Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lagebeziehungen und Winkel (Gerade und Ebene, 2 Ebenen): Unterschied zwischen den Versionen

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Version vom 25. Mai 2021, 14:29 Uhr


Info

In diesem Lernpfadkapitel geht es um die Lagebeziehung zwischen einer Gerade und einer Ebene oder zwischen zwei Ebenen inklusive der Berechnung der Schnittwinkel. Das Lernpfadkapitel ist so aufgebaut, dass ihr in jedem Abschnitt zuerst grundlegende Inhalte mithilfe der Merkkästen wiederholen könnt.

Anschließend findet ihr eine Beispielaufgabe, in der die Inhalte veranschaulicht werden. Am Ende jedes Abschnittes gibt es Übungsaufgaben mit Tipps und Lösungen, sodass ihr üben und euch selbst überprüfen könnt.


Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

  • In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
  • Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
  • Und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.
  • Aufgaben und Kapitel, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.
Viel Erfolg!


Lagebeziehung Gerade-Ebene

Mögliche Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene

Merke:

Zwischen einer Geraden und einer Ebene gibt es drei mögliche Lagebeziehungen.

Lagebeziehung Gerade Ebene schneidend.jpg

Die Gerade schneidet die Ebene.

Lagebeziehung Gerade Ebene parallel.jpg

Die Gerade und die Ebene liegen parallel.

Lagebeziehung Gerade Ebene liegtin.jpg

Die Gerade liegt in der Ebene.


Untersuchung der Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene

Aufgabe 1: Lückentext zur Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene



Vorgehen: Untersuchung der Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene
Vorgehen Lagebeziehung Gerade und Ebene.jpg


Beispiel: Untersuchung der Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene


Gegeben sind eine Ebene und eine Gerade . Untersuche die Lagebeziehung der Gerade und der Ebene und bestimme gegebenenfalls den Schnittpunkt.


1. Schritt: Setze die Geraden- und Ebenengleichung gleich:


2. Schritt: Stelle das zugehörige lineare Gleichungssystem auf:


3. Schritt: Löse das Gleichungssystem mit dem Gaußverfahren oder dem Taschenrechner:


4. Schritt: Interpretiere die Lösung des Gleichungssystems anhand der Anzahl der Lösungen. Da das Gleichungssystem nur eine Lösung hat, besitzen die Ebene und die Gerade nur einen gemeinsamen Punkt. Also schneidet die Gerade die Ebene.


5. Schritt: Da sich die Ebene und die Gerade schneiden, kannst du den Schnittpunkt der beiden berechnen. Setze dafür den Parameter in die Geradengleichung ein:

Alternativ kannst du die Parameter und in die Ebenengleichung einsetzen und erhältst den gleichen Punkt.


Aufgabe 2: Untersuchung der Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene

Gegeben ist eine Ebene . Untersuche die Lagebeziehung zwischen dieser Ebene und den untenstehenden Geraden. Ziehe die Geraden in das entsprechende Feld.



1. Setze die Geradengleichung mit der Ebenengleichung gleich.

2. Stelle ein LGS auf.

3. Löse das LGS mit dem Gaußverfahren oder dem Taschenrechner.

4. Die Anzahl der Lösungen zeigt dir, wie viele gemeinsamen Punkte die Gerade und die Ebene haben. Daran kannst du die Lagebeziehung erkennen.


Aufgabe 3: Schnittpunktberechnung

Gegeben sind eine Gerade und eine Ebene .

1. Setze die Geradengleichung mit der Ebenengleichung gleich.

2. Stelle ein LGS auf.

3. Löse das LGS mit dem Gaußverfahren oder dem Taschenrechner.

4. Die Anzahl der Lösungen zeigt dir, wie viele gemeinsamen Punkte die Gerade und die Ebene haben. Daran kannst du die Lagebeziehung erkennen.

