Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Punkte und Vektoren im Raum: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Box|1=Info
{{Box|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Punkten und Vektoren im Raum'''.  
|2= In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Punkten und Vektoren im Raum'''.  
Du lernst, das Prisma von anderen geometrischen Körpern abzugrenzen sowie die Oberfläche und das Volumen eines Prismas zu berechnen.
Du lernst die Grundlagen zum Thema Punkte und Vektoren. Dies Beinhaltet die Unterscheidung dieser beiden Begriffe, das Rechnen, Interpretieren und Anwenden im Sachzusammenhang.


Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:
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==Wiederholung von Punkten und Vektoren==
==Wiederholung von Punkten und Vektoren==
{{Box | Erinnerung: Punkte und Ortsvektoren | {{Lösung versteckt|1= Jeder Punkt lässt sich durch den Vektor beschreiben, der den Ursprung mit dem Punkt verbindet, dem '''Ortsvektor'''. Bei Punkten werden die Koordinaten direkt an den Namen des Punktes  geschrieben, der Name des Punktes wird immer groß geschrieben; bei Vektoren, also auch bei Ortsvektoren, werden die Koordinaten durch ein Gleichheitszeichen vom Namen des Vektors getrennt, der Name des Vektors wird manchmal mit einem Pfeil darüber versehen.
{{Box | 1=Merksatz |2= Jeder Punkt lässt sich durch den Vektor beschreiben, der den Ursprung auf diesen Punkt verschiebt, den '''Ortsvektor'''. Bei Punkten werden die Koordinaten direkt an den Namen des Punktes  geschrieben, der Name des Punktes wird immer groß geschrieben; bei Vektoren, also auch bei Ortsvektoren, werden die Koordinaten durch ein Gleichheitszeichen vom Namen des Vektors getrennt, der Name des Vektors wird manchmal mit einem Pfeil darüber versehen und meistens klein geschrieben.


Zum Punkt <math>A(1, 2, 3) </math> gehört also der Ortsvektor  <math>\vec {A} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} </math>. | 2=Infobox | 3=Einklappen}} | Merksatz}}
Zum Punkt <math>A(1|2|3) </math> gehört also der Ortsvektor  <math>\vec {a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} </math>.|3= Merksatz}}


==Koordinatensystem==
{{Box|1= Aufgabe 1: Koordinatensysteme|2= Für diese Aufgabe benötigst du einen Bleistift, ein kariertes Blatt Papier und ein Geodreieck. Bearbeite die folgenden Aufgaben.
{{Box|1= Aufgabe 1: Koordinatensysteme|2= Für diese Aufgabe benötigst du einen Bleistift, ein kariertes Blatt Papier und ein Geodreieck. Bearbeite die folgenden Aufgaben.
# Zeichne ein dreidimensionales Koordinatensystem. Wähle eine passende Skalierung anhand der angegebenen Punkte im Aufgabenteil 2 und 3.
 
# Zeichne die Punkte <math> A (1|2|1)</math>,<math> B(1|4|2)</math>, <math> C(1|2|-1,5)</math> und <math>  D(1|4|-0,5) </math> in das gezeichnete Koordinatensystem. Handelt es sich um eine Figur oder um einen Körper? Benenne den Körper.
#Zeichne ein dreidimensionales Koordinatensystem. Wähle eine passende Skalierung anhand der angegebenen Punkte im Aufgabenteil 2 und 3.
# Nutze den Punkt <math> A (1|2|1)</math> aus Aufgabenteil 2. Füge die Punkte <math> E (-1|2|1)</math>,<math> F(1|0|1)</math>, <math> G(-1|0|1)</math> und <math>  H(0|1|5) </math>. Handelt es sich um eine Figur oder um einen Körper?  
#Zeichne die Punkte <math> A (1|2|1)</math>,<math> B(1|4|2)</math>, <math> C(1|2|{-}1{,}5)</math> und <math>  D(1|4|{-}0{,}5) </math> in das gezeichnete Koordinatensystem. Zeichne nun die Verbindungsvektoren <math>\vec{ AB }</math> , <math>\vec{ AC }</math>,<math>\vec{ CD }</math> und <math>\vec{ BD }</math> ein. Handelt es sich um eine zweidimensionale Figur oder um einen Körper? Benenne sie oder ihn.
#Nutze den Punkt <math> A (1|2|1)</math> aus Aufgabenteil 2. Füge die Punkte <math> E (-1|2|1)</math>,<math> F(1|0|1)</math>, <math> G(-1|0|1)</math> und <math>  H(0|1|5) </math>. Zeichne nun die Verbindungsvektoren <math>\vec{ AE }</math>,<math>\vec{ AF }</math>, <math>\vec{ AH }</math>, <math>\vec{ EG }</math>, <math>\vec{ FG }</math>, <math>\vec{ FH }</math> , <math>\vec{ EH }</math> und <math>\vec{ GH }</math> ein. Handelt es sich um eine zweidimensionale Figur oder um einen Körper? Benenne sie oder ihn.


