Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lagebeziehungen und Winkel (Gerade und Ebene, 2 Ebenen): Unterschied zwischen den Versionen

Aus ZUM Projektwiki
Wechseln zu: Navigation, Suche
(Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung)
K
(Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung)
 
(125 dazwischenliegende Versionen von 4 Benutzern werden nicht angezeigt)
Zeile 1: Zeile 1:
Hier entsteht das Lernpfadkapitel "Lagebeziehungen und Winkel (Gerade und Ebene, 2 Ebenen)".
 
 
[[Datei:Bauarbeiter.jpg|rahmenlos]]
 
 
  
 
{{Box
 
{{Box
 
|1=Info
 
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel geht es um die Lagebeziehung zwischen einer Gerade und einer Ebene oder zwischen zwei Ebenen inklusive der Berechnung der Schnittwinkel.
+
|2=In diesem Lernpfadkapitel geht es um die Lagebeziehung zwischen einer Gerade und einer Ebene oder zwischen zwei Ebenen inklusive der Berechnung der Schnittwinkel. Das Lernpfadkapitel ist so aufgebaut, dass ihr in jedem Abschnitt zuerst grundlegende Inhalte mithilfe der Merkkästen wiederholen und anschließend euer Wissen in Übungsaufgaben anwenden könnt.
 +
 
  
 
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
 
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
Zeile 17: Zeile 14:
  
  
Das Lernpfadkapitel ist so aufgebaut, dass ihr in jedem Abschnitt zuerst grundlegende Inhalte mithilfe der Merkkästen wiederholen könnt. Anschließend findet ihr eine Beispielaufgabe, in der die Inhalte veranschaulicht werden. Am Ende jedes Abschnittes gibt es Übungsaufgaben mit Tipps und Lösungen, sodass ihr üben und euch selbst überprüfen könnt.
 
 
==Lagebeziehung Gerade-Ebene==
 
==Lagebeziehung Gerade-Ebene==
 
===Mögliche Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene===
 
===Mögliche Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene===
Zeile 25: Zeile 21:
 
|
 
|
 
[[Datei:Lagebeziehung_Gerade_Ebene_schneidend.jpg|rahmenlos|332x332px]]
 
[[Datei:Lagebeziehung_Gerade_Ebene_schneidend.jpg|rahmenlos|332x332px]]
 +
 +
Die Gerade schneidet die Ebene.
 
|
 
|
 
[[Datei:Lagebeziehung_Gerade_Ebene_parallel.jpg|rahmenlos]]
 
[[Datei:Lagebeziehung_Gerade_Ebene_parallel.jpg|rahmenlos]]
 +
 +
Die Gerade und die Ebene liegen parallel.
 
|
 
|
 
[[Datei:Lagebeziehung_Gerade_Ebene_liegtin.jpg|rahmenlos]]
 
[[Datei:Lagebeziehung_Gerade_Ebene_liegtin.jpg|rahmenlos]]
}}
 
  
{{3Spalten
 
|
 
Die Gerade schneidet die Ebene.
 
|
 
Die Gerade und die Ebene liegen parallel.
 
|
 
 
Die Gerade liegt in der Ebene.
 
Die Gerade liegt in der Ebene.
 
}}
 
}}
 +
 
|Merksatz}}
 
|Merksatz}}
 
   
 
   
  
 
===Untersuchung der Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene===
 
===Untersuchung der Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene===
 +
====Ebene in Parameterform====
 
{{Box|Aufgabe 1: Lückentext zur Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene|
 
{{Box|Aufgabe 1: Lückentext zur Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene|
 
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pfhf979bk21}}
 
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pfhf979bk21}}
Zeile 53: Zeile 48:
 
{{Box | Beispiel: Untersuchung der Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene |  
 
{{Box | Beispiel: Untersuchung der Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene |  
  
Gegeben sind eine Ebene <math>E: \vec{x}=\left( \begin{matrix} 1\\ 0\\ 0 \end{matrix} \right) + s \cdot \left( \begin{matrix} -1\\ 1\\ 0 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} -1\\ 0\\ 1 \end{matrix} \right) </math> und eine Gerade <math>g: \vec{x}=\left( \begin{matrix} 2\\ 2\\ 2 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} -1\\ {-}4\\ 0 \end{matrix} \right) </math>. Untersuche die Lagebeziehung der Gerade und der Ebene und bestimme gegebenenfalls den Schnittpunkt.  
+
Gegeben sind eine Ebene <math>E\colon \vec{x}=\left( \begin{matrix} 1\\ 0\\ 0 \end{matrix} \right) + s \cdot \left( \begin{matrix} -1\\ 1\\ 0 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} -1\\ 0\\ 1 \end{matrix} \right) </math> und eine Gerade <math>g\colon \vec{x}=\left( \begin{matrix} 2\\ 2\\ 2 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} -1\\ {-}4\\ 0 \end{matrix} \right) </math>. Untersuche die Lagebeziehung der Gerade und der Ebene und bestimme gegebenenfalls den Schnittpunkt.  
  
  
Zeile 61: Zeile 56:
  
  
'''2. Schritt:''' Stelle das zugehörige lineare Gleichungssystem auf: <math> \begin{vmatrix} 1-s-t=2-r \\ s=2-4r \\ t=2 \end{vmatrix} </math>
+
'''2. Schritt:''' Stelle das zugehörige lineare Gleichungssystem auf: <math>\begin{vmatrix} 1-s-t=2-r \\ s=2-4r \\ t=2 \end{vmatrix} </math>
  
  
Zeile 72: Zeile 67:
  
  
'''5. Schritt:''' Da sich die Ebene <math>E</math> und die Gerade <math>g</math> schneiden, kannst du den Schnittpunkt der beiden berechnen. Setze dafür den Parameter <math>r</math> in die Geradengleichung ein: <math>\left( \begin{matrix} 2\\ 2\\ 2 \end{matrix} \right) + 1 \cdot \left( \begin{matrix} -1\\ {-}4\\ 0 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1\\ {-}2\\ 2 \end{matrix} \right) </math>
+
'''5. Schritt:''' Da sich die Ebene <math>E</math> und die Gerade <math>g</math> schneiden, kannst du den Schnittpunkt der beiden berechnen. Setze dafür den Parameter <math>r</math> in die Geradengleichung ein: <math>\left( \begin{matrix} 2\\ 2\\ 2 \end{matrix} \right) + 1 \cdot \left( \begin{matrix} -1\\ {-}4\\ 0 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1\\ {-}2\\ 2 \end{matrix} \right) </math>
  
 
Alternativ kannst du die Parameter <math>s</math> und <math>t</math> in die Ebenengleichung einsetzen und erhältst den gleichen Punkt.
 
Alternativ kannst du die Parameter <math>s</math> und <math>t</math> in die Ebenengleichung einsetzen und erhältst den gleichen Punkt.
Zeile 80: Zeile 75:
  
 
{{Box|Aufgabe 2: Untersuchung der Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene|
 
{{Box|Aufgabe 2: Untersuchung der Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene|
Gegeben ist eine Ebene <math>E: \vec{x}=\left( \begin{matrix} 1\\ 0\\ 0 \end{matrix} \right) + s \cdot \left( \begin{matrix} -1\\ 1\\ 0 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} -1\\ 0\\ 1 \end{matrix} \right) </math>. Untersuche die Lagebeziehung zwischen dieser Ebene und den untenstehenden Geraden. Ziehe die Geraden in das entsprechende Feld.
+
Gegeben ist eine Ebene <math>E\colon \vec{x}=\left( \begin{matrix} 1\\ 0\\ 0 \end{matrix} \right) + s \cdot \left( \begin{matrix} -1\\ 1\\ 0 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} -1\\ 0\\ 1 \end{matrix} \right) </math>. Untersuche die Lagebeziehung zwischen dieser Ebene und den untenstehenden Geraden. Ziehe die Geraden in das entsprechende Feld.
  
 
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=ph1zptuwk21}}
 
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=ph1zptuwk21}}
Zeile 93: Zeile 88:
 
|Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}}}}
 
|Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}}}}
  
{{Box | Aufgabe 3: Schatten eines Sonnensegels |  
+
{{Box | Aufgabe 3: Schnittpunktberechnung |
Da es Frau Meier im Sommer auf ihrer Terrasse gerne schattig haben möchte, spannt sie ein dreieckiges Segeltuch auf. Die Eckpunkte des Segeltuchs sind <math> A = \left( \begin{matrix} 9\\ {-}5\\ 7 \end{matrix} \right), B= \left( \begin{matrix} 6\\ {-}5\\ 7 \end{matrix} \right)</math> und <math> C = \left( \begin{matrix} 7\\ {-}10\\ 11 \end{matrix} \right) </math>. Die Terrasse wird modelliert durch die <math>x_1- x_2</math>-Ebene. Die Sonne scheint aus Richtung <math> S = \left( \begin{matrix} -2\\ {-}2\\ {-}10 \end{matrix} \right) </math>. In welchem Bereich hat Frau Meier nun Schatten?
+
Gegeben sind eine Gerade <math> g: \vec{x}= \left( \begin{matrix} 1\\ 0\\ 2 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\ 1\\ {-}3 \end{matrix} \right) </math>und eine Ebene <math>E: \vec{x}= \left( \begin{matrix} 4\\ 1\\ 2 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} 1\\ 3\\ {-}2 \end{matrix} \right)+ s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\ 3\\ 1 \end{matrix} \right) </math>.
 +
 
 +
Zeige, dass sich die Gerade und die Ebene schneiden und gib den Schnittpunkt an.
 +
 
 +
{{Lösung versteckt|1= 1. Setze die Geradengleichung mit der Ebenengleichung gleich.
 +
 
 +
2. Stelle ein LGS auf.
 +
 
 +
3. Löse das LGS mit dem Gaußverfahren oder dem Taschenrechner.
 +
 
 +
4. Die Anzahl der Lösungen zeigt dir, wie viele gemeinsamen Punkte die Gerade und die Ebene haben. Daran kannst du die Lagebeziehung erkennen.
 +
 
 +
5. Berechne den Schnittpunkt, indem du den Wert für <math>t</math> in die Geradengleichung einsetzt.|2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}
 +
 
 +
{{Lösung versteckt|1= 1. Setze die Geradengleichung mit der Ebenengleichung gleich: <math> \left(\begin{matrix} 1\\ 0\\ 2 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\ 1\\ {-}3 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 4\\ 1\\ 2 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} 1\\ 3\\ {-}2 \end{matrix} \right)+ s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\ 3\\ 1 \end{matrix} \right) </math>
 +
 
 +
2. Stelle ein LGS auf: <math>\begin{vmatrix} 1+2t=4+r+2s \\ t=1+3r+3s \\ 2-3t=2-2r+s \end{vmatrix} </math>
 +
 +
 
 +
3. Löse das LGS mit dem Gaußverfahren oder dem Taschenrechner: <math> t= 1, r=1, s =-1 </math>
 +
 +
 
 +
4. Die Anzahl der Lösungen zeigt dir, wie viele gemeinsame Punkte die Gerade und die Ebene haben. Da das LGS genau eine Lösung besitzt, haben die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Punkt. Somit schneiden sie sich.
 +
 
 +
5. Berechne den Schnittpunkt, indem du den Wert für <math>t</math> in die Geradengleichung einsetzt:<math> \left(\begin{matrix} 1\\ 0\\ 2 \end{matrix} \right) + 1 \cdot \left( \begin{matrix} 2\\ 1\\ {-}3 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 3\\ 1\\ {-}1 \end{matrix} \right)</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
 +
 
 +
|Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}}}}
 +
 
 +
{{Box | Aufgabe 4: Schatten eines Sonnensegels |
 +
Da es Frau Meier im Sommer auf ihrer Terrasse gerne schattig haben möchte, spannt sie ein dreieckiges Segeltuch auf. Die Eckpunkte des Segeltuchs sind <math>A (9|{-}5|7), B (6|{-}5|7)</math> und <math>C (7|{-}10|11)</math>. Die Terrasse wird modelliert durch die Ebene <math>E: \vec{x}= \left( \begin{matrix} {-}13\\ {-}7\\ 0 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} 1\\ 0\\ 0 \end{matrix} \right)+ s \cdot \left( \begin{matrix} 0\\ 1\\ 0 \end{matrix} \right) </math>. Die Richtung der Sonnenstrahlen entspricht dem Vektor <math>\vec{s} = \left( \begin{matrix} -2\\ {-}2\\ {-}10 \end{matrix} \right)</math>. In welchem Bereich hat Frau Meier nun Schatten?
 +
 
 +
 
 +
Hinweis: Da Frau Meier eine sehr große Terrasse hat, kannst du davon ausgehen, dass der Schatten vollständig innerhalb der Terrasse liegt.
 +
 
  
 
{{Lösung versteckt|1= Bestimme die Geraden der Lichtstrahlen durch die Eckpunkte des Sonnensegels und berechne, wo sie auf die Terrasse treffen. Vielleicht hilft dir eine Skizze.|2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1= Bestimme die Geraden der Lichtstrahlen durch die Eckpunkte des Sonnensegels und berechne, wo sie auf die Terrasse treffen. Vielleicht hilft dir eine Skizze.|2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= [[Datei:Aufgabe Sonnensegel Spurpunkte.png|rahmenlos|500x500px]]|2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}
+
{{Lösung versteckt|1= Hier siehst du eine Skizze, die die oben beschriebene Situation abbildet. Überlege dir, welche Punkte du für die Aufgabe bestimmen musst.  
{{Lösung versteckt|1= Der Schatten liegt auf der <math> x_1-x_2 </math>-Ebene und du weißt, dass jeder Punkt auf dieser Ebene von der Form: <math>P = \left( \begin{matrix} x_1\\ x_2\\ 0 \end{matrix} \right) </math> ist. Du musst also die Ebenengleichung nicht aufstellen.|2=Tipp 3 anzeigen|3=Tipp 3 verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1= '''1. Schritt:''' Stelle die Geradengleichungen durch die Eckpunkte des Sonnensegels in Richtung der Sonnenstrahlen auf: <math>f: \vec{x}=\left( \begin{matrix} 9\\ {-}5\\ 7 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} -2\\ {-}2\\ {-}10 \end{matrix} \right) </math>,
 
<math>g: \vec{x}=\left( \begin{matrix} 6\\ {-}5\\ 7 \end{matrix} \right) + s \cdot \left( \begin{matrix} -2\\ {-}2\\ {-}10 \end{matrix} \right) </math>,
 
<math>h: \vec{x}=\left( \begin{matrix} 7\\ {-}10\\ 11 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} -2\\ {-}2\\ {-}10 \end{matrix} \right) </math>
 
  
'''2. Schritt:''' Berechne die Schnittpunkte der Geraden mit der <math> x_1-x_2</math>-Ebene. Da du weißt, dass jeder Punkt in dieser Ebene von der Form <math>P = \left( \begin{matrix} x_1\\ x_2\\ 0 \end{matrix} \right) </math> ist, kannst du diesen Punkt mit der Geradengleichung gleichsetzen.
+
[[Datei:Aufgabe Sonnensegel Spurpunkte.png|rahmenlos|500x500px]]|2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}
 +
{{Lösung versteckt|1= Nachdem ihr die Geraden- und Ebenengleichung gleichgesetzt habt, reicht es, wenn ihr euch die Gleichung für die <math>x_3</math>-Koordinate anschaut.|2=Tipp 3 anzeigen|3=Tipp 3 verbergen}}
 +
{{Lösung versteckt|1=
 +
'''1. Schritt:''' Mache eine Skizze von der Situation.
 +
[[Datei:Aufgabe Sonnensegel Spurpunkte.png|rahmenlos|500x500px]]
  
Berechnung von <math> A' </math>:
+
'''2. Schritt:''' Stelle die Geradengleichungen durch die Eckpunkte des Sonnensegels in Richtung der Sonnenstrahlen auf: <math>f\colon \vec{x}=\left( \begin{matrix} 9\\ {-}5\\ 7 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} -2\\ {-}2\\ {-}10 \end{matrix} \right)</math>,
 +
<math>g\colon \vec{x}=\left( \begin{matrix} 6\\ {-}5\\ 7 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} -2\\ {-}2\\ {-}10 \end{matrix} \right)</math>,
 +
<math>h\colon \vec{x}=\left( \begin{matrix} 7\\ {-}10\\ 11 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} -2\\ {-}2\\ {-}10 \end{matrix} \right)</math>  
  
<math>\left( \begin{matrix} x_1\\ x_2\\ 0 \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 9\\ {-}5\\ 7 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} -2\\ {-}2\\ {-}10 \end{matrix} \right) \Rightarrow \begin{vmatrix} x_1=9-2r \\ x_2=-5-2r \\ 0=7-10r \end{vmatrix} \Rightarrow x_1=\frac{-63}{5}, x_2 = \frac{-32}{5}, r= \frac{7}{10} \Rightarrow A'=\left( \begin{matrix} \frac{-63}{5}\\ \frac{-32}{5}\\ 0 \end{matrix} \right)</math>.  
+
'''3. Schritt:''' Berechne die Schnittpunkte der Geraden mit der Ebene.
  