5. Berechne den Schnittpunkt, indem du den Wert für in die Geradengleichung einsetzt.

Zeige, dass sich die Gerade und die Ebene schneiden und gib den Schnittpunkt an.

1. Setze die Geradengleichung mit der Ebenengleichung gleich: Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\lef“): {\displaystyle \lef t(\begin{matrix} 1\\ 0\\ 2 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\ 1\\ {-}3 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 4\\ 1\\ 2 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} 1\\ 3\\ {-}2 \end{matrix} \right)+ s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\ 3\\ 1 \end{matrix} \right) }

2. Stelle ein LGS auf:


3. Löse das LGS mit dem Gaußverfahren oder dem Taschenrechner:


4. Da das LGS genau eine Lösung besitzt, haben die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Punkt. Somit schneiden sie sich.Die Anzahl der Lösungen zeigt dir, wie viele gemeinsamen Punkte die Gerade und die Ebene haben.

5. Berechne den Schnittpunkt, indem du den Wert für in die Geradengleichung einsetzt:


Aufgabe 3: Schatten eines Sonnensegels

Da es Frau Meier im Sommer auf ihrer Terrasse gerne schattig haben möchte, spannt sie ein dreieckiges Segeltuch auf. Die Eckpunkte des Segeltuchs sind und . Die Terrasse wird modelliert durch die Ebene . Die Richtung der Sonnenstrahlen entspricht dem Vektor . In welchem Bereich hat Frau Meier nun Schatten?


Hinweis: Da Frau Meier eine sehr große Terrasse hat, kannst du davon ausgehen, dass der Schatten vollständig innerhalb der Terrasse liegt.


Bestimme die Geraden der Lichtstrahlen durch die Eckpunkte des Sonnensegels und berechne, wo sie auf die Terrasse treffen. Vielleicht hilft dir eine Skizze.
Hier siehst du eine Skizze, die die oben beschriebene Situation abbildet. Überlege dir, welche Punkte du für die Aufgabe bestimmen musst. Aufgabe Sonnensegel Spurpunkte.png
Nachdem ihr die Geraden- und Ebenengleichung gleichgesetzt habt, reicht es, wenn ihr euch die Gleichung für die -Koordinate anschaut.

1. Schritt: Mache eine Skizze von der Situation. Aufgabe Sonnensegel Spurpunkte.png 2. Schritt: Stelle die Geradengleichungen durch die Eckpunkte des Sonnensegels in Richtung der Sonnenstrahlen auf: , ,

3. Schritt: Berechne die Schnittpunkte der Geraden mit der Ebene.

Berechnung von :

Setze die Geraden- und Ebenengleichung gleich:

Notiere die Zeilen der Gleichung als Gleichungssystem:

Berechne den Parameter , indem du die 3. Gleichung nach umformst:

Durch Einsetzen von in die Geradengleichung erhältst den Punkt .

Berechnung von :

Setze die Geraden- und Ebenengleichung gleich:

Notiere die Zeilen der Gleichung als Gleichungssystem:

Löse die 3. Gleichung nach auf:

Durch Einsetzen von in die Geradengleichung erhältst den Punkt .

Berechnung von :

Notiere die Zeilen der Gleichung als Gleichungssystem:

Löse die 3. Gleichung nach auf:

Durch Einsetzen von in die Geradengleichung erhältst den Punkt .

Die Schattenfläche wird also durch das Dreieck mit den Eckpunkten und begrenzt.


⭐Merke: Die Lagebeziehung einer Gerade und einer Ebene mit dem Normalenvektor untersuchen

Bei der Bestimmung der Lagebeziehung zwischen einer Gerade und einer Ebene kann dir der Normalenvektor der Ebene helfen.

Lagebeziehung Gerade Ebene parallel Normalenvektor.jpg

Wenn der Richtungsvektor der Gerade und der Normalenvektor der Ebene orthogonal zueinander sind und Gerade und Ebene keinen gemeinsamen Punkt besitzen, so sind sie parallel zueinander.

