Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme: Unterschied zwischen den Versionen

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Version vom 23. Juni 2021, 19:50 Uhr

Info

In diesem Lernpfadkapitel kannst du dein Wissen über Lineare Gleichungssysteme (LGS) vertiefen und üben. Das Kapitel gibt dir einen Überblick über den Gauß-Algorithmus, mit dem du Lineare Gleichungssysteme lösen kannst, über verschiedene Arten von Gleichungssystemen sowie über die Interpretation der Lösungen.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

  • In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
  • Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
  • Und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.

Du solltest alle Aufgaben ohne Hilfsmittel, das heißt auch ohne GTR-Einsatz, lösen!

Viel Erfolg und viel Spaß!

Wiederholung: Verschiedene Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme

Aufgabe 1: Gleichungssysteme zuordnen

Ordne die LGS dem am besten geeigneten Umformungsverfahren zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.

Lineare Gleichungssysteme mit dem Gauß-Algorithmus lösen

Erklärvideo zum Gauß-Verfahren


Aufgabe 2: Wähle geschickt.

Gegeben sind die folgenden linearen Gleichungssysteme. Vergleiche beide linearen Gleichungssysteme miteinander. Entscheide, welches Gleichungssystem einfacher zu lösen ist und löse dieses. Setze die Lösung in das andere Gleichungssystem ein und zeige, dass die Lösung des einen Gleichungssystems auch die Lösung des anderen Gleichungssystems ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\ -2x &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 6\\ 3x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 8 \end{alignat}\right\vert}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\ &&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\ &&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3 \end{alignat}\right\vert}

Das zweite lineare Gleichungssystem ist leichter zu lösen als das erste, da der Wert einer Variablen bereits bekannt ist: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle z=3 } . Und damit lässt sich direkt weiter arbeiten, wie folgt:

1. Setze Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle z=3 } in die erste und zweite Gleichung ein und vereinfache:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& 3y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1 \\ &&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\ &&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3 \end{alignat}\right\vert}

2. Somit erhalten wir Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle y=-1 } und können dies nun in die erste Gleichung einsetzen und dann vereinfachen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} x &&\; \;&& &&\; \;&& &&\; = \;&& 2 \\ &&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\ &&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3 \end{alignat}\right\vert}

3. Setzen wir diese Werte in das erste lineare Gleichungssystem erhalten wir:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} &&\; \;&& &&\; \;&& 2 &&\; = \;&& 2 \\ &&\; \;&& &&\; \;&& 6 &&\; = \;&& 6\\ &&\; \;&& &&\; \;&& 8 &&\; = \;&& 8 \end{alignat}\right\vert}

4. Da sich beim Einsetzen auf beiden Seiten der Gleichung dieselben Werte ergeben, haben wir mit der Lösung des zweitens Gleichungssystems auch das erste Gleichungssystem gelöst.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle L= \{(2| -1| 3)\} }


Aufgabe 3: Forme um.

In Aufgabe 2 wird gezeigt, dass beide Gleichungssysteme dieselbe Lösung haben. Forme das erste Gleichungssystem so um, dass das zweite Gleichungssystem entsteht.

Wir haben gesehen, dass es bei der Lösung von linearen Gleichungssystemen ein wichtiges Zwischenziel ist, das Gleichungssystem in eine Dreiecksgestalt umzuformen, wie das zweite lineare Gleichungssystem.

1. Als erstes soll in der zweiten und der dritten Gleichung eine Variable wegfallen, hier Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle x } . Dazu addieren wir das Zweifache der ersten Gleichung zur zweiten Gleichung, sowie das Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle (-3)} -fache der ersten Gleichung zur dritten Gleichung. Dann erhalten wir:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\ &&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\ &&\; \;&& -8y &&\; - \;&& 2z &&\; = \;&& 2 \end{alignat}\right\vert}

