagebeziehungen und Winkel (Gerade und Ebene, 2 Ebenen)|Lagebeziehungen und Winkel (Gerade und Ebene, 2 Ebenen)]]
 
*bei den Aufgaben 16 - 18, gehe zum Kapitel [[/Abstände von Objekten im Raum|Abstände von Objekten im Raum]]
 
*bei den Aufgaben 19 - 21, gehe zum Kapitel [[/Lineare Gleichungssysteme|Lineare Gleichungssysteme]]|Frage
 
}}
 
  
 
{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
 
{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
 
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]
 
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Aktuelle Version vom 24. Juni 2021, 01:18 Uhr

Info

In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit dem Skalarprodukt und dem Winkel zwischen zwei Vektoren beziehungsweise dem Winkel zwischen zwei Geraden. Du lernst...

  • ... das Skalarprodukt zu berechnen und geometrisch zu deuten.
  • ... Vektoren und Geraden mit Hilfe des Skalarprodukts auf Orthogonalität zu überprüfen.
  • ... den Winkel zwischen Vektoren und Geraden zu berechnen.
  • ... geometrische Objekte und Situationen im Raum mit Hilfe des Skalarprodukts zu untersuchen.

Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:

  • Mit Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
  • Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit
  • und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.
Wir wünschen dir viel Erfolg!

Skalarprodukt und Orthogonalität

In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit dem Skalarprodukt. Dieses ist ein wichtiger Bestandteil, um im weiteren Verlauf den Winkel zwischen zwei Vektoren und zwei Geraden berechnen zu können. Außerdem betrachten wir den Sonderfall, wenn das Skalarprodukt null wird.

Definitionen und Eigenschaften

Definition: Skalarprodukt

Für die beiden Vektoren und kann man das Skalarprodukt berechnen mit .

Als Ergebnis des Skalarprodukts erhälst du keinen Vektor, sondern eine reelle Zahl.


Eigenschaften des Skalarprodukts

Für das Skalarprodukt gilt das...

  • Kommutativgesetz. Es gilt also .
  • Distributivgesetz. Es gilt also .
  • Assoziativgesetz. Es gilt also mit .


Merksatz: Orthogonalität

Zwei Vektoren sind orthogonal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt null ist.

"Orthogonal" bedeutet, dass die Vektoren im 90°-Winkel zueinander stehen.

Du hast immer noch keine genaue Vorstellung davon, wie du das Skalarprodukt zweier Vektoren berechnen kannst? Dann schaue dir das Video zum Thema Skalarprodukt an:


Aufgaben

Aufgabe 1: Das Skalarprodukt berechnen

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren und . Notiere dein Ergebnis in dem jeweiligen Kästchen.


Aufgabe 2: Skalarprodukt oder Multiplikation?

Entscheide in den folgenden Aufgaben, ob es sich um ein Skalarprodukt oder eine Multiplikation handelt.


Bei der Multiplikation von zwei reellen Zahlen erhältst du wieder eine reelle Zahl. Das Skalarprodukt von zwei Vektoren liefert jedoch nicht einen Vektor, sondern ebenfalls eine reelle Zahl.


Aufgabe 3: Orthogonalität I

Stehen die Vektoren senkrecht (orthogonal) aufeinander?


Aufgabe 4: Orthogonalität II

Bestimme die fehlende Koordinate so, dass die Vektoren und orthogonal zueinander sind.

1

2

3


Aufgabe 5: Lagebeziehungen von Vektoren

Sei und . Lässt sich aus dieser Information die Lagebeziehung von und im zweidimensionalen Raum erschließen?

Das in bedeutet, dass die Vektoren und orthogonal zueinander sind.
und sind parallel zueinander, d.h. .

Gilt dies auch für den dreidimensionalen Raum ?

Du kannst dir einen Körper (z.B. einen Würfel) oder drei Stifte als Hilfe nehmen. Wenn es dir hilft, mache eine kleine Skizze zur Veranschaulichung.
und sind nicht zwangsweise parallel zueinander. Genau genommen weiß man erst einmal gar nichts über ihre Lage. Durch die drei Dimensionen können sie drei unterschiedliche Richtungen haben. Dies lässt sich schon allein durch das Betrachten eines dreidimensionalen Koordinatensystems veranschaulichen.


Aufgabe 6: Beweis des Distributivgesetzes

Beweise das Distributivgesetz, also .

Schreibe zunächst die Vektoren und als Spaltenvektoren und überlege dir, was das Skalarprodukt bedeutet.
Addiere die Vektoren komponentenweise und sortiere die Terme sinnvoll.

1. Schreibe die Vektoren und als Spaltenvektoren.

2. Addiere die Vektoren und komponentenweise.

3. Wende die Formel für das Skalarprodukt an.

4. Multipliziere die Klammern aus (Distributivgesetz der reellen Zahlen).

5. Sortiere die Summen (Kommutativgesetz der reellen Zahlen).

6. Wende die Formel für das Skalarprodukt "rückwärts" an.


Winkel

Im Folgenden schauen wir uns den Umgang mit Winkeln zwischen Vektoren und Geraden an.

Einführung

Definition: Winkel zwischen zwei Vektoren

Die beiden Vektoren und haben den Innenwinkel .