Berechnung von <math> B' </math>:
+
Berechnung von <math>A' </math>:
  
<math>\left( \begin{matrix} x_1\\ x_2\\ 0 \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 6\\ {-}5\\ 7 \end{matrix} \right) + s \cdot \left( \begin{matrix} -2\\ {-}2\\ {-}10 \end{matrix} \right) \Rightarrow \begin{vmatrix} x_1=6-2s \\ x_2=-5-2s \\ 0=7-10s \end{vmatrix} \Rightarrow x_1=\frac{-42}{5}, x_2 = \frac{-32}{5}, r= \frac{7}{10} \Rightarrow B'=\left( \begin{matrix} \frac{-42}{5}\\ \frac{-32}{5}\\ 0 \end{matrix} \right)</math>.
+
Setze die Geraden- und Ebenengleichung gleich:
 +
<math>\left( \begin{matrix} {-}13\\ {-}7\\ 0 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} 1\\ 0\\ 0 \end{matrix} \right)+ s \cdot \left( \begin{matrix} 0\\ 1\\ 0 \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 9\\ {-}5\\ 7 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} -2\\ {-}2\\ {-}10 \end{matrix} \right) </math>  
  
Berechnung von <math> C' </math>:
+
Notiere die Zeilen der Gleichung als Gleichungssystem:
 +
<math>\begin{vmatrix} -13+r=9-2t \\ -7+s=-5-2t \\ 0=7-10t \end{vmatrix} </math>  
  
<math>\left( \begin{matrix} x_1\\ x_2\\ 0 \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 7\\ {-}10\\ 11 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} -2\\ {-}2\\ {-}10 \end{matrix} \right) \Rightarrow \begin{vmatrix} x_1=7-2t \\ x_2=-10-2t \\ 0=11-10t \end{vmatrix} \Rightarrow x_1=\frac{-77}{5}, x_2 = \frac{-61}{5}, t= \frac{11}{10} \Rightarrow C'=\left( \begin{matrix} \frac{-77}{5}\\ \frac{-61}{5}\\ 0 \end{matrix} \right)</math>.
+
Berechne den Parameter <math>t</math>, indem du die 3. Gleichung nach <math>t</math> umformst:
 +
<math> t= \frac{7}{10} </math>  
  
Die Schattenfläche wird also durch das Dreieck mit den Eckpunkten <math> A'=\left( \begin{matrix} \frac{-63}{5}\\ \frac{-32}{5}\\ 0 \end{matrix} \right), B'=\left( \begin{matrix} \frac{-42}{5}\\ \frac{-32}{5}\\ 0 \end{matrix} \right) </math> und <math> C'=\left( \begin{matrix} \frac{-77}{5}\\ \frac{-61}{5}\\ 0 \end{matrix} \right)</math> begrenzt.
+
Durch Einsetzen von <math>t</math> in die Geradengleichung erhältst den Punkt <math> A'(-\frac{63}{5} | -\frac{32}{5} | 0)</math>.
 +
 
 +
Berechnung von <math>B'</math>:
 +
 
 +
Setze die Geraden- und Ebenengleichung gleich:
 +
<math>\left( \begin{matrix} {-}13\\ {-}7\\ 0 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} 1\\ 0\\ 0 \end{matrix} \right)+ s \cdot \left( \begin{matrix} 0\\ 1\\ 0 \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 6\\ {-}5\\ 7 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} -2\\ {-}2\\ {-}10 \end{matrix} \right) </math>
 +
 
 +
Notiere die Zeilen der Gleichung als Gleichungssystem:
 +
<math> \begin{vmatrix} -13+r=6-2t \\ -7+s=-5-2t \\ 0=7-10t \end{vmatrix} </math>
 +
 
 +
Löse die 3. Gleichung nach <math>t</math> auf:
 +
<math> t= \frac{7}{10} </math>
 +
 
 +
Durch Einsetzen von <math>t</math> in die Geradengleichung erhältst den Punkt <math> B'( -\frac{42}{5} | -\frac{32}{5} | 0 )</math>.
 +
 
 +
Berechnung von <math>C'</math>:
 +
 
 +
<math>\left( \begin{matrix} {-}13\\ {-}7\\ 0 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} 1\\ 0\\ 0 \end{matrix} \right)+ s \cdot \left( \begin{matrix} 0\\ 1\\ 0 \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 7\\ {-}10\\ 11 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} -2\\ {-}2\\ {-}10 \end{matrix} \right) </math>
 +
 
 +
Notiere die Zeilen der Gleichung als Gleichungssystem:
 +
<math> \begin{vmatrix} -13+r=7-2t \\ -7+s=-10-2t \\ 0=11-10t \end{vmatrix} </math>
 +
 
 +
Löse die 3. Gleichung nach <math>t</math> auf:
 +
<math> t= \frac{11}{10} </math>
 +
 
 +
Durch Einsetzen von <math>t</math> in die Geradengleichung erhältst den Punkt <math> C' (-\frac{77}{5} | -\frac{61}{5} | 0)</math>.
 +
 
 +
Die Schattenfläche wird also durch das Dreieck mit den Eckpunkten <math> A'(-\frac{63}{5} | -\frac{32}{5} | 0), B'( -\frac{42}{5} | -\frac{32}{5} | 0 )</math> und <math> C' (-\frac{77}{5} | -\frac{61}{5} | 0)</math> begrenzt.
  
 
  |2= Lösung anzeigen| 3= Lösung verbergen}}
 
  |2= Lösung anzeigen| 3= Lösung verbergen}}
 
|Arbeitsmethode}}
 
|Arbeitsmethode}}
  
{{Box|&#x2B50;Merke: Die Lagebeziehung einer Gerade und einer Ebene mit dem Normalenvektor untersuchen|  
+
====&#x2B50;Ebene in Koordinatenform====
Bei der Bestimmung der Lagebeziehung zwischen einer Gerade <math>g</math> und einer Ebene <math>E</math> kann dir der Normalenvektor der Ebene helfen.
+
{{Box|&#x2B50;Merke: Die Lagebeziehung einer Gerade und einer Ebene mit dem Normalenvektor untersuchen|Bei der Bestimmung der Lagebeziehung zwischen einer Gerade <math>g</math> und einer Ebene <math>E</math> kann dir der Normalenvektor der Ebene helfen.
 +
Wenn du nicht mehr genau weißt, wie man diesen abliest oder berechnet, schau noch einmal in das Kapitel [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum|Ebenen im Raum]].
 
{{3Spalten
 
{{3Spalten
 
|
 
|
 
[[Datei:Lagebeziehung Gerade Ebene parallel Normalenvektor.jpg|rahmenlos]]
 
[[Datei:Lagebeziehung Gerade Ebene parallel Normalenvektor.jpg|rahmenlos]]
|
+
 
[[Datei:Lagebeziehung Gerade Ebene liegtin Normalenvektor.jpg|rahmenlos]]|
 
[[Datei:Lagebeziehung Gerade Ebene schneidend Normalenvektor.jpg|rahmenlos]]
 
}}
 
{{3Spalten
 
|
 
 
Wenn der Richtungsvektor der Gerade und der Normalenvektor der Ebene '''orthogonal''' zueinander sind und Gerade und Ebene '''keinen gemeinsamen Punkt''' besitzen, so sind sie '''parallel''' zueinander.
 
Wenn der Richtungsvektor der Gerade und der Normalenvektor der Ebene '''orthogonal''' zueinander sind und Gerade und Ebene '''keinen gemeinsamen Punkt''' besitzen, so sind sie '''parallel''' zueinander.
 +
 
|
 
|
 +
[[Datei:Lagebeziehung Gerade Ebene liegtin Normalenvektor.jpg|rahmenlos]]
 +
 
Wenn der Richtungsvektor der Gerade und der Normalenvektor der Ebene '''orthogonal''' zueinander sind und Gerade und Ebene '''unendlich viele gemeinsame Punkte''' besitzen, so '''liegt''' die Gerade '''in''' der Ebene.
 
Wenn der Richtungsvektor der Gerade und der Normalenvektor der Ebene '''orthogonal''' zueinander sind und Gerade und Ebene '''unendlich viele gemeinsame Punkte''' besitzen, so '''liegt''' die Gerade '''in''' der Ebene.
 
|
 
|
 +
[[Datei:Lagebeziehung Gerade Ebene schneidend Normalenvektor.jpg|rahmenlos]]
 +
 
Wenn der Richtungsvektor der Gerade und der Normalenvektor der Ebene '''nicht orthogonal''' zueinander sind, dann '''schneiden''' sich die Gerade und die Ebene und es kann ein '''Schnittpunkt''' bestimmt werden.
 
Wenn der Richtungsvektor der Gerade und der Normalenvektor der Ebene '''nicht orthogonal''' zueinander sind, dann '''schneiden''' sich die Gerade und die Ebene und es kann ein '''Schnittpunkt''' bestimmt werden.
 
}}
 
}}
Zeile 142: Zeile 203:
  
 
{{Box|&#x2B50;Vorgehen: Untersuchung der Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene mit dem Normalenvektor |
 
{{Box|&#x2B50;Vorgehen: Untersuchung der Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene mit dem Normalenvektor |
 +
Gegeben sind eine Gerade <math> g: \vec{x}=\vec{a}+r\cdot\vec{u}</math> und eine Ebene mit dem Normalenvektor <math> \vec{n}</math>.
 
[[Datei:Vorgehen Lagebeziehung Gerade und Ebene3.jpg.jpg|zentriert|rahmenlos|600x600px]]
 
[[Datei:Vorgehen Lagebeziehung Gerade und Ebene3.jpg.jpg|zentriert|rahmenlos|600x600px]]
  
Zeile 147: Zeile 209:
  
  
{{Box |&#x2B50; Beispiel: Untersuchung der Lagebeziehung einer Gerade und einer Ebene in Koordinatenform |  
+
{{Box |&#x2B50; Aufgabe 5: Untersuchung der Lagebeziehung einer Gerade und einer Ebene in Koordinatenform |  
 +
 
 +
a) Gegeben sind eine Ebene <math>E\colon 2x_1 + x_2 - x_3 = 5 </math> und eine Gerade <math>g\colon \vec{x}=\left( \begin{matrix} 3\\ 0\\ 2 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} -3\\ 5\\ {-}1 \end{matrix} \right) </math>. Bestimme die Lagebeziehung von Gerade und Ebene.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
'''1. Schritt:''' Prüfe, ob der Richtungsvektor der Gerade orthogonal zum Normalenvektor der Ebene liegt.
 +
 
 +
{{Lösung versteckt|1=Verwende des Skalarprodukt.|2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}}
 +
{{Lösung versteckt|1=Wenn das Skalarprodukt zweier Vektoren <math>0</math> ergibt, dann sind die beiden Vektoren orthogonal zueinander. Wenn das Skalarprodukt ungleich <math>0</math> ist, dann sind sie nicht orthogonal.|2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}
 +
{{Lösung versteckt|1=<math>\vec{n} \ast \vec{u} = \left( \begin{matrix} 2\\ 1\\ {-}1 \end{matrix} \right) \ast \left( \begin{matrix} -3\\ 5\\ {-}1 \end{matrix} \right) = 2 \cdot (-3) + 1 \cdot 5 -1 \cdot (-1) = 0</math>. Da das Skalarprodukt <math> 0 </math> ergibt, gilt <math>\vec{n} \perp \vec{u}</math>.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
 +
 
  
Gegeben sind eine Ebene <math> E: 2x_1 + x_2 - x_3 = 5 </math> und eine Gerade <math> g: \vec{x}=\left( \begin{matrix} 3\\ 0\\ 2 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} -3\\ 5\\ {-}1 \end{matrix} \right) </math>. Bestimme die Lagebeziehung von Gerade und Ebene.
+
'''2. Schritt:''' Prüfe durch eine Punktprobe, ob der Aufpunkt der Gerade in der Ebene liegt.
  
  
 +
{{Lösung versteckt|1=<math>2 \cdot 3 -2 =4 \neq 5</math>
  
'''1. Schritt:''' Prüfe, ob der Richtungsvektor der Gerade orthogonal zum Normalenvektor der Ebene liegt: <math> \vec{n} \ast \vec{u} = \left( \begin{matrix} 2\\ 1\\ {-}1 \end{matrix} \right) \ast \left( \begin{matrix} -3\\ 5\\ {-}1 \end{matrix} \right) = 2 \cdot (-3) + 1 \cdot 5 -1 \cdot (-1) = 0</math><math>\Rightarrow \vec{n} \perp \vec{u}</math>
+
<math>\Rightarrow</math> Der Aufpunkt liegt nicht in der Ebene. Daher verlaufen die Gerade <math>g </math> und die Ebene <math>E</math> parallel zueinander.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
  
  
 +
b) Gegeben sind eine Ebene <math>E\colon x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 5 </math> und eine Gerade <math>g\colon \vec{x}=\left( \begin{matrix} 4\\ {-}7\\ 5 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} 1\\ 4\\ {-}3 \end{matrix} \right) </math>. Bestimme die Lagebeziehung von Gerade und Ebene.
  
