Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lagebeziehungen und Winkel (Gerade und Ebene, 2 Ebenen): Unterschied zwischen den Versionen

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{{Lösung versteckt|1= Bestimme die Geraden der Lichtstrahlen durch die Eckpunkte des Sonnensegels und berechne, wo sie auf die Terrasse treffen. Vielleicht hilft dir eine Skizze.|2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1= Bestimme die Geraden der Lichtstrahlen durch die Eckpunkte des Sonnensegels und berechne, wo sie auf die Terrasse treffen. Vielleicht hilft dir eine Skizze.|2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= Hier siehst du eine Skizze, die die oben beschriebene Situation abbildet. Überlege dir, welche Punkte du für die Aufgabe bestimmen musst. [[Datei:Aufgabe Sonnensegel Spurpunkte.png|rahmenlos|500x500px]]|2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}
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{{Lösung versteckt|1= Hier siehst du eine Skizze, die die oben beschriebene Situation abbildet. Überlege dir, welche Punkte du für die Aufgabe bestimmen musst.  
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[[Datei:Aufgabe Sonnensegel Spurpunkte.png|rahmenlos|500x500px]]|2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1= Nachdem ihr die Geraden- und Ebenengleichung gleichgesetzt habt, reicht es, wenn ihr euch die Gleichung für die <math>x_3</math>-Koordinate anschaut.|2=Tipp 3 anzeigen|3=Tipp 3 verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1= Nachdem ihr die Geraden- und Ebenengleichung gleichgesetzt habt, reicht es, wenn ihr euch die Gleichung für die <math>x_3</math>-Koordinate anschaut.|2=Tipp 3 anzeigen|3=Tipp 3 verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1=  
 
{{Lösung versteckt|1=  
 
'''1. Schritt:''' Mache eine Skizze von der Situation.
 
'''1. Schritt:''' Mache eine Skizze von der Situation.
 
[[Datei:Aufgabe Sonnensegel Spurpunkte.png|rahmenlos|500x500px]]
 
[[Datei:Aufgabe Sonnensegel Spurpunkte.png|rahmenlos|500x500px]]
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'''2. Schritt:''' Stelle die Geradengleichungen durch die Eckpunkte des Sonnensegels in Richtung der Sonnenstrahlen auf: <math>f\colon \vec{x}=\left( \begin{matrix} 9\\ {-}5\\ 7 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} -2\\ {-}2\\ {-}10 \end{matrix} \right)</math>,
 
'''2. Schritt:''' Stelle die Geradengleichungen durch die Eckpunkte des Sonnensegels in Richtung der Sonnenstrahlen auf: <math>f\colon \vec{x}=\left( \begin{matrix} 9\\ {-}5\\ 7 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} -2\\ {-}2\\ {-}10 \end{matrix} \right)</math>,
 
<math>g\colon \vec{x}=\left( \begin{matrix} 6\\ {-}5\\ 7 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} -2\\ {-}2\\ {-}10 \end{matrix} \right)</math>,
 
<math>g\colon \vec{x}=\left( \begin{matrix} 6\\ {-}5\\ 7 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} -2\\ {-}2\\ {-}10 \end{matrix} \right)</math>,
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Setze die Geraden- und Ebenengleichung gleich:
 
Setze die Geraden- und Ebenengleichung gleich:
<math>\left( \begin{matrix} {-}13\\ {-}7\\ 0 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} 1\\ 0\\ 0 \end{matrix} \right)+ s \cdot \left( \begin{matrix} 0\\ 1\\ 0 \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 9\\ {-}5\\ 7 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} -2\\ {-}2\\ {-}10 \end{matrix} \right) </math>  
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<math>\left( \begin{matrix} {-}13\\ {-}7\\ 0 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} 1\\ 0\\ 0 \end{matrix} \right)+ s \cdot \left( \begin{matrix} 0\\ 1\\ 0 \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 9\\ {-}5\\ 7 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} -2\\ {-}2\\ {-}10 \end{matrix} \right) </math>  
  
 
Notiere die Zeilen der Gleichung als Gleichungssystem:
 
Notiere die Zeilen der Gleichung als Gleichungssystem:
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Setze die Geraden- und Ebenengleichung gleich:
 
Setze die Geraden- und Ebenengleichung gleich:
<math>\left( \begin{matrix} {-}13\\ {-}7\\ 0 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} 1\\ 0\\ 0 \end{matrix} \right)+ s \cdot \left( \begin{matrix} 0\\ 1\\ 0 \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 6\\ {-}5\\ 7 \end{matrix} \right) + s \cdot \left( \begin{matrix} -2\\ {-}2\\ {-}10 \end{matrix} \right) </math>  
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<math>\left( \begin{matrix} {-}13\\ {-}7\\ 0 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} 1\\ 0\\ 0 \end{matrix} \right)+ s \cdot \left( \begin{matrix} 0\\ 1\\ 0 \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 6\\ {-}5\\ 7 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} -2\\ {-}2\\ {-}10 \end{matrix} \right) </math>  
  
 
Notiere die Zeilen der Gleichung als Gleichungssystem:
 
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====&#x2B50;Ebene in Koordinatenform====
 
====&#x2B50;Ebene in Koordinatenform====
{{Box|&#x2B50;Merke: Die Lagebeziehung einer Gerade und einer Ebene mit dem Normalenvektor untersuchen|  
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{{Box|&#x2B50;Merke: Die Lagebeziehung einer Gerade und einer Ebene mit dem Normalenvektor untersuchen|Bei der Bestimmung der Lagebeziehung zwischen einer Gerade <math>g</math> und einer Ebene <math>E</math> kann dir der Normalenvektor der Ebene helfen.
Bei der Bestimmung der Lagebeziehung zwischen einer Gerade <math>g</math> und einer Ebene <math>E</math> kann dir der Normalenvektor der Ebene helfen.
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Wenn du nicht mehr genau weißt, wie man diesen abliest oder berechnet, schau noch einmal in das Kapitel [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum|Ebenen im Raum]].
 
{{3Spalten
 
{{3Spalten
 
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{{Lösung versteckt|1=Verwende des Skalarprodukt.|2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1=Verwende des Skalarprodukt.|2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Wenn das Skalarprodukt zweier Vektoren <math>0</math> ergibt, dann sind die beiden Vektoren orthogonal zueiander. Wenn das Skalarprodukt ungleich <math>0</math> ist, dann sind sie nicht orthogonal.|2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}
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{{Lösung versteckt|1=Wenn das Skalarprodukt zweier Vektoren <math>0</math> ergibt, dann sind die beiden Vektoren orthogonal zueinander. Wenn das Skalarprodukt ungleich <math>0</math> ist, dann sind sie nicht orthogonal.|2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1=<math>\vec{n} \ast \vec{u} = \left( \begin{matrix} 2\\ 1\\ {-}1 \end{matrix} \right) \ast \left( \begin{matrix} -3\\ 5\\ {-}1 \end{matrix} \right) = 2 \cdot (-3) + 1 \cdot 5 -1 \cdot (-1) = 0</math>. Da das Skalarprodukt <math> 0 </math> ergibt, gilt <math>\vec{n} \perp \vec{u}</math>.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1=<math>\vec{n} \ast \vec{u} = \left( \begin{matrix} 2\\ 1\\ {-}1 \end{matrix} \right) \ast \left( \begin{matrix} -3\\ 5\\ {-}1 \end{matrix} \right) = 2 \cdot (-3) + 1 \cdot 5 -1 \cdot (-1) = 0</math>. Da das Skalarprodukt <math> 0 </math> ergibt, gilt <math>\vec{n} \perp \vec{u}</math>.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
  
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{{Lösung versteckt|1=Verwende des Skalarprodukt.|2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1=Verwende des Skalarprodukt.|2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Wenn das Skalarprodukt zweier Vektoren <math>0</math> ergibt, dann sind die beiden Vektoren orthogonal zueiander. Wenn das Skalarprodukt ungleich <math>0</math> ist, dann sind sie nicht orthogonal.|2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}
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{{Lösung versteckt|1=Wenn das Skalarprodukt zweier Vektoren <math>0</math> ergibt, dann sind die beiden Vektoren orthogonal zueinander. Wenn das Skalarprodukt ungleich <math>0</math> ist, dann sind sie nicht orthogonal.|2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1=<math>\vec{n} \ast \vec{u} = \left( \begin{matrix} 1\\ 2\\ 3 \end{matrix} \right) \ast \left( \begin{matrix} 4\\ {-}7\\ 5 \end{matrix} \right) = 1 \cdot 4 + 2 \cdot (-7) +3 \cdot 5 = 0</math>. Da das Skalarprodukt <math> 0 </math> ergibt, gilt <math>\vec{n} \perp \vec{u}</math>.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1=<math>\vec{n} \ast \vec{u} = \left( \begin{matrix} 1\\ 2\\ 3 \end{matrix} \right) \ast \left( \begin{matrix} 4\\ {-}7\\ 5 \end{matrix} \right) = 1 \cdot 4 + 2 \cdot (-7) +3 \cdot 5 = 0</math>. Da das Skalarprodukt <math> 0 </math> ergibt, gilt <math>\vec{n} \perp \vec{u}</math>.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
  
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{{Lösung versteckt|1=Verwende des Skalarprodukt.|2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1=Verwende des Skalarprodukt.|2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Wenn das Skalarprodukt zweier Vektoren <math>0</math> ergibt, dann sind die beiden Vektoren orthogonal zueiander. Wenn das Skalarprodukt ungleich <math>0</math> ist, dann sind sie nicht orthogonal.|2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}
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{{Lösung versteckt|1=Wenn das Skalarprodukt zweier Vektoren <math>0</math> ergibt, dann sind die beiden Vektoren orthogonal zueinander. Wenn das Skalarprodukt ungleich <math>0</math> ist, dann sind sie nicht orthogonal.|2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>\vec{n} \ast \vec{u} = \left( \begin{matrix} 1\\ {-}2\\ 1 \end{matrix} \right) \ast \left( \begin{matrix} -2\\\frac{3}{2} \\1 \end{matrix} \right) = 1\cdot -2-2 \cdot \frac{3}{2} + 1 \cdot 1= -4</math>. Da das Skalarprodukt <math> -4 \neq 0 </math> ergibt, gilt <math>\vec{n}</math> und <math> \vec{u}</math> sind nicht orthogonal zueinander. Somit schneiden sich die Gerade und die Ebene.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
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{{Lösung versteckt|1=<math>\vec{n} \ast \vec{u} = \left( \begin{matrix} 1\\ {-}2\\ 1 \end{matrix} \right) \ast \left( \begin{matrix} -2\\\frac{3}{2} \\1 \end{matrix} \right) = 1\cdot -2-2 \cdot \frac{3}{2} + 1 \cdot 1= -4</math>. Da das Skalarprodukt <math> -4 \neq 0 </math> ergibt, sind <math>\vec{n}</math> und <math> \vec{u}</math> nicht orthogonal zueinander. Somit schneiden sich die Gerade und die Ebene.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
  
  
'''2. Schritt:''' Berechnung des Schnittpunktes.
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'''2. Schritt:''' Berechne des Schnittpunktes.
 
{{Lösung versteckt|1=Setze die Koordinaten der Gerade <math>g</math> in die Ebenengleichung von <math>E</math> ein und forme nach dem Parameter um.|2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1=Setze die Koordinaten der Gerade <math>g</math> in die Ebenengleichung von <math>E</math> ein und forme nach dem Parameter um.|2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1= Die einzelnen Koordinaten der Gerade <math>g</math> sind: <math>x_1=4-2r, x_2=3+\frac{3}{2}r, x_3=2+r</math>.  
 
