Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lagebeziehungen und Winkel (Gerade und Ebene, 2 Ebenen)

Hier entsteht das Lernpfadkapitel "Lagebeziehungen und Winkel (Gerade und Ebene, 2 Ebenen)".

Info

In diesem Lernpfadkapitel <Kurzbeschreibung des Kapitelziels>

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

• In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
• Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
• Und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.
• Aufgaben und Kapitel, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

Viel Erfolg!

Lagebeziehung Gerade-Ebene

Mögliche Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene

Mögliche Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene

Es gibt drei Möglichkeiten wie eine Ebenen E und eine Gerade g im Raum zueinander liegen können:

• Die Gerade g liegt in der Ebene E.
• Die Gerade g liegt parallel zur Ebene E.
  
• Die Gerade g schneidet die Ebene E.
  

Für die Lage einer Gerade g zu einer Ebene E sind 3 Fälle möglich:

• Die Gerade g liegt in der Ebene E.
• Die Gerade g liegt parallel zur Ebene E. Die Gerade g und die Ebene E schneiden sich.

Untersuchung der Lagebeziehung

Vorgehen

Beispiel (Ebene in Parameterform)

Übungsaufgaben (Learning App)

Beispiel (Ebene in Koordinatenform)

Übungsaufgaben

⭐Berechnung des Winkels zwischen Gerade und Ebene

Merke: Winkel berechnen zwischen Gerade und Ebene

Inhalt

Beispiel: Winkel berechnen zwischen Gerade und Ebene

Inhalt

Aufgabe <Nummer>: <Name>

Inhalt

Aufgabe <Nummer>: Winkel gesucht

Inhalt

Lagebeziehung Ebene-Ebene

Basiswissen

Lagebeziehung zwischen Ebenen

Es gibt drei Möglichkeiten wie zwei Ebenen E und F im Raum zueinander liegen können:

• E und F sind identisch
• E und F liegen parallel zueinander
  
• E und F schneiden sich
  

Zur Untersuchung der Lagebeziehungen kann man die Ebenengleichungen der beiden Ebenen miteinander gleichsetzen. Mit der Lösung des daraus entstehenden LGS kann man dann Aussagen über die Lagebeziehung treffen:

Aufgabe: Ergebnisse interpretieren

Interpretiere die jeweilige Situation geometrisch.

a) ${\begin{vmatrix}1&0&0&-0,5&0,5\\0&1&0&-1&0,5\\0&0&1&1,5&1\end{vmatrix}}$

b) ${\begin{vmatrix}1&0&-1&-2&0\\0&1&-1&-3&0\\0&0&0&0&1\end{vmatrix}}$

c) ${\begin{vmatrix}1&0&-1&-2&1\\0&1&-1&-3&0\\0&0&0&0&0\end{vmatrix}}$

Aufgabe: Lagebeziehungen berechnen

Untersuche die Lagebeziehung der jeweiligen Ebenen.

a) $E:{\vec {x}}={\begin{pmatrix}0\\0\\2{,}5\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\\-1{,}5\end{pmatrix}},t,s\in \mathbb {R}$

b) $E:{\vec {x}}={\begin{pmatrix}0\\0\\2{,}5\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\\-1{,}5\end{pmatrix}},t,s\in \mathbb {R}$

c) $E:{\vec {x}}={\begin{pmatrix}0\\0\\2{,}5\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\\-1{,}5\end{pmatrix}},t,s\in \mathbb {R}$

Aufgabe: Schnitt von zwei Zeltflächen

Die beiden Seitenflächen eines Zeltes liegen in den Ebenen $E:{\vec {x}}={\begin{pmatrix}8\\0\\0\end{pmatrix}}+r\cdot {\begin{pmatrix}-1\\0\\0\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}0\\3\\4\end{pmatrix}},r,s\in \mathbb {R}$ und $E:{\vec {x}}={\begin{pmatrix}8\\6\\0\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}-1\\0\\0\end{pmatrix}}+u\cdot {\begin{pmatrix}0\\-3\\4\end{pmatrix}},t,u\in \mathbb {R}$. Berechne die Geradengleichung der oberen Zeltkante.

⭐Berechnung des Winkels zwischen Ebene und Ebene

Merke: Winkel berechnen zwischen zwei Ebenen

Inhalt

Beispiel: Winkel berechnen zwischen zwei Ebenen

Inhalt

Aufgabe <Nummer>: Fehlerbeschreibung

Inhalt

Aufgabe <Nummer>: Zeltwände

Inhalt