2. Die zweite und die dritte Gleichung enthalten nur noch die Variablen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle y } und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle z } . Nun können wir das Vierfache der zweiten Gleichung zur dritten Gleichung addieren, damit die Variable Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle y } wegfällt. Dann erhalten wir:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\ &&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\ &&\; \;&& &&\; \;&& 14z &&\; = \;&& 42 \end{alignat}\right\vert}

3. Nun teilen wir die letzte Gleichung durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle 14 } und erhalten somit das zweite Gleichungssystem:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\ &&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\ &&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3 \end{alignat}\right\vert}


Aufgabe 4: Gauß-Algorithmus

Löse das folgende Gleichungssystem mit Hilfe des Gauß-Algorithmus:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\ -x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 1\\ -x &&\; - \;&& 3y &&\; - \;&& 3z &&\; = \;&& -10 \end{alignat}\right\vert}


1. Multipliziere die zweite und dritte Gleichung mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle 2 } und addiere dann die erste Gleichung, damit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle x } wegfällt. Dann erhalten wir:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\ &&\; \;&& 4y &&\; + \;&& 7z &&\; = \;&& 17\\ &&\; \;&& -4y &&\; - \;&& 3z &&\; = \;&& -5 \end{alignat}\right\vert}

2. Addiere dann die zweite Gleichung zur dritten Gleichung und dann erhalten wir:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\ &&\; \;&& 4y &&\; + \;&& 7z &&\; = \;&& 17\\ &&\; \;&& &&\; \;&& 4z &&\; = \;&& 12 \end{alignat}\right\vert}

3. Nun teilen wir die letzte Gleichung durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle 4 } und erhalten dadurch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle z=3 } . Dann setzen wir Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle z=3 } in die zweite Gleichung und erhalten:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\ &&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\ &&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3 \end{alignat}\right\vert}

4. Dann setze Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle y=-1 } und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle z=3 } in die erste Gleichung ein, darauf folgt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle x=4 } .


Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle L= \{(4| -1| 3)\} }

Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme

Aufgabe 5: Wiederholung

Bearbeite alle Teilaufgaben mit dem integrierten GeoGebra-Applet und mache dir Notizen.

a) Bewege die Schieberegler Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle a, b, c } sowie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle d, h, k} . Was kannst du beobachten? Wie verändern sich die Geraden, wenn du den Schieberegler Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle c } oder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle k } bewegst? Wie verändern sich die Geraden bei Bewegen der anderen Schieberegler? Was passiert mit den Geraden, wenn du die Schieberegler nach rechts bewegst? Was passiert mit den Geraden, wenn du die Schieberegler nach links bewegst? Was kannst du für den Schnittpunkt beobachten, wenn du die Schieberegler bewegst?

b) Was bedeutet der Schnittpunkt der beiden Geraden für die Lösung des Gleichungssystems?

Wenn die beiden Geraden einen eindeutigen Schnittpunkt besitzen, dann hat das Gleichungssystem genau eine Lösung.

c) Bewege die Schieberegler. Wann haben die beiden Geraden keinen eindeutigen Schnittpunkt? Was bedeutet das für die Lösung des Gleichungssystems?

Betrachte die beiden Fälle:

1) Die beiden Geraden haben keinen Schnittpunkt.

2) Die beiden Geraden haben unendlich viele Schnittpunkte.

Wenn die Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Wenn die beiden Geraden identisch sind, also übereinander liegen, haben sie unendlich viele Schnittpunkte.
Wenn die beiden Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Dann hat das lineare Gleichungssystem keine Lösung. Wenn die beiden Geraden identisch sind, gibt es unendlich viele Lösungen für das zugehörige lineare Gleichungssystem.

d) Welche Lösungsmöglichkeiten gibt es für lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Variablen?

Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen kann

  • eine Lösung
  • keine Lösung oder
  • unendlich viele Lösungen

haben.

In dieser Aufgabe geht es um lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Variablen. Die Lösungsmöglichkeiten (eine Lösung, keine Lösung, unendlich viele Lösungen) lassen sich aber auch auf lineare Gleichungssysteme mit mehr als zwei Gleichungen und zwei Variablen übertragen.