Lagebeziehung Gerade Ebene liegtin Normalenvektor.jpg

Wenn der Richtungsvektor der Gerade und der Normalenvektor der Ebene orthogonal zueinander sind und Gerade und Ebene unendlich viele gemeinsame Punkte besitzen, so liegt die Gerade in der Ebene.

Lagebeziehung Gerade Ebene schneidend Normalenvektor.jpg

Wenn der Richtungsvektor der Gerade und der Normalenvektor der Ebene nicht orthogonal zueinander sind, dann schneiden sich die Gerade und die Ebene und es kann ein Schnittpunkt bestimmt werden.


⭐Vorgehen: Untersuchung der Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene mit dem Normalenvektor

Gegeben sind eine Gerade und eine Ebene mit dem Normalenvektor .

Vorgehen Lagebeziehung Gerade und Ebene3.jpg.jpg


⭐ Beispiel: Untersuchung der Lagebeziehung einer Gerade und einer Ebene in Koordinatenform


Gegeben sind eine Ebene und eine Gerade . Bestimme die Lagebeziehung von Gerade und Ebene.


1. Schritt: Prüfe, ob der Richtungsvektor der Gerade orthogonal zum Normalenvektor der Ebene liegt: . Da das Skalarprodukt ergibt, gilt .


2. Schritt: Prüfe durch eine Punktprobe, ob der Aufpunkt der Gerade in der Ebene liegt:

Der Aufpunkt liegt nicht in der Ebene. Daher verlaufen die Gerade und die Ebene parallel zueinander.



⭐ Aufgabe 4: Bestimme den Parameter

Gegeben ist eine Ebene . Bestimme und in den folgenden Geraden so, dass die jeweils angegebene Lagebeziehung erfüllt ist.

a) Die Gerade soll parallel zur Ebene verlaufen.

Damit die Gerade und die Ebene parallel zueinander sind, müssen der Richtungsvektor von und der Normalenvektor von orthogonal zueinander sein.

.

Damit die beiden Vektoren orthogonal zueinander sind, muss das Skalarprodukt sein: .

b) Die Gerade soll in der Ebene liegen.

Damit die Gerade in der Ebene liegt, müssen der Richtungsvektor von und der Normalenvektor von orthogonal zueinander sein.
Wenn die Gerade in der Ebene liegt, liegt jeder Punkt auf der Gerade auch in der Ebene . Prüfe mit der Punktprobe, ob der Aufpunkt von in der Ebene liegt.
Prüfe mit der Punktprobe, ob der Aufpunkt von in der Ebene liegt.

Finde zuerst m: . Damit die beiden Vektoren orthogonal zueinander sind, muss das Skalarprodukt sein: .

Finde danach durch eine Punktprobe: Setze den Aufpunkt in die Ebenengleichung ein und löse nach auf: .

c) Die Gerade soll die Ebene schneiden.

Der Richtungsvektor der Geraden darf nicht orthogonal zum Normalenvektor von liegen.
Was bedeutet es für , wenn der Richtungsvektor der Geraden nicht orthogonal zum Normalenvektor der Ebene liegen darf?
Bestimme, welchen Wert nicht annehmen darf, damit die Gerade die Ebene schneidet.
Für ist der Richtungsvektor von orthogonal zum Normalenvektor von und die Gerade liegt parallel zur Ebene . Jeder andere Wert für ist eine richtige Lösung.


⭐ Aufgabe 5: Beamer

Luca hält einen Vortrag vor seiner Klasse. Mit einem Laserpointer möchte er auf einer Karte an der Wand etwas zeigen. Die Wand des Klassenraums wird durch die Ebene dargestellt. Der Strahl des Laserpointers wird durch die Gerade modelliert. Berechne ohne Taschenrechner, wo der Strahl aus Lucas Laserpointer auf die Karte an der Wand trifft.

Berechne den Schnittpunkt der Gerade mit der Ebene, indem du die einzelnen Koordinaten der Gerade in die Ebenengleichung einsetzt.