   
   
{{Lösung versteckt|1= Punkte in einem dreidimensionalen Koordinatensystem kannst du mithilfe eines "Pfad-Folge-Verfahren"  genau bestimmen. Dabei geht man die durch die Punktkoordinaten angegeben Längeneinheiten in die Richtung der jeweiligen Achsen. Das folgende Bild verdeutlicht das Verfahren.  
{{Lösung versteckt|1= Punkte in einem dreidimensionalen Koordinatensystem kannst du mithilfe eines "Pfad-Folge-Verfahren"  genau bestimmen. Dabei geht man die durch die Punktkoordinaten angegeben Längeneinheiten in die Richtung der jeweiligen Achsen. Es entsteht einen Koordinatenzug. Das folgende Bild verdeutlicht das Verfahren.  
 
[[Datei:Koordinatenzug.jpg|rahmenlos|500x500px|Koordinatenzug des Pfad-Folge-Verfahrens]]
|2= Tipp|3=Einklappen}}
 


[[Datei:Punkte im dreidimensionalen Koordinatensystem.jpg|rahmenlos|500x500px|Pfad-Folge-Verfahren]] |2= Tipp|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1=  Bei Aufgabenteil 2 handelt es sich um ein Parallelogram. Bei Aufgabenteil 3 bekommst du eine Pyramide heraus, die eine quadratische Grundfläche besitzt. Deine Lösung kann aufgrund einer anderen Skalierung der Achsen natürlich auch von der folgenden Lösung abweichen.
{{Lösung versteckt|1=  Bei Aufgabe 2 handelt es sich um ein Parallelogram. Bei Aufgabe 3 bekommst du eine Pyramide heraus, die eine quadratische Grundfläche besitzt. Deine Lösung kann aufgrund einer anderen Skalierung der Achsen natürlich auch von folgenden Lösung abweichen.
[[Datei:Lösung 2,3.jpg|rahmenlos|500x500px|Lösung]] |2= Lösung|3=Einklappen}}


[[Datei:Lösung Aufgabe 1-2-3.jpg|rahmenlos|500x500px|Lösung]] |2= Lösung|3=Einklappen}}
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}


{{Box|1= Aufgabe 2: Punkte im Koordinatensystem|2= Der angegebene Tetraeder hat eine Höhe von 4 Skalierungseinheiten. An welchen Koordinaten befinden sich die Ecken des Tetraeders? Wähle eine richtige Lösung für jeden Punkt aus.


{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=2531036}}
{{Box|1= Aufgabe 2: Geometrische Objekte im Koordinatensystem|2= Die abgebildete Pyramide besitzt einen Eckpunkt im Nullpunkt <math> A(0|0|0)</math>. Die quadratische Grundfläche der Pyramide liegt dabei in der <math> x_1</math>-<math> x_2</math>-Ebene und die Spitze der Pyramide liegt 6 Längeneinheiten über der Grundfläche.
{{Lösung versteckt|1= Betrachte zuerst die Punkte 1 und 2. Welche Höhe haben sie? Was lässt sich über die x- und y-Koordinaten sagen? |2= Tipp 1|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Betrachte nun die Punkte 3 und 4. Lies nochmal die Aufgabenstellung.  Was lässt sich über die x-, y- und z-Koordinaten sagen? |2= Tipp 2|3=Einklappen}}
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}


{{Box|1= Aufgabe 3: Geometrische Objekte im Koordinatensystem|2= Die abgebildete Pyramide besitzt einen einen Eckpunkt im Nullpunkt <math> A(0|0|0)</math>. Welche Aussagen stimmen mit den abgebildeten Punkten überein? [[Datei:PyramideimKS.png|rahmenlos|400x400px|Pyramide mit Grundfläche <math> ABCD </math> und Scheitelpunkt <math> S </math>]]  
[[Datei:Pyramide.jpg|rahmenlos|500x500px|Pyramide]]




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- <math> B (1|0|0),C(0|1|1),D(0|0|1) </math>
- <math> B (1|0|0),C(0|1|1),D(0|0|1) </math>
</quiz>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Betrachte jeweils zuerst die x1-Achse, dann die x2-Achse und abschließend die x3-Achse.|2= Tipp 1|3=Einklappen}}


<quiz display="simple">
<quiz display="simple">
{Welche Aussage stimmt für die Größe der Grundfläche der Pyramide ?}
{Welche Aussage stimmt für den Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide ?}
- Die Größe der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>5 LE^2 </math>.
- Der Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>5 \text{ LE}^2 </math>.
- Die Größe der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>10 LE^2 </math>.
- Der Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>10 \text{ LE}^2 </math>.
+ Die Größe der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>25 LE^2 </math>.
+ Der Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>25 \text{ LE}^2 </math>.
</quiz>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Die Grundfläche einer Pyramide berechnet man mit durch die Multiplikation zweier Seiten.|2= Tipp 2|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1=Die Gundfläche ist ein Quadrat. Durch Multiplizieren der Längen der Grundflächenkanten erhältst du den Flächeninhalt.|2= Tipp 2|3=Einklappen}}