'''2. Schritt:''' Prüfe durch eine Punktprobe, ob der Stützvektor der Gerade in der Ebene liegt: <math> 2 \cdot 3 -2 =5 \Rightarrow 4 \neq 5 </math>
+
'''1. Schritt:''' Prüfe, ob der Richtungsvektor der Gerade orthogonal zum Normalenvektor der Ebene liegt.
  
<math> \Rightarrow</math> Der Stützvektor liegt nicht in der Ebene. Daher verlaufen die Gerade <math> g </math> und die Ebene <math>E</math> parallel zueinander.
+
{{Lösung versteckt|1=Verwende des Skalarprodukt.|2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}}
 +
{{Lösung versteckt|1=Wenn das Skalarprodukt zweier Vektoren <math>0</math> ergibt, dann sind die beiden Vektoren orthogonal zueinander. Wenn das Skalarprodukt ungleich <math>0</math> ist, dann sind sie nicht orthogonal.|2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}
 +
{{Lösung versteckt|1=<math>\vec{n} \ast \vec{u} = \left( \begin{matrix} 1\\ 2\\ 3 \end{matrix} \right) \ast \left( \begin{matrix} 4\\ {-}7\\ 5 \end{matrix} \right) = 1 \cdot 4 + 2 \cdot (-7) +3 \cdot 5 = 0</math>. Da das Skalarprodukt <math> 0 </math> ergibt, gilt <math>\vec{n} \perp \vec{u}</math>.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
  
  
| Hervorhebung1}}
+
'''2. Schritt:''' Prüfe durch eine Punktprobe, ob der Aufpunkt der Gerade in der Ebene liegt.
 +
 
 +
 
 +
{{Lösung versteckt|1=<math>4+2 \cdot (-7) +3 \cdot 5 =5</math>
 +
 
 +
<math>\Rightarrow</math> Der Aufpunkt liegt in der Ebene. Daher liegt die Gerade <math>g </math> in der Ebene <math>E</math>.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
 +
 
 +
c) Gegeben sind eine Ebene <math>E\colon x_1 - 2x_2 + x_3 = -3 </math> und eine Gerade <math>g\colon \vec{x}=\left( \begin{matrix} 4\\ 3\\ 2 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} -2\\ \frac{3}{2}\\ 1 \end{matrix} \right) </math>. Bestimme die Lagebeziehung von Gerade und Ebene.
 +
 
 +
'''1. Schritt:''' Prüfe, ob der Richtungsvektor der Gerade orthogonal zum Normalenvektor der Ebene liegt.
 +
 
 +
{{Lösung versteckt|1=Verwende des Skalarprodukt.|2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}}
 +
{{Lösung versteckt|1=Wenn das Skalarprodukt zweier Vektoren <math>0</math> ergibt, dann sind die beiden Vektoren orthogonal zueinander. Wenn das Skalarprodukt ungleich <math>0</math> ist, dann sind sie nicht orthogonal.|2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}
 +
{{Lösung versteckt|1=<math>\vec{n} \ast \vec{u} = \left( \begin{matrix} 1\\ {-}2\\ 1 \end{matrix} \right) \ast \left( \begin{matrix} -2\\\frac{3}{2} \\1 \end{matrix} \right) = 1\cdot -2-2 \cdot \frac{3}{2} + 1 \cdot 1= -4</math>. Da das Skalarprodukt <math> -4 \neq 0 </math> ergibt, sind <math>\vec{n}</math> und <math> \vec{u}</math> nicht orthogonal zueinander. Somit schneiden sich die Gerade und die Ebene.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
 +
 
 +
 
 +
'''2. Schritt:''' Berechne des Schnittpunktes.
 +
{{Lösung versteckt|1=Setze die Koordinaten der Gerade <math>g</math> in die Ebenengleichung von <math>E</math> ein und forme nach dem Parameter um.|2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}
 +
{{Lösung versteckt|1= Die einzelnen Koordinaten der Gerade <math>g</math> sind: <math>x_1=4-2r, x_2=3+\frac{3}{2}r, x_3=2+r</math>.
 +
 
 +
Setze diese Koordinaten in die Ebenengleichung von <math>E</math> ein:
 +
<math>4-2r-2\cdot(3+\frac{3}{2}r)+2+r=-3</math>
 +
 
 +
Forme nach dem Parameter <math>r</math> um:
 +
<math>4-2r-6-3r+2+r=-3 \Leftrightarrow r=\frac{3}{4}</math>
 +
 
 +
Setze den Parameter in die Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt zu berechnen:
 +
 
 +
<math>\left( \begin{matrix} 4\\ 3\\ 2 \end{matrix} \right) + \frac{3}{4} \cdot \left( \begin{matrix} -2\\ \frac{3}{2}\\ 1 \end{matrix} \right)=\left(\begin{matrix} \frac{10}{4}\\ \frac{33}{8}\\ \frac{11}{4} \end{matrix} \right)</math>.
 +
Die Gerade <math>g</math> und die Ebene <math>E</math> schneiden sich im Schnittpunkt <math>S(\frac{10}{4}|\frac{33}{8}|\frac{11}{4})</math>. |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
 +
 
 +
 
 +
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}}}}
  
{{Box|&#x2B50; Aufgabe 4: Bestimme den Parameter |
+
{{Box|&#x2B50; Aufgabe 6: Bestimme den Parameter |
Gegeben ist eine Ebene <math> E: \vec{x} = -2x_1 + 3x_2 - x_3 = 3 </math>.
+
Gegeben ist eine Ebene <math>E\colon -2x_1 + 3x_2 - x_3 = 3</math>.
Bestimme <math> l </math> und <math> m </math> in den folgenden Geraden so, dass die entsprechende Lagebeziehung erfüllt ist.
+
Bestimme <math>l</math> und <math>m</math> in den folgenden Geraden so, dass die jeweils angegebene Lagebeziehung erfüllt ist.
  
a) Die Gerade <math> g: \vec{x} = \left( \begin{matrix} 5\\ 3\\ 0 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} \frac{1}{2}\\ 3\\ m \end{matrix} \right) </math> soll parallel zur Ebene <math> E </math> verlaufen.
+
a) Die Gerade <math>g\colon \vec{x} = \left( \begin{matrix} 5\\ 3\\ 0 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} \frac{1}{2}\\ 3\\ m \end{matrix} \right)</math> soll parallel zur Ebene <math>E</math> verlaufen.
  
 
{{Lösung versteckt|1=Damit die Gerade <math>g</math> und die Ebene <math>E</math> parallel zueinander sind, müssen der Richtungsvektor von <math>g</math> und der Normalenvektor von <math>E</math> orthogonal zueinander sein. |2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1=Damit die Gerade <math>g</math> und die Ebene <math>E</math> parallel zueinander sind, müssen der Richtungsvektor von <math>g</math> und der Normalenvektor von <math>E</math> orthogonal zueinander sein. |2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= <math> \vec{u} \ast \vec{n} = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2}\\ 3\\ m \end{matrix} \right) \ast \left( \begin{matrix} -2\\ 3\\ {-}1 \end{matrix} \right) = 8-m </math>.  
+
{{Lösung versteckt|1= <math>\vec{u} \ast \vec{n} = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2}\\ 3\\ m \end{matrix} \right) \ast \left( \begin{matrix} -2\\ 3\\ {-}1 \end{matrix} \right) = 8-m </math>.  
Damit die beiden Vektoren orthogonal zueinander sind, muss das Skalarprodukt <math> 0 </math> sein: <math> 8-m = 0 \Rightarrow m = 8 </math>.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
+
Damit die beiden Vektoren orthogonal zueinander sind, muss das Skalarprodukt <math>0</math> sein: <math>8-m = 0 \Rightarrow m = 8</math>.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
  
b) Die Gerade <math> h: \vec{x} = \left( \begin{matrix} l\\\frac{51}{10}\\ \frac{2}{5} \end{matrix} \right) + s \cdot \left( \begin{matrix} 3\\ m\\ \frac{18}{5} \end{matrix} \right) </math> soll in der Ebene <math> E </math> liegen.  
+
b) Die Gerade <math>h\colon \vec{x} = \left( \begin{matrix} l\\\frac{51}{10}\\ \frac{2}{5} \end{matrix} \right) + s \cdot \left( \begin{matrix} 3\\ m\\ \frac{18}{5} \end{matrix} \right)</math> soll in der Ebene <math>E</math> liegen.  
  
 
{{Lösung versteckt|1= Damit die Gerade <math>g</math> in der Ebene <math>E</math> liegt, müssen der Richtungsvektor von <math>g</math> und der Normalenvektor von <math>E</math> orthogonal zueinander sein. |2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1= Damit die Gerade <math>g</math> in der Ebene <math>E</math> liegt, müssen der Richtungsvektor von <math>g</math> und der Normalenvektor von <math>E</math> orthogonal zueinander sein. |2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= Wenn die Gerade <math>g</math> in der Ebene <math>E</math> liegt, liegt jeder Punkt auf der Gerade <math>g</math> auch in der Ebene <math>E</math>. Prüfe mit der Punktprobe, ob der Stützvektor von <math>g</math> in der Ebene <math>E</math> liegt.|2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}
+
{{Lösung versteckt|1= Wenn die Gerade <math>g</math> in der Ebene <math>E</math> liegt, liegt jeder Punkt auf der Gerade <math>g</math> auch in der Ebene <math>E</math>. |2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= '''Finde zuerst m:''' <math> \vec{u} \ast \vec{n} = \left( \begin{matrix} 3\\ m\\ \frac{18}{5} \end{matrix} \right) \ast \left( \begin{matrix} -2\\ 3\\ {-}1 \end{matrix} \right) = 3m - \frac{48}{5} </math>.  
+
{{Lösung versteckt|1= Prüfe mit der Punktprobe, ob der Aufpunkt von <math>g</math> in der Ebene <math>E</math> liegt.|2=Tipp 3 anzeigen|3=Tipp 3 verbergen}}
Damit die beiden Vektoren orthogonal zueinander sind, muss das Skalarprodukt <math> 0 </math> sein: <math> 3m - \frac{48}{5} = 0 \Rightarrow m = \frac{16}{5} </math>.
+
{{Lösung versteckt|1= '''Finde zuerst m:''' <math> \vec{u} \ast \vec{n} = \left( \begin{matrix} 3\\ m\\ \frac{18}{5} \end{matrix} \right) \ast \left( \begin{matrix} -2\\ 3\\ {-}1 \end{matrix} \right) = 3m - \frac{48}{5}</math>.  
 +
Damit die beiden Vektoren orthogonal zueinander sind, muss das Skalarprodukt <math>0</math> sein: <math>3m - \frac{48}{5} = 0 \Rightarrow m = \frac{16}{5}</math>.
  
'''Finde danach <math>l</math> durch eine Punktprobe:''' Setze <math> \vec{a} = \left( \begin{matrix} l\\ \frac{51}{10}\\ \frac{2}{5} \end{matrix} \right) </math> in die Ebenengleichung ein und löse nach l auf: <math> -2l + 3 \cdot \frac{51}{10} - \frac{2}{5}= 3 \Leftrightarrow l = \frac{119}{20}</math>. |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
+
'''Finde danach <math>l</math> durch eine Punktprobe:''' Setze den Aufpunkt <math>A (l | \frac{51}{10}| \frac{2}{5})</math> in die Ebenengleichung ein und löse nach <math>l</math> auf: <math>-2l + 3 \cdot \frac{51}{10} - \frac{2}{5}= 3 \Leftrightarrow l = \frac{119}{20}</math>. |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
  
c) Die Gerade <math> i: \vec{x} = \left( \begin{matrix} 3\\ 0\\ 2 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} m\\ 5\\ {-}1 \end{matrix} \right) </math> soll die Ebene <math> E </math> schneiden.
+
c) Die Gerade <math>i\colon \vec{x} = \left( \begin{matrix} 3\\ 0\\ 2 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} m\\ 5\\ {-}1 \end{matrix} \right)</math> soll die Ebene <math>E</math> schneiden.
  
{{Lösung versteckt|1=Es gibt keine eindeutige Lösung! Der Richtungsvektor <math> \vec{u} </math> von <math>g</math> darf nur nicht orthogonal zum Normalenvektor von <math>E</math> liegen. |2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}
+
{{Lösung versteckt|1=Der Richtungsvektor der Geraden darf nicht orthogonal zum Normalenvektor von <math>E</math> liegen. |2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}}
 +
{{Lösung versteckt|1=Was bedeutet es für <math>m</math>, wenn der Richtungsvektor der Geraden nicht orthogonal zum Normalenvektor der Ebene liegen darf? |2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}
 +
{{Lösung versteckt|1= Bestimme, welchen Wert <math>m</math> nicht annehmen darf, damit die Gerade die Ebene schneidet. |2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1= Für <math> m = 8 </math> ist der Richtungsvektor von <math>g</math> orthogonal zum Normalenvektor von <math>E</math> und die Gerade <math>g</math> liegt parallel zur Ebene <math>E</math>. Jeder andere Wert für <math>m</math> ist eine richtige Lösung. |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1= Für <math> m = 8 </math> ist der Richtungsvektor von <math>g</math> orthogonal zum Normalenvektor von <math>E</math> und die Gerade <math>g</math> liegt parallel zur Ebene <math>E</math>. Jeder andere Wert für <math>m</math> ist eine richtige Lösung. |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
 
|Arbeitsmethode}}
 
|Arbeitsmethode}}
  
{{Box|&#x2B50; Aufgabe 5: Beamer |  
+
{{Box|&#x2B50; Aufgabe 7: Flugzeug |  
Luca hält einen Vortrag vor seiner Klasse. Mit einem Laserpointer möchte er auf einer Karte an der Wand etwas zeigen. Die Wand des Klassenraums wird durch die Ebene <math> E: x_2 + 3x_3 = 2 </math> dargestellt. Der Strahl des Laserpointers wird durch die Gerade <math> j: \vec{x} = \left( \begin{matrix} {-}5\\ 1 \frac{3}{2} \end{matrix} \right) + s \cdot \left( \begin{matrix} 1\\ 2\\ \frac{1}{2} \end{matrix} \right) </math> modelliert.
+
Ein Flugzeug fliegt auf eine Nebelwand zu. Seine Flugbahn wird durch die Gerade <math>j\colon \vec{x} = \left( \begin{matrix} 10\\ 23 \\ 10 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} -2\\ {-}5\\ 0 \end{matrix} \right)</math> beschrieben, wobei <math> t</math> die Zeit in Minuten nach dem Start bezeichnet. Das Flugzeug befindet sich also im Moment am Punkt <math> P(10/23/10) </math>. Du kannst davon ausgehen, dass es mit konstanter Geschwindigkeit fliegt. Die Ebene <math> E: 2x_1+x_2=-2 </math> beschreibt die Nebelwand.
Berechne ohne Taschenrechner, wo der Strahl aus Lucas Laserpointer auf die Karte an der Wand trifft.
+
 