{{Lösung versteckt|1= Die einzelnen Koordinaten der Gerade <math>g</math> sind: <math>x_1=4-2r, x_2=3+\frac{3}{2}r, x_3=2+r</math>.  
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{{Lösung versteckt|1= Damit die Gerade <math>g</math> in der Ebene <math>E</math> liegt, müssen der Richtungsvektor von <math>g</math> und der Normalenvektor von <math>E</math> orthogonal zueinander sein. |2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1= Damit die Gerade <math>g</math> in der Ebene <math>E</math> liegt, müssen der Richtungsvektor von <math>g</math> und der Normalenvektor von <math>E</math> orthogonal zueinander sein. |2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= Wenn die Gerade <math>g</math> in der Ebene <math>E</math> liegt, liegt jeder Punkt auf der Gerade <math>g</math> auch in der Ebene <math>E</math>. Prüfe mit der Punktprobe, ob der Aufpunkt von <math>g</math> in der Ebene <math>E</math> liegt.|2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}
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{{Lösung versteckt|1= Wenn die Gerade <math>g</math> in der Ebene <math>E</math> liegt, liegt jeder Punkt auf der Gerade <math>g</math> auch in der Ebene <math>E</math>. |2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1= Prüfe mit der Punktprobe, ob der Aufpunkt von <math>g</math> in der Ebene <math>E</math> liegt.|2=Tipp 3 anzeigen|3=Tipp 3 verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1= Prüfe mit der Punktprobe, ob der Aufpunkt von <math>g</math> in der Ebene <math>E</math> liegt.|2=Tipp 3 anzeigen|3=Tipp 3 verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1= '''Finde zuerst m:''' <math> \vec{u} \ast \vec{n} = \left( \begin{matrix} 3\\ m\\ \frac{18}{5} \end{matrix} \right) \ast \left( \begin{matrix} -2\\ 3\\ {-}1 \end{matrix} \right) = 3m - \frac{48}{5}</math>.  
 
{{Lösung versteckt|1= '''Finde zuerst m:''' <math> \vec{u} \ast \vec{n} = \left( \begin{matrix} 3\\ m\\ \frac{18}{5} \end{matrix} \right) \ast \left( \begin{matrix} -2\\ 3\\ {-}1 \end{matrix} \right) = 3m - \frac{48}{5}</math>.  
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{{Box|&#x2B50; Aufgabe 7: Flugzeug |  
 
{{Box|&#x2B50; Aufgabe 7: Flugzeug |  
Ein Flugzeug startet am Flughafen Münster-Osnabrück. Seine Flugbahn in den ersten 6 Minuten nach dem Start wird durch die Gerade <math>j\colon \vec{x} = \left( \begin{matrix} 10\\ 23 \\0 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} -2\\ {-}5\\ \frac{1}{2} \end{matrix} \right)</math> beschrieben, wobei <math> t</math> die Zeit in Minuten nach dem Start bezeichnet. Die Ebene <math> E: 2x_1+x_2=-2 </math> beschreibt eine Nebelwand.
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Ein Flugzeug fliegt auf eine Nebelwand zu. Seine Flugbahn wird durch die Gerade <math>j\colon \vec{x} = \left( \begin{matrix} 10\\ 23 \\ 10 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} -2\\ {-}5\\ 0 \end{matrix} \right)</math> beschrieben, wobei <math> t</math> die Zeit in Minuten nach dem Start bezeichnet. Das Flugzeug befindet sich also im Moment am Punkt <math> P(10/23/10) </math>. Du kannst davon ausgehen, dass es mit konstanter Geschwindigkeit fliegt. Die Ebene <math> E: 2x_1+x_2=-2 </math> beschreibt die Nebelwand.
  
 
Versuche die folgenden Aufgaben ohne Taschenrechner zu lösen.
 
Versuche die folgenden Aufgaben ohne Taschenrechner zu lösen.
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a) Begründe, dass das Flugzeug die Nebelwand trifft.
 
a) Begründe, dass das Flugzeug die Nebelwand trifft.
 
{{Lösung versteckt|1=Verwende das Skalarprodukt. |2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1=Verwende das Skalarprodukt. |2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= <math>\vec{n} \ast \vec{u} = \left( \begin{matrix} 2\\ 1\\ 0 \end{matrix} \right) \ast \left( \begin{matrix} -2\\ {-}5\\\frac{1}{2} \end{matrix} \right) = 2 \cdot -2 + 1 \cdot (-5) +0 \cdot \frac{1}{2} = -7</math>. Da das Skalarprodukt <math> -7 \neq 0 </math> ergibt, sind der Normalenvektor der Ebene <math>E</math> und der Richtungsvektor der Gerade <math>j</math> nicht orthogonal zueinander. Daraus können wir schließen, dass sich Gerade und Ebene schneiden. Das Flugzeug trifft also auf die Nebelwand.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
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{{Lösung versteckt|1= <math>\vec{n} \ast \vec{u} = \left( \begin{matrix} 2\\ 1\\ 0 \end{matrix} \right) \ast \left( \begin{matrix} -2\\ {-}5\\ 0 \end{matrix} \right) = 2 \cdot (-2) + 1 \cdot (-5) +0 \cdot 0 = -9</math>. Da das Skalarprodukt <math> -9 \neq 0 </math> ergibt, sind der Normalenvektor der Ebene <math>E</math> und der Richtungsvektor der Gerade <math>j</math> nicht orthogonal zueinander. Daraus können wir schließen, dass sich Gerade und Ebene schneiden. Das Flugzeug trifft also auf die Nebelwand.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
  
b) Wo trifft das Flugzeug auf die Nebelwand und wie viele Minuten sind seit dem Start vergangen?
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b) Wo trifft das Flugzeug auf die Nebelwand und wie viele Minuten dauert es noch, bis das Flugzeug die Nebelwand erreicht?
  
 
{{Lösung versteckt|1= Berechne den Schnittpunkt der Gerade mit der Ebene, indem du die einzelnen Koordinaten der Gerade in die Ebenengleichung einsetzt.|2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1= Berechne den Schnittpunkt der Gerade mit der Ebene, indem du die einzelnen Koordinaten der Gerade in die Ebenengleichung einsetzt.|2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1= Setze die einzelnen Koordinaten der Gerade in die Ebenengleichung ein und löse nach dem Parameter <math>t</math> auf: <math>2 \cdot (10-2t)+23-5t= -2 \Leftrightarrow 20-4t+23-5t =-2 \Leftrightarrow -9t=-45\Leftrightarrow t=5</math>
 
{{Lösung versteckt|1= Setze die einzelnen Koordinaten der Gerade in die Ebenengleichung ein und löse nach dem Parameter <math>t</math> auf: <math>2 \cdot (10-2t)+23-5t= -2 \Leftrightarrow 20-4t+23-5t =-2 \Leftrightarrow -9t=-45\Leftrightarrow t=5</math>
  
Da <math>t</math> die Zeit in Minuten nach dem Start angibt, erreicht das Flugzeug den Schnittpunkt 5 Minuten nach dem Start.
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Da <math>t</math> die Zeit in Minuten angibt, erreicht das Flugzeug den Schnittpunkt in 5 Minuten.
  
Berechne nun den Schnittpunkt S, indem du <math>t</math> in die Geradengleichung einsetzt. Du erhältst den Ortsvektor zum Schnittpunkt und kannst den Schnittpunkt dann ablesen: <math>\left( \begin{matrix} 10\\ 23 \\0 \end{matrix} \right) + 5 \cdot \left( \begin{matrix} -2\\ {-}5\\ \frac{1}{2} \end{matrix} \right)</math><math> = \left( \begin{matrix} 0\\{-}2\\ \frac{5}{2} \end{matrix}\right)=\left( \begin{matrix} 0\\-2\\ 2{,}5 \end{matrix} \right)</math>. Damit ergibt sich der Schnittpunkt <math> S(0|-2|2{,}5)</math>.
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Berechne nun den Schnittpunkt <math>S</math>, indem du <math>t</math> in die Geradengleichung einsetzt. Du erhältst den Ortsvektor zum Schnittpunkt und kannst den Schnittpunkt dann ablesen: <math>\left( \begin{matrix} 10\\ 23 \\10 \end{matrix} \right) + 5 \cdot \left( \begin{matrix} -2\\ {-}5\\ 0 \end{matrix} \right)</math><math> = \left( \begin{matrix} 0\\{-}2\\ 10 \end{matrix}\right)=\left( \begin{matrix} 0\\-2\\ 10 \end{matrix} \right)</math>. Damit ergibt sich der Schnittpunkt <math> S(0|-2|10)</math>.
  
Das Flugzeug trifft die Nebelwand 5 Minuten nach dem Start im Punkt <math> S(0|-2|2{,}5)</math>. |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
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Das Flugzeug trifft die Nebelwand in 5 Minuten im Punkt <math> S(0|-2|10)</math>. |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
 
  | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}}}}  
 
  | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}}}}  
  
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{{Box | &#x2B50; Merke: Berechnung des Winkels zwischen Gerade und Ebene |  
 
{{Box | &#x2B50; Merke: Berechnung des Winkels zwischen Gerade und Ebene |  
  
Wenn eine Gerade <math>g</math> eine Ebene <math>E</math> schneidet, kannst du nicht nur den Schnittpunkt berechnen, sondern auch den Schnittwinkel. Dafür benötigen wir den Normalenvektor. Wenn du nicht mehr genau weißt, wie man diesen abliest oder berechnet, schau noch einmal in das Kapitel ''Ebenen im Raum'' ([[Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum]]). | Merksatz}}  
+
Wenn eine Gerade <math>g</math> eine Ebene <math>E</math> schneidet, kannst du nicht nur den Schnittpunkt berechnen, sondern auch den Schnittwinkel. Dafür benötigen wir den Normalenvektor. Wenn du nicht mehr genau weißt, wie man diesen abliest oder berechnet, schau noch einmal in das Kapitel ''Ebenen im Raum'' ([[Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum|Ebenen im Raum]]). | Merksatz}}  
  
 
{{Box | &#x2B50; Merksatz: Winkel berechnen zwischen Gerade und Ebene |
 
{{Box | &#x2B50; Merksatz: Winkel berechnen zwischen Gerade und Ebene |
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  | Merksatz}}  
 
  | Merksatz}}  
  
{{Box | Aufgabe 8 &#x2B50;: Berechnung des Winkels zwischen Gerade und Ebene |  
+
{{Box | &#x2B50; Aufgabe 8: Berechnung des Winkels zwischen Gerade und Ebene |  
  
 
Gegeben sind die Gerade <math>g\colon \vec{x}=\left( \begin{matrix} {-}1\\ 3\\ 6 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} 8\\ 2\\ 0 \end{matrix} \right) </math> und die Ebene <math>E\colon 2x_1 + x_2 + 4 x_3 = {-}27</math>. Bestimme den Winkel, unter dem sich die Gerade <math>g</math> und die Ebene <math>E</math> schneiden.
 
Gegeben sind die Gerade <math>g\colon \vec{x}=\left( \begin{matrix} {-}1\\ 3\\ 6 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} 8\\ 2\\ 0 \end{matrix} \right) </math> und die Ebene <math>E\colon 2x_1 + x_2 + 4 x_3 = {-}27</math>. Bestimme den Winkel, unter dem sich die Gerade <math>g</math> und die Ebene <math>E</math> schneiden.
  