<quiz display="simple">
<quiz display="simple">
{Wo liegt der Scheitelpunkt der Pyramide ?}
{Wo liegt der Spitze der Pyramide ?}
+ Der Scheitelpunkt liegt bei <math> S (2,5|2,5|6) </math>.
+ Die Spitze der Pyramide liegt bei <math> S (2{,}5|2{,}5|6) </math>.
- Der Scheitelpunkt liegt bei <math> S (5|5|5) </math>.
- Die Spitze der Pyramide liegt bei <math> S (5|5|5) </math>.
- Der Scheitelpunkt liegt bei <math> S (2,5|2,5|5) </math>.
- Die Spitze der Pyramide liegt bei <math> S (2{,}5|2{,}5|5) </math>.
</quiz>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Bei der Berechnung des Scheitelpunkts sind die 2 der 3 Koordinaten durch die Bestimmung der Seitenflächen vorgegeben. Dabei solltest du beachten, dass nicht die volle Seitenfläche berechnet wird.|2= Tipp 3|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1=Die Spitze einer Pyramide liegt mittig über der Grundseite.|2= Tipp 3|3=Einklappen}}
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}


==Vektoren als Verschiebungen==
{{Box|1= Aufgabe 3: Verschiebungen durch Vektoren|2= Betrachte die dargestellten Verschiebungen <math>\vec{u}  </math> (grün) , <math>\vec{v}</math> (gelb) und <math>\vec{w}</math> (schwarz). Außerdem sind die Punkte <math> A(3|0|0)</math>, <math> B(0|2|0)</math> und <math> C(0|0|1)</math> bekannt.


{{Box|1= Aufgabe 4: Vektoren|2= Betrachte die dargestellten Vektoren <math>\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} </math>, <math>\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec{w} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}</math>.
[[Datei:Vektoren.jpg|rahmenlos|600x600px]]


[[Datei:Vektoren.jpg|rahmenlos|600x600px]]
Welche Punkte erhältst du bei folgenden Verschiebungen durch die Vektoren?
 
# <math> A(3|0|0)</math> <math>+ \vec{w} </math>
# <math> C(0|0|1)</math> <math> - \vec{u} </math>
# <math> A(3|0|0)</math> <math> - \vec{u}-\vec{w}-\vec{v} </math>
# <math> C(0|0|1) </math> <math>- \vec{u}+\vec{u}</math>
# <math> B(0|2|0) </math> <math> + 2 \cdot \vec{u} + 2 \cdot \vec{v} + \vec{w} </math>


Für den Punkt <math> \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math> gilt


<math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \vec{v} + \vec{u} + \vec{w}</math>.
{{Lösung versteckt|1=
# <math> B(0|2|0)</math>
# <math> B(0|2|0)</math>
# <math> A(3|0|0)</math>
# <math> C(0|0|1)</math>
# <math> A(3|0|0)</math>
|2= Lösung|3=Einklappen}}


Welche Punkte erhältst du bei folgenden Verschiebungen durch die Vektoren.
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}


# <math>\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \vec{w} </math>
==Rechnen mit Vektoren==
# <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} - \vec{u} </math>
{{Box|1= Aufgabe 4: Vektoren addieren und mit einem Skalar multiplizieren|2=
# <math>\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - \vec{w} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} - \vec{u}-\vec{w}-\vec{v} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \vec{v} + \vec{w}+ \vec{u}</math>
# <math>\begin{pmatrix} 0,5 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \vec{w} + \vec{u} +\vec{v} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \vec{u} - \vec{w}</math>
# <math>\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1\end{pmatrix} + \vec{v} - \vec{v}</math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \vec{u} - \vec{v} - \vec{w}</math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} + 2* \vec{u} </math>