GeoGebra


Merksatz: Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme
Ein lineares Gleichungssystem hat entweder genau eine Lösung, keine Lösung oder unendlich viele Lösungen.


Merksatz: Erkennen der Anzahl der Lösungen linearer Gleichungssysteme

Hat ein lineares Gleichungssystem keine Lösung, lässt sich dies durch einen Widerspruch erkennen. Entsteht bei der Umformung eines Gleichungssystems innerhalb einer Gleichung ein Widerspruch, so hat das Gleichungssystem keine Lösung. Manchmal lässt sich dies bereits vor dem Umformen erkennen, wenn zum Beispiel alle bis auf eine Komponente zweier Gleichungen identisch sind. Besitzt ein lineares Gleichungssystem keine Lösung, so ist die Lösungsmenge leer. Man schreibt dann Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle L= \{\} } .

Hat ein lineares Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, lässt sich dies häufig direkt dadurch erkennen, dass zwei oder mehrere Gleichungen äquivalent sind, also Vielfache voneinander sind. Manchmal benötigt es zunächst einige Umformungen, bis eine Äquivalenz zwischen den Gleichungen erkannt werden kann. Besitzt ein lineares Gleichungssystem unendlich viele Lösung, so kann man eine Variable frei wählen und setzt für diese einen Parameter. Weiter unten findest du einen Merksatz zu diesem Vorgehen.

Existiert kein Widerspruch und die Anzahl der Variablen ist gleich der Anzahl der nicht äquivalenten Gleichungen, so besitzt das lineare Gleichungssystem genau eine Lösung.

Außerdem kann man die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems an der Anzahl der Gleichungen und Variablen erkennen. Weiteres dazu erfährst du im Abschnitt Unter- und Überbestimmte Gleichungssysteme.


Beispiel: Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme

a) Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\ x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\ 2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0 \end{alignat}\right\vert}


Um die Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems zu bestimmen, bringen wir es zunächst auf Zeilenstufenform.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\ x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\ 2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0 \end{alignat}\right\vert}

Subtraktion der ersten Gleichung von der dritten Gleichung ergibt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\ x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\ 0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2 \end{alignat}\right\vert}

Multiplikation der zweiten Gleichung mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle 2 } und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\ 0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\ 0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2 \end{alignat}\right\vert}

Multiplikation der dritten Gleichung mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle -2 } und anschließende Addition der zweiten Gleichung ergibt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\ 0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\ 0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 4 \end{alignat}\right\vert}

An dieser Stelle ist bereits erkennbar, dass das Gleichungssystem genau eine Lösung besitzt. Dann das Gleichungssystem befindet sich in Zeilenstufenform, sodass in der dritten Gleichung nur noch eine Variable steht, in der zweiten Gleichung nur noch zwei Variable und in der ersten Gleichung drei Variablen stehen. Durch Rückwärtseinsetzen können die Variablen nun bestimmt werden. Es kann also zunächst mit der dritten Gleichung die Variable Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle z } bestimmt werden, mit der zweiten Gleichung und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle z } kann dann die Variable Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle y } bestimmt werden und anschließend wird mit der ersten Gleichung und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle z } und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle y } die Variable Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle x } bestimmt.

Somit ergibt sich:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \Rightarrow z = \frac{4}{3} }

Einsetzen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle z } in die zweite Gleichung ergibt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \begin{align} & & -6y + 3 \cdot (\frac{4}{3}) &= 0 \\ \Leftrightarrow & & -6y + 4 &= 0 \\ \Leftrightarrow & & -6y &= -4 \\ \Leftrightarrow & & y &= \frac{2}{3} \end{align}}

Einsetzen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle y } und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle z } in die erste Gleichung ergibt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \begin{align} & & 2x + 4 \cdot \frac{2}{3} + \frac{4}{3} &= 2 \\ \Leftrightarrow & & 2x + 4 &= 2 \\ \Leftrightarrow & & 2x &= -2 \\ \Leftrightarrow & & x &= -1 \end{align}}

Somit hat das Gleichungssystem genau eine Lösung. Die Lösungsmenge lautet Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle L= \{({-}1|\frac{2}{3}| \frac{4}{3})\} } .