 +
{{Lösung versteckt|1= Nutze zur Berechnung des Winkels die Formel aus dem Merksatz. Notiere dafür den Richtungsvektor der Gerade und den Normalenvektor der Ebene.
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Wenn du beide in die Formel eingesetzt hast, benötigst du den <math>\sin^{-1}</math>, um den Winkel ausrechnen zu können.
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|2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}
  
 
{{Lösung versteckt|1= '''1. Schritt''': Notiere den Richtungvektor <math>\vec{u}</math> der Gerade und den Normalenvektor <math>\vec{n}</math> der Ebene.
 
{{Lösung versteckt|1= '''1. Schritt''': Notiere den Richtungvektor <math>\vec{u}</math> der Gerade und den Normalenvektor <math>\vec{n}</math> der Ebene.
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'''3. Schritt''': Forme die Gleichung um.
 
'''3. Schritt''': Forme die Gleichung um.
  
<math>\alpha = \arcsin(\frac{18}{\sqrt{1260}}) \Leftrightarrow \alpha \approx 28{,}45^{\circ}</math>
+
<math>\alpha = \sin^{-1}(\frac{18}{\sqrt{1260}}) \Leftrightarrow \alpha \approx 28{,}45^{\circ}</math>
  
 
Der Schnittwinkel beträgt also <math>28{,}45^{\circ}</math>.
 
Der Schnittwinkel beträgt also <math>28{,}45^{\circ}</math>.
Zeile 368: Zeile 376:
 
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
 
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
  
{{Box | Aufgabe 9&#x2B50;: Trinkpäckchen |  
+
{{Box | &#x2B50; Aufgabe 9: Trinkpäckchen |  
  
 
[[Datei:Trinkpäckchen einfach.jpg|mini|Trinkpäckchen]]
 
[[Datei:Trinkpäckchen einfach.jpg|mini|Trinkpäckchen]]
  
Eine Schulklasse nimmt auf ihrem Wandertag Trinkpäckchen mit. Jedes Trinkpäckchen hat die Form eines Quaders (siehe Abbildung). Die Seite, auf der sich das Loch für den Strohhalm befindet, kann durch die Ebene <math>F\colon x_1=5</math> beschrieben werden.
+
Eine Schulklasse nimmt auf ihrem Wandertag Trinkpäckchen mit. Jedes Trinkpäckchen hat die Form eines Quaders (siehe Abbildung). Die Seite, auf der sich das Loch für den Strohhalm befindet, kann durch die Ebene <math>E\colon x_1=5</math> beschrieben werden.
 
Einige Kinder ärgern sich, dass sie mit dem Strohhalm nicht gut in die Ecken kommen. Sie wollen den Winkel berechnen, unter dem sie den Strohhalm in das Trinkpäckchen stecken müssen, um an den Saft in der gegenüberliegenden Ecke zu kommen.
 
Einige Kinder ärgern sich, dass sie mit dem Strohhalm nicht gut in die Ecken kommen. Sie wollen den Winkel berechnen, unter dem sie den Strohhalm in das Trinkpäckchen stecken müssen, um an den Saft in der gegenüberliegenden Ecke zu kommen.
  
 
Wenn der Strohhalm so in das Trinkpäckchen gesteckt wird, das er in der gegenüber liegenden Ecke anstößt, kann er durch die Gerade <math>g</math> veranschaulicht werden: <math>g\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 5\\ 2\\ 11 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} {-}5\\ 6\\ {-}11 \end{pmatrix}</math>.
 
Wenn der Strohhalm so in das Trinkpäckchen gesteckt wird, das er in der gegenüber liegenden Ecke anstößt, kann er durch die Gerade <math>g</math> veranschaulicht werden: <math>g\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 5\\ 2\\ 11 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} {-}5\\ 6\\ {-}11 \end{pmatrix}</math>.
  
Kannst du den Kindern helfen, den Winkel zu berechnen?
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Kannst du den Kindern helfen, den Winkel zu berechnen, unter dem der Strohhalm in das Trinkpäckchen gesteckt werden muss, um die gegenüberliegende Ecke zu erreichen?
 
   
 
   
{{Lösung versteckt|1= Vielleicht hilft dir die Skizze.|2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}
+
{{Lösung versteckt|1= Überlege, wie dir der obige Merksatz helfen kann.|2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}
  
{{Lösung versteckt|1= Gesucht wird der Winkel zwischen der Gerade <math>g</math> und der Ebene <math>F</math>. Der Richtungsvektor der Gerade ist <math>\vec{u} = \begin{pmatrix} {-}5\\ 6\\ {-}11 \end{pmatrix}</math>. Der Normalenvektor der Ebene kann abgelesen werden: <math>\vec{n} = \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}</math>.
+
{{Lösung versteckt|1= Gesucht wird der Winkel zwischen der Gerade <math>g</math> und der Ebene <math>E</math>. Der Richtungsvektor der Gerade ist <math>\vec{u} = \begin{pmatrix} {-}5\\ 6\\ {-}11 \end{pmatrix}</math>. Der Normalenvektor der Ebene kann abgelesen werden: <math>\vec{n} = \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}</math>.
  
 
Einsetzen der Vektoren in die Formel liefert:  
 
Einsetzen der Vektoren in die Formel liefert:  
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Mithilfe des Taschenrechners kann das Ergebnis berechnet werden:
 
Mithilfe des Taschenrechners kann das Ergebnis berechnet werden:
  
<math>\alpha = \arcsin(\frac{1}{\sqrt{182}}) \Leftrightarrow \alpha \approx 21{,}75^{\circ}</math>
+
<math>\alpha = \sin^{-1}(\frac{1}{\sqrt{182}}) \Leftrightarrow \alpha \approx 21{,}75^{\circ}</math>
  
 
Die Kinder sollten den Strohhalm also in einem Winkel von ca. <math>21{,}75^{\circ}</math> in das Trinkpäckchen stecken, um an den Saft in der gegenüberliegenden Ecke zu kommen.
 
Die Kinder sollten den Strohhalm also in einem Winkel von ca. <math>21{,}75^{\circ}</math> in das Trinkpäckchen stecken, um an den Saft in der gegenüberliegenden Ecke zu kommen.
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{{Box | Aufgabe 10&#x2B50;: Gerade gesucht |
+
{{Box | &#x2B50; Aufgabe 10: Gerade gesucht |
  
 
Bisher wurde mit der Formel zur Winkelberechnung nur der Winkel berechnet. Die Formel kann jedoch auch genutzt werden, um bei einem vorgegebenen Winkel die Lage der Gerade oder Ebene zu bestimmen.
 
Bisher wurde mit der Formel zur Winkelberechnung nur der Winkel berechnet. Die Formel kann jedoch auch genutzt werden, um bei einem vorgegebenen Winkel die Lage der Gerade oder Ebene zu bestimmen.
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|Merksatz}}
 
|Merksatz}}
  
 +
===Untersuchung der Lagebeziehung von zwei Ebenen===
 +
 +
====Beide Ebenengleichungen in Parameterform====
 
{{Box|Aufgabe 11: Lückentext zur Lagebeziehung zwischen Ebene und Ebene|
 
{{Box|Aufgabe 11: Lückentext zur Lagebeziehung zwischen Ebene und Ebene|
  
 
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=ptpaywm2521}}
 
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=ptpaywm2521}}
  
|Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}
+
|Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}<br />{{Box|Merke: Lagebeziehung von zwei Ebenen in Parameterform untersuchen. |
 
 
===Untersuchung der Lagebeziehung von zwei Ebenen===
 
====Beide Ebenengleichungen in Parameterform====
 
{{Box|Merke: Lagebeziehung von zwei Ebenen in Parameterform untersuchen. |
 
 
[[Datei:Vorgehen bei der Untersuchung der Lagebeziehung zweier Ebenen in Parameterform.jpg|zentriert|rahmenlos|600x600px]]
 
[[Datei:Vorgehen bei der Untersuchung der Lagebeziehung zweier Ebenen in Parameterform.jpg|zentriert|rahmenlos|600x600px]]
 
|Merksatz}}
 
|Merksatz}}
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'''a)'''
 
'''a)'''
 
Gegeben sind eine Ebene <math>E\colon \vec{x}=\left( \begin{matrix} 1\\ 4\\ 0 \end{matrix} \right) + s \cdot \left( \begin{matrix} 1\\ {-}2\\ 1 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 3\\ 1\\ {-}1 \end{matrix} \right) </math> und eine Ebene <math>F\colon \vec{x}=\left( \begin{matrix} 1\\ 2\\ 3 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} 2\\ 3\\ {-}2 \end{matrix} \right)+ u \cdot \left( \begin{matrix} 5\\ 4\\ {-}3 \end{matrix} \right)</math>.  
 
Gegeben sind eine Ebene <math>E\colon \vec{x}=\left( \begin{matrix} 1\\ 4\\ 0 \end{matrix} \right) + s \cdot \left( \begin{matrix} 1\\ {-}2\\ 1 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 3\\ 1\\ {-}1 \end{matrix} \right) </math> und eine Ebene <math>F\colon \vec{x}=\left( \begin{matrix} 1\\ 2\\ 3 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} 2\\ 3\\ {-}2 \end{matrix} \right)+ u \cdot \left( \begin{matrix} 5\\ 4\\ {-}3 \end{matrix} \right)</math>.  
Untersuche die Lagebeziehung der beiden Ebenen.
+
Untersuche die Lagebeziehung der beiden Ebenen und berechne gegebenenfalls die Schnittgerade.
  
 
'''1. Schritt:''' Setze die beiden Ebenengleichungen gleich.
 
'''1. Schritt:''' Setze die beiden Ebenengleichungen gleich.
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'''2. Schritt:''' Stelle das zugehörige lineare Gleichungssystem auf.  
 
'''2. Schritt:''' Stelle das zugehörige lineare Gleichungssystem auf.  
  