{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11071387}}


|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}


{{Lösung versteckt|1=  
{{Box|1= Aufgabe 5: Lückentext - Geometrische Bedeutung von Vektoraddition und skalarer Multiplikation|2=
# <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 0,5 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
  |2= Lösung|3=Einklappen}}


|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}
<div class="lueckentext-quiz">
Wir definieren zwei '''Rechenoperationen''' für Vektoren: das Bilden des Vielfachen und der Summe. Die '''Vektoraddition''' bezeichnet das Bilden der '''Summe''' zweier Vektoren gleichen Typs. Gleichen Typs heißt, dass die beiden Vektoren gleich viele '''Komponenten''' haben. Man bildet die Summe, indem man die '''Komponenten''' der Vektoren '''komponentenweise''' addiert. Wir können uns die Addition von Vektoren als ein „'''Aneinanderlegen'''“ von zwei '''Pfeilen''' von ggf. verschiedener Länge vorstellen. Wenn wir <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b}</math> als '''Pfeile''' deuten, bedeutet die Addition, dass wir die '''Pfeile''' hintereinanderlegen, so dass der '''Anfang''' von <math> \vec{b} </math> und die „'''Spitze'''“ von <math> \vec{a} </math> übereinstimmen. Eine derartige Verwendung von Pfeilen ist aus der '''Physik''' bekannt. Dort werden oftmals '''Kräfte''' und Geschwindigkeiten mit Pfeilen dargestellt. Man kann am Ende zur Addition sagen, dass das Bilden der Summe zweier Vektoren <math> \vec{a} + \vec{b} </math> als '''Hintereinander-Ausführen''' der durch <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b} </math> dargestellten '''Verschiebungen''' gesehen werden kann.
</div>


{{Box | 1=Aufgabe 5: Ortsvektoren | 2= {{LearningApp|width=100%|height=600px|app=5520634}} | Farbe={{Farbe|orange}}| 3= Arbeitsmethode}}
<div class="lueckentext-quiz">
Das Bilden des '''Vielfachen''' eines Vektors wird auch als '''Multiplikation mit einem Skalar''' bezeichnet. Wir nennen unseren '''Vektor''' wieder <math> \vec{a} </math> und das '''Skalar''' bezeichnen wir mit <math> c </math>. Von jedem Vektor kann das '''<math> c </math> -Fache''' gebildet werden, indem '''alle Komponenten''' von <math> \vec{a} </math> '''mit <math> c </math> multipliziert''' werden. Ist '''<math> c>0 </math>''' so wird der „Pfeil“ von <math> \vec{a} </math> um den Faktor <math> c </math> gestreckt ('''falls <math>c > 1</math>''') oder gestaucht ('''falls <math>c < 1</math> '''). Ist '''<math>c<0</math>''', so erhält der Pfeil, der um den Faktor <math> c </math> gestreckt oder getaucht wird, noch eine '''Richtungsumkehrung'''. Für den Fall ''' <math> c=-1 </math> ''' sprechen wir dann vom '''Gegenvektor''' von <math> \vec{a} </math>.


Wir nennen zwei Vektoren '''kollinear''' (oder parallel), wenn einer der Vektoren ein '''Vielfaches des anderen''' ist. Mit anderen Worten: Wenn <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b} </math> zwei '''verschiedene''' Vektoren sind, so sind sie '''parallel/kollinear''' zueinander, falls ein '''Skalar <math> c </math>''' existiert, sodass gilt: '''<math> c \vec{a}=\vec{b} </math>'''. Dabei ist es egal, ob die beiden Vektoren in '''verschiedene''' '''Richtungen'''  zeigen oder nicht.
</div> 
|3=Arbeitsmethode}}


{{Box | 1= Aufgabe 6: Gerichtete Größen | 2= Gib das folgende Gesetz mithilfe von Vektoren an: Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus, so wirkt eine gleich große, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A.
==Kollinearität von Vektoren==
{{Box|1= Aufgabe 6: Kollinearität von Vektoren|2=


Erläutere, inwiefern sich Kräfte durch Vektoren darstellen lassen. {{Lösung versteckt|1= <math>\vec {F}_{A \to B} = -\vec {F}_{B \to A}</math>
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11504986}}
Sowohl Kräfte als auch Vektoren sind durch eine Richtung und eine Größe gekennzeichnet. Im Fall von Vektoren heißt die Größe der "Betrag" oder die "Länge" des Vektors. Es handelt sich demnach bei beidem um gerichtete Größen.|2=Lösung|3=Einklappen}} | Farbe={{Farbe|orange}} | 3=Arbeitsmethode }}


|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}


==Länge und Abstände von Vektoren==
{{Box|1=Aufgabe 7: Länge und Abstände von Vektoren|2=
{{Box|1=Aufgabe 7: Länge und Abstände von Vektoren|2=
<quiz display="simple">
<quiz display="simple">
{Berechne die Länge der Vektoren:}
{Berechne die Länge der Vektoren:}
{ <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} </math>}
- 4
+ 5
- 6
- 7


{ <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 12 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} </math>}
{ <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 12 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} </math>}
- 11
- <math> 11 </math>
- 12
- <math> 12 </math>
+ 13
+ <math> 13 </math>
- 14
- <math> 14 </math>


{ <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} </math>}
{ <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} </math>}
Zeile 137: Zeile 135:
- <math> \frac{1}{2} </math>  
- <math> \frac{1}{2} </math>  
</quiz>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Man berechtnet die Länge eines Vektors wie folgt: Man quadriert jede Komponente des Vektors. Anschließend werden diese addiert und zum Schluss wird aus dem Ergebnis die Wurzel gezogen.|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}