Das Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung. Die Lösungsmenge lautet Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle L= \{({-}1|\frac{2}{3}| \frac{4}{3})\} } .

b) Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\ x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\ -x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4 \end{alignat}\right\vert}


Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\ x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\ -x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4 \end{alignat}\right\vert}

Addition der zweiten zur dritten Gleichung ergibt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\ x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\ 0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6 \end{alignat}\right\vert}

Multiplikation der zweiten Gleichung mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle 2 } und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\ 0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\ 0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6 \end{alignat}\right\vert}

Hier kann man bereits sehen, dass sich die zweite und dritte Gleichung widersprechen: Beide Gleichungen sind bis auf eine Komponente äquivalent. Denn die linke Seite der zweiten Gleichung ist ein Vielfaches der linken Seite der dritten Gleichung, die rechte Seite jedoch nicht. Multiplikation der dritten Gleichung mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle 2 } und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\ 0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\ 0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 14 \end{alignat}\right\vert}

An dieser Stelle entsteht ein Widerspruch. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Daher lautet die Lösungsmenge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle L= \{\} }

c) Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\ x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\ 4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14 \end{alignat}\right\vert}


Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\ x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\ 4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14 \end{alignat}\right\vert}

Multiplikation der zweiten Gleichung mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle 4 } und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\ x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\ 0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10 \end{alignat}\right\vert}

Multiplikation der zweiten Gleichung mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle 2 } und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\ 0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\ 0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10 \end{alignat}\right\vert}

Hier kann man direkt sehen, dass die zweite und dritte Gleichung äquivalent sind, woran man bereits erkennt, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt. Addition der dritten und zweiten Gleichung ergibt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\ 0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\ 0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 0 \end{alignat}\right\vert}

Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Ein möglicher Lösungsweg, um die Lösungsmenge zu bestimmen, kann so aussehen:

Nun wird ein Parameter gesetzt: Wähle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle z = t } . Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \Rightarrow & & 5y - 10t &= 10 \\ \Leftrightarrow & & 5y &= 10 + 10t \\ \Leftrightarrow & & y &= \frac{10+10t}{5} \\ \Leftrightarrow & & y &= 2 + 2t \end{align}}

Einsetzen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle y } und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle z } in die erste Gleichung ergibt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \begin{align} & & 2x - (2+2t) + 4t &= 2 \\ \Leftrightarrow & & 2x &= 2+2+2t-4t \\ \Leftrightarrow & & 2x &= 4-2t \\ \Leftrightarrow & & y &= 2-t \end{align}}

Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung lautet Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} } .


Merksatz: Variable frei wählen

Hat ein Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, so kann eine Variable frei gewählt und die anderen Variablen in Abhängigkeit der gewählten Variable bestimmt werden. Dafür setzt man, nachdem das Gleichungssystem auf Zeilenstufenform gebracht wurde, für eine frei wählbare Variable einen Parameter ein, welcher für eine beliebige reelle Zahl steht. Dafür kann ein beliebiger Buchstabe genutzt werden. Folgende Schritte sollten dabei verfolgt werden:

  1. Wähle die Variable, welche sich durch weitere Äquivalenzumformungen nicht eindeutig bestimmen lässt.
  2. Häufig gibt es mehrere Variablen, die frei gewählt werden können. Setze dann nur für eine Variable einen Parameter ein, da dann die anderen Variablen in Abhängigkeit des Parameters bestimmt werden.
  3. Setze den Parameter für die gewählte Variable ein. Bestimme die anderen, noch nicht eindeutig bestimmten, Variablen in Abhängigkeit des Parameters durch Einsetzen und Umformen.


Aufgabe 6: Variable frei wählen

Im Beispiel Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme Teil c) wurde für die Variable Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle z } der Parameter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle t } gesetzt. Somit hat sich für das lineare Gleichungssystem die Lösungsmenge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} } ergeben.

a) Bestimme eine konkrete mögliche Lösung für die angegebene Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems.