Setze die einzelnen Koordinaten der Gerade in die Ebenengleichung ein:

Berechne den Schnittpunkt S, indem du in die Geradengleichung einsetzt. Du erhältst den Ortsvektor zum Schnittpunkt und kannst den Schnittpunkt dann ablesen: . Damit ergibt sich der Schnittpunkt .


⭐Berechnung des Winkels zwischen Gerade und Ebene

⭐ Merke: Berechnung des Winkels zwischen Gerade und Ebene


Wenn eine Gerade eine Ebene schneidet, kannst du nicht nur den Schnittpunkt berechnen, sondern auch den Schnittwinkel. Dafür benötigen wir den Normalenvektor. Wenn du nicht mehr genau weißt, wie man diesen abliest oder berechnet, schau noch einmal in das Kapitel Ebenen im Raum (Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum).


⭐ Merksatz: Winkel berechnen zwischen Gerade und Ebene


Winkel zwischen Gerade und Ebene

Sei eine Ebene mit dem Normalenvektor und eine Gerade mit dem Richtungsvektor . Der Schnittwinkel zwischen und kann mit folgender Formel berechnet werden: .

Ist nach dem Schnittwinkel gefragt, so ist immer der kleinere der beiden Winkel gesucht, die von Gerade und Ebene eingeschlossen werden. Mit der obigen Formel erhält man deshalb für immer Werte zwischen und .

Wenn du wissen möchtest, warum du nicht - wie beim Winkel zwischen zwei Geraden - den Kosinus benutzt, kannst du das hier nachlesen:

Winkel zwischen Gerade und Ebene

Der Normalenvektor einer Ebene steht in einem Winkel zur Ebene .

Wenn man den Winkel zwischen einer Gerade und einer Ebene berechnen will, kann wie beim Winkel zwischen zwei Geraden mit der Kosinusfunktion der Winkel zwischen dem Richtungsvektor von und dem Normalenvektor von berechnet werden. In der Abbildung ist dieser Winkel mit bezeichnet. Um nun den Winkel zwischen und zu erhalten, müssen wir von abziehen. Dies entspricht aufgrund trigonometrischer Gesetzmäßigkeiten der obigen Formel mit der Sinusfunktion.


Aufgabe ⭐: Berechnung des Winkels zwischen Gerade und Ebene


Gegeben sind die Gerade und die Ebene . Bestimme den Winkel, unter dem sich die Gerade und die Ebene schneiden.


1. Schritt: Notiere den Richtungvektor der Gerade und den Normalenvektor der Ebene.

und

2. Schritt: Setze die Vektoren in die Formel ein.

3. Schritt: Forme die Gleichung um.

Der Schnittwinkel beträgt also .


Aufgabe 6⭐: Trinkpäckchen


Trinkpäckchen

Eine Schulklasse nimmt auf ihrem Wandertag Trinkpäckchen mit. Jedes Trinkpäckchen hat die Form eines Quaders (siehe Abbildung). Die Seite, auf der sich das Loch für den Strohhalm befindet, kann durch die Ebene beschrieben werden. Einige Kinder ärgern sich, dass sie mit dem Strohhalm nicht gut in die Ecken kommen. Sie wollen den Winkel berechnen, unter dem sie den Strohhalm in das Trinkpäckchen stecken müssen, um an den Saft in der gegenüberliegenden Ecke zu kommen.

Wenn der Strohhalm so in das Trinkpäckchen gesteckt wird, das er in der gegenüber liegenden Ecke anstößt, kann er durch die Gerade veranschaulicht werden: .

Kannst du den Kindern helfen, den Winkel zu berechnen?

Vielleicht hilft dir die Skizze.

Gesucht wird der Winkel zwischen der Gerade und der Ebene . Der Richtungsvektor der Gerade ist . Der Normalenvektor der Ebene kann abgelesen werden: .