 +
Versuche die folgenden Aufgaben ohne Taschenrechner zu lösen.
 +
 
 +
a) Begründe, dass das Flugzeug die Nebelwand trifft.
 +
{{Lösung versteckt|1=Verwende das Skalarprodukt. |2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}
 +
{{Lösung versteckt|1= <math>\vec{n} \ast \vec{u} = \left( \begin{matrix} 2\\ 1\\ 0 \end{matrix} \right) \ast \left( \begin{matrix} -2\\ {-}5\\ 0 \end{matrix} \right) = 2 \cdot (-2) + 1 \cdot (-5) +0 \cdot 0 = -9</math>. Da das Skalarprodukt <math> -9 \neq 0 </math> ergibt, sind der Normalenvektor der Ebene <math>E</math> und der Richtungsvektor der Gerade <math>j</math> nicht orthogonal zueinander. Daraus können wir schließen, dass sich Gerade und Ebene schneiden. Das Flugzeug trifft also auf die Nebelwand.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
 +
 
 +
b) Wo trifft das Flugzeug auf die Nebelwand und wie viele Minuten dauert es noch, bis das Flugzeug die Nebelwand erreicht?
 +
 
 
{{Lösung versteckt|1= Berechne den Schnittpunkt der Gerade mit der Ebene, indem du die einzelnen Koordinaten der Gerade in die Ebenengleichung einsetzt.|2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1= Berechne den Schnittpunkt der Gerade mit der Ebene, indem du die einzelnen Koordinaten der Gerade in die Ebenengleichung einsetzt.|2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= Setze die einzelnen Koordinaten der Gerade in die Ebenengleichung ein: <math> -5 + 2s + 3(\frac{3}{2} + \frac{1}{2}s) = 2 \Leftrightarrow s \approx 0{,}71 </math>
+
{{Lösung versteckt|1= Setze die einzelnen Koordinaten der Gerade in die Ebenengleichung ein und löse nach dem Parameter <math>t</math> auf: <math>2 \cdot (10-2t)+23-5t= -2 \Leftrightarrow 20-4t+23-5t =-2 \Leftrightarrow -9t=-45\Leftrightarrow t=5</math>
Berechne den Schnittpunkt, indem du <math>s</math> in die Geradengleichung einsetzt: <math>\left( \begin{matrix} 7\\ {-}5\\ \frac{3}{2} \end{matrix} \right) + 0{,}71 \cdot \left( \begin{matrix} 1\\ 2\\ \frac{1}{2} \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 7{,}71\\ {-}3{,}58\\ 1{,}86 \end{matrix} \right)</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
+
 
  | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}}}}
+
Da <math>t</math> die Zeit in Minuten angibt, erreicht das Flugzeug den Schnittpunkt in 5 Minuten.
 +
 
 +
Berechne nun den Schnittpunkt <math>S</math>, indem du <math>t</math> in die Geradengleichung einsetzt. Du erhältst den Ortsvektor zum Schnittpunkt und kannst den Schnittpunkt dann ablesen: <math>\left( \begin{matrix} 10\\ 23 \\10 \end{matrix} \right) + 5 \cdot \left( \begin{matrix} -2\\ {-}5\\ 0 \end{matrix} \right)</math><math> = \left( \begin{matrix} 0\\{-}2\\ 10 \end{matrix}\right)=\left( \begin{matrix} 0\\-2\\ 10 \end{matrix} \right)</math>. Damit ergibt sich der Schnittpunkt <math> S(0|-2|10)</math>.
 +
 
 +
Das Flugzeug trifft die Nebelwand in 5 Minuten im Punkt <math> S(0|-2|10)</math>. |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
 +
  | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}}}}  
  
  
 
===&#x2B50;Berechnung des Winkels zwischen Gerade und Ebene===
 
===&#x2B50;Berechnung des Winkels zwischen Gerade und Ebene===
[[Datei:Abbildung Winkel zwischen Gerade und Ebene .jpg|mini|Abbildung: Winkel zwischen Gerade und Ebene]]
 
  
{{Box | Merke: Berechnung des Winkels zwischen Gerade und Ebene | Wenn eine Gerade <math>g</math> eine Ebene <math>E</math> schneidet, kannst du nicht nur den Schnittpunkt berechnen, sondern auch den Schnittwinkel. Dafür benötigen wir den Normalenvektor. Wenn du nicht mehr genau weißt, wie man diesen abliest oder berechnet, schau noch einmal in Kapitel...  | Merksatz}}  
+
{{Box | &#x2B50; Merke: Berechnung des Winkels zwischen Gerade und Ebene |  
 +
 
 +
Wenn eine Gerade <math>g</math> eine Ebene <math>E</math> schneidet, kannst du nicht nur den Schnittpunkt berechnen, sondern auch den Schnittwinkel. Dafür benötigen wir den Normalenvektor. Wenn du nicht mehr genau weißt, wie man diesen abliest oder berechnet, schau noch einmal in das Kapitel ''Ebenen im Raum'' ([[Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum|Ebenen im Raum]]). | Merksatz}}  
 +
 
 +
{{Box | &#x2B50; Merksatz: Winkel berechnen zwischen Gerade und Ebene |
 +
 
 +
[[Datei:Abbildung Winkel zwischen Gerade und Ebene .jpg| rechts | mini | Winkel zwischen Gerade und Ebene]]
  
{{Box | Merksatz: Winkel berechnen zwischen Gerade und Ebene |
+
Sei <math>E</math> eine Ebene mit dem Normalenvektor <math>\vec{n}</math> und <math>g</math> eine Gerade mit dem Richtungsvektor <math>\vec{u}</math>. Der Schnittwinkel <math>\alpha</math> zwischen <math>E</math> und <math>g</math> kann mit folgender Formel berechnet werden: <math>\sin(\alpha)=\frac{|\vec{n} \ast \vec{u}|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{u}|}</math>.
Sei <math>E</math> eine Ebene mit dem Normalenvektor <math>\vec{n}</math> und <math>g</math> eine Gerade mit dem Richtungsvektor <math>\vec{u}</math>. Der Schnittwinkel <math>\alpha</math> zwischen <math>E</math> und <math>g</math> kann mit folgender Formel berechnet werden: <math> sin(\alpha)=\frac{|\vec{n} \ast \vec{u}|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{u}|}</math>  
 
  
 +
Ist nach dem '''Schnittwinkel''' gefragt, so ist immer der kleinere der beiden Winkel gesucht, die von Gerade und Ebene eingeschlossen werden. Mit der obigen Formel erhält man deshalb für <math>\alpha</math> immer Werte zwischen <math>0^{\circ}</math> und <math>90^{\circ}</math>.
  
 
Wenn du wissen möchtest, warum du nicht - wie beim Winkel zwischen zwei Geraden - den Kosinus benutzt, kannst du das hier nachlesen:  
 
Wenn du wissen möchtest, warum du nicht - wie beim Winkel zwischen zwei Geraden - den Kosinus benutzt, kannst du das hier nachlesen:  
  
 
{{Lösung versteckt|1=
 
{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Abbildung- Winkel zwischen Gerade und Ebene, Zusammenhang zum Normalenvektor.jpg|mini|Abbildung: Winkel zwischen Gerade und Ebene, Zusammenhang zum Normalenvektor]]
 
Der Normalenvektor <math>\vec{n}</math> einer Ebene steht in einem <math>90 ^{\circ} </math> Winkel zur Ebene <math>E</math>.
 
 
Wenn man den Winkel zwischen einer Gerade <math>g</math> und einer Ebene <math>E</math> berechnen will, kann wie beim Winkel zwischen zwei Geraden mit der Kosinusfunktion der Winkel zwischen dem Richtungsvektor von <math>g</math> und dem Normalenvektor von <math>E</math> berechnet werden. In Abbildung ... ist dieser Winkel mit <math>\beta</math> bezeichnet. Um nun den Winkel <math>\alpha</math> zwischen <math>g</math> und <math>E</math> zu erhalten, müssen wir <math>\beta</math> von <math> 90 ^\circ </math> abziehen. Dies entspricht aufgrund trigonometrischer Gesetzmäßigkeiten der obigen Formel mit der Sinusfunktion.|2=Erklärung anzeigen|3=Erklärung verbergen}}
 
  
| Merksatz}}
+
[[Datei:Abbildung- Winkel zwischen Gerade und Ebene, Zusammenhang zum Normalenvektor.jpg | rechts | mini | Winkel zwischen Gerade und Ebene]]
  
 +
Der Normalenvektor <math>\vec{n}</math> einer Ebene steht in einem <math>90^{\circ} </math> Winkel zur Ebene <math>E</math>.
  
{{Box | Beispiel: Berechnung des Winkels zwischen Gerade und Ebene |  
+
Wenn man den Winkel zwischen einer Gerade <math>g</math> und einer Ebene <math>E</math> berechnen will, kann wie beim Winkel zwischen zwei Geraden mit der Kosinusfunktion der Winkel zwischen dem Richtungsvektor von <math>g</math> und dem Normalenvektor von <math>E</math> berechnet werden. In der Abbildung ist dieser Winkel mit <math>\beta</math> bezeichnet. Um nun den Winkel <math>\alpha</math> zwischen <math>g</math> und <math>E</math> zu erhalten, müssen wir <math>\beta</math> von <math>90^\circ </math> abziehen. Dies entspricht aufgrund trigonometrischer Gesetzmäßigkeiten der obigen Formel mit der Sinusfunktion.|2=Erklärung anzeigen|3=Erklärung verbergen}}
  
Gegeben sind die Gerade <math>g: \vec{x}=\left( \begin{matrix} -1\\ 3\\ 6 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} 8\\ 2\\ 0 \end{matrix} \right) </math> und die Ebene <math>E: 2x_1 + x_2 + 4 x_3 = -27 </math>. Bestimme den Winkel, unter dem sich die Gerade <math>g</math> und die Ebene <math>E</math> schneiden.
+
| Merksatz}}  
  
'''1.  Schritt''': Notiere den Richtungvektor <math> \vec{u} </math> der Gerade und den Normalenvektor <math> \vec{n} </math> der Ebene.
+
{{Box | &#x2B50; Aufgabe 8: Berechnung des Winkels zwischen Gerade und Ebene |
  
<math> \vec{u}= \left( \begin{matrix} 8\\ 2\\ 0 \end{matrix} \right) </math> und <math> \vec{n}= \left( \begin{matrix} 2\\ 1\\ 4 \end{matrix} \right) </math>
+
Gegeben sind die Gerade <math>g\colon \vec{x}=\left( \begin{matrix} {-}1\\ 3\\ 6 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} 8\\ 2\\ 0 \end{matrix} \right) </math> und die Ebene <math>E\colon 2x_1 + x_2 + 4 x_3 = {-}27</math>. Bestimme den Winkel, unter dem sich die Gerade <math>g</math> und die Ebene <math>E</math> schneiden.
  
'''2.  Schritt''': Setze die Vektoren in die Formel <math> sin(\alpha)=\frac{ \vec{n} \ast \vec{u}}{|\vec{n}| \cdot |\vec{u}|}</math> ein.
+
{{Lösung versteckt|1= Nutze zur Berechnung des Winkels die Formel aus dem Merksatz. Notiere dafür den Richtungsvektor der Gerade und den Normalenvektor der Ebene.
<math> sin(\alpha)=\frac{ \left| \begin{pmatrix} 2\\ 1\\ 4 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 8\\ 2\\ 0 \end{pmatrix} \right|}{\left| \begin{pmatrix} 2\\ 1\\ 4 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} 8\\ 2\\ 0 \end{pmatrix} \right|}  \Leftrightarrow sin(\alpha)=\frac{18}{\sqrt{60} \cdot \sqrt{21}} \Leftrightarrow sin(\alpha)=\frac{18}{\sqrt{1260}} </math>
 
  
'''3. Schritt''': Forme die Gleichung um.
+
Wenn du beide in die Formel eingesetzt hast, benötigst du den <math>\sin^{-1}</math>, um den Winkel ausrechnen zu können.
  
<math> \alpha = sin^{-1}(\frac{18}{\sqrt{1260}}) \Leftrightarrow \alpha \approx 28,45 ^\circ </math>
+
|2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}
  
Der Winkel beträgt also <math> 28,45 ^\circ </math>.
+
{{Lösung versteckt|1= '''1. Schritt''': Notiere den Richtungvektor <math>\vec{u}</math> der Gerade und den Normalenvektor <math>\vec{n}</math> der Ebene.
  
| Hervorhebung1}}
+
<math>\vec{u}= \left( \begin{matrix} 8\\ 2\\ 0 \end{matrix} \right)</math> und <math>\vec{n}= \left( \begin{matrix} 2\\ 1\\ 4 \end{matrix} \right)</math>
  
{{Box | Aufgabe 6: Trinkpäckchen |  
+
'''2. Schritt''': Setze die Vektoren in die Formel <math>\sin(\alpha)=\frac{ |\vec{n} \ast \vec{u}|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{u}|}</math> ein.
 +
<math>\sin(\alpha)=\frac{ \left| \begin{pmatrix} 2\\ 1\\ 4 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 8\\ 2\\ 0 \end{pmatrix} \right|}{\left| \begin{pmatrix} 2\\ 1\\ 4 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} 8\\ 2\\ 0 \end{pmatrix} \right|} \Leftrightarrow \sin(\alpha)=\frac{18}{\sqrt{60} \cdot \sqrt{21}} \Leftrightarrow \sin(\alpha)=\frac{18}{\sqrt{1260}}</math>
  
[[Datei:Trinkpäckchen.png|mini|Abbildung: Trinkpäckchen mit Strohhalm]]
+
'''3. Schritt''': Forme die Gleichung um.
  
Ein Trinkpäckchen hat die Form eines Quaders, dessen Seitenflächen durch die folgenden Gleichungen beschrieben werden können:
+
<math>\alpha = \sin^{-1}(\frac{18}{\sqrt{1260}}) \Leftrightarrow \alpha \approx 28{,}45^{\circ}</math>
  
<math>E: x_2=0 </math>
+
Der Schnittwinkel beträgt also <math>28{,}45^{\circ}</math>.
  
<math>F: x_1=5 </math>
+
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
  
<math>H: x_2=8 </math>
+
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
  
<math>J: x_1=0 </math>
+
{{Box | &#x2B50; Aufgabe 9: Trinkpäckchen |
  
Der Boden kann durch die Ebene <math>B: x_3=0 </math> und der Deckel durch die Ebene <math> D: x_3=12 </math> beschrieben werden.
+
[[Datei:Trinkpäckchen einfach.jpg|mini|Trinkpäckchen]]
  
Der Strohhalm kann dabei durch die Gerade <math> g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5\\ 2\\ 11 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -5\\ 6\\ -11 \end{pmatrix}</math> beschrieben werden.
+
Eine Schulklasse nimmt auf ihrem Wandertag Trinkpäckchen mit. Jedes Trinkpäckchen hat die Form eines Quaders (siehe Abbildung). Die Seite, auf der sich das Loch für den Strohhalm befindet, kann durch die Ebene <math>E\colon x_1=5</math> beschrieben werden.
 +
Einige Kinder ärgern sich, dass sie mit dem Strohhalm nicht gut in die Ecken kommen. Sie wollen den Winkel berechnen, unter dem sie den Strohhalm in das Trinkpäckchen stecken müssen, um an den Saft in der gegenüberliegenden Ecke zu kommen.
  