Setze für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle t } eine beliebige reelle Zahl ein.

Beispiel: Wähle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle t = 5 } . Dann folgt für die Lösungsmenge:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle L= \{(2{-}5|2+ 2\cdot 5|5)\} } also Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle L= \{({-}3|12|5)\} }

b) Für welche Variable könnte man statt für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle z } noch einen Parameter setzen? Wie würde die Lösungsmenge dann aussehen? Schau dazu noch einmal in den Lösungsweg des Beispiels Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme Teil c).


Man könnte zum Beispiel auch für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle y } einen Parameter setzen. Setze Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle y = t } .

Einsetzen in die zweite Gleichung und Umformen nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle z } ergibt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \Rightarrow & & 5t - 10z &= 10 \\ \Leftrightarrow & & -10z &= 10 - 5t \\ \Leftrightarrow & & z &= \frac{10-5t}{(-10)} \\ \Leftrightarrow & & z &= -1 + \frac{1}{2} \cdot t \end{align}}

Einsetzen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle y } und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle z } in die erste Gleichung ergibt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \begin{align} & & 2x - t + 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t )&= 2 \\ \Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t - 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t ) \\ \Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t + 4 - 2t \\ \Leftrightarrow & & 2x &= 6-t \\ \Leftrightarrow & & x &= 3 - \frac{1}{2} \cdot t \\ \end{align}}

Somit folgt für die Lösungsmenge:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle L= \{(3 {-} \frac{1}{2} \cdot t|t|{-}1 + \frac{1}{2} \cdot t ) | t \in \mathbb{R}\} }


Aufgabe 7: Anzahl der Lösungen erkennen

Kreuze an, ob die jeweiligen Gleichungssysteme keine Lösung, unendlich viele Lösungen oder genau eine Lösungen besitzen und klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.


Aufgabe 8: Parameter bestimmen

Bestimme den Parameter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle a \in \mathbb{R} } so, dass das lineare Gleichungssystem...

a) ...unendlich viele Lösungen hat.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 4x &&\; + \;&& 6y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 2 \\ 2x &&\; + \;&& 3y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\ 2x &&\; + \;&& ay &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 1 \end{alignat}\right\vert}

Für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle a=3 } ist die dritte Gleichung ein Vielfaches der ersten Gleichung. Somit sind beide Gleichungen für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle a=3 } äquivalent und das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen.

b) ...keine Lösung hat.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; - \;&& ay &&\; = \;&& a-1 \\ x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 1 \end{alignat}\right\vert}


Multiplikation der zweiten Gleichung mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle 2 } und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt für die zweite Gleichung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \begin{align} & & 2x-ay &= a-1 \\ \Leftrightarrow & & -4y+ay &= 3-a \\ \Leftrightarrow & & y(-4+a) &= 3-a \\ \Leftrightarrow & & y &= \frac{(3-a)}{(-4+a)} \end{align}}

An dieser Stelle sieht man, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle y } für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle a=4 } unültig ist, da der Nenner für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle a=4 } Null werden würde. Daher besitzt das Gleichungssystem für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle a=4 } keine Lösung.

Unter- und überbestimmte Gleichungssysteme

Merksatz: Über- und unterbestimmte Gleichungssysteme

Ein Lineares Gleichungssystem heißt unterbestimmt, wenn es mehr Variablen als Gleichungen enthält. Im Allgemeinen sind unterbestimmte Gleichungssysteme nicht eindeutig lösbar. Sie besitzen also unendlich viele Lösungen.

Ein Lineares Gleichungssystem heißt überbestimmt, wenn es mehr Gleichungen als Variablen enthält. Im Allgemeinen besitzen überbestimmte Gleichungssysteme keine Lösung.