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{vmatrix} 1+s+3t=1+2r+5u \\ 4-2s+t=2+3r+4u \\ s-t=3-2r-3u \end{vmatrix} \Leftrightarrow \begin{vmatrix} -s+3t-2r+5u=0 \\ {-}2s+t-3r-4u=-2 \\ s-t+2r+3u=3 \end{vmatrix}</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
+
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{vmatrix} 1+s+3t=1+2r+5u \\ 4-2s+t=2+3r+4u \\ s-t=3-2r-3u \end{vmatrix} \Leftrightarrow \begin{vmatrix} s+3t-2r+5u=0 \\ {-}2s+t-3r-4u=-2 \\ s-t+2r+3u=3 \end{vmatrix}</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
  
 
'''3. Schritt:''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gaußverfahren oder dem Taschenrechner:  
 
'''3. Schritt:''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gaußverfahren oder dem Taschenrechner:  
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Mithilfe des Gaußverfahrens:
 
Mithilfe des Gaußverfahrens:
  
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{vmatrix} s+3t-2r+5u=0 \\ 7t-7r-14u=-2 \\ 0=-13\end{vmatrix}</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
+
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{vmatrix} s+3t-2r-5u=0 \\ 7t-7r-14u=-2 \\ 0=-13\end{vmatrix}</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
 
|
 
|
 
Mithilfe des Taschenrechners:
 
Mithilfe des Taschenrechners:
  
{{Lösung versteckt|1=<math>linSolve\begin{pmatrix}\begin{cases} s+3t-2r+5u=0 \\ 7t-7r-14u=-2, \{s,t,r,u\}\\ 0=-13\end{cases} \end{pmatrix}</math>
+
{{Lösung versteckt|1=<math>linSolve\begin{pmatrix}\begin{cases} s+3t-2r-5u=0 \\ {-}2s+t-3r-4u=-2, \{s,t,r,u\}\\ s-t+2r+3u=3\end{cases} \end{pmatrix}</math>
  
                      "Keine Lösung gefunden"|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
+
                                  "Keine Lösung gefunden"|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
 
}}
 
}}
 
'''4. Schritt:''' Interpretiere die Lösung des Gleichungssystems:  
 
'''4. Schritt:''' Interpretiere die Lösung des Gleichungssystems:  
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Mithilfe des Gaußverfahrens:
 
Mithilfe des Gaußverfahrens:
  
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{vmatrix} r+\frac{3}{2}-2t-u=0 \\ s-2t+\frac{2}{5}u=-\frac{2}{5} \\ t-\frac{3}{4}u=-\frac{1}{2} \end{vmatrix}</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
+
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{vmatrix} r+\frac{3}{2}s-2t-u=0 \\ s-2t+\frac{2}{5}u=-\frac{2}{5} \\ t-\frac{3}{4}u=-\frac{1}{2} \end{vmatrix}</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
 
|
 
|
 
Mithilfe des Taschenrechners:
 
Mithilfe des Taschenrechners:
  
{{Lösung versteckt|1=<math>linSolve\begin{pmatrix}\begin{cases} 2r+3s-4t-2u=0 \\ 3r+2s-t-4u=1, \{r,s,t,u\}\\ r+4s-3t-3u=-3\end{cases} \end{pmatrix}</math>
+
{{Lösung versteckt|1=linSolve<math>\begin{pmatrix}\begin{cases} 2r+3s-4t-2u=0 \\ 3r+2s-t-4u=1, \{r,s,t,u\}\\ r+4s-3t-3u=-3\end{cases} \end{pmatrix}</math>
  
                      <math>\{\}</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
+
                      <math>\{\frac{17c1}{20}+\frac{11}{10},\frac{11c1}{10}-\frac{7}{5},\frac{3c1}{4}-\frac{1}{2}\}</math>
 +
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
 
}}
 
}}
 
'''4. Schritt:''' Interpretiere die Lösung des Gleichungssystems:  
 
'''4. Schritt:''' Interpretiere die Lösung des Gleichungssystems:  
  
{{Lösung versteckt|1=Die Lösungsmenge beträgt: <math>L=\{\}</math>. Die beiden Ebenen schneiden sich in einer Schnittgeraden.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
+
{{Lösung versteckt|1=
 +
Die Lösungsmenge beträgt:<math>L=\{\frac{17c1}{20}+\frac{11}{10},\frac{11c1}{10}-\frac{7}{5},\frac{3c1}{4}-\frac{1}{2}\}</math>. Die beiden Ebenen schneiden sich in einer Schnittgeraden.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
  
 
'''5. Schritt:''' Bestimme die Schnittgerade:
 
'''5. Schritt:''' Bestimme die Schnittgerade:
  
{{Lösung versteckt|1=Stelle die dritte Gleichung zu <math>t</math> um:
+
{{2Spalten
 +
|
 +
{{Lösung versteckt|1=
 +
Stelle die dritte Gleichung zu <math>t</math> um:
  
 
<math>t=\frac{3}{4}u-\frac{1}{2}</math>  
 
<math>t=\frac{3}{4}u-\frac{1}{2}</math>  
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<math>g\colon \vec{x}=\left( \begin{matrix} \frac{27}{5}\\ {-}\frac{9}{2}\\ {-}\frac{17}{10} \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 5\\ \frac{19}{4}\\ \frac{21}{4} \end{matrix} \right) </math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
 
<math>g\colon \vec{x}=\left( \begin{matrix} \frac{27}{5}\\ {-}\frac{9}{2}\\ {-}\frac{17}{10} \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 5\\ \frac{19}{4}\\ \frac{21}{4} \end{matrix} \right) </math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
 +
|
 +
{{Lösung versteckt|1=
 +
Setze die Werte für <math>r</math> und <math>s</math> aus der Lösungsmenge in die Ebenengleichung <math>E</math> ein:
 +
 +
<math>E\colon \vec{x}=\left( \begin{matrix} 1\\ 2\\ 5 \end{matrix} \right) + (\frac{17}{20}u-\frac{11}{10}) \cdot \left( \begin{matrix} 2\\ 3\\ 1 \end{matrix} \right) + (\frac{11}{10}u-\frac{7}{5}) \cdot \left( \begin{matrix} 3\\ 2\\ 4 \end{matrix} \right)</math>
 +
 +
Stelle die Schnittgerade auf:
 +
 +
<math>g\colon \vec{x}=\left( \begin{matrix} \frac{27}{5}\\ {-}\frac{9}{2}\\ {-}\frac{17}{10} \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 5\\ \frac{19}{4}\\ \frac{21}{4} \end{matrix} \right) </math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
 +
}}
  
| Hervorhebung1| Farbe={{Farbe|orange}}}}
+
|Hervorhebung1| Farbe={{Farbe|orange}}}}
  
 
{{Box|Aufgabe 13: Ergebnisse interpretieren|
 
{{Box|Aufgabe 13: Ergebnisse interpretieren|
  
Zur Untersuchung der Lagebeziehung zweier Ebenen, wurden die Ebenengleichungen gleichgesetzt und das zugehörige Gleichungssystem aufgestellt. Betrachte die Ausgabe des Taschenrechners und interpretiere die jeweilige Situation geometrisch.
+
Zur Untersuchung der Lagebeziehung zweier Ebenen, wurden die Ebenengleichungen gleichgesetzt und das zugehörige Gleichungssystem aufgestellt. Betrachte die Ausgabe des Taschenrechners und interpretiere die jeweilige Situation geometrisch ohne nachzurechnen.
  
 
'''a)''' 
 
'''a)''' 
  
<math>linSolve\begin{pmatrix}\begin{cases} r-0{,}5u=0{,}5\\ s-u=0{,}5, \{r,s,t,u\}\\ t-1{,}5u=1\end{cases} \end{pmatrix}</math>
+
linSolve<math>\begin{pmatrix}\begin{cases} r-0{,}5u=0{,}5\\ s-u=0{,}5, \{r,s,t,u\}\\ t-1{,}5u=1\end{cases} \end{pmatrix}</math>
 
    
 
    
                       <math>\{\}</math>
+
                       <math>\{0{,}5c2+0{,}5,c2+0{,}5,1{,}5c2+1,c2\}</math>
  
  
Zeile 558: Zeile 580:
 
'''b)''' 
 
'''b)''' 
  
<math>linSolve\begin{pmatrix}\begin{cases} r-t-u=2\\ s-t-3u=-5, \{r,s,t,u\}\\ 0=-5\end{cases} \end{pmatrix}</math>
+
linSolve<math>\begin{pmatrix}\begin{cases} r-t-u=2\\ s-t-3u=-5, \{r,s,t,u\}\\ r-s+2u=2\end{cases} \end{pmatrix}</math>
  
 
                       "Keine Lösung gefunden"
 
                       "Keine Lösung gefunden"
  
{{Lösung versteckt|1=Das Gleichungssystem besitzt keine Lösung, da sich in der dritten Zeile ein Widerspruch befindet. Die Ebenen liegen somit parallel zueinander.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
+
{{Lösung versteckt|1=Das Gleichungssystem besitzt keine Lösung. Die Ebenen liegen somit parallel zueinander.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
  
 
'''c)''' 
 
'''c)''' 
  
<math>linSolve\begin{pmatrix}\begin{cases} r-3s-2t-5u=3\\ 7s-7t+14u=7, \{r,s,t,u\}\\0=0\end{cases} \end{pmatrix}</math>
+
linSolve<math>\begin{pmatrix}\begin{cases} 3r-1{,}5s+6t-0{,}9u=0\\ {-}r+0{,}5s-2t+0{,}3u=0, \{r,s,t,u\}\\{-}1{,}5r+\frac{3}{4}s-3t-0{,}45=0\end{cases} \end{pmatrix}</math>
  
                       <math>\{\}</math>
+
                       <math>\{-2c4+0{,}5c5-0{,}3,c5,c4,-1\}</math>
  
 
{{Lösung versteckt|1=Das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen. Da zwei Parameter frei wählbar sind, sind die beiden Ebenen identisch.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1=Das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen. Da zwei Parameter frei wählbar sind, sind die beiden Ebenen identisch.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
Zeile 582: Zeile 604:
 
{{Box|&#x2B50;Aufgabe 14: Untersuchung der Lagebeziehung von einer Ebene in Parameterform und einer Ebene in Koordinatenform|  
 
{{Box|&#x2B50;Aufgabe 14: Untersuchung der Lagebeziehung von einer Ebene in Parameterform und einer Ebene in Koordinatenform|  
  
'''a'''Gegeben sind eine Ebene <math>E\colon \vec{x}=\left( \begin{matrix} 2\\ 1\\ {-}3 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} 1\\ 0\\ {-}1 \end{matrix} \right) + s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\ 1\\ 0 \end{matrix} \right)</math> und eine Ebene <math>F\colon -1{,}5x_1+3x_2-1{,}5x_3=4{,}5</math>.  
+
'''a)''' Gegeben sind eine Ebene <math>E\colon \vec{x}=\left( \begin{matrix} 2\\ 1\\ {-}3 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} 1\\ 0\\ {-}1 \end{matrix} \right) + s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\ 1\\ 0 \end{matrix} \right)</math> und eine Ebene <math>F\colon -1{,}5x_1+3x_2-1{,}5x_3=4{,}5</math>.  
 
Untersuche die Lagebeziehung der beiden Ebenen und berechne gegebenenfalls die Schnittgerade.
 
Untersuche die Lagebeziehung der beiden Ebenen und berechne gegebenenfalls die Schnittgerade.
  
  
'''1. Schritt:''' Prüfe, ob die Richtungsvektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> der Ebene <math>E</math> orthogonal zum Normalenvektor <math>\vec{n}</math> der Ebene <math>F</math> liegen.
+
'''1. Schritt:''' Prüfe, ob die Richtungsvektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> der Ebene <math>E</math> orthogonal zum Normalenvektor <math>\vec{n}</math> der Ebene <math>F</math> liegen:
  
{{Lösung versteckt|1=Betrachte das Skalarprodukt der Richtungsvektoren und des Normalenvektors|2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}
+
{{Lösung versteckt|1=Betrachte das Skalarprodukt der Richtungsvektoren und des Normalenvektors.|2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}
  
 
{{Lösung versteckt|1=Es muss gelten, dass <math>\vec{n} \ast \vec{u}=0</math> und <math>\vec{n} \ast \vec{v}=0</math>.
 