Eine Schulklasse nimmt auf ihrem Wandertag viele dieser Trinkpäckchen mit. Einige Kinder ärgern sich, dass sie mit dem Strohhalm nicht gut in die letzte Ecke kommen. Berechne den Winkel, in dem die Kinder den Strohhalm halten müssen, um auch an den Saft in der letzten Ecke zu kommen.  
+
Wenn der Strohhalm so in das Trinkpäckchen gesteckt wird, das er in der gegenüber liegenden Ecke anstößt, kann er durch die Gerade <math>g</math> veranschaulicht werden: <math>g\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 5\\ 2\\ 11 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} {-}5\\ 6\\ {-}11 \end{pmatrix}</math>.
  
{{Lösung versteckt|1= Überlege zunächst, zwischen welcher Ebene und der Gerade der Winkel berechnet werden muss.|2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}
+
Kannst du den Kindern helfen, den Winkel zu berechnen, unter dem der Strohhalm in das Trinkpäckchen gesteckt werden muss, um die gegenüberliegende Ecke zu erreichen?
 +
 +
{{Lösung versteckt|1= Überlege, wie dir der obige Merksatz helfen kann.|2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}
  
{{Lösung versteckt|1= Gesucht wird der Winkel zwischen der Gerade <math>g</math> und der Ebene <math>F</math>. Der Richtungsvektor der Gerade ist <math> \vec{u} = \begin{pmatrix} -5\\ 6\\ -11 \end{pmatrix} </math>. Der Normalenvektor der Ebene kann abgelesen werden: <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} </math>.
+
{{Lösung versteckt|1= Gesucht wird der Winkel zwischen der Gerade <math>g</math> und der Ebene <math>E</math>. Der Richtungsvektor der Gerade ist <math>\vec{u} = \begin{pmatrix} {-}5\\ 6\\ {-}11 \end{pmatrix}</math>. Der Normalenvektor der Ebene kann abgelesen werden: <math>\vec{n} = \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}</math>.
  
 
Einsetzen der Vektoren in die Formel liefert:  
 
Einsetzen der Vektoren in die Formel liefert:  
  
<math> sin(\alpha)=\frac{ \left| \begin{pmatrix} -5\\ 6\\ -11 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \right|}{\left| \begin{pmatrix} -5\\ 6\\ -11 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \right|} \Leftrightarrow sin(\alpha)=\frac{5}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{25+36+121}} \Leftrightarrow sin(\alpha)=\frac{1}{\sqrt{182}} </math>
+
<math>\sin(\alpha)=\frac{ \left| \begin{pmatrix} {-}5\\ 6\\ {-}11 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \right|}{\left| \begin{pmatrix} {-}5\\ 6\\ {-}11 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \right|} \Leftrightarrow \sin(\alpha)=\frac{5}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{25+36+121}} \Leftrightarrow \sin(\alpha)=\frac{1}{\sqrt{182}}</math>
  
 
Mithilfe des Taschenrechners kann das Ergebnis berechnet werden:
 
Mithilfe des Taschenrechners kann das Ergebnis berechnet werden:
  
<math> \alpha = sin^{-1}(\frac{1}{\sqrt{182}}) \Leftrightarrow \alpha \approx 21,75 ^\circ </math>
+
<math>\alpha = \sin^{-1}(\frac{1}{\sqrt{182}}) \Leftrightarrow \alpha \approx 21{,}75^{\circ}</math>
  
Die Kinder sollten den Strohhalm also in einem Winkel von ca. <math> 21,75 ^\circ </math> in das Trinkpäckchen stecken, um an den Saft in der letzten Ecke zu kommen.
+
Die Kinder sollten den Strohhalm also in einem Winkel von ca. <math>21{,}75^{\circ}</math> in das Trinkpäckchen stecken, um an den Saft in der gegenüberliegenden Ecke zu kommen.
  
 
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
 
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
  
| Arbeitsmethode}}
+
| Arbeitsmethode}}  
 
   
 
   
  
{{Box | Aufgabe 7: Gerade gesucht |
+
{{Box | &#x2B50; Aufgabe 10: Gerade gesucht |
  
Eine Gerade <math>g</math> soll die <math>x_1-x_2</math>-Ebene in einem Winkel von <math>45 ^\circ</math> schneiden. Über die Gerade <math>g</math> ist nur bekannt, dass sie im Punkt <math>P (1|2|3) </math> beginnt und sie in Richtung des Vektors <math>\vec{x}=\begin{pmatrix} 3\\ 6\\ z \end{pmatrix}</math> verläuft. Stelle die Gerade <math>g</math> auf.
+
Bisher wurde mit der Formel zur Winkelberechnung nur der Winkel berechnet. Die Formel kann jedoch auch genutzt werden, um bei einem vorgegebenen Winkel die Lage der Gerade oder Ebene zu bestimmen.
 +
 
 +
Eine Gerade <math>g</math> soll die <math>x_1x_2</math>-Ebene in einem Winkel von <math>45^{\circ}</math> schneiden. Über die Gerade <math>g</math> ist nur bekannt, dass sie durch den Punkt <math>P (1|2|3)</math> und in Richtung des Vektors <math>\vec{x}=\begin{pmatrix} 3\\ 6\\ z \end{pmatrix}, z > 0 </math> verläuft. Stelle die Gleichung der Gerade <math>g</math> auf, indem du den Parameter <math>z</math> bestimmst.
  
 
{{Lösung versteckt|1=Notiere dir alle Informationen aus dem Text. Was weißt du über die Berechnung des Winkels zwischen einer Gerade und einer Ebene?|2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1=Notiere dir alle Informationen aus dem Text. Was weißt du über die Berechnung des Winkels zwischen einer Gerade und einer Ebene?|2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}}
  
{{Lösung versteckt|1=Der Normalenvektor der <math>x_1-x_2</math> -Ebene verläuft nur in <math>x_3</math>-Richtung.|2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}
+
{{Lösung versteckt|1=Der Normalenvektor der <math>x_1x_2</math>-Ebene verläuft nur in <math>x_3</math>-Richtung.|2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}
  
 
{{Lösung versteckt|1=Um Gleichungen mit einer Unbekannten zu lösen, kannst du die nSolve-Funktion deines Taschenrechners nutzen.|2=Tipp 3 anzeigen|3=Tipp 3 verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1=Um Gleichungen mit einer Unbekannten zu lösen, kannst du die nSolve-Funktion deines Taschenrechners nutzen.|2=Tipp 3 anzeigen|3=Tipp 3 verbergen}}
  
{{Lösung versteckt|1=Bisher wurde mit der Formel zur Winkelberechnung nur der Winkel berechnet. Die Formel kann jedoch auch genutzt werden, um bei einem vorgegebenen Winkel die Lage der Gerade oder Ebene zu bestimmen.
+
{{Lösung versteckt|1= Bestimme zuerst den Normalenvektor der Ebene. Da es sich um die <math>x_1x_2</math> -Ebene handelt, lautet der Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}</math>.  
 
 
Bestimme dafür zuerst den Normalenvektor der Ebene. Da es sich um die <math>x_1-x_2</math> -Ebene handelt, lautet der Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}</math>.  
 
  
Nun können der Normalenvektor der Ebene, der Richtungsvektor der Gerade und der vorgegebene Winkel in die Formel eingesetzt werden: <math> sin(45)=\frac{ \left| \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 3\\ 6\\ z \end{pmatrix} \right|}{\left| \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} 3\\ 6\\ z \end{pmatrix} \right|} \Leftrightarrow sin(45)=\frac{z}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{9+36 + z^{2}}} \Leftrightarrow sin(45)=\frac{z}{\sqrt{45+z^{2}}} </math>
+
Nun können der Normalenvektor der Ebene, der Richtungsvektor der Gerade und der vorgegebene Winkel in die Formel eingesetzt werden: <math>\sin(45^{\circ})=\frac{ \left| \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 3\\ 6\\ z \end{pmatrix} \right|}{\left| \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} 3\\ 6\\ z \end{pmatrix} \right|} \Leftrightarrow \sin(45^{\circ})=\frac{|z|}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{9+36 + z^{2}}} \Leftrightarrow \sin(45^{\circ})=\frac{|z|}{\sqrt{45+z^{2}}}</math>
  
Löst man die Gleichung mithilfe des Taschenrechners, erhält man das Ergebnis: <math>z=3 \sqrt{5} \approx 6,71</math>.  
+
Löst man die Gleichung mithilfe des Taschenrechners, erhält man das Ergebnis: <math>z=3 \sqrt{5} \approx 6{,}71</math>.  
  
Somit kann im letzten Schritt die Gerade <math>g</math> aufgestellt werden. Man erhält <math> g: \vec{x} = \left( \begin{matrix} 1\\ 2\\ 3 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} 3\\ 6\\ {3 \sqrt{5}} \end{matrix} \right) </math>. |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
+
Somit kann im letzten Schritt die Gerade <math>g</math> aufgestellt werden. Man erhält <math>g\colon \vec{x} = \left( \begin{matrix} 1\\ 2\\ 3 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} 3\\ 6\\ {3 \sqrt{5}} \end{matrix} \right)</math>. |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
  
| Arbeitsmethode}}
+
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}
  
  
Zeile 306: Zeile 436:
 
|
 
|
 
[[Datei:Lagebeziehung zweier Ebenen (schneidend).png|rahmenlos]]
 
[[Datei:Lagebeziehung zweier Ebenen (schneidend).png|rahmenlos]]
 +
 +
Die Ebenen schneiden sich in einer Schnittgeraden.
 
|
 
|
 
[[Datei:Lagebeziehung zweier Ebenen (parallel).png|rahmenlos]]
 
[[Datei:Lagebeziehung zweier Ebenen (parallel).png|rahmenlos]]
 +
 +
Die Ebenen sind parallel.
 
|
 
|
 
[[Datei:Lagebeziehung zweier Ebenen (identisch).png|rahmenlos]]
 
[[Datei:Lagebeziehung zweier Ebenen (identisch).png|rahmenlos]]
}}
 
  
{{3Spalten
 
|
 
Die Ebenen schneiden sich in einer Schnittgeraden.
 
|
 
Die Ebenen sind parallel.
 
|
 
 
Die Ebenen sind identisch.
 
Die Ebenen sind identisch.
 
}}
 
}}
 
|Merksatz}}
 
|Merksatz}}
  
{{Box|Aufgabe 8: Lückentext zur Lagebeziehung zwischen Ebene und Ebene|
+
===Untersuchung der Lagebeziehung von zwei Ebenen===
 +
 
 +
====Beide Ebenengleichungen in Parameterform====
 +
{{Box|Aufgabe 11: Lückentext zur Lagebeziehung zwischen Ebene und Ebene|
  
 
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=ptpaywm2521}}
 
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=ptpaywm2521}}
  
|Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}
+
|Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}<br />{{Box|Merke: Lagebeziehung von zwei Ebenen in Parameterform untersuchen. |
 +
[[Datei:Vorgehen bei der Untersuchung der Lagebeziehung zweier Ebenen in Parameterform.jpg|zentriert|rahmenlos|600x600px]]
 +
|Merksatz}}
 +
 
 +
 
 +
{{Box |Aufgabe 12: Untersuchung der Lagebeziehung von zwei Ebenen in Parameterform |
 +
 
 +
'''a)'''
 +
Gegeben sind eine Ebene <math>E\colon \vec{x}=\left( \begin{matrix} 1\\ 4\\ 0 \end{matrix} \right) + s \cdot \left( \begin{matrix} 1\\ {-}2\\ 1 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 3\\ 1\\ {-}1 \end{matrix} \right) </math> und eine Ebene <math>F\colon \vec{x}=\left( \begin{matrix} 1\\ 2\\ 3 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} 2\\ 3\\ {-}2 \end{matrix} \right)+ u \cdot \left( \begin{matrix} 5\\ 4\\ {-}3 \end{matrix} \right)</math>.
 +
Untersuche die Lagebeziehung der beiden Ebenen und berechne gegebenenfalls die Schnittgerade.
 +
 
 +
'''1. Schritt:''' Setze die beiden Ebenengleichungen gleich.
 +
 
 +
{{Lösung versteckt|1=<math>\left( \begin{matrix} 1\\ 4\\ 0 \end{matrix} \right) + s \cdot \left( \begin{matrix} 1\\ {-}2\\ 1 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 3\\ 1\\ {-}1 \end{matrix} \right)= \left( \begin{matrix} 1\\ 2\\ 3 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} 2\\ 3\\ {-}2 \end{matrix} \right)+ u \cdot \left( \begin{matrix} 5\\ 4\\ {-}3 \end{matrix} \right)</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
 +
 
 +
 
 +
'''2. Schritt:''' Stelle das zugehörige lineare Gleichungssystem auf.
  