Aufgabe 9: Ausnahmefälle bei der Lösung unter- und überbestimmter Gleichungssysteme

Im Merksatz oben wurde erklärt, dass unterbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine eindeutige Lösung, also unendlich viele Lösungen besitzen und überbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine Lösung besitzen. Für beides gibt es jedoch Ausnahmen. Diese Ausnahmen wollen wir uns in dieser Aufgabe anhand zweier Beispiele anschauen.

a) Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein über- oder unterbestimmtes Gleichungssystem handelt.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\ 2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\ 4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4 \end{alignat}\right\vert}

Hierbei handelt es sich um ein überbestimmtes Gleichungssystem.

b) Stimmt die folgende Aussage? Begründe deine Entscheidung.

Das Gleichungssystem ist überbestimmt und hat dennoch unendlich viele Lösungen.

Die Gleichungen sind alle Vielfache voneinander.


Die Aussage stimmt. Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle L= \{(t|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} } . Dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt erkennt man auch direkt daran, dass die zweite und dritte Gleichung Vielfache der ersten Gleichung sind. Durch Multiplikation der ersten Gleichung mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle 2 } erhält man die zweite Gleichung, durch Multiplikation der ersten Gleichung mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle 4 } erhält man die dritte Gleichung. Somit sind alle drei Gleichungen äquivalent. Es reicht also, die Gleichung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle x + y = 1 } zu betrachten. Umstellen der Gleichung nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle y } ergibt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle y = 1 - x }

Die Variable Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle x } kann nun frei gewählt werden, es wird daher der Parameter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle t = x } eingesetzt. Abhängig von diesem Parameter lässt sich dann Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle y = 1 - t } bestimmen. Wird zum Beispiel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle t = 1 } gewählt, so folgt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle y = 1-1 = 0 } .

Dies wird auch deutlich, wenn das Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren gelöst wird:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\ 2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\ 4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4 \end{alignat}\right\vert}

Multiplikation der zweiten Gleichung mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle 2 } und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\ 2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\ 0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0 \end{alignat}\right\vert}

Multiplikation der ersten Gleichung mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle 2 } und Subtraktion des Ergebnisses von der zweiten Gleichung ergibt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\ 0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0\\ 0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0 \end{alignat}\right\vert}

Auch hier wird nun deutlich, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt.

c) Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein unter- oder überbestimmtes Gleichungssystem handelt.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 1 \\ x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \end{alignat}\right\vert}

d) Stimmt die folgende Aussage? Begründe deine Entscheidung.

Das Gleichungssystem ist unterbestimmt und hat dennoch keine Lösung.

Vergleiche die beiden Gleichungen des Gleichungssystems. Was ist gleich? Was unterscheidet sich?


Die Aussage stimmt. Das Gleichungssystem hat keine Lösung, also ist die Lösungsmenge leer: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle L= \{\} } . Dies erkennt man direkt daran, dass bei beiden Gleichungen der Term auf der linken Seite gleich ist. Setzt man also beide Gleichungen mit dem Gleichsetzungsverfahren gleich, so ergibt sich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle 1 = 2 } . Dies ist ein Widerspruch.


Beispiel: Überbestimmtes Gleichungssystem


Wie kann die Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden?

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\ 2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\ x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0 \end{alignat}\right\vert}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\ 2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\ x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0 \end{alignat}\right\vert}

Multiplikation der dritten Gleichung mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle 2 } und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\ 2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\ 0 &&\; + \;&& 7y &&\; = \;&& -1 \end{alignat}\right\vert}

Aus der dritten Gleichung folgt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle y = \frac{(-1)}{7} = - \frac{1}{7} }

Einsetzen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle y } in die zweite Gleichung ergibt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \begin{align} & & 2x - (- \frac{1}{7}) &= 1 \\ \Leftrightarrow & & 2x &= \frac{6}{7} \\ \Leftrightarrow & & x &= \frac{3}{7} \end{align}}

Einsetzen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle x } und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle y } in die erste Gleichung ergibt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \begin{align} & & \frac{3}{7}+ (- \frac{1}{7}) &= 6 \\ \Leftrightarrow & & \frac{2}{7} &= 6 \quad \Rightarrow \text{Widerspruch} \end{align}}

An dieser Stelle entsteht ein Widerspruch. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle L= \{\} }


Beispiel: Unterbestimmtes Gleichungssystem


Wie kann die Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden?