Einsetzen der Vektoren in die Formel liefert:

Mithilfe des Taschenrechners kann das Ergebnis berechnet werden:

Die Kinder sollten den Strohhalm also in einem Winkel von ca. in das Trinkpäckchen stecken, um an den Saft in der gegenüberliegenden Ecke zu kommen.


Aufgabe 7⭐: Gerade gesucht


Bisher wurde mit der Formel zur Winkelberechnung nur der Winkel berechnet. Die Formel kann jedoch auch genutzt werden, um bei einem vorgegebenen Winkel die Lage der Gerade oder Ebene zu bestimmen.

Eine Gerade soll die -Ebene in einem Winkel von schneiden. Über die Gerade ist nur bekannt, dass sie durch den Punkt und in Richtung des Vektors verläuft. Stelle die Gleichung der Gerade auf, indem du den Parameter bestimmst.

Notiere dir alle Informationen aus dem Text. Was weißt du über die Berechnung des Winkels zwischen einer Gerade und einer Ebene?
Der Normalenvektor der -Ebene verläuft nur in -Richtung.
Um Gleichungen mit einer Unbekannten zu lösen, kannst du die nSolve-Funktion deines Taschenrechners nutzen.

Bestimme zuerst den Normalenvektor der Ebene. Da es sich um die -Ebene handelt, lautet der Normalenvektor .

Nun können der Normalenvektor der Ebene, der Richtungsvektor der Gerade und der vorgegebene Winkel in die Formel eingesetzt werden:

Löst man die Gleichung mithilfe des Taschenrechners, erhält man das Ergebnis: .

Somit kann im letzten Schritt die Gerade aufgestellt werden. Man erhält .


Lagebeziehung Ebene-Ebene

Mögliche Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen

Merke:

Zwischen zwei Ebenen gibt es drei mögliche Lagebeziehungen:

Lagebeziehung zweier Ebenen (schneidend).png

Die Ebenen schneiden sich in einer Schnittgeraden.

Lagebeziehung zweier Ebenen (parallel).png

Die Ebenen sind parallel.

Lagebeziehung zweier Ebenen (identisch).png

Die Ebenen sind identisch.


Aufgabe 8: Lückentext zur Lagebeziehung zwischen Ebene und Ebene



Untersuchung der Lagebeziehung von zwei Ebenen

Beide Ebenengleichungen in Parameterform

Merke: Lagebeziehung von zwei Ebenen in Parameterform untersuchen.
Vorgehen bei der Untersuchung der Lagebeziehung zweier Ebenen in Parameterform.jpg


Beispiel: Untersuchung der Lagebeziehung von zwei Ebenen in Parameterform


Gegeben sind eine Ebene und eine Ebene . Untersuche die Lagebeziehung der beiden Ebenen.


1. Schritt: Setze die beiden Ebenengleichungen gleich.


2. Schritt: Stelle das zugehörige lineare Gleichungssystem auf.


3. Schritt: Löse das Gleichungssystem mit dem Gaußverfahren oder dem Taschenrechner:

Mithilfe des Gaußverfahrens:

Mithilfe des Taschenrechners:

                      "Keine Lösung gefunden"

4. Schritt: Interpretiere die Lösung des Gleichungssystems:

In der dritten Zeile der Lösungsmatrix befindet sich ein Widerspruch, sodass das LGS keine Lösung besitzt: . Der Taschenrechner zeigt diese Interpretation direkt unterhalb der Lösungsmatrix an. Die beiden Ebenen sind somit parallel.


Beispiel: Untersuchung der Lagebeziehung von zwei Ebenen in Parameterform


Gegeben sind eine Ebene und eine Ebene . Untersuche die Lagebeziehung der beiden Ebenen.