<quiz display="simple">
<quiz display="simple">
{Berechne den Abstand der Punkte:}
{Berechne den Abstand der Punkte:}


{<math> A(2|-4|1) </math> und <math> B(4|-4|-2) </math>}
{<math> A(8|9|10) </math> und <math> B(2|6|8) </math>}
- <math> 9{,}5 </math>
+ <math> 7 </math>
- <math> 8 </math>
- <math> 6{,}5 </math>
 
{<math> A(-1|{-}2|2) </math> und <math> B(-3|{-}1|0) </math>}
+ <math> 3 </math>
+ <math> 3 </math>
- <math> 6 </math>
- <math> 6 </math>
- <math> 9 </math>
- <math> 9 </math>
- <math> 12 </math>
- <math> 12 </math>
{<math> A(8|9|10) </math> und <math> B(2|6|8) </math>}
- <math> 9,5 </math>
+ <math> 7 </math>
- <math> 8 </math>
- <math> 6,5 </math>
</quiz>
|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}
{{Box|1=|2= Umfang eines Dreiecks
<quiz display="simple">
{Gegeben ist ein Dreieck <math> ABC </math> mit den Punkten <math> A(-3|0|-2) </math> <math> B(1|2|2) </math> und <math> C(-3|3|2) </math> . Berechne den Umfang des Dreiecks.}
- <math> 14,123 </math>
- <math> 11,256 </math>
+ <math> 15,123 </math>
- <math> 13,894 </math>
</quiz>
</quiz>
|3=Arbeitsmethode}}
{{Lösung versteckt|1=Man berechtnet den Abstand zweier Punkte wie folgt: Man betrachtet die einzelnen Einträge von <math> A </math> und <math> B </math>. Wenn man sich den ersten Eintrag von <math> A </math> anschaut, so betrachtet man auch den ersten Eintrag von <math> B </math>. Zwischen diesen beiden Einträgen bildet man nun die Differenz. Gleiches Verfahren setzt man bei allen anderen Einträgen ein. Achtung: Betrachte immer nur von einem Punkt zum anderen die Veränderung, sodass sich keine Vorzeichenfehler einschleichen! Man betrachtet also immer alle Einträge von <math> A </math> nach <math> B </math> oder alle Einträge von <math> B </math> nach <math> A </math>. Dann hat man einen Vektor gefunnden, der die Verschiebung beschreibt. Ab hier geht man dann wieder so vor wie in Tipp 1 beschrieben|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
 
{{Box|1= Aufgabe 8: Vektoren addieren und mit einem Skalar multiplizieren|2=
 
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11071387}}


|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}


{{Box|1= Aufgabe 9: Lückentext - Geometrische Bedeutung von Vektoraddition und skalarer Multiplikation|2=
==Geometrische Objekte untersuchen==
 
{{Box|1= Aufgabe 8: Besondere Vierecke
<div class="lueckentext-quiz">
Wir definieren zwei '''Rechenoperationen''' für Vektoren: das Bilden des Vielfachen und der Summe. Die '''Vektoraddition''' bezeichnet das bilden der '''Summe''' zweier Vektoren gleichen Typs, das heißt dass die beiden Vektoren gleich viele '''Komponenten''' haben. Man bildet die Summe, indem man die '''Einträge''' der Vektoren '''komponentenweise''' addiert. Wir können uns die Addition von Vektoren als ein „'''Aneinanderlegen'''“ von zwei '''Strecken''' von ggf. verschiedener Länge vorstellen. Nennen wir <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b}</math> Vektoren. Wir deuten diese als '''Pfeile''' und addieren sie, das heißt wir legen sie hintereinander, sodass der '''Anfang''' von <math> \vec{b} </math> und die „'''Spitze'''“ von <math> \vec{a} </math> übereinstimmen. Ein derartiges Verhalten von Pfeilen ist aus der '''Physik''' bekannt. Dort werden oftmals '''Kräfte''' und Geschwindigkeiten mit Pfeilen dargestellt. Man kann am Ende zur Addition sagen, dass das Bilden der Summe zweier Vektoren <math> \vec{a} + \vec{b} </math> als '''Hintereinander-Ausführen''' der durch <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b} </math> dargestellten '''Verschiebungen''' gesehen werden kann.
</div>
 
<div class="lueckentext-quiz">
Das Bilden des '''Vielfachen''' eines Vektors wird auch als '''Multiplikation mit einem Skalar''' bezeichnet. Wir nennen unseren '''Vektor''' wieder <math> \vec{a} </math> und das '''Skalar''' bezeichnen wir mit <math> c </math>. Von jedem Vektor kann das '''<math> c </math> -Fache''' gebildet werden, indem '''alle Komponenten''' von <math> \vec{a} </math> '''mit <math> c </math> multipliziert''' werden. Ist '''<math> c>0 </math>''' so wird der „Pfeil“ von <math> \vec{a} </math> um den Faktor <math> c </math> aufgeblasen ('''falls <math>c > 1</math>''') oder geschrumpft ('''falls <math>c < 1</math> '''). Ist '''<math>c<0</math>''', so erhält der Pfeil, der um den Faktor <math> c </math> aufgeblasen oder geschrumpft wird, noch eine '''Richtungsumkehrung'''. Für den Fall ''' <math> c=-1 </math> ''' sprechen wir dann vom '''Gegenvektor''' von <math> \vec{a} </math>.
 