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\ x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \end{alignat}\right\vert}


Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\ x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \end{alignat}\right\vert}

Multiplikation der zweiten Gleichung mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle 2 } und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\ 0 &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 4 \end{alignat}\right\vert}

Aus der zweiten Gleichung folgt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle y = \frac{4}{(-4)} = -1 }

Einsetzen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle y } in die erste Gleichung ergibt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \begin{align} & & 2x + 2 \cdot (-1) + 2z &= 0 \\ \Leftrightarrow & & 2x -2 + 2z &= 0 \end{align}}

Die Gleichung kann nun entweder nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle x } oder nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle z } umgestellt werden. Umstellen nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle z } ergibt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \begin{align} & & 2z &= -2x+2 \\ \Leftrightarrow & & z &= 1-x \end{align}}

Um eine mögliche Lösung zu bestimmen, wird jetzt für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle x } ein Parameter eingesetzt: Wähle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle t = x } . Somit ergibt sich die Lösungsmenge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} } .

Eine mögliche konkrete Lösung ergibt sich, wenn zum Beispiel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle t=3 } gewählt wird. Dann folgt für die Lösungsmenge: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle L= \{(3| {-}1| 1{-}3)\} } also Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle L= \{(3| {-}1| {-}2)\} } .

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} } ist eine mögliche Lösung. Eine mögliche konkrete Lösung wäre Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle L= \{(3| {-}1| {-}2)\} } .


Aufgabe 10: LGS lösen

a) Ist das Gleichungssystem unterbestimmt oder überbestimmt? Begründe deine Entscheidung.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\ x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5 \end{alignat}\right\vert}

Das Gleichungssystem ist unterbestimmt, da es mehr Variablen als Gleichungen besitzt.

b) Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

Eine mögliche Lösung ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle L= \{(t| {-}\frac{1}{3}| 4{-}t)| t \in \mathbb{R}\} } .


Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\ x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5 \end{alignat}\right\vert}

Subtraktion der ersten von der zweiten Gleichung ergibt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\ 0 &&\; - \;&& 6y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 2 \end{alignat}\right\vert}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \Rightarrow y = \frac{2}{(-6)} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3} }

Einsetzen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle y } in die erste Gleichung ergibt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \begin{align} && x + 3 \cdot -\frac{1}{3} + z &= 3 \\ \Leftrightarrow & & x - 1 + z &= 3 \\ \Leftrightarrow & & x + z &= 4 \\ \Leftrightarrow & & z &= 4 - x \\ \end{align}}

Für dieses Gleichungssystem kann keine eindeutige Lösung bestimmt werden. Für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle y } wurde eine eindeutige Lösung bestimmt, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle x } und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle z } können nur in Abhängigkeit der jeweils anderen Variable bestimmt werden. So wurde hier die Variable Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle z } in Abhängigkeit von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle x } bestimmt. Für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle x } kann also eine beliebige reelle Zahl eingesetzt werden, daher wird für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle x } ein Parameter eingesetzt: Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle t = x } . Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle z } berechnet sich dann durch den Parameter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle t } . Das Gleichungssystem hat also unendlich viele Lösungen. Genauso wäre es möglich, die Variable Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle x } in Abhängigkeit von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle z } zu bestimmen, also für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle z } einen Parameter zu setzen.