{{Lösung versteckt|1=Es muss gelten, dass <math>\vec{n} \ast \vec{u}=0</math> und <math>\vec{n} \ast \vec{v}=0</math>.
Zeile 602: Zeile 624:
  
  
'''3. Schritt:''' Überprüfe die Lagebeziehung mithilfe der Punktprobe.
+
'''3. Schritt:''' Überprüfe die Lagebeziehung mithilfe der Punktprobe:
  
{{Lösung versteckt|1=Verwende für die Punktprobe den Aufpunkt der Ebene <math>E</math>|2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}
+
{{Lösung versteckt|1=Verwende für die Punktprobe den Aufpunkt der Ebene <math>E</math>.|2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}
  
 
{{Lösung versteckt|1=Setze  den Aufpunkt der Ebene <math>E</math> in die Ebenengleichung der Ebene <math>F</math> ein.
 
{{Lösung versteckt|1=Setze  den Aufpunkt der Ebene <math>E</math> in die Ebenengleichung der Ebene <math>F</math> ein.
Zeile 611: Zeile 633:
  
  
'''4. Schritt:''' Interpretiere die Lösung der Punktprobe.
+
'''4. Schritt:''' Interpretiere die Lösung der Punktprobe:
  
 
{{Lösung versteckt|1=Da der Aufpunkt die Koordinatengleichung von <math>F</math> erfüllt, liegt der Aufpunkt in <math>F</math>. Da wir bereits wissen, dass die Ebenen entweder parallel oder identisch sind, haben wir damit gezeigt, dass <math>E</math> und <math>F</math> identisch sind.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1=Da der Aufpunkt die Koordinatengleichung von <math>F</math> erfüllt, liegt der Aufpunkt in <math>F</math>. Da wir bereits wissen, dass die Ebenen entweder parallel oder identisch sind, haben wir damit gezeigt, dass <math>E</math> und <math>F</math> identisch sind.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
Zeile 621: Zeile 643:
  
  
'''1. Schritt:''' Prüfe, ob die Richtungsvektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> der Ebene <math>E</math> orthogonal zum Normalenvektor <math>\vec{n}</math> der Ebene <math>F</math> liegen.
+
'''1. Schritt:''' Prüfe, ob die Richtungsvektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> der Ebene <math>E</math> orthogonal zum Normalenvektor <math>\vec{n}</math> der Ebene <math>F</math> liegen:
  
{{Lösung versteckt|1=Betrachte das Skalarprodukt der Richtungsvektoren und des Normalenvektors|2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}
+
{{Lösung versteckt|1=Betrachte das Skalarprodukt der Richtungsvektoren und des Normalenvektors.|2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}
  
 
{{Lösung versteckt|1=Es muss gelten, dass <math>\vec{n} \ast \vec{u}=0</math> und <math>\vec{n} \ast \vec{v}=0</math>.
 
{{Lösung versteckt|1=Es muss gelten, dass <math>\vec{n} \ast \vec{u}=0</math> und <math>\vec{n} \ast \vec{v}=0</math>.
Zeile 632: Zeile 654:
 
'''2.Schritt:''' Interpretiere die Lösung der Skalarprodukte:  
 
'''2.Schritt:''' Interpretiere die Lösung der Skalarprodukte:  
  
{{Lösung versteckt|1=Da das Skalarprodukt des ersten Richtungsvektors bereits <math>\neq0</math> ist, braucht man das Skalarprodukt des zweiten Richtungsvektors nicht mehr zu berechnen. Du kannst nun direkt folgern, dass sich die Ebenen in einer Schnittgeraden schneiden.|1=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
+
{{Lösung versteckt|1=Da das Skalarprodukt des ersten Richtungsvektors bereits <math>\neq0</math> ist, braucht man das Skalarprodukt des zweiten Richtungsvektors nicht mehr zu berechnen. Du kannst nun direkt folgern, dass sich die Ebenen in einer Schnittgeraden schneiden.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
  
 
'''3. Schritt:''' Bestimme die Schnittgerade:  
 
'''3. Schritt:''' Bestimme die Schnittgerade:  
  
{{Lösung versteckt|1=Forme die Ebenengleichung <math>E</math> um, sodass du die Gleichungen für die einzelnen Koordinaten erhälst|2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}}
+
{{Lösung versteckt|1=Schreibe mithilfe der Ebenengleichung <math>E</math> die Gleichungen für die einzelnen Koordinaten auf.|2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}}
  
 
{{Lösung versteckt|1=Setze die Werte für <math>x_1,x_2</math> und <math>x_3</math> in die Ebenengleichung <math>F</math> ein.|2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1=Setze die Werte für <math>x_1,x_2</math> und <math>x_3</math> in die Ebenengleichung <math>F</math> ein.|2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}
Zeile 656: Zeile 678:
 
Nun kannst du die Geradengleichung aufstellen:
 
Nun kannst du die Geradengleichung aufstellen:
  
<math>g\colon \vec{x}=\left( \begin{matrix} 3\\ 0\\ 3 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\ 1\\ 0 \end{matrix} \right)</math>|2=Lösung 3 anzeigen|3=Lösung 3 verbergen}}|
+
<math>g\colon \vec{x}=\left( \begin{matrix} 3\\ 0\\ 3 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\ 1\\ 0 \end{matrix} \right)</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}|
 
Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}
 
Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}
  
Zeile 684: Zeile 706:
 
{{Lösung versteckt|1=  
 
{{Lösung versteckt|1=  
  
Prüfe, ob die Richtungsvektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{n}</math> der Ebene <math>E</math> orthogonal zum Normalenvektor <math>\vec{v}</math> der Ebene <math>F</math> liegen.  
+
Prüfe, ob die Richtungsvektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> der Ebene <math>E</math> orthogonal zum Normalenvektor <math>\vec{n}</math> der Ebene <math>F</math> liegen.  
  
 
<math>\vec{n} \ast \vec{u}=\left( \begin{matrix} 2\\ {-}1\\ 3 \end{matrix} \right)\ast\left( \begin{matrix} {-}3\\ {-}9\\ {-}1 \end{matrix} \right)=0</math>
 
<math>\vec{n} \ast \vec{u}=\left( \begin{matrix} 2\\ {-}1\\ 3 \end{matrix} \right)\ast\left( \begin{matrix} {-}3\\ {-}9\\ {-}1 \end{matrix} \right)=0</math>
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====&#x2B50;Beide Ebenengleichungen in Koordinatenform====
 
====&#x2B50;Beide Ebenengleichungen in Koordinatenform====
 
{{Box|&#x2B50;Merke: Untersuchung der Lagebeziehung von zwei Ebenen in Koordinatenform |Seien durch <math>E\colon n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3=d</math> und  <math>F\colon m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3=e</math> zwei Ebenen in Koordinatenform gegeben. Zur Untersuchung ihrer Lagebeziehung kannst du entsprechend des folgenden Schemas vorgehen:
 
{{Box|&#x2B50;Merke: Untersuchung der Lagebeziehung von zwei Ebenen in Koordinatenform |Seien durch <math>E\colon n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3=d</math> und  <math>F\colon m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3=e</math> zwei Ebenen in Koordinatenform gegeben. Zur Untersuchung ihrer Lagebeziehung kannst du entsprechend des folgenden Schemas vorgehen:
[[Datei:Vorgehen zur Untersuchung der Lagebeziehung von Ebenen in Koordinatenform.jpg|zentriert|rahmenlos|600x600px]]
+
 
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[[Datei:Lagebeziehung von Ebenen in Koordinatenform.jpg|zentriert|rahmenlos|600x600px]]
 
|Merksatz}}
 
|Merksatz}}
  
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<math>r\cdot\vec{n}=\vec{m} \Leftrightarrow r\cdot\left( \begin{matrix} 3\\ {-}4\\ {-}1 \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 3\\ {-}3\\ 1 \end{matrix} \right) \Leftrightarrow \begin{vmatrix} 3r=3\\ {-}4r=-3 \\ {-}r=1 \end{vmatrix}</math>
 
<math>r\cdot\vec{n}=\vec{m} \Leftrightarrow r\cdot\left( \begin{matrix} 3\\ {-}4\\ {-}1 \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 3\\ {-}3\\ 1 \end{matrix} \right) \Leftrightarrow \begin{vmatrix} 3r=3\\ {-}4r=-3 \\ {-}r=1 \end{vmatrix}</math>
  
Da das LGS nicht lösbar ist, sind die Gleichungen keine Vielfachen voneinander und die Ebenen schneiden sich in einer Schnittgeraden.
+
Da das LGS nicht lösbar ist, sind die Vektoren keine Vielfachen voneinander und die Ebenen schneiden sich in einer Schnittgeraden.
  
 
'''2. Schritt:''' Bestimme die Schnittgerade.
 
'''2. Schritt:''' Bestimme die Schnittgerade.
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<math>\begin{vmatrix} 3x_1-4x_2-x_3=4 \\ 3x_1-3x_2+x_3=3\end{vmatrix} \Leftrightarrow \begin{vmatrix} 3x_1-4x_2-x_3=4 \\ x_2+2x_3=-1\end{vmatrix}</math>
 
<math>\begin{vmatrix} 3x_1-4x_2-x_3=4 \\ 3x_1-3x_2+x_3=3\end{vmatrix} \Leftrightarrow \begin{vmatrix} 3x_1-4x_2-x_3=4 \\ x_2+2x_3=-1\end{vmatrix}</math>
|
 
Mithilfe des Taschenrechners:
 
 
linSolve<math>\begin{pmatrix}\begin{cases} 3x_1-4x_2-x_3=4 \\ 3x_1-3x_2+x_3=3,\{s,t,r,u\}\end{cases} \end{pmatrix}</math>
 
 
                      \{\}
 
}}
 
  
 
Setze <math>x_3=t</math> und bestimme <math>x_1</math> und <math>x_2</math>.
 
Setze <math>x_3=t</math> und bestimme <math>x_1</math> und <math>x_2</math>.
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Stelle die Geradengleichung auf.
 
Stelle die Geradengleichung auf.
  
<math>g\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ {-}1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -\frac{7}{3} \\ {-}2 \\ 1 \end{pmatrix} </math>| Hervorhebung1}}
+
<math>g\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ {-}1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -\frac{7}{3} \\ {-}2 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
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Mithilfe des Taschenrechners:
 +
 
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linSolve<math>\begin{pmatrix}\begin{cases} 3x_1-4x_2-x_3=4 \\ 3x_1-3x_2+x_3=3,\{x_1,x_2,x_3\}\end{cases} \end{pmatrix}</math>
 +
 
 +
                      <math>\{\frac{-7c3}{3},-2c3-1,c3\}</math>
 +
 
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Stelle mithilfe der Werte aus der Lösungsmenge die Geradengleichung auf.
 +
 
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<math>g\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ {-}1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -\frac{7}{3} \\ {-}2 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
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}}
 +
 
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| Hervorhebung1}}
  
 
{{Box|&#x2B50;Aufgabe 16: Untersuchung der Lagebeziehung zwischen zwei Ebenen in Koordinatenform |
 
{{Box|&#x2B50;Aufgabe 16: Untersuchung der Lagebeziehung zwischen zwei Ebenen in Koordinatenform |
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{{Box | &#x2B50; Merke: Berechnung des Winkel zwischen zwei Ebenen |  
 
{{Box | &#x2B50; Merke: Berechnung des Winkel zwischen zwei Ebenen |  
 
Wenn sich zwei Ebenen schneiden, kann der Schnittwinkel bestimmt werden, den sie einschließen. Dazu kannst du die Normalenvektoren betrachten. Sie schließen denselben Winkel ein, wie die beiden Ebenen. Somit kann das Berechnen des Schnittwinkels zwischen zwei Ebenen auf das Berechnen des Winkels zwischen zwei Vektoren zurückgeführt werden.
 