Es gilt:

Stellt man die Formel nach um, erhält man: .

Der Betrag eines Vektors ist im geometrischen Sinne seine Länge. Die Formel zur Berechnung des Betrags lautet:

Wenn du darüber noch mehr wissen möchtest, schaue dir das Lernpfadkapitel Punkte und Vektoren im Raum an.

Du hast immer noch keine genaue Vorstellung davon, wie du den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen kannst? Dann schaue dir das Video an:


Satz: Sonderfälle

Neben dem Sonderfall der Orthogonalität, d.h. mit , gibt es noch zwei weitere:

  • Wenn mit , dann haben die beiden Vektoren die gleiche Richtung.
  • Wenn mit , dann haben die beiden Vektoren entgegengesetzte Richtungen.

Außerdem lässt sich anhand des Skalarproduktes leicht erkennen, ob der Winkel zwischen den beiden Vektoren spitz oder stumpf ist:

  • Wenn das Skalarprodukt positiv ist, handelt es sich um einen spitzen Winkel, d.h. .
  • Wenn das Skalarprodukt negativ ist, handelt es sich um einen stumpfen Winkel, d.h. .

Aufgaben

Winkel zwischen zwei Vektoren

Aufgabe 7: Winkelberechnung

Berechne die Größe des Winkels zwischen den Vektoren und . Du darfst dafür deinen Taschenrechner verwenden. Runde das Ergebnis auf die zweite Nachkommastelle.

1

2

3


Aufgabe 8: Räumliches Vorstellungsvermögen

Wie häufig wird das Skalarprodukt zwischen den (als Vektoren gedeuteten) Zeigern einer Uhr täglich null?

Mache dir zunächst einmal klar, was es für die Uhrzeiger bedeutet, wenn ihr Skalarprodukt null ist.
Wie häufig wird das Skalarprodukt innerhalb von einer Stunde null?

Jede Stunde befinden sich die beiden Uhrzeiger zweimal orthogonal zueinander. Viermal am Tag, nämlich zu den Uhrzeiten 3, 9, 15 und 21 Uhr, gibt es nur den einen rechten Winkel, der die volle Stunde anzeigt.

Damit ergibt sich, dass das Skalarprodukt der beiden Uhrzeiger täglich 48 - 4 = 44 Mal null beträgt.


Winkel zwischen zwei Geraden

In diesem Abschnitt lernst du, wie man den Winkel zwischen zwei Geraden berechnet. Dabei sind die beiden Geraden in Parameterform gegeben.

Wenn du nicht mehr weißt, wie man eine Geradengleichung aufstellt, schau dir das Lernpfadkapitel Geraden im Raum an.


Winkel zwischen zweier Geraden

Auch zwischen zwei Geraden kann man einen Winkel berechnen, sogar dann, wenn sich die Geraden gar nicht schneiden. Um den Winkel zu berechnen, in den zwei Geraden zueinander stehen, betrachtest du lediglich die Richtungsvektoren der Geraden.

Die Formel zur Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren lautet

.

1. Skalarprodukt der Richtungsvektoren berechnen

2. Länge der Richtungsvektoren berechnen

3. Ergebnisse in die Formel einsetzen

4. Formel nach auflösen

5. ggf. spitzen Winkel berechnen (siehe nächste Box)


Winkel zwischen zwei Geraden
Mit dem Winkel ist immer der spitze Winkel zwischen zwei Geraden und nie der Stumpfwinkel gemeint, d. h. . Dies wird in der Formel nicht berücksichtigt. Stattdessen muss man, falls , noch berechnen. Der gesuchte Winkel ist dann .


Aufgabe 9: Winkel berechnen

Berechne den Winkel zwischen den Geraden und . .



1. Skalarprodukt der Richtungsvektoren berechnen

2. Länge der Richtungsvektoren berechnen

3. Ergebnisse in die Formel einsetzen: Die in Schritt 1 und 2 berechneten Ergebnisse setzt du nun in die Formel ein.

und erhältst somit

4. Formel nach auflösen

5. spitzen Winkel berechnen, da

Der Schnittwinkel zwischen den beiden Geraden und beträgt ca.


Aufgabe 10: Innenwinkel in einem Dreieck

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte , und gegeben.

Bestimme die Größe der Innenwinkel des Dreiecks sowie die Seitenlängen des Dreiecks.


1. Die Richtungsvektoren zwischen den Ortsvektoren bestimmen:

Betrachten wir das Skalarprodukt der Vektoren und : .

Dann wissen wir, wenn das Skalarprodukt null ist, dass die beiden Vektoren und orthogonal zueinander stehen, also .

2. Die Länge der Richtungsvektoren bestimmen:

Diese Längen entsprechen auch den Seitenlängen des Dreiecks .

3. Winkel zwischen den beiden Vektoren und bestimmen:

4. Formel nach auflösen

Da wir bereits wissen, dass , kann der Dreiecksinnenwinkel beim Punkt nicht sein, da die Winkelsumme sonst bereits bei liegen würde. Also berechnen wir den Winkel:

5. spitzen Winkel berechnen

Den dritten Innenwinkel können wir anschließend wie folgt berechnen:

Die Innenwinkel des Dreiecks sind