Aufgabe 11: LGS lösen

a) Ist das Gleichungssystem unterbestimmt oder überbestimmt? Begründe deine Entscheidung.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\ 4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\ x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4 \end{alignat}\right\vert}

Das Gleichungssystem ist überbestimmt, da es mehr Gleichungen als Variablen besitzt.

b) Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle L= \{\} }


Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\ 4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\ x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4 \end{alignat}\right\vert}

Multiplikation der dritten Gleichung mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle 4 } und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\ 4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\ 0 &&\; + \;&& 18y &&\; = \;&& 8 \end{alignat}\right\vert}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \Rightarrow y = \frac{8}{18} = \frac{4}{9} }

Einsetzen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle y } in die zweite Gleichung ergibt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \begin{align} && 4x - 2 \cdot \frac{4}{9} &= 8 \\ \Leftrightarrow & & 4x - \frac{8}{9} &= 8 \\ \Leftrightarrow & & 4x &= \frac{80}{9} \\ \Leftrightarrow & & x &= \frac{20}{9} \\ \end{align}}

Einsetzen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle x } und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle y } in die erste Gleichung ergibt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle 2 \cdot \frac{20}{9} + 2 \cdot \frac{4}{9} = \frac{16}{3} \neq 12 }

Hier entsteht also ein Widerspruch. Das Einsetzen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle x } und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle y } in die erste Gleichung liefert ein anderes Ergebnis als das, was auf der rechten Seite der Gleichung steht. Daher gilt dieses Gleichungssystem als nicht lösbar, es besitzt also keine Lösung.


Aufgabe 12: Zusammenfassung

Fülle die Lücken richtig aus, indem du auf die Lücken klickst und die richtige Aussage aus der Liste auswählst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Lösung zu überprüfen.


Interpretation der Lösung eines Linearen Gleichungssystems

Aufgabe 13: Zuordnen

Ordne die Linearen Gleichungssysteme und Lösungsmengen bezüglich der Lage zweier Geraden zu. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.



Parallele Geraden besitzen keine, identische Geraden unendlich viele und sich schneidende Geraden genau eine Lösung
Ist eine Variable beim Lösen des LGS von einer anderen abhängig, ist eine Variable frei wählbar und somit existieren unendlich viele Lösungen


Aufgabe 14: Lösung interpretieren

Die Lagebeziehung zweier Geraden wird untersucht und dazu g = h gesetzt. Daraus entstand folgendes LGS:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} (-1) &&\; + \;&& 1r &&\; = \;&& 2s \\ 2r &&\; + \;&& 1 &&\; = \;&& 3 &&\; + \;&& 2s\\ 1,5 &&\; + \;&& 3r &&\; = \;&& 4,5 \;&& - \;&& s \end{alignat}\right\vert}


a) Untersuche, ob das LGS eine Lösung hat

Durch Vereinfachen kann folgendes LGS entstehen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 1r &&\; = \;&& 2s &&\; + \;&& 1 \\ 2r &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 2s\\ 3r &&\; = \;&& 3 \;&& - \;&& s \end{alignat}\right\vert}


Setze die erste Gleichung des umgeformten LGS in die zweite Gleichung ein.
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle r=1 , s=0 }


b) Was bedeutet dies hinsichtlich der Lagebeziehung der beiden Geraden?

Das LGS besitzt eine Lösung.
Die Geraden schneiden sich.


Aufgabe 15: Lagebeziehung zweier Geraden untersuchen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 2 &&\; + \;&& 1r &&\; = \;&& 1 &&\; - \;&& s \\ 1 &&\; + \;&& 1r &&\; = \;&& (-s)\\ 3 &&\; - \;&& 1r &&\; = \;&& 4 \;&& + \;&& s \end{alignat}\right\vert}


a) Ermittel die Lösungsmenge des LGS und interpretiert diese in Bezug auf die Lagebeziehung zweier Geraden


Forme das LGS um.
Durch Umformungen kann folgendes LGS entstehen :


Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 1r &&\; = \;&& (-1) &&\; - \;&& s \\ 1r &&\; = \;&& (-1) &&\; - \;&& s \\ 1r &&\; = \;&& 1 \;&& + \;&& s \end{alignat}\right\vert}

Die erste und zweite Gleichung des LGS sind identisch. Setzte die erste Gleichung in die dritte des LGS ein und löse das LGS.
Die Lösungsmenge lautet Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle L= \{(0|{-}1)\} } . Da das LGS eine Lösung hat, schneiden sich die Geraden.