Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Box| Aufgabe 2: Gegeben sind die folgenden linearen Gleichungssysteme. Vergleiche beide linearen Gleichungssysteme miteinander. Entscheide, welches System einfacher zu lösen ist und löse dieses. Setze die Lösung in das andere Gleichungssystem ein und zeige, dass die Lösung des einen Systems auch die Lösung des anderen Systems ist. | | Arbeitsmethode }} | {{Box| Aufgabe 2: Gegeben sind die folgenden linearen Gleichungssysteme. Vergleiche beide linearen Gleichungssysteme miteinander. Entscheide, welches System einfacher zu lösen ist und löse dieses. Setze die Lösung in das andere Gleichungssystem ein und zeige, dass die Lösung des einen Systems auch die Lösung des anderen Systems ist. | | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }} | ||
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{{Box| Aufgabe 3: In Aufgabe 2 wird gezeigt, dass beide Gleichungssysteme dieselbe Lösung haben. Forme das erste System so um, dass das zweite System entsteht. | | Arbeitsmethode }} | {{Box| Aufgabe 3: In Aufgabe 2 wird gezeigt, dass beide Gleichungssysteme dieselbe Lösung haben. Forme das erste System so um, dass das zweite System entsteht. | | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }} | ||
{{Lösung versteckt|Wir haben gesehen, dass es bei der Lösung von linearen Gleichungssystemen ein wichtiges Zwischenziel ist, das System in eine Dreiecksgestalt umzuformen, wie das zweite lineare Gleichungssystem. | {{Lösung versteckt|Wir haben gesehen, dass es bei der Lösung von linearen Gleichungssystemen ein wichtiges Zwischenziel ist, das System in eine Dreiecksgestalt umzuformen, wie das zweite lineare Gleichungssystem. | ||
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{{Box| Aufgabe 4: Löse das Gleichungssystem mit Hilfe des Gauß-Algorithmus | | Arbeitsmethode }} | {{Box| Aufgabe 4: Löse das Gleichungssystem mit Hilfe des Gauß-Algorithmus | | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }} | ||
<math>\left\vert\begin{alignat}{7} | <math>\left\vert\begin{alignat}{7} | ||
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\ | 2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\ |
Version vom 3. Juni 2021, 23:40 Uhr
Wiederholung: Verschiedene Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme mit dem Gauß-Algorithmus lösen
Das zweite lineare Gleichungssystem ist leichter zu lösen als das erste, da der Wert einer Variablen bereits bekannt ist: z=3. Und damit lässt sich direkt weiter arbeiten, wie folgt: 1. Setze 2. Somit erhalten wir y=-1 und können dies nun in die erste Gleichung einsetzen und dann vereinfachen 3.Setzen wir diese Werte in das erste lineare Gleichungssystem erhalten wir
4. Da sich beim Einsetzen auf beiden Seiten der Gleichung dieselben Werte ergeben, haben wir mit der Lösung des zweitens Systems auch das erste System gelöst.
Wir haben gesehen, dass es bei der Lösung von linearen Gleichungssystemen ein wichtiges Zwischenziel ist, das System in eine Dreiecksgestalt umzuformen, wie das zweite lineare Gleichungssystem. 1. Als erstes soll in der zweiten und der dritten Gleichung eine Variable wegfallen, hier x. Dazu addieren wir das zweifache der ersten Gleichung zur zweiten Gleichung, sowie das (-3)-fache der ersten Gleichung zur dritten Gleichung. Dann erhalten wir:
2. Die zweite und die dritte Gleichung enthalten nur noch die Variablen y und z. In diesen System können wir das Vierfache der zweiten Gleichung zur dritten Gleichung addieren, damit die Variable y wegfällt. Dann erhalten wir: 3.Nun teilen wir die letzte Gleichung durch 14 und erhalten somit das zweite Gleichungssystem:
1. Multipliziere die zweite und dritte Gleichung mit 2 und addiere dann die erste Gleichung drauf, damit x wegfällt. Dann erhalten wir:
2. Addiere dann die zweite Gleichung auf die dritte Gleichung und dann erhalten wir:
3.Nun teilen wir die letzte Gleichung durch 4 und erhalten dadurch z=3. Dann setzen wir z=3 in die zweite Gleichung und erhalten:
4. Dann setze y=-1 und z=3 in die erste Gleichung darauf folgt x=4Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme
Unter- und überbestimmte Gleichungssysteme
Interpretation der Lösung eines Linearen Gleichungssystems