Wenn sich zwei Ebenen schneiden, kann der Schnittwinkel bestimmt werden, den sie einschließen. Dazu kannst du die Normalenvektoren betrachten. Sie schließen denselben Winkel ein, wie die beiden Ebenen. Somit kann das Berechnen des Schnittwinkels zwischen zwei Ebenen auf das Berechnen des Winkels zwischen zwei Vektoren zurückgeführt werden.
Um den Schnittwinkel zu berechnen, musst du zunächst die Normalenvektoren der Ebenen bestimmen. Wenn du nicht mehr genau weißt, wie das geht, schaue nochmal in Kapitel [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum]]. | Merksatz}}  
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Um den Schnittwinkel zu berechnen, musst du zunächst die Normalenvektoren der Ebenen bestimmen. Wenn du nicht mehr genau weißt, wie das geht, schaue nochmal in das Kapitel [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum|Ebenen im Raum]]. | Merksatz}}  
  
 
{{Box | &#x2B50; Merksatz: Formel zur Berechnung des Winkels zwischen zwei Ebenen |  
 
{{Box | &#x2B50; Merksatz: Formel zur Berechnung des Winkels zwischen zwei Ebenen |  
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Ist nach dem '''Schnittwinkel''' gefragt, so ist immer der kleinere der beiden Winkel gesucht, die von den Ebenen eingeschlossen werden. Mit der obigen Formel erhält man deshalb für <math>\alpha</math> immer Werte zwischen <math>0^{\circ}</math> und <math>90^{\circ}</math>. | Merksatz}}
 
Ist nach dem '''Schnittwinkel''' gefragt, so ist immer der kleinere der beiden Winkel gesucht, die von den Ebenen eingeschlossen werden. Mit der obigen Formel erhält man deshalb für <math>\alpha</math> immer Werte zwischen <math>0^{\circ}</math> und <math>90^{\circ}</math>. | Merksatz}}
  
{{Box | Beispiel&#x2B50;: Winkel berechnen zwischen zwei Ebenen |  
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{{Box | &#x2B50;Beispiel: Winkel berechnen zwischen zwei Ebenen |  
  
 
Gegeben sind zwei Ebenen <math>E</math> und <math>F</math> mit <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -6 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}</math> und <math>F\colon 7x_1+x_2-3x_3=1</math>. Berechne den Schnittpunkt zwischen den Ebenen.
 
Gegeben sind zwei Ebenen <math>E</math> und <math>F</math> mit <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -6 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}</math> und <math>F\colon 7x_1+x_2-3x_3=1</math>. Berechne den Schnittpunkt zwischen den Ebenen.
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'''3. Schritt:''' Auflösen der Gleichung.
 
'''3. Schritt:''' Auflösen der Gleichung.
  
<math>\alpha = arccos(\frac{16}{3 \cdot \sqrt {59}}) \Leftrightarrow \alpha \approx 46{,}03^{\circ}</math> Der Winkel zwischen den Ebenen <math>E</math> und <math>F</math> beträgt ca. <math>46{,}03^{\circ}</math>.| Hervorhebung1}}
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<math>\alpha = \cos^{-1}(\frac{15}{3 \cdot \sqrt {59}}) \Leftrightarrow \alpha \approx 49{,}39^{\circ}</math> Der Winkel zwischen den Ebenen <math>E</math> und <math>F</math> beträgt ca. <math>49{,}39^{\circ}</math>.| Hervorhebung1}}
  
  
{{Box | Aufgabe 13&#x2B50;: Schnittwinkel zwischen Ebenen |  
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{{Box | &#x2B50; Aufgabe 18: Schnittwinkel zwischen Ebenen |  
  
 
Sei <math>E</math> eine Ebene mit <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}</math> ,
 
Sei <math>E</math> eine Ebene mit <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}</math> ,
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Nun muss die Formel mit Hilfe des Taschenrechners aufgelöst werden:
 
Nun muss die Formel mit Hilfe des Taschenrechners aufgelöst werden:
  
<math>\alpha = arccos(\frac{4}{\sqrt {56}}) \Leftrightarrow \alpha \approx 57{,}69^{\circ}</math> Der Winkel zwischen den Ebenen <math>E</math> und <math>F</math> beträgt ca. <math>57{,}69^{\circ}</math>.
+
<math>\alpha = \cos^{-1}(\frac{4}{\sqrt {56}}) \Leftrightarrow \alpha \approx 57{,}69^{\circ}</math> Der Winkel zwischen den Ebenen <math>E</math> und <math>F</math> beträgt ca. <math>57{,}69^{\circ}</math>.
  
 
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
 
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
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Nun muss die Formel mit Hilfe des Taschenrechners aufgelöst werden:
 
Nun muss die Formel mit Hilfe des Taschenrechners aufgelöst werden:
  
<math>\alpha = arccos(0) \Leftrightarrow \alpha = 90^{\circ}</math> Der Winkel zwischen den Ebenen <math>F</math> und <math>H</math> beträgt ca. <math>90^{\circ} </math>.
+
<math>\alpha = \cos^{-1}(0) \Leftrightarrow \alpha = 90^{\circ}</math> Der Winkel zwischen den Ebenen <math>F</math> und <math>H</math> beträgt ca. <math>90^{\circ} </math>.
  
 
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
 
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
  
'''c)''' E und H.
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'''c)''' <math>E</math> und <math>H</math>.
  
 
{{Lösung versteckt|1=
 
{{Lösung versteckt|1=
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Nun muss die Formel mit Hilfe des Taschenrechners aufgelöst werden:
 
Nun muss die Formel mit Hilfe des Taschenrechners aufgelöst werden:
  
<math>\alpha = arccos(\frac{7}{\sqrt {69}}) \Leftrightarrow \alpha \approx 32{,}57^{\circ}</math> Der Winkel zwischen den Ebenen <math>E</math> und <math>H</math> beträgt ca. <math>32{,}57^{\circ}</math>.
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<math>\alpha = \cos^{-1}(\frac{7}{\sqrt {69}}) \Leftrightarrow \alpha \approx 32{,}57^{\circ}</math> Der Winkel zwischen den Ebenen <math>E</math> und <math>H</math> beträgt ca. <math>32{,}57^{\circ}</math>.
 
   
 
   
 
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
 
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
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{{Box | Aufgabe 14&#x2B50;: Ebenen gesucht|  
+
{{Box | &#x2B50; Aufgabe 19: Ebenen gesucht|  
  
 
Der Winkel zwischen den beiden Vektoren <math>\vec{a} = \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 3 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec{b} = \begin{pmatrix} 4\\ 7\\ 2 \end{pmatrix}</math> beträgt <math>67{,}62^{\circ}</math>.  
 
Der Winkel zwischen den beiden Vektoren <math>\vec{a} = \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 3 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec{b} = \begin{pmatrix} 4\\ 7\\ 2 \end{pmatrix}</math> beträgt <math>67{,}62^{\circ}</math>.  
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{{Box | Aufgabe 15&#x2B50;: Bank am Wanderweg |
+
{{Box | &#x2B50; Aufgabe 20: Bank am Wanderweg |
  
 
An einem Wanderweg soll eine Holzbank aufgestellt werden. Die Bank wird so ausgerichtet, dass die Sitzfläche durch die Ebene <math>S\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0{,}5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0{,}4 \\ 0\end{pmatrix}, r,s \in [0, 1]</math> und die Rückenlehne durch die Ebene <math>R_1\colon -x_2 + 0{,}4 x_3 = -0{,}2</math> beschrieben werden kann.
 
An einem Wanderweg soll eine Holzbank aufgestellt werden. Die Bank wird so ausgerichtet, dass die Sitzfläche durch die Ebene <math>S\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0{,}5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0{,}4 \\ 0\end{pmatrix}, r,s \in [0, 1]</math> und die Rückenlehne durch die Ebene <math>R_1\colon -x_2 + 0{,}4 x_3 = -0{,}2</math> beschrieben werden kann.
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<math>\cos(\gamma)=\frac{\left| \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 0\\ {-}1\\ 0{,}4 \end{pmatrix} \right|}{\left| \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} 0\\ {-}1\\ 0{,}4 \end{pmatrix} \right|} \Leftrightarrow \cos(\gamma) = \frac{\frac{2}{5}}{1 \cdot \sqrt{\frac{29}{25}}}</math>
 
<math>\cos(\gamma)=\frac{\left| \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 0\\ {-}1\\ 0{,}4 \end{pmatrix} \right|}{\left| \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} 0\\ {-}1\\ 0{,}4 \end{pmatrix} \right|} \Leftrightarrow \cos(\gamma) = \frac{\frac{2}{5}}{1 \cdot \sqrt{\frac{29}{25}}}</math>
  
Umstellen der Formel ergibt: <math> \gamma=arccos \left( \frac{\frac{2}{5}}{\sqrt{\frac{29}{25}}} \right) \Leftrightarrow \gamma \approx 68{,}2^{\circ}</math>
+
Umstellen der Formel ergibt: <math> \gamma=\cos^{-1} \left( \frac{\frac{2}{5}}{\sqrt{\frac{29}{25}}} \right) \Leftrightarrow \gamma \approx 68{,}2^{\circ}</math>
  
 
Wie in der Abbildung zu sehen wurde der Winkel <math>\gamma</math> berechnet. Der Winkel zwischen der Sitzfläche und der Rückenlehne wird aber durch den Winkel <math>\alpha</math> beschrieben. <math>\alpha</math> erhält man, indem man <math>180^\circ - \gamma </math> berechnet: <math>180^{\circ} - 68{,}2^{\circ} = 111{,}8^{\circ}</math>. Mit einem Wert von <math> 111{,}8^{\circ}</math> liegt der Winkel zwischen Rückenlehne und Sitzfläche etwas über dem optimalen Winkel. |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
 
Wie in der Abbildung zu sehen wurde der Winkel <math>\gamma</math> berechnet. Der Winkel zwischen der Sitzfläche und der Rückenlehne wird aber durch den Winkel <math>\alpha</math> beschrieben. <math>\alpha</math> erhält man, indem man <math>180^\circ - \gamma </math> berechnet: <math>180^{\circ} - 68{,}2^{\circ} = 111{,}8^{\circ}</math>. Mit einem Wert von <math> 111{,}8^{\circ}</math> liegt der Winkel zwischen Rückenlehne und Sitzfläche etwas über dem optimalen Winkel. |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
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<math>\cos(\beta)=\frac{\left| \begin{pmatrix} 0\\ {-}1\\ 0{,}4 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 0\\ {-}1\\ {-}0{,}4 \end{pmatrix} \right|}{\left| \begin{pmatrix} 0\\ {-}1\\ 0{,}4 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} 0\\ {-}1\\ {-}0{,}4 \end{pmatrix} \right|} \Leftrightarrow \cos(\beta)=\frac{\frac{21}{25}}{\sqrt{\frac{29}{25}} \cdot \sqrt{\frac{29}{25}}} \Leftrightarrow \cos(\beta)=\frac{\frac{21}{25}}{\frac{29}{25}} \Leftrightarrow \cos(\beta)=\frac{21}{29}</math>
 
<math>\cos(\beta)=\frac{\left| \begin{pmatrix} 0\\ {-}1\\ 0{,}4 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 0\\ {-}1\\ {-}0{,}4 \end{pmatrix} \right|}{\left| \begin{pmatrix} 0\\ {-}1\\ 0{,}4 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} 0\\ {-}1\\ {-}0{,}4 \end{pmatrix} \right|} \Leftrightarrow \cos(\beta)=\frac{\frac{21}{25}}{\sqrt{\frac{29}{25}} \cdot \sqrt{\frac{29}{25}}} \Leftrightarrow \cos(\beta)=\frac{\frac{21}{25}}{\frac{29}{25}} \Leftrightarrow \cos(\beta)=\frac{21}{29}</math>
  
Umstellen der Formel ergibt: <math> \beta=arccos \left( \frac{21}{29} \right) \Leftrightarrow \beta \approx 43{,}6^{\circ} </math>. Der Winkel zwischen den beiden Rückenlehnen beträgt <math>43{,}6^{\circ} </math>.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
+
Umstellen der Formel ergibt: <math> \beta=\cos^{-1} \left( \frac{21}{29} \right) \Leftrightarrow \beta \approx 43{,}6^{\circ} </math>. Der Winkel zwischen den beiden Rückenlehnen beträgt <math>43{,}6^{\circ} </math>.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
  
 
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün}}}}
 
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün}}}}

Aktuelle Version vom 24. Juni 2021, 01:28 Uhr


Info

In diesem Lernpfadkapitel geht es um die Lagebeziehung zwischen einer Gerade und einer Ebene oder zwischen zwei Ebenen inklusive der Berechnung der Schnittwinkel. Das Lernpfadkapitel ist so aufgebaut, dass ihr in jedem Abschnitt zuerst grundlegende Inhalte mithilfe der Merkkästen wiederholen und anschließend euer Wissen in Übungsaufgaben anwenden könnt.


Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

  • In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
  • Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
  • Und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.
  • Aufgaben und Kapitel, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.
Viel Erfolg!


Lagebeziehung Gerade-Ebene

Mögliche Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene

Merke:

Zwischen einer Geraden und einer Ebene gibt es drei mögliche Lagebeziehungen.

Lagebeziehung Gerade Ebene schneidend.jpg

Die Gerade schneidet die Ebene.

Lagebeziehung Gerade Ebene parallel.jpg

Die Gerade und die Ebene liegen parallel.

Lagebeziehung Gerade Ebene liegtin.jpg

Die Gerade liegt in der Ebene.


Untersuchung der Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene

Ebene in Parameterform

Aufgabe 1: Lückentext zur Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene



Vorgehen: Untersuchung der Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene
Vorgehen Lagebeziehung Gerade und Ebene.jpg


Beispiel: Untersuchung der Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene


Gegeben sind eine Ebene und eine Gerade . Untersuche die Lagebeziehung der Gerade und der Ebene und bestimme gegebenenfalls den Schnittpunkt.


1. Schritt: Setze die Geraden- und Ebenengleichung gleich:


2. Schritt: Stelle das zugehörige lineare Gleichungssystem auf:


3. Schritt: Löse das Gleichungssystem mit dem Gaußverfahren oder dem Taschenrechner:


4. Schritt: Interpretiere die Lösung des Gleichungssystems anhand der Anzahl der Lösungen. Da das Gleichungssystem nur eine Lösung hat, besitzen die Ebene und die Gerade nur einen gemeinsamen Punkt. Also schneidet die Gerade die Ebene.


5. Schritt: Da sich die Ebene und die Gerade schneiden, kannst du den Schnittpunkt der beiden berechnen. Setze dafür den Parameter in die Geradengleichung ein:

Alternativ kannst du die Parameter und in die Ebenengleichung einsetzen und erhältst den gleichen Punkt.


Aufgabe 2: Untersuchung der Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene

Gegeben ist eine Ebene . Untersuche die Lagebeziehung zwischen dieser Ebene und den untenstehenden Geraden. Ziehe die Geraden in das entsprechende Feld.



1. Setze die Geradengleichung mit der Ebenengleichung gleich.

2. Stelle ein LGS auf.

3. Löse das LGS mit dem Gaußverfahren oder dem Taschenrechner.

4. Die Anzahl der Lösungen zeigt dir, wie viele gemeinsamen Punkte die Gerade und die Ebene haben. Daran kannst du die Lagebeziehung erkennen.


Aufgabe 3: Schnittpunktberechnung

Gegeben sind eine Gerade und eine Ebene .

Zeige, dass sich die Gerade und die Ebene schneiden und gib den Schnittpunkt an.

1. Setze die Geradengleichung mit der Ebenengleichung gleich.

2. Stelle ein LGS auf.

3. Löse das LGS mit dem Gaußverfahren oder dem Taschenrechner.

4. Die Anzahl der Lösungen zeigt dir, wie viele gemeinsamen Punkte die Gerade und die Ebene haben. Daran kannst du die Lagebeziehung erkennen.

5. Berechne den Schnittpunkt, indem du den Wert für in die Geradengleichung einsetzt.

1. Setze die Geradengleichung mit der Ebenengleichung gleich:

2. Stelle ein LGS auf:


3. Löse das LGS mit dem Gaußverfahren oder dem Taschenrechner:


4. Die Anzahl der Lösungen zeigt dir, wie viele gemeinsame Punkte die Gerade und die Ebene haben. Da das LGS genau eine Lösung besitzt, haben die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Punkt. Somit schneiden sie sich.

5. Berechne den Schnittpunkt, indem du den Wert für in die Geradengleichung einsetzt:


Aufgabe 4: Schatten eines Sonnensegels

Da es Frau Meier im Sommer auf ihrer Terrasse gerne schattig haben möchte, spannt sie ein dreieckiges Segeltuch auf. Die Eckpunkte des Segeltuchs sind und . Die Terrasse wird modelliert durch die Ebene . Die Richtung der Sonnenstrahlen entspricht dem Vektor . In welchem Bereich hat Frau Meier nun Schatten?


Hinweis: Da Frau Meier eine sehr große Terrasse hat, kannst du davon ausgehen, dass der Schatten vollständig innerhalb der Terrasse liegt.


Bestimme die Geraden der Lichtstrahlen durch die Eckpunkte des Sonnensegels und berechne, wo sie auf die Terrasse treffen. Vielleicht hilft dir eine Skizze.

Hier siehst du eine Skizze, die die oben beschriebene Situation abbildet. Überlege dir, welche Punkte du für die Aufgabe bestimmen musst.

Aufgabe Sonnensegel Spurpunkte.png
Nachdem ihr die Geraden- und Ebenengleichung gleichgesetzt habt, reicht es, wenn ihr euch die Gleichung für die -Koordinate anschaut.

1. Schritt: Mache eine Skizze von der Situation. Aufgabe Sonnensegel Spurpunkte.png

2. Schritt: Stelle die Geradengleichungen durch die Eckpunkte des Sonnensegels in Richtung der Sonnenstrahlen auf: , ,

3. Schritt: Berechne die Schnittpunkte der Geraden mit der Ebene.

Berechnung von :

Setze die Geraden- und Ebenengleichung gleich:

Notiere die Zeilen der Gleichung als Gleichungssystem:

Berechne den Parameter , indem du die 3. Gleichung nach umformst:

Durch Einsetzen von in die Geradengleichung erhältst den Punkt .

Berechnung von :

Setze die Geraden- und Ebenengleichung gleich:

Notiere die Zeilen der Gleichung als Gleichungssystem:

Löse die 3. Gleichung nach auf:

Durch Einsetzen von in die Geradengleichung erhältst den Punkt .

Berechnung von :

Notiere die Zeilen der Gleichung als Gleichungssystem:

Löse die 3. Gleichung nach auf:

Durch Einsetzen von in die Geradengleichung erhältst den Punkt .

Die Schattenfläche wird also durch das Dreieck mit den Eckpunkten und begrenzt.

⭐Ebene in Koordinatenform

⭐Merke: Die Lagebeziehung einer Gerade und einer Ebene mit dem Normalenvektor untersuchen

Bei der Bestimmung der Lagebeziehung zwischen einer Gerade und einer Ebene kann dir der Normalenvektor der Ebene helfen. Wenn du nicht mehr genau weißt, wie man diesen abliest oder berechnet, schau noch einmal in das Kapitel Ebenen im Raum.

Lagebeziehung Gerade Ebene parallel Normalenvektor.jpg

Wenn der Richtungsvektor der Gerade und der Normalenvektor der Ebene orthogonal zueinander sind und Gerade und Ebene keinen gemeinsamen Punkt besitzen, so sind sie parallel zueinander.

Lagebeziehung Gerade Ebene liegtin Normalenvektor.jpg

Wenn der Richtungsvektor der Gerade und der Normalenvektor der Ebene orthogonal zueinander sind und Gerade und Ebene unendlich viele gemeinsame Punkte besitzen, so liegt die Gerade in der Ebene.

Lagebeziehung Gerade Ebene schneidend Normalenvektor.jpg

Wenn der Richtungsvektor der Gerade und der Normalenvektor der Ebene nicht orthogonal zueinander sind, dann schneiden sich die Gerade und die Ebene und es kann ein Schnittpunkt bestimmt werden.


⭐Vorgehen: Untersuchung der Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene mit dem Normalenvektor

Gegeben sind eine Gerade und eine Ebene mit dem Normalenvektor .

Vorgehen Lagebeziehung Gerade und Ebene3.jpg.jpg


⭐ Aufgabe 5: Untersuchung der Lagebeziehung einer Gerade und einer Ebene in Koordinatenform


a) Gegeben sind eine Ebene und eine Gerade . Bestimme die Lagebeziehung von Gerade und Ebene.


1. Schritt: Prüfe, ob der Richtungsvektor der Gerade orthogonal zum Normalenvektor der Ebene liegt.

Verwende des Skalarprodukt.
Wenn das Skalarprodukt zweier Vektoren ergibt, dann sind die beiden Vektoren orthogonal zueinander. Wenn das Skalarprodukt ungleich ist, dann sind sie nicht orthogonal.
. Da das Skalarprodukt ergibt, gilt .


2. Schritt: Prüfe durch eine Punktprobe, ob der Aufpunkt der Gerade in der Ebene liegt.


Der Aufpunkt liegt nicht in der Ebene. Daher verlaufen die Gerade und die Ebene parallel zueinander.


b) Gegeben sind eine Ebene und eine Gerade . Bestimme die Lagebeziehung von Gerade und Ebene.

1. Schritt: Prüfe, ob der Richtungsvektor der Gerade orthogonal zum Normalenvektor der Ebene liegt.

Verwende des Skalarprodukt.
Wenn das Skalarprodukt zweier Vektoren ergibt, dann sind die beiden Vektoren orthogonal zueinander. Wenn das Skalarprodukt ungleich ist, dann sind sie nicht orthogonal.
. Da das Skalarprodukt ergibt, gilt .


2. Schritt: Prüfe durch eine Punktprobe, ob der Aufpunkt der Gerade in der Ebene liegt.


Der Aufpunkt liegt in der Ebene. Daher liegt die Gerade in der Ebene .

c) Gegeben sind eine Ebene und eine Gerade . Bestimme die Lagebeziehung von Gerade und Ebene.

1. Schritt: Prüfe, ob der Richtungsvektor der Gerade orthogonal zum Normalenvektor der Ebene liegt.

Verwende des Skalarprodukt.
Wenn das Skalarprodukt zweier Vektoren ergibt, dann sind die beiden Vektoren orthogonal zueinander. Wenn das Skalarprodukt ungleich ist, dann sind sie nicht orthogonal.
. Da das Skalarprodukt ergibt, sind und nicht orthogonal zueinander. Somit schneiden sich die Gerade und die Ebene.


2. Schritt: Berechne des Schnittpunktes.

Setze die Koordinaten der Gerade in die Ebenengleichung von ein und forme nach dem Parameter um.

Die einzelnen Koordinaten der Gerade sind: .

Setze diese Koordinaten in die Ebenengleichung von ein:

Forme nach dem Parameter um:

Setze den Parameter in die Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt zu berechnen:

.

Die Gerade und die Ebene schneiden sich im Schnittpunkt .



⭐ Aufgabe 6: Bestimme den Parameter

Gegeben ist eine Ebene . Bestimme und in den folgenden Geraden so, dass die jeweils angegebene Lagebeziehung erfüllt ist.

a) Die Gerade soll parallel zur Ebene verlaufen.

Damit die Gerade und die Ebene parallel zueinander sind, müssen der Richtungsvektor von und der Normalenvektor von orthogonal zueinander sein.

.

Damit die beiden Vektoren orthogonal zueinander sind, muss das Skalarprodukt sein: .

b) Die Gerade soll in der Ebene liegen.

Damit die Gerade in der Ebene liegt, müssen der Richtungsvektor von und der Normalenvektor von orthogonal zueinander sein.
Wenn die Gerade in der Ebene liegt, liegt jeder Punkt auf der Gerade auch in der Ebene .
Prüfe mit der Punktprobe, ob der Aufpunkt von in der Ebene liegt.

Finde zuerst m: . Damit die beiden Vektoren orthogonal zueinander sind, muss das Skalarprodukt sein: .

Finde danach durch eine Punktprobe: Setze den Aufpunkt in die Ebenengleichung ein und löse nach auf: .

c) Die Gerade soll die Ebene schneiden.

Der Richtungsvektor der Geraden darf nicht orthogonal zum Normalenvektor von liegen.
Was bedeutet es für , wenn der Richtungsvektor der Geraden nicht orthogonal zum Normalenvektor der Ebene liegen darf?
Bestimme, welchen Wert nicht annehmen darf, damit die Gerade die Ebene schneidet.
Für ist der Richtungsvektor von orthogonal zum Normalenvektor von und die Gerade liegt parallel zur Ebene . Jeder andere Wert für ist eine richtige Lösung.


⭐ Aufgabe 7: Flugzeug

Ein Flugzeug fliegt auf eine Nebelwand zu. Seine Flugbahn wird durch die Gerade beschrieben, wobei die Zeit in Minuten nach dem Start bezeichnet. Das Flugzeug befindet sich also im Moment am Punkt . Du kannst davon ausgehen, dass es mit konstanter Geschwindigkeit fliegt. Die Ebene beschreibt die Nebelwand.

Versuche die folgenden Aufgaben ohne Taschenrechner zu lösen.

a) Begründe, dass das Flugzeug die Nebelwand trifft.

Verwende das Skalarprodukt.
. Da das Skalarprodukt ergibt, sind der Normalenvektor der Ebene und der Richtungsvektor der Gerade nicht orthogonal zueinander. Daraus können wir schließen, dass sich Gerade und Ebene schneiden. Das Flugzeug trifft also auf die Nebelwand.

b) Wo trifft das Flugzeug auf die Nebelwand und wie viele Minuten dauert es noch, bis das Flugzeug die Nebelwand erreicht?

Berechne den Schnittpunkt der Gerade mit der Ebene, indem du die einzelnen Koordinaten der Gerade in die Ebenengleichung einsetzt.

Setze die einzelnen Koordinaten der Gerade in die Ebenengleichung ein und löse nach dem Parameter auf:

Da die Zeit in Minuten angibt, erreicht das Flugzeug den Schnittpunkt in 5 Minuten.

Berechne nun den Schnittpunkt , indem du in die Geradengleichung einsetzt. Du erhältst den Ortsvektor zum Schnittpunkt und kannst den Schnittpunkt dann ablesen: . Damit ergibt sich der Schnittpunkt .

Das Flugzeug trifft die Nebelwand in 5 Minuten im Punkt .


⭐Berechnung des Winkels zwischen Gerade und Ebene

⭐ Merke: Berechnung des Winkels zwischen Gerade und Ebene


Wenn eine Gerade eine Ebene schneidet, kannst du nicht nur den Schnittpunkt berechnen, sondern auch den Schnittwinkel. Dafür benötigen wir den Normalenvektor. Wenn du nicht mehr genau weißt, wie man diesen abliest oder berechnet, schau noch einmal in das Kapitel Ebenen im Raum (Ebenen im Raum).


⭐ Merksatz: Winkel berechnen zwischen Gerade und Ebene


Winkel zwischen Gerade und Ebene

Sei eine Ebene mit dem Normalenvektor und eine Gerade mit dem Richtungsvektor . Der Schnittwinkel zwischen und kann mit folgender Formel berechnet werden: .

Ist nach dem Schnittwinkel gefragt, so ist immer der kleinere der beiden Winkel gesucht, die von Gerade und Ebene eingeschlossen werden. Mit der obigen Formel erhält man deshalb für immer Werte zwischen und .

Wenn du wissen möchtest, warum du nicht - wie beim Winkel zwischen zwei Geraden - den Kosinus benutzt, kannst du das hier nachlesen:

Winkel zwischen Gerade und Ebene

Der Normalenvektor einer Ebene steht in einem Winkel zur Ebene .

Wenn man den Winkel zwischen einer Gerade und einer Ebene berechnen will, kann wie beim Winkel zwischen zwei Geraden mit der Kosinusfunktion der Winkel zwischen dem Richtungsvektor von und dem Normalenvektor von berechnet werden. In der Abbildung ist dieser Winkel mit bezeichnet. Um nun den Winkel zwischen und zu erhalten, müssen wir von abziehen. Dies entspricht aufgrund trigonometrischer Gesetzmäßigkeiten der obigen Formel mit der Sinusfunktion.


⭐ Aufgabe 8: Berechnung des Winkels zwischen Gerade und Ebene


Gegeben sind die Gerade und die Ebene . Bestimme den Winkel, unter dem sich die Gerade und die Ebene schneiden.

Nutze zur Berechnung des Winkels die Formel aus dem Merksatz. Notiere dafür den Richtungsvektor der Gerade und den Normalenvektor der Ebene.

Wenn du beide in die Formel eingesetzt hast, benötigst du den , um den Winkel ausrechnen zu können.

1. Schritt: Notiere den Richtungvektor der Gerade und den Normalenvektor der Ebene.

und

2. Schritt: Setze die Vektoren in die Formel ein.

3. Schritt: Forme die Gleichung um.

Der Schnittwinkel beträgt also .


⭐ Aufgabe 9: Trinkpäckchen


Trinkpäckchen

Eine Schulklasse nimmt auf ihrem Wandertag Trinkpäckchen mit. Jedes Trinkpäckchen hat die Form eines Quaders (siehe Abbildung). Die Seite, auf der sich das Loch für den Strohhalm befindet, kann durch die Ebene beschrieben werden. Einige Kinder ärgern sich, dass sie mit dem Strohhalm nicht gut in die Ecken kommen. Sie wollen den Winkel berechnen, unter dem sie den Strohhalm in das Trinkpäckchen stecken müssen, um an den Saft in der gegenüberliegenden Ecke zu kommen.

Wenn der Strohhalm so in das Trinkpäckchen gesteckt wird, das er in der gegenüber liegenden Ecke anstößt, kann er durch die Gerade veranschaulicht werden: .

Kannst du den Kindern helfen, den Winkel zu berechnen, unter dem der Strohhalm in das Trinkpäckchen gesteckt werden muss, um die gegenüberliegende Ecke zu erreichen?

Überlege, wie dir der obige Merksatz helfen kann.

Gesucht wird der Winkel zwischen der Gerade und der Ebene . Der Richtungsvektor der Gerade ist . Der Normalenvektor der Ebene kann abgelesen werden: .

Einsetzen der Vektoren in die Formel liefert:

Mithilfe des Taschenrechners kann das Ergebnis berechnet werden:

Die Kinder sollten den Strohhalm also in einem Winkel von ca. in das Trinkpäckchen stecken, um an den Saft in der gegenüberliegenden Ecke zu kommen.


⭐ Aufgabe 10: Gerade gesucht


Bisher wurde mit der Formel zur Winkelberechnung nur der Winkel berechnet. Die Formel kann jedoch auch genutzt werden, um bei einem vorgegebenen Winkel die Lage der Gerade oder Ebene zu bestimmen.

Eine Gerade soll die -Ebene in einem Winkel von schneiden. Über die Gerade ist nur bekannt, dass sie durch den Punkt und in Richtung des Vektors verläuft. Stelle die Gleichung der Gerade auf, indem du den Parameter bestimmst.

Notiere dir alle Informationen aus dem Text. Was weißt du über die Berechnung des Winkels zwischen einer Gerade und einer Ebene?
Der Normalenvektor der -Ebene verläuft nur in -Richtung.
Um Gleichungen mit einer Unbekannten zu lösen, kannst du die nSolve-Funktion deines Taschenrechners nutzen.

Bestimme zuerst den Normalenvektor der Ebene. Da es sich um die -Ebene handelt, lautet der Normalenvektor .

Nun können der Normalenvektor der Ebene, der Richtungsvektor der Gerade und der vorgegebene Winkel in die Formel eingesetzt werden:

Löst man die Gleichung mithilfe des Taschenrechners, erhält man das Ergebnis: .

Somit kann im letzten Schritt die Gerade aufgestellt werden. Man erhält .


Lagebeziehung Ebene-Ebene

Mögliche Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen

Merke:

Zwischen zwei Ebenen gibt es drei mögliche Lagebeziehungen:

Lagebeziehung zweier Ebenen (schneidend).png

Die Ebenen schneiden sich in einer Schnittgeraden.

Lagebeziehung zweier Ebenen (parallel).png

Die Ebenen sind parallel.

Lagebeziehung zweier Ebenen (identisch).png

Die Ebenen sind identisch.

Untersuchung der Lagebeziehung von zwei Ebenen

Beide Ebenengleichungen in Parameterform

Aufgabe 11: Lückentext zur Lagebeziehung zwischen Ebene und Ebene




Merke: Lagebeziehung von zwei Ebenen in Parameterform untersuchen.
Vorgehen bei der Untersuchung der Lagebeziehung zweier Ebenen in Parameterform.jpg


Aufgabe 12: Untersuchung der Lagebeziehung von zwei Ebenen in Parameterform


a) Gegeben sind eine Ebene und eine Ebene . Untersuche die Lagebeziehung der beiden Ebenen und berechne gegebenenfalls die Schnittgerade.

1. Schritt: Setze die beiden Ebenengleichungen gleich.


2. Schritt: Stelle das zugehörige lineare Gleichungssystem auf.

3. Schritt: Löse das Gleichungssystem mit dem Gaußverfahren oder dem Taschenrechner:

Mithilfe des Gaußverfahrens:

Mithilfe des Taschenrechners:

"Keine Lösung gefunden"

4. Schritt: Interpretiere die Lösung des Gleichungssystems:

In der dritten Zeile der Lösungsmatrix befindet sich ein Widerspruch, sodass das LGS keine Lösung besitzt: . Der Taschenrechner zeigt diese Interpretation direkt unterhalb der Lösungsmatrix an. Die beiden Ebenen sind somit parallel.

b) Gegeben sind eine Ebene