1. Schritt: Setze die beiden Ebenengleichungen gleich.


2. Schritt: Stelle das zugehörige lineare Gleichungssystem auf.


3. Schritt: Löse das Gleichungssystem mit dem Gaußverfahren oder dem Taschenrechner:

Mithilfe des Gaußverfahrens:

Mithilfe des Taschenrechners:

                      \{\}

4. Schritt: Interpretiere die Lösung des Gleichungssystems:

Die Lösungsmenge beträgt: . Die beiden Ebenen schneiden sich in einer Schnittgeraden.

5. Schritt: Bestimme die Schnittgerade:

Stelle die dritte Gleichung zu um:

Setze in die zweite Gleichung ein und stelle zu um:

Setze und in die erste Gleichung ein und stelle zu um:

Setze und in die Ebenengleichung ein:

Stelle die Schnittgerade auf:


Aufgabe 9: Ergebnisse interpretieren


Zur Untersuchung der Lagebeziehung zweier Ebenen, wurden die Ebenengleichungen gleichgesetzt und das zugehörige Gleichungssystem aufgestellt. Betrachte die Ausgabe des Taschenrechners und interpretiere die jeweilige Situation geometrisch.

a) 

                     


Das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen. Da nur einer der Parameter frei wählbar ist, schneiden sich die beiden Ebenen in einer Schnittgeraden.

b) 

                      "Keine Lösung gefunden"
Das Gleichungssystem besitzt keine Lösung, da sich in der dritten Zeile ein Widerspruch befindet. Die Ebenen liegen somit parallel zueinander.

c) 

                      
Das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen. Da zwei Parameter frei wählbar sind, sind die beiden Ebenen identisch.

⭐Ebenengleichungen in Parameter- und Koordinatenform

⭐Merke: Lagebeziehung von einer Ebene in Parameterform und einer Ebene in Koordinatenform untersuchen
Vorgehen zur Untersuchung der Lagebeziehung von zwei Ebenen.jpg


⭐Beispiel: Untersuchung der Lagebeziehung von einer Ebene in Parameterform und einer Ebene in Koordinatenform


Gegeben sind eine Ebene und eine Ebene . Untersuche die Lagebeziehung der beiden Ebenen.


1. Schritt: Prüfe, ob die Richtungsvektoren und der Ebene orthogonal zum Normalenvektor der Ebene liegen.

Hierfür muss gelten, dass und .


2.Schritt: Interpretiere die Lösung der Skalarprodukte:

Da beide Skalarprodukte der jeweiligen Vektoren sind, liegt der Normalenvektor orthogonal zu beiden Richtungsvektoren. Das bedeutet, dass die Ebenen sich nicht in einer Schnittgeraden schneiden, sondern entweder identisch oder parallel sind.


3. Schritt: Überprüfe die Lagebeziehung mithilfe der Punktprobe.

Setze hierfür den Aufpunkt der Ebene in die Ebenengleichung der Ebene ein.


4. Schritt: Interpretiere die Lösung der Punktprobe.

Da der Aufpunkt die Koordinatengleichung von erfüllt, liegt der Aufpunkt in . Da wir bereits wissen, dass die Ebenen entweder parallel oder identisch sind, haben wir damit gezeigt, dass und identisch sind.


⭐Beispiel: Untersuchung der Lagebeziehung von einer Ebene in Parameterform und einer Ebene in Koordinatenform


Gegeben sind eine Ebene und eine Ebene . Untersuche die Lagebeziehung der beiden Ebenen und berechne gegebenenfalls die Schnittgerade.


1. Schritt: Prüfe, ob die Richtungsvektoren und der Ebene orthogonal zum Normalenvektor der Ebene liegen.

Hierfür muss gelten, dass und .


2.Schritt: Interpretiere die Lösung der Skalarprodukte:

Da das Skalarprodukt des ersten Richtungsvektors bereits ist, braucht man das Skalarprodukt des zweiten Richtungsvektors nicht mehr zu berechnen. Du kannst nun direkt folgern, dass sich die Ebenen in einer Schnittgeraden schneiden.

3. Schritt: Bestimme die Schnittgerade:

Forme hierfür zunächst die Ebenengleichung um:

,