Wir nennen zwei Vektoren '''kollinear''' (oder parallel), wenn einer der Vektoren ein '''Vielfaches des anderen''' ist. Mit anderen Worten: Wenn <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b} </math> zwei '''verschiedene''' Vektoren sind, so sind sie '''parallel/kollinear''' zueinander, falls ein '''Skalar <math> c </math>''' existiert, sodass gilt: '''<math> ca=b </math>'''. Dabei ist es egal, ob die beiden Vektoren in '''verschiedene''' '''Richtungen'''  zeigen oder nicht.
</div> 
|3=Arbeitsmethode}}
 
{{Box|1= Aufgabe 10: Besondere Vierecke
|2=
|2=


In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte <math> A(3|3|5)</math>, <math> B(3,5|3,5|1)</math> und <math> C(6,5|2,5|3) </math> gegeben.  
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte <math> A(3|3|5)</math>, <math> B(3{,}5|3{,}5|1)</math> und <math> C(6{,}5|2{,}5|3) </math> gegeben.  


<quiz display="simple">
<quiz display="simple">
Zeile 197: Zeile 171:


<quiz display="simple">
<quiz display="simple">
{b) Sei <math> P </math> nun ein weiter Punkt im bereits vorhandenen System. Welche Koordinaten muss <math> P </math> haben, damit <math> P </math> gemeinsam mit <math> A </math>, <math> B </math> und <math> C </math> die Eckpunkte einer Raute bildet?}
{b) Wir betrachten weiterhin das Dreieck <math> ABC </math>. Ein neuer Punkt <math> Q </math> soll so gewählt werden, dass er zusammen mit dem Dreieck <math> ABC </math> ein Parallelogramm bildet, das keine Raute ist. Welche Koordinaten passen zu <math> Q </math>? Es sind zwei Antwortmöglichkeiten richtig. Finde beide!}
+ <math> P(7|3|-1)</math>
+ <math> Q(6|2|7)</math>
- <math> P(-7|-3|1)</math>
- <math> Q(7|4|3)</math>
- <math> P(5|2|-3)</math>
+ <math> Q(0|4|3)</math>
- <math> P(-5|-2|3)</math>
- <math> Q(6|3|{-}1)</math>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Fertige eine Skizze des Dreiecks an und mache dir klar, welche Seite die Basis des Dreiecks ist. |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Du musst Gegenvektoren verwenden.|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Verwende den Vektor <math>\vec{ CA }</math> am Punkt <math> B </math> für eines der Parallelogramme und den Vektor <math>\vec{ BA } </math> am Punkt <math> C </math> für das zweite Parallelogramm.|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}
 
<quiz display="simple">
{c) Sei <math> P </math> nun ein weiter Punkt im bereits vorhandenen System. Welche Koordinaten muss <math> P </math> haben, damit <math> P </math> gemeinsam mit <math> A </math>, <math> B </math> und <math> C </math> die Eckpunkte einer Raute bildet?}
+ <math> P(7|3|{-}1)</math>
- <math> P(-7|{-}3|1)</math>
- <math> P(5|2|{-}3)</math>
- <math> P(-5|{-}2|3)</math>
</quiz>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Zeichne dir ein gleichschenkliges Dreieck auf und mach dir zunächst klar welche Seite die Basis des Dreieicks ist.|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Fertige eine Skizze des Dreiecks an und mache dir klar, welche Seite die Basis des Dreiecks ist.|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Gegenüberliegende Seiten sind in einer Raute gleich lang.|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= In einer Raute sind alle Seiten gleich lang und gegenüberliegende Seiten parallel.|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Verwende den Vektor <math>\vec{ AC }</math> am Punkt <math> B </math>.|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= Verwende den Vektor <math>\vec{ AC }</math> am Punkt <math> B </math>.|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}


<quiz display="simple">
{c) Wir betrachten nun wieder das Dreieck <math> ABC </math>. Ein neuer Punkt <math> Q </math> soll so gewählt werden, dass er zusammen mit dem Dreieck <math> ABC </math> ein Parallelogramm bildet, das keine Raute ist. Welche Koordinaten passen zu <math> Q </math>? Es sind zwei Antwortmöglichkeiten richtig. Finde beide!}
+ <math> P(6|2|7)</math>
- <math> P(7|4|3)</math>
+ <math> P(0|4|3)</math>
- <math> P(6|3|-1)</math>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Zeichne dir ein gleichschenkliges Dreieck auf <math> ABC </math> und überleg dir wie ein Parallelogram entstehen könnte. |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Sei dir bewusst, dass es auch Gegenvektoren gibt.|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Verwende den Vektor <math>\vec{ CA }</math> am Punkt <math> B </math> und den Vektor <math>\vec{ BA } </math> am Punkt <math> C </math>.|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}
|3= Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}
|3= Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}
{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_–_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum#Kapitelauswahl}}
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[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Aktuelle Version vom 24. Juni 2021, 13:39 Uhr

Info

In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit Punkten und Vektoren im Raum. Du lernst die Grundlagen zum Thema Punkte und Vektoren. Dies Beinhaltet die Unterscheidung dieser beiden Begriffe, das Rechnen, Interpretieren und Anwenden im Sachzusammenhang.

Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:

  • Mit Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
  • Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit
  • und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.
Wir wünschen dir viel Erfolg!

Wiederholung von Punkten und Vektoren

Merksatz

Jeder Punkt lässt sich durch den Vektor beschreiben, der den Ursprung auf diesen Punkt verschiebt, den Ortsvektor. Bei Punkten werden die Koordinaten direkt an den Namen des Punktes geschrieben, der Name des Punktes wird immer groß geschrieben; bei Vektoren, also auch bei Ortsvektoren, werden die Koordinaten durch ein Gleichheitszeichen vom Namen des Vektors getrennt, der Name des Vektors wird manchmal mit einem Pfeil darüber versehen und meistens klein geschrieben.

Zum Punkt gehört also der Ortsvektor .

Koordinatensystem

Aufgabe 1: Koordinatensysteme

Für diese Aufgabe benötigst du einen Bleistift, ein kariertes Blatt Papier und ein Geodreieck. Bearbeite die folgenden Aufgaben.

  1. Zeichne ein dreidimensionales Koordinatensystem. Wähle eine passende Skalierung anhand der angegebenen Punkte im Aufgabenteil 2 und 3.
  2. Zeichne die Punkte ,, und in das gezeichnete Koordinatensystem. Zeichne nun die Verbindungsvektoren , , und ein. Handelt es sich um eine zweidimensionale Figur oder um einen Körper? Benenne sie oder ihn.
  3. Nutze den Punkt aus Aufgabenteil 2. Füge die Punkte ,, und . Zeichne nun die Verbindungsvektoren ,, , , , , und ein. Handelt es sich um eine zweidimensionale Figur oder um einen Körper? Benenne sie oder ihn.


Punkte in einem dreidimensionalen Koordinatensystem kannst du mithilfe eines "Pfad-Folge-Verfahren" genau bestimmen. Dabei geht man die durch die Punktkoordinaten angegeben Längeneinheiten in die Richtung der jeweiligen Achsen. Es entsteht einen Koordinatenzug. Das folgende Bild verdeutlicht das Verfahren.

Koordinatenzug des Pfad-Folge-Verfahrens


Bei Aufgabenteil 2 handelt es sich um ein Parallelogram. Bei Aufgabenteil 3 bekommst du eine Pyramide heraus, die eine quadratische Grundfläche besitzt. Deine Lösung kann aufgrund einer anderen Skalierung der Achsen natürlich auch von der folgenden Lösung abweichen.

Lösung


Aufgabe 2: Geometrische Objekte im Koordinatensystem

Die abgebildete Pyramide besitzt einen Eckpunkt im Nullpunkt . Die quadratische Grundfläche der Pyramide liegt dabei in der --Ebene und die Spitze der Pyramide liegt 6 Längeneinheiten über der Grundfläche.

Pyramide


Welche Aussage stimmt für die Koordinaten der Punkte , und  ?


Welche Aussage stimmt für den Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide ?

Der Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide beträgt .
Der Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide beträgt .
Der Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide beträgt .

Die Gundfläche ist ein Quadrat. Durch Multiplizieren der Längen der Grundflächenkanten erhältst du den Flächeninhalt.

Wo liegt der Spitze der Pyramide ?

Die Spitze der Pyramide liegt bei .
Die Spitze der Pyramide liegt bei .
Die Spitze der Pyramide liegt bei .

Die Spitze einer Pyramide liegt mittig über der Grundseite.

Vektoren als Verschiebungen

Aufgabe 3: Verschiebungen durch Vektoren

Betrachte die dargestellten Verschiebungen (grün) , (gelb) und (schwarz). Außerdem sind die Punkte , und bekannt.

Vektoren.jpg

Welche Punkte erhältst du bei folgenden Verschiebungen durch die Vektoren?


Rechnen mit Vektoren

Aufgabe 4: Vektoren addieren und mit einem Skalar multiplizieren


Aufgabe 5: Lückentext - Geometrische Bedeutung von Vektoraddition und skalarer Multiplikation

Wir definieren zwei Rechenoperationen für Vektoren: das Bilden des Vielfachen und der Summe. Die Vektoraddition bezeichnet das Bilden der Summe zweier Vektoren gleichen Typs. Gleichen Typs heißt, dass die beiden Vektoren gleich viele Komponenten haben. Man bildet die Summe, indem man die Komponenten der Vektoren komponentenweise addiert. Wir können uns die Addition von Vektoren als ein „Aneinanderlegen“ von zwei Pfeilen von ggf. verschiedener Länge vorstellen. Wenn wir und als Pfeile deuten, bedeutet die Addition, dass wir die Pfeile hintereinanderlegen, so dass der Anfang von und die „Spitze“ von übereinstimmen. Eine derartige Verwendung von Pfeilen ist aus der Physik bekannt. Dort werden oftmals Kräfte und Geschwindigkeiten mit Pfeilen dargestellt. Man kann am Ende zur Addition sagen, dass das Bilden der Summe zweier Vektoren als Hintereinander-Ausführen der durch und dargestellten Verschiebungen gesehen werden kann.

Das Bilden des Vielfachen eines Vektors wird auch als Multiplikation mit einem Skalar bezeichnet. Wir nennen unseren Vektor wieder und das Skalar bezeichnen wir mit . Von jedem Vektor kann das -Fache gebildet werden, indem alle Komponenten von mit multipliziert werden. Ist so wird der „Pfeil“ von um den Faktor gestreckt (falls ) oder gestaucht (falls ). Ist , so erhält der Pfeil, der um den Faktor gestreckt oder getaucht wird, noch eine Richtungsumkehrung. Für den Fall sprechen wir dann vom Gegenvektor von .

Wir nennen zwei Vektoren kollinear (oder parallel), wenn einer der Vektoren ein Vielfaches des anderen ist. Mit anderen Worten: Wenn und zwei verschiedene Vektoren sind, so sind sie parallel/kollinear zueinander, falls ein Skalar existiert, sodass gilt: . Dabei ist es egal, ob die beiden Vektoren in verschiedene Richtungen zeigen oder nicht.

 

Kollinearität von Vektoren

Aufgabe 6: Kollinearität von Vektoren

Länge und Abstände von Vektoren

Aufgabe 7: Länge und Abstände von Vektoren

Berechne die Länge der Vektoren:

1

2


Man berechtnet die Länge eines Vektors wie folgt: Man quadriert jede Komponente des Vektors. Anschließend werden diese addiert und zum Schluss wird aus dem Ergebnis die Wurzel gezogen.

Berechne den Abstand der Punkte:

1 und

2 und

Man berechtnet den Abstand zweier Punkte wie folgt: Man betrachtet die einzelnen Einträge von und . Wenn man sich den ersten Eintrag von anschaut, so betrachtet man auch den ersten Eintrag von . Zwischen diesen beiden Einträgen bildet man nun die Differenz. Gleiches Verfahren setzt man bei allen anderen Einträgen ein. Achtung: Betrachte immer nur von einem Punkt zum anderen die Veränderung, sodass sich keine Vorzeichenfehler einschleichen! Man betrachtet also immer alle Einträge von nach oder alle Einträge von nach . Dann hat man einen Vektor gefunnden, der die Verschiebung beschreibt. Ab hier geht man dann wieder so vor wie in Tipp 1 beschrieben

Geometrische Objekte untersuchen

Aufgabe 8: Besondere Vierecke

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte , und gegeben.

a) Um welche Art von Dreieck handelt es sich?

rechtwinkliges Dreieck
gleichseitiges Dreieck
gleichschenkliges Dreieck


b) Wir betrachten weiterhin das Dreieck . Ein neuer Punkt soll so gewählt werden, dass er zusammen mit dem Dreieck ein Parallelogramm bildet, das keine Raute ist. Welche Koordinaten passen zu ? Es sind zwei Antwortmöglichkeiten richtig. Finde beide!

Fertige eine Skizze des Dreiecks an und mache dir klar, welche Seite die Basis des Dreiecks ist.
Du musst Gegenvektoren verwenden.
Verwende den Vektor am Punkt für eines der Parallelogramme und den Vektor am Punkt für das zweite Parallelogramm.

c) Sei nun ein weiter Punkt im bereits vorhandenen System. Welche Koordinaten muss haben, damit gemeinsam mit , und die Eckpunkte einer Raute bildet?

Fertige eine Skizze des Dreiecks an und mache dir klar, welche Seite die Basis des Dreiecks ist.
In einer Raute sind alle Seiten gleich lang und gegenüberliegende Seiten parallel.
Verwende den Vektor am Punkt .