===Untersuchung der Lagebeziehung von zwei Ebenen===
+
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{vmatrix} 1+s+3t=1+2r+5u \\ 4-2s+t=2+3r+4u \\ s-t=3-2r-3u \end{vmatrix} \Leftrightarrow \begin{vmatrix} s+3t-2r+5u=0 \\ {-}2s+t-3r-4u=-2 \\ s-t+2r+3u=3 \end{vmatrix}</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
====Beide Ebenengleichungen in Parameterform====
 
{{Box|Merke: Lagebeziehung von zwei Ebenen in Parameterform untersuchen. |
 
[[Datei:Vorgehen zur Berechnung der Lagebeziehung von Ebenen in Parameterform.jpg|zentriert|rahmenlos|600x600px]]
 
|Merksatz}}
 
  
 +
'''3. Schritt:''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gaußverfahren oder dem Taschenrechner:
  
{{Box | Beispiel: Untersuchung der Lagebeziehung von zwei Ebenen in Parameterform |
+
{{2Spalten
 +
|
 +
Mithilfe des Gaußverfahrens:
  
Gegeben sind eine Ebene <math>E: \vec{x}=\left( \begin{matrix} 1\\ 4\\ 0 \end{matrix} \right) + s \cdot \left( \begin{matrix} 1\\ {-}2\\ 1 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 3\\ 1\\ {-}1 \end{matrix} \right) </math> und eine Ebene <math>F: \vec{x}=\left( \begin{matrix} 1\\ 2\\ 3 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} 2\\ 3\\ {-}2 \end{matrix} \right)+ u \cdot \left( \begin{matrix} 5\\ 4\\ {-}3 \end{matrix} \right)</math>.
+
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{vmatrix} s+3t-2r-5u=0 \\ 7t-7r-14u=-2 \\ 0=-13\end{vmatrix}</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
Untersuche die Lagebeziehung der beiden Ebenen.
+
|
 +
Mithilfe des Taschenrechners:
  
 +
{{Lösung versteckt|1=<math>linSolve\begin{pmatrix}\begin{cases} s+3t-2r-5u=0 \\ {-}2s+t-3r-4u=-2, \{s,t,r,u\}\\ s-t+2r+3u=3\end{cases} \end{pmatrix}</math>
  
 +
                                  "Keine Lösung gefunden"|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
 +
}}
 +
'''4. Schritt:''' Interpretiere die Lösung des Gleichungssystems:
  
'''1. Schritt:''' Setze die beiden Ebenengleichungen gleich.
+
{{Lösung versteckt|1=
+
In der dritten Zeile der Lösungsmatrix befindet sich ein Widerspruch, sodass das LGS keine Lösung besitzt: <math>L=\{\}</math>. Der Taschenrechner zeigt diese Interpretation direkt unterhalb der Lösungsmatrix an. Die beiden Ebenen sind somit parallel.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
<math>\left( \begin{matrix} 1\\ 4\\ 0 \end{matrix} \right) + s \cdot \left( \begin{matrix} 1\\ {-}2\\ 1 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 3\\ 1\\ {-}1 \end{matrix} \right)= \left( \begin{matrix} 1\\ 2\\ 3 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} 2\\ 3\\ {-}2 \end{matrix} \right)+ u \cdot \left( \begin{matrix} 5\\ 4\\ {-}3 \end{matrix} \right) </math>
 
  
 +
'''b)'''
 +
Gegeben sind eine Ebene <math>E\colon \vec{x}=\left( \begin{matrix} 1\\ 2\\ 5 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} 2\\ 3\\ 1 \end{matrix} \right) + s \cdot \left( \begin{matrix} 3\\ 2\\ 4 \end{matrix} \right) </math> und eine Ebene <math>F\colon \vec{x}=\left( \begin{matrix} 1\\ 3\\ 2 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 4\\ 1\\ 3 \end{matrix} \right)+ u \cdot \left( \begin{matrix} 2\\ 4\\ 3 \end{matrix} \right)</math>.
 +
Untersuche die Lagebeziehung der beiden Ebenen und berechne gegebenenfalls die Schnittgerade.
  
  
'''2. Schritt:''' Stelle das zugehörige lineare Gleichungssystem auf.  
+
'''1. Schritt:''' Setze die beiden Ebenengleichungen gleich.
  
<math> \begin{vmatrix} 1+k+3l=1+2r+5s \\ 4-2k+l=2+3r+4s \\ k-l=3-2r-3s \end{vmatrix} \Leftrightarrow \begin{vmatrix} -k+3l-2r+5s=0 \\ {-}2k+l-3r-4s=-2 \\ k-l+2r+3s=3 \end{vmatrix}</math>
+
{{Lösung versteckt|1=<math>\left( \begin{matrix} 1\\ 2\\ 5 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} 2\\ 3\\ 1 \end{matrix} \right) + s \cdot \left( \begin{matrix} 3\\ 2\\ 4 \end{matrix} \right)= \left( \begin{matrix} 1\\ 3\\ 2 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 4\\ 1\\ 3 \end{matrix} \right)+ u \cdot \left( \begin{matrix} 2\\ 4\\ 3\end{matrix} \right)</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
  
 +
'''2. Schritt:''' Stelle das zugehörige lineare Gleichungssystem auf.
  
 +
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{vmatrix} 1+2r+3s=1+4t+2u \\ 2+3r+2s=3+t+4u \\ 5+r+4s=2+3t+3u \end{vmatrix} \Leftrightarrow \begin{vmatrix} 2r+3s-4t-2u=0 \\ 3r+2s-t-4u=1 \\ r+4s-3t-3u=-3 \end{vmatrix}</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
  
 
'''3. Schritt:''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gaußverfahren oder dem Taschenrechner:  
 
'''3. Schritt:''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gaußverfahren oder dem Taschenrechner:  
  
<math> \begin{vmatrix} 1 & 3 & -2 & 5 & 0 \\ 0 & 7 & -7 & -14 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -13\end{vmatrix} </math>
+
{{2Spalten
 +
|
 +
Mithilfe des Gaußverfahrens:
 +
 
 +
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{vmatrix} r+\frac{3}{2}s-2t-u=0 \\ s-2t+\frac{2}{5}u=-\frac{2}{5} \\ t-\frac{3}{4}u=-\frac{1}{2} \end{vmatrix}</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
 +
|
 +
Mithilfe des Taschenrechners:
  
 +
{{Lösung versteckt|1=linSolve<math>\begin{pmatrix}\begin{cases} 2r+3s-4t-2u=0 \\ 3r+2s-t-4u=1, \{r,s,t,u\}\\ r+4s-3t-3u=-3\end{cases} \end{pmatrix}</math>
  
 +
                      <math>\{\frac{17c1}{20}+\frac{11}{10},\frac{11c1}{10}-\frac{7}{5},\frac{3c1}{4}-\frac{1}{2}\}</math>
 +
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
 +
}}
 
'''4. Schritt:''' Interpretiere die Lösung des Gleichungssystems:  
 
'''4. Schritt:''' Interpretiere die Lösung des Gleichungssystems:  
  
In der dritten Zeile der Lösungsmatrix befindet sich ein Widerspruch. Somit hat das LGS keine Lösung und die beiden Ebenen sind parallel.
+
{{Lösung versteckt|1=
 +
Die Lösungsmenge beträgt:<math>L=\{\frac{17c1}{20}+\frac{11}{10},\frac{11c1}{10}-\frac{7}{5},\frac{3c1}{4}-\frac{1}{2}\}</math>. Die beiden Ebenen schneiden sich in einer Schnittgeraden.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
 +
 
 +
'''5. Schritt:''' Bestimme die Schnittgerade:
 +
 
 +
{{2Spalten
 +
|
 +
{{Lösung versteckt|1=
 +
Stelle die dritte Gleichung zu <math>t</math> um:
 +
 
 +
<math>t=\frac{3}{4}u-\frac{1}{2}</math>
 +
 
 +
Setze <math>t</math> in die zweite Gleichung ein und stelle zu <math>s</math> um:
 +
 
 +
<math>s=\frac{11}{10}u-\frac{7}{5}</math>
 +
 
 +
Setze <math>t</math> und <math>s</math> in die erste Gleichung ein und stelle zu <math>r</math> um:
 +
 
 +
<math>r=\frac{17}{20}u-\frac{11}{10}</math>
 +
 
 +
Setze <math>r</math> und <math>s</math> in die Ebenengleichung <math>E</math> ein:
 +
 
 +
<math>E\colon \vec{x}=\left( \begin{matrix} 1\\ 2\\ 5 \end{matrix} \right) + (\frac{17}{20}u-\frac{11}{10}) \cdot \left( \begin{matrix} 2\\ 3\\ 1 \end{matrix} \right) + (\frac{11}{10}u-\frac{7}{5}) \cdot \left( \begin{matrix} 3\\ 2\\ 4 \end{matrix} \right)</math>
 +
 
 +
Stelle die Schnittgerade auf:
 +
 
 +
<math>g\colon \vec{x}=\left( \begin{matrix} \frac{27}{5}\\ {-}\frac{9}{2}\\ {-}\frac{17}{10} \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 5\\ \frac{19}{4}\\ \frac{21}{4} \end{matrix} \right) </math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
 +
|
 +
{{Lösung versteckt|1=
 +
Setze die Werte für <math>r</math> und <math>s</math> aus der Lösungsmenge in die Ebenengleichung <math>E</math> ein:
 +
 
 +
<math>E\colon \vec{x}=\left( \begin{matrix} 1\\ 2\\ 5 \end{matrix} \right) + (\frac{17}{20}u-\frac{11}{10}) \cdot \left( \begin{matrix} 2\\ 3\\ 1 \end{matrix} \right) + (\frac{11}{10}u-\frac{7}{5}) \cdot \left( \begin{matrix} 3\\ 2\\ 4 \end{matrix} \right)</math>
 +
 
 +
Stelle die Schnittgerade auf:
 +
 
 +
<math>g\colon \vec{x}=\left( \begin{matrix} \frac{27}{5}\\ {-}\frac{9}{2}\\ {-}\frac{17}{10} \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 5\\ \frac{19}{4}\\ \frac{21}{4} \end{matrix} \right) </math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
 +
}}
 +
 
 +
|Hervorhebung1| Farbe={{Farbe|orange}}}}
  
| Hervorhebung1}}
+
{{Box|Aufgabe 13: Ergebnisse interpretieren|
 +
 
 +
Zur Untersuchung der Lagebeziehung zweier Ebenen, wurden die Ebenengleichungen gleichgesetzt und das zugehörige Gleichungssystem aufgestellt. Betrachte die Ausgabe des Taschenrechners und interpretiere die jeweilige Situation geometrisch ohne nachzurechnen.
 +
 
 +
'''a)''' 
  
 +
linSolve<math>\begin{pmatrix}\begin{cases} r-0{,}5u=0{,}5\\ s-u=0{,}5, \{r,s,t,u\}\\ t-1{,}5u=1\end{cases} \end{pmatrix}</math>
 +
 
 +
                      <math>\{0{,}5c2+0{,}5,c2+0{,}5,1{,}5c2+1,c2\}</math>
  
{{Box|Aufgabe 9: Ergebnisse interpretieren|
 
  
Interpretiere die jeweilige Situation geometrisch.
+
{{Lösung versteckt|1=Das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen. Da nur einer der Parameter frei wählbar ist, schneiden sich die beiden Ebenen in einer Schnittgeraden.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
  
 +
'''b)''' 
  
 +
linSolve<math>\begin{pmatrix}\begin{cases} r-t-u=2\\ s-t-3u=-5, \{r,s,t,u\}\\ r-s+2u=2\end{cases} \end{pmatrix}</math>
  
'''a)'''  <math>\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & -0,5 & 0,5 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 0,5 \\ 0 & 0 & 1 & 1,5 & 1 \end{vmatrix}</math>
+
                      "Keine Lösung gefunden"
  
{{Lösung versteckt|1=Das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen. Da sich in jeder Zeile der Diagonalform Einträge befinden, ist nur ein Parameter frei wählbar und die Ebenen schneiden sich in einer Schnittgeraden.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
+
{{Lösung versteckt|1=Das Gleichungssystem besitzt keine Lösung. Die Ebenen liegen somit parallel zueinander.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
  
'''b)'''  <math>\begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & -3 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -5 \end{vmatrix}</math>
+
'''c)''' 
  
{{Lösung versteckt|1=Das Gleichungssystem besitzt keine Lösung, da die dritte Zeile nicht lösbar ist. Die Ebenen liegen also parallel zueinander.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
+
linSolve<math>\begin{pmatrix}\begin{cases} 3r-1{,}5s+6t-0{,}9u=0\\ {-}r+0{,}5s-2t+0{,}3u=0, \{r,s,t,u\}\\{-}1{,}5r+\frac{3}{4}s-3t-0{,}45=0\end{cases} \end{pmatrix}</math>
  
'''c)'''  <math>\begin{vmatrix} 1 & 3 & -2 & -5 & 3 \\ 0 & 7 & -7 & 14 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{vmatrix}</math>
+
                      <math>\{-2c4+0{,}5c5-0{,}3,c5,c4,-1\}</math>
  
{{Lösung versteckt|1=Das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen. Da die dritte Zeile nur aus Nullen besteht, sind zwei Parameter frei wählbar und die Ebenen identisch.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
+
{{Lösung versteckt|1=Das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen. Da zwei Parameter frei wählbar sind, sind die beiden Ebenen identisch.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
  
 
|Arbeitsmethode}}
 
|Arbeitsmethode}}
  
 
====&#x2B50;Ebenengleichungen in Parameter- und Koordinatenform====
 
====&#x2B50;Ebenengleichungen in Parameter- und Koordinatenform====
{{Box|Merke: Lagebeziehung von zwei Ebenen in Koordinatenform und Parameterform untersuchen. |
+
{{Box|&#x2B50;Merke: Lagebeziehung von einer Ebene in Parameterform und einer Ebene in Koordinatenform untersuchen |Seien durch <math>E\colon \vec{x}=\vec{a}+r\cdot\vec{u}+s\cdot\vec{v}</math> eine Ebene in Parameterform und durch <math>F\colon n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3=d</math> eine Ebene in Koordinatenform gegeben. Zur Untersuchung ihrer Lagebeziehung kannst du entsprechend des folgenden Schemas vorgehen:
 +
 
 
[[Datei:Vorgehen zur Untersuchung der Lagebeziehung von zwei Ebenen.jpg|zentriert|rahmenlos|600x600px]]
 
[[Datei:Vorgehen zur Untersuchung der Lagebeziehung von zwei Ebenen.jpg|zentriert|rahmenlos|600x600px]]
 
|Merksatz}}
 
|Merksatz}}
  
{{Box | Beispiel: Untersuchung der Lagebeziehung von zwei Ebenen in Koordinatenform und Parameterform |
+
{{Box|&#x2B50;Aufgabe 14: Untersuchung der Lagebeziehung von einer Ebene in Parameterform und einer Ebene in Koordinatenform|
 +
 
 +
'''a)''' Gegeben sind eine Ebene <math>E\colon \vec{x}=\left( \begin{matrix} 2\\ 1\\ {-}3 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} 1\\ 0\\ {-}1 \end{matrix} \right) + s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\ 1\\ 0 \end{matrix} \right)</math> und eine Ebene <math>F\colon -1{,}5x_1+3x_2-1{,}5x_3=4{,}5</math>.
 +
Untersuche die Lagebeziehung der beiden Ebenen und berechne gegebenenfalls die Schnittgerade.
 +
 
  
Gegeben sind eine Ebene <math>E: \vec{x}=\left( \begin{matrix} 2\\ 1\\ {-}3 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} 1\\ 0\\ {-}1 \end{matrix} \right) + s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\ 1\\ 0 \end{matrix} \right) </math> und eine Ebene <math>F: -1{,}5x_1+3x_2-1{,}5x_3=4,5</math>.
+
'''1. Schritt:''' Prüfe, ob die Richtungsvektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> der Ebene <math>E</math> orthogonal zum Normalenvektor <math>\vec{n}</math> der Ebene <math>F</math> liegen:
Untersuche die Lagebeziehung der beiden Ebenen.
 
  
 +
{{Lösung versteckt|1=Betrachte das Skalarprodukt der Richtungsvektoren und des Normalenvektors.|2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}
  
'''1. Schritt:''' Prüfe, ob die Richtungsvektoren <math> \vec{u}</math> und <math> \vec{v} </math> der Ebene <math>E </math> orthogonal zum Normalenvektor <math> \vec{v}</math> der Ebene <math>F</math> liegen.  
+
{{Lösung versteckt|1=Es muss gelten, dass <math>\vec{n} \ast \vec{u}=0</math> und <math>\vec{n} \ast \vec{v}=0</math>.
  
Hierfür muss gelten, dass <math> \vec{n} \ast \vec{u}=0</math> und <math> \vec{n} \ast \vec{v}=0</math>.
+
<math>\vec{n} \ast \vec{u}=\left( \begin{matrix} {-}1{,}5\\ 3\\ {-}1{,}5 \end{matrix} \right)\ast\left( \begin{matrix} 1\\ 0\\ {-}1 \end{matrix} \right)=-1{,}5+0+1{,}5=0</math>
  
<math> \vec{n} \ast \vec{u}=\left( \begin{matrix} {-}1{,}5\\ 3\\ {-}1{,}5 \end{matrix} \right)\ast\left( \begin{matrix} 1\\ 0\\ {-}1 \end{matrix} \right)=-1,5+0+1,5=0</math>
+
<math>\vec{n} \ast \vec{v}=\left( \begin{matrix} -1{,}5\\ 3\\ {-}1{,}5 \end{matrix} \right)\ast\left( \begin{matrix} 2\\ 1\\ 0 \end{matrix} \right)=-3+3+0=0</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
  
<math> \vec{n} \ast \vec{v}=\left( \begin{matrix} -1{,}5\\ 3\\ {-}1{,}5 \end{matrix} \right)\ast\left( \begin{matrix} 2\\ 1\\ 0 \end{matrix} \right)=-3+3+0=0</math>
 
  
 +
'''2.Schritt:''' Interpretiere die Lösung der Skalarprodukte:
  
 +
{{Lösung versteckt|1=Da beide Skalarprodukte der jeweiligen Vektoren <math>0</math> sind, liegt der Normalenvektor orthogonal zu beiden Richtungsvektoren. Das bedeutet, dass die Ebenen sich nicht in einer Schnittgeraden schneiden, sondern entweder identisch oder parallel sind.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
  
'''2.Schritt:''' Interpretiere die Lösung des Skalarproduktes:
 
  
Da das Skalarprodukt der Vektoren <math>0</math> ist, liegen sie orthogonal zueinander. Das bedeutet, dass die Ebenen sich nicht in einer Schnittgeraden schneiden, sondern entweder identisch oder parallel sind.
+
'''3. Schritt:''' Überprüfe die Lagebeziehung mithilfe der Punktprobe:
  
 +
{{Lösung versteckt|1=Verwende für die Punktprobe den Aufpunkt der Ebene <math>E</math>.|2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}
  
 +
{{Lösung versteckt|1=Setze  den Aufpunkt der Ebene <math>E</math> in die Ebenengleichung der Ebene <math>F</math> ein.
  
'''3. Schritt:''' Überprüfe die Lagebeziehung mithilfe der Punktprobe.
+
<math>-1{,}5\cdot2+3\cdot1-1{,}5\cdot(-3)=4{,}5\checkmark</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
  
Setze hierfür den Stützvektor (Aufpunkt) der Ebene <math>E</math> in die Ebenengleichung der Ebene <math>F</math> ein.
 
  
<math>-1{,}5\cdot2+3\cdot1-1{,}5\cdot(-3)=4,5\Leftrightarrow4,5=4,5</math>
+
'''4. Schritt:''' Interpretiere die Lösung der Punktprobe:
  
 +
{{Lösung versteckt|1=Da der Aufpunkt die Koordinatengleichung von <math>F</math> erfüllt, liegt der Aufpunkt in <math>F</math>. Da wir bereits wissen, dass die Ebenen entweder parallel oder identisch sind, haben wir damit gezeigt, dass <math>E</math> und <math>F</math> identisch sind.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
  
'''4. Schritt:''' Interpretiere die Lösung der Punktprobe.
 
  
Da der Aufpunkt die Koordinatengleichung von <math>F</math> erfüllt, liegt <math>E</math> in <math>F</math> und die Ebenen sind identisch.
+
'''b)'''
| Hervorhebung1}}
+
Gegeben sind eine Ebene <math>E\colon \vec{x}=\left( \begin{matrix} 8\\ 0\\ 2 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} -4\\ 1\\ 1 \end{matrix} \right) + s \cdot \left( \begin{matrix} 5\\ 0\\ {-}1 \end{matrix} \right)</math> und eine Ebene <math>F\colon x_1-x_2+3x_3=12</math>.
 +
Untersuche die Lagebeziehung der beiden Ebenen und berechne gegebenenfalls die Schnittgerade.
 +
 
 +
 
 +
'''1. Schritt:''' Prüfe, ob die Richtungsvektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> der Ebene <math>E</math> orthogonal zum Normalenvektor <math>\vec{n}</math> der Ebene <math>F</math> liegen:
 +
 
 +
{{Lösung versteckt|1=Betrachte das Skalarprodukt der Richtungsvektoren und des Normalenvektors.|2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}
 +
 
 +
{{Lösung versteckt|1=Es muss gelten, dass <math>\vec{n} \ast \vec{u}=0</math> und <math>\vec{n} \ast \vec{v}=0</math>.
 +
 
 +
<math>\vec{n} \ast \vec{u}=\left( \begin{matrix} 1\\ {-}1\\ 3 \end{matrix} \right)\ast\left( \begin{matrix} -4\\ 1\\ 1 \end{matrix} \right)=-4-1+3=-2</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
 +
 
 +
 
 +
'''2.Schritt:''' Interpretiere die Lösung der Skalarprodukte:
 +
 
 +
{{Lösung versteckt|1=Da das Skalarprodukt des ersten Richtungsvektors bereits <math>\neq0</math> ist, braucht man das Skalarprodukt des zweiten Richtungsvektors nicht mehr zu berechnen. Du kannst nun direkt folgern, dass sich die Ebenen in einer Schnittgeraden schneiden.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
 +
 
 +
'''3. Schritt:''' Bestimme die Schnittgerade:
 +
 
 +
{{Lösung versteckt|1=Schreibe mithilfe der Ebenengleichung <math>E</math>  die Gleichungen für die einzelnen Koordinaten auf.|2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}}
 +
 
 +
{{Lösung versteckt|1=Setze die Werte für <math>x_1,x_2</math> und <math>x_3</math> in die Ebenengleichung <math>F</math> ein.|2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}
 +
 
 +
{{Lösung versteckt|Setze <math>s</math> in die Ebenengleichung <math>E</math> ein, um anschließend die Geradengleichung aufstellen zu können.|2=Tipp 3 anzeigen|3=Tipp 3 verbergen}}
 +
 
 +
{{Lösung versteckt|1=Durch Umformen der Ebenengleichung erhält man:
 +
 
 +
<math>x_1=8-4r+5s</math>,<math>x_2=r</math>,<math>x_3=2+r-s</math>
 +
 
 +
Einsetzen der Werte in die Ebenengleichung ergibt:
 +
 
 +
<math>(8-4r+5s)-r+3(2+r-s)=12\Leftrightarrow s=r-1</math>
 +
 
 +
Einsetzen von <math>s</math> in <math>E</math> ergibt:
 +
 
 +
<math>E\colon \vec{x}=\left( \begin{matrix} 8\\ 0\\ 2 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} -4\\ 1\\ 1 \end{matrix} \right) + (r-1) \cdot \left( \begin{matrix} 5\\ 0\\ {-}1 \end{matrix} \right)</math>
 +
 
 +
Nun kannst du die Geradengleichung aufstellen:
 +
 
 +
<math>g\colon \vec{x}=\left( \begin{matrix} 3\\ 0\\ 3 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\ 1\\ 0 \end{matrix} \right)</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}|
 +
Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}
 +
 
 +
{{Box|&#x2B50;Aufgabe 15: Lagebeziehungen untersuchen.|
 +
 
 +
Untersuche die Lagebeziehung der jeweiligen Ebenen. Falls sich die Ebenen in einer Schnittgerade schneiden, brauchst du diese nicht zu berechnen.
 +
 
 +
 
 +
'''a)''' <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}1 \\ 2 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}</math>
 +
 
 +
<math>F\colon 7x_1+x_2-3x_3-8=0</math>
 +
 
 +
{{Lösung versteckt|1=
 +
 
 +
Prüfe, ob die Richtungsvektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> der Ebene <math>E</math> orthogonal zum Normalenvektor <math>\vec{n}</math> der Ebene <math>F</math> liegen.
 +
 
 +
<math>\vec{n} \ast \vec{u}=\left( \begin{matrix} 0\\ {-}1\\ 2 \end{matrix} \right)\ast\left( \begin{matrix} 7\\ 1\\ {-}3 \end{matrix} \right)=-7</math>
 +
 
 +
Da das Skalarprodukt des ersten Richtungsvektors bereits <math>\neq0</math> ist, braucht man das Skalarprodukt des zweiten Richtungsvektors nicht mehr zu berechnen. Du kannst nun direkt folgern, dass sich die Ebenen in einer Schnittgeraden schneiden.
 +
 
 +
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
 +
 
 +
'''b)''' <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 3 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}</math>
 +
 
 +
<math>F\colon -3x_1-9x_2-x_3=5 </math>
 +
 
 +
{{Lösung versteckt|1=
  
{{Box|Aufgabe 10: Lagebeziehungen berechnen|
+
Prüfe, ob die Richtungsvektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> der Ebene <math>E</math> orthogonal zum Normalenvektor <math>\vec{n}</math> der Ebene <math>F</math> liegen.
  
Untersuche die Lagebeziehung der jeweiligen Ebenen.
+
<math>\vec{n} \ast \vec{u}=\left( \begin{matrix} 2\\ {-}1\\ 3 \end{matrix} \right)\ast\left( \begin{matrix} {-}3\\ {-}9\\ {-}1 \end{matrix} \right)=0</math>
  
 +
<math>\vec{n} \ast \vec{v}=\left( \begin{matrix} {-}1\\ 0\\ 3\end{matrix} \right)\ast\left( \begin{matrix} {-}3\\ {-}9\\ {-}1 \end{matrix} \right)=0</math>
  
 +
Da beide Skalarprodukte der jeweiligen Vektoren <math>0</math> sind, liegt der Normalenvektor orthogonal zu beiden Richtungsvektoren. Das bedeutet, dass die Ebenen sich nicht in einer Schnittgeraden schneiden, sondern entweder identisch oder parallel sind.
  
'''a)''' <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}1 \\ 2 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
+
Punktprobe:<math>-3\cdot({-}3)-9\cdot1-0=-18\neq5</math>
  
<math>F: 7x_1+x_2-3x_3-8=0 </math>
+
Da die Koordinatengleichung <math>F</math> nicht erfüllt wird, liegen die Ebenen parallel zueinander.
  
{{Lösung versteckt|1=schneiden |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
+
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
  
+
'''c)''' <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ {-}0{,}5 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math>
  
'''b)''' <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 3 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} </math>
+
<math>F\colon 2x_1-2x_2-4x_3=-6</math>
  
<math>F: -3x_1-9x_2-x_3=5 </math>
+
{{Lösung versteckt|1=
  
{{Lösung versteckt|1= parallel|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
+
Prüfe, ob die Richtungsvektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> der Ebene <math>E</math> orthogonal zum Normalenvektor <math>\vec{n}</math> der Ebene <math>F</math> liegen.
  
'''c)'''  <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ {-}2 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
+
<math>\vec{n} \ast \vec{u}=\left( \begin{matrix} -1 \\ 0 \\ {-}0{,}5 \end{matrix} \right)\ast\left( \begin{matrix} 2\\ {-}2\\ {-}4 \end{matrix} \right)=0</math>
  
<math>F: 12x_1+26x_4-3x_3=10 </math>
+
<math>\vec{n} \ast \vec{v}=\left( \begin{matrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} \right)\ast\left( \begin{matrix} 2\\ {-}2\\ {-}4 \end{matrix} \right)=0</math>
  
 +
Da beide Skalarprodukte der jeweiligen Vektoren <math>0</math> sind, liegt der Normalenvektor orthogonal zu beiden Richtungsvektoren. Das bedeutet, dass die Ebenen sich nicht in einer Schnittgeraden schneiden, sondern entweder identisch oder parallel sind.
  
{{Lösung versteckt|1=identisch |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
+
Punktprobe:<math>2\cdot2-2\cdot(-1)-3\cdot4=-6\checkmark</math>
|Arbeitsmethode}}
 
  
====&#x2B50;Beide Ebenengleichungen in Koordinatenform====
+
Da die Koordinatengleichung von <math>F</math> erfüllt wird, liegt <math>E</math> in <math>F</math> und die Ebenen sind identisch.
{{Box|Merke: Untersuchung der Lagebeziehung von zwei Ebenen in Koordinatenform |
 
[[Datei:Vorgehen zur Untersuchung der Lagebeziehung von Ebenen in Koordinatenform.jpg|zentriert|rahmenlos|600x600px]]
 
|Merksatz}}
 
  
{{Box | Beispiel: Untersuchung der Lagebeziehung von zwei Ebenen in Koordinatenform |  
+
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
  
Gegeben sind eine Ebene <math>E:3x_1-4x_2-x_3=4 </math> und eine Ebene <math>F: 3x_1-3x_2+x_3=3</math>. Untersuche die Lagebeziehung der beiden Ebenen.
+
|Arbeitsmethode}}
  
 +
====&#x2B50;Beide Ebenengleichungen in Koordinatenform====
 +
{{Box|&#x2B50;Merke: Untersuchung der Lagebeziehung von zwei Ebenen in Koordinatenform |Seien durch <math>E\colon n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3=d</math> und  <math>F\colon m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3=e</math> zwei Ebenen in Koordinatenform gegeben. Zur Untersuchung ihrer Lagebeziehung kannst du entsprechend des folgenden Schemas vorgehen:
  
 +
[[Datei:Lagebeziehung von Ebenen in Koordinatenform.jpg|zentriert|rahmenlos|600x600px]]
 +
|Merksatz}}
  
'''1. Schritt:''' Prüfe, ob der Normalenvektor <math> \vec{n}</math> der Ebene <math>E </math> ein Vielfaches des Normalenvektors <math> \vec{m} </math> der Ebene <math>F</math> ist.
+
{{Box | &#x2B50;Beispiel: Untersuchung der Lagebeziehung von zwei Ebenen in Koordinatenform |
  
<math> r\cdot\vec{n}=\vec{m} \Leftrightarrow r\cdot\left( \begin{matrix} 3\\ {-}4\\ {-}1 \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 1\\ 0\\ {-}1 \end{matrix} \right)</math>
+
Gegeben sind eine Ebene <math>E\colon 3x_1-4x_2-x_3=4</math> und eine Ebene <math>F\colon 3x_1-3x_2+x_3=3</math>. Untersuche die Lagebeziehung der beiden Ebenen und berechne gegebenenfalls die Schnittgerade.
  
 +
'''1. Schritt:''' Prüfe, ob der Normalenvektor <math>\vec{n}</math> der Ebene <math>E</math> ein Vielfaches des Normalenvektors <math>\vec{m}</math> der Ebene <math>F</math> ist.
  
'''2. Schritt:''' Interpretiere die Lösung des LGS.
+
Bei der Betrachtung der Normalenvektoren <math>\vec{n}=\left( \begin{matrix} 3\\ {-}4\\ {-}1 \end{matrix} \right)</math> und <math>\vec{m}=\left( \begin{matrix} 3\\ {-}3\\ 1 \end{matrix} \right) </math> fällt direkt auf, dass die beiden Vektoren keine Vielfachen voneinander sind. Man kann also direkt schließen, dass sich die beiden Ebenen in einer Schnittgeraden schneiden. Ein formaler Nachweis würde wie folgt aussehen:
  
Da das LGS nicht lösbar ist, sind die beiden Gleichungen linear unabhängig und die Ebenen schneiden sich in einer Schnittgeraden.
+
<math>r\cdot\vec{n}=\vec{m} \Leftrightarrow r\cdot\left( \begin{matrix} 3\\ {-}4\\ {-}1 \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 3\\ {-}3\\ 1 \end{matrix} \right) \Leftrightarrow \begin{vmatrix} 3r=3\\ {-}4r=-3 \\ {-}r=1 \end{vmatrix}</math>
  
 +
Da das LGS nicht lösbar ist, sind die Vektoren keine Vielfachen voneinander und die Ebenen schneiden sich in einer Schnittgeraden.
  
'''3. Schritt:''' Bestimme die Schnittgerade.
+
'''2. Schritt:''' Bestimme die Schnittgerade.
  
 
Stelle mit den beiden Ebenengleichungen ein LGS auf und löse es mithilfe des Gauß-Algorithmus oder dem Taschenrechner.
 
Stelle mit den beiden Ebenengleichungen ein LGS auf und löse es mithilfe des Gauß-Algorithmus oder dem Taschenrechner.
  
<math> \begin{vmatrix} 3 & -4 & -1 & 4 \\ 3 & -3 & 1 & 3 \end{vmatrix} \Leftrightarrow \begin{vmatrix} 3 & -4 & -1 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & -1 \end{vmatrix}</math>
+
{{2Spalten
 +
|
 +
Mithilfe des Gaußverfahrens:
 +
 
 +
<math>\begin{vmatrix} 3x_1-4x_2-x_3=4 \\ 3x_1-3x_2+x_3=3\end{vmatrix} \Leftrightarrow \begin{vmatrix} 3x_1-4x_2-x_3=4 \\ x_2+2x_3=-1\end{vmatrix}</math>
  
 
Setze <math>x_3=t</math> und bestimme <math>x_1</math> und <math>x_2</math>.
 
Setze <math>x_3=t</math> und bestimme <math>x_1</math> und <math>x_2</math>.
Zeile 484: Zeile 774:
 
<math>x_2=-1-2t</math>
 
<math>x_2=-1-2t</math>
  
<math>x_1=-\frac{7}{3}</math>
+
<math>x_1=-\frac{7}{3}t</math>
  
 
Stelle die Geradengleichung auf.
 
Stelle die Geradengleichung auf.
  
<math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ {-}1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -\frac{7}{3} \\ {-}2 \\ 1 \end{pmatrix} </math>| Hervorhebung1}}
+
<math>g\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ {-}1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -\frac{7}{3} \\ {-}2 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
 +
|
 +
Mithilfe des Taschenrechners:
 +
 
 +
linSolve<math>\begin{pmatrix}\begin{cases} 3x_1-4x_2-x_3=4 \\ 3x_1-3x_2+x_3=3,\{x_1,x_2,x_3\}\end{cases} \end{pmatrix}</math>
 +
 
 +
                      <math>\{\frac{-7c3}{3},-2c3-1,c3\}</math>
 +
 
 +
Stelle mithilfe der Werte aus der Lösungsmenge die Geradengleichung auf.
 +
 
 +
<math>g\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ {-}1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -\frac{7}{3} \\ {-}2 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
 +
}}
 +
 
 +
| Hervorhebung1}}
  
{{Box|Aufgabe 11: Untersuchung der Lagebeziehung zwischen zwei Ebenen in Koordinatenform |
+
{{Box|&#x2B50;Aufgabe 16: Untersuchung der Lagebeziehung zwischen zwei Ebenen in Koordinatenform |
Gegeben ist eine Ebene <math>E: \vec{x}=-2x_1-3x_2+x_3=2 </math>.
+
Gegeben ist eine Ebene <math>E\colon -2x_1-3x_2+x_3=2</math>. Untersuche die Lagebeziehung zwischen dieser und den dir angezeigten Ebenen. Ziehe die Ebenen in das entsprechende Feld.
  
 
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pq97ryxmn21}}
 
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pq97ryxmn21}}
  
{{Lösung versteckt|1= Um die Lagebeziehung von zwei Ebenen in Koordinatenform zu bestimmen, benötigst du keinen Taschenrechner.|2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}}
+
{{Lösung versteckt|1= Um die Lagebeziehung von zwei Ebenen in Koordinatenform zu bestimmen, benötigst du keinen Taschenrechner. Schaue dir die beiden Gleichungen gut an.|2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}}
 +
 
 +
{{Lösung versteckt|1=Vergleiche die Gleichungen der zwei Ebenen miteinander. Vergleiche dabei zunächst die Normalenvektoren der Ebenen – also die linken Seiten der Gleichungen – miteinander und überprüfe, ob sie Vielfache voneinander sind. Falls das zutrifft, vergleiche auch noch die beiden rechte Seiten der Gleichungen miteinander.|2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}
  
 
{{Lösung versteckt|1=  
 
{{Lösung versteckt|1=  
Vergleiche die Gleichungen der zwei Ebenen miteinander.
+
 
Die Ebenen schneiden sich, wenn die beiden Gleichungen linear unabhängig voneinander sind.
+
Die Ebenen schneiden sich, wenn die beiden Gleichungen keine Vielfachen voneinander sind.
 +
 
 
Die Ebenen sind parallel, wenn die Normalenvektoren identisch oder Vielfache voneinander sind, aber das LGS keine Lösung besitzt.
 
Die Ebenen sind parallel, wenn die Normalenvektoren identisch oder Vielfache voneinander sind, aber das LGS keine Lösung besitzt.
DIe Ebenen sind identisch, wenn die Normalenvektoren identisch oder Vielfache voneinander sind und das LGS somit unendlich viele Lösungen hat.
+
 
|2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}
+
Die Ebenen sind identisch, wenn die Normalenvektoren identisch oder Vielfache voneinander sind und das LGS somit unendlich viele Lösungen hat.
 +
|2=Tipp 3 anzeigen|3=Tipp 3 verbergen}}
  
 
|Arbeitsmethode}}
 
|Arbeitsmethode}}
  
{{Box|Aufgabe 12: Schnitt von zwei Zeltflächen|
+
{{Box|&#x2B50;Aufgabe 17: Schnitt von zwei Zeltflächen|
  
Die beiden Seitenflächen eines Zeltes liegen in den Ebenen <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4\end{pmatrix} </math> und <math>F: \vec{x} = \begin{pmatrix} 8 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+ u \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. Der Erdboden wird durch die <math>x_1</math>-<math>x_2</math> -Ebene aufgespannt. In welcher Höhe befindet sich die obere Zeltkante, wenn eine Einheit im Koordinatensystem <math>1</math> m entspricht?
+
Die beiden Seitenflächen eines Zeltes liegen in den Ebenen <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4\end{pmatrix}</math> und <math>F\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 8 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+ u \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. Der Erdboden wird durch die <math>x_1x_2</math> -Ebene aufgespannt.
  
{{Lösung versteckt|1= Mache dir zunächst eine Skizze von der Situation. Überlege dir, womit die obere Zeltkante beschrieben werden kann.|2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}}
+
[[Datei:Skizze- Schnittgerade zweier Zeltwände.png|rahmenlos]]
 +
 +
In welcher Höhe befindet sich die obere Zeltkante, wenn eine Einheit im Koordinatensystem <math>50</math> cm entspricht?
  
{{Lösung versteckt|1= Die obere Zeltkante entspricht der Schnittgeraden der beiden Ebenen. |2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}
+
{{Lösung versteckt|1= Die obere Zeltkante entspricht der Schnittgeraden der beiden Ebenen. |2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}}
  
 
{{Lösung versteckt|1= Die Höhe der Zeltkante kannst du mithilfe des Stützvektors der Schnittgeraden ermitteln. |2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1= Die Höhe der Zeltkante kannst du mithilfe des Stützvektors der Schnittgeraden ermitteln. |2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}
Zeile 520: Zeile 829:
 
Da die Ebenen in Parameterform gegeben sind, setzen wir die Gleichungen zunächst gleich und lösen dann das entsprechende LGS:
 
Da die Ebenen in Parameterform gegeben sind, setzen wir die Gleichungen zunächst gleich und lösen dann das entsprechende LGS:
  
<math> \begin{vmatrix} 8-r=8-t \\ 3s=6-3u \\ 4s=3-2r-3s \end{vmatrix} \Leftrightarrow \begin{vmatrix} \\ \\ \end{vmatrix}</math>
+
<math>\begin{vmatrix} 8-r=8-t \\ 3s=6-3u \\ 4s=4u \end{vmatrix} \Leftrightarrow \begin{vmatrix} -r+t=0\\ 3s+3u=6 \\4s-4u=0 \end{vmatrix}\Leftrightarrow \begin{vmatrix} r=t\\ s+u=2 \\ s=u\end{vmatrix}</math>
 +
 
 +
<math>\Rightarrow s=u=1</math> und <math>r=t</math>
 +
 
 +
Einsetzen von <math>s</math> in <math>E</math> ergibt:
  
<math> \begin{vmatrix} &  &  &  &  \\ &  &  & &  \\ &  &  &  & \end{vmatrix} </math>
+
<math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+ 1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4\end{pmatrix}</math>
  
 
Die Schnittgerade der beiden Ebenen lautet demnach:
 
Die Schnittgerade der beiden Ebenen lautet demnach:
  
<math> g: \vec{x} = \left( \begin{matrix} 3\\ 0\\ 2 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} -3\\ 5\\ {-}1 \end{matrix} \right) </math>
+
<math>g\colon \vec{x} = \left( \begin{matrix} 8\\ 3\\ 4 \end{matrix} \right) + v \cdot \left( \begin{matrix} -1\\ 0\\ 0 \end{matrix} \right)</math>
  
Da die Schnittgerade der oberen Zeltkante entspricht, lässt sich aus dem Stützvektor der Geraden die Höhe ablesen. Die Höhe entspricht der <math>x_3</math>-Koordinate des Vektors und somit der <math>4</math>.
+
Durch den Richtungsvektor der Geraden wird deutlich, dass sich die Schnittgerade parallel zur <math>x_1x_2</math> -Ebene befindet und somit überall den gleichen Abstand zum Boden hat. Da die Schnittgerade der oberen Zeltkante entspricht, lässt sich aus dem Stützvektor der Geraden die Höhe ablesen. Die Höhe kann mithilfe der <math>x_3</math>-Koordinate des Vektors bestimmt werden.
  
Die obere Zeltkante befindet sich also in <math>4</math> m Höhe.
+
Die obere Zeltkante befindet sich also in <math>2</math> m Höhe.
  
 
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
 
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
Zeile 538: Zeile 851:
 
===&#x2B50;Berechnung des Winkels zwischen Ebene und Ebene===
 
===&#x2B50;Berechnung des Winkels zwischen Ebene und Ebene===
  
{{Box | Merke: Berechnung des Winkel zwischen zwei Ebenen |  
+
{{Box | &#x2B50; Merke: Berechnung des Winkel zwischen zwei Ebenen |  
Wenn sich zwei Ebenen schneiden, kann der Schnittwinkel bestimmt werden, den sie einschließen. Wie in Abbildung ... zu sehen ist, kannst du dazu die Normalenvektoren betrachten. Sie schließen denselben Winkel ein, wie die beiden Ebenen. Betrachten wir die Normalenvektoren, so können wir ähnlich vorgehen, wie beim Berechnen des Winkels zwischen zwei Geraden.  
+
Wenn sich zwei Ebenen schneiden, kann der Schnittwinkel bestimmt werden, den sie einschließen. Dazu kannst du die Normalenvektoren betrachten. Sie schließen denselben Winkel ein, wie die beiden Ebenen. Somit kann das Berechnen des Schnittwinkels zwischen zwei Ebenen auf das Berechnen des Winkels zwischen zwei Vektoren zurückgeführt werden.
Um den Schnittwinkel zu berechnen, musst du zunächst die Normalenvektoren der Ebenen bestimmen. Wenn du nicht mehr genau weißt, wie das geht, schaue nochmal in Kapitel [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum]]. | Merksatz}}  
+
Um den Schnittwinkel zu berechnen, musst du zunächst die Normalenvektoren der Ebenen bestimmen. Wenn du nicht mehr genau weißt, wie das geht, schaue nochmal in das Kapitel [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum|Ebenen im Raum]]. | Merksatz}}  
 +
 
 +
{{Box | &#x2B50; Merksatz: Formel zur Berechnung des Winkels zwischen zwei Ebenen |
 +
 
 +
[[Datei:Abbildung Winkel zwischen zwei Ebenen.jpg| rechts | mini | Winkel zwischen zwei Ebenen]]
 +
 
 +
Seien <math>E</math> und <math>F</math> zwei sich schneidende Ebenen mit den Normalenvektoren <math>\vec{n}</math> und <math>\vec{m}</math>. Der Schnittwinkel <math>\alpha</math> zwischen <math>E</math> und <math>F</math> kann mit folgender Formel berechnet werden: <math>\cos(\alpha)=\frac{ |\vec{n} \ast \vec{m}|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{m}|}</math>.
  
{{Box | Merksatz: Formel zur Berechnung des Winkels zwischen zwei Ebenen | Seien <math>E</math> und <math>F</math> zwei sich schneidende Ebenen mit den Normalenvektoren <math>\vec{n}</math> und <math>\vec{m}</math>. Der Schnittwinkel <math>\alpha</math> zwischen <math>E</math> und <math>F</math> kann mit folgender Formel berechnet werden: <math> cos(\alpha)=\frac{ \vec{n} \ast \vec{m}}{|\vec{n}| \cdot |\vec{m}|}</math>| Merksatz}}
+
Ist nach dem '''Schnittwinkel''' gefragt, so ist immer der kleinere der beiden Winkel gesucht, die von den Ebenen eingeschlossen werden. Mit der obigen Formel erhält man deshalb für <math>\alpha</math> immer Werte zwischen <math>0^{\circ}</math> und <math>90^{\circ}</math>. | Merksatz}}
  
{{Box | Beispiel: Winkel berechnen zwischen zwei Ebenen |  
+
{{Box | &#x2B50;Beispiel: Winkel berechnen zwischen zwei Ebenen |  
  
Gegeben sind zwei Ebenen <math>E</math> und <math>F</math> mit <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -6 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}</math> und <math>F: 7x_1+x_2-3x_3 </math>. Berechne den Schnittpunkt zwischen den Ebenen.
+
Gegeben sind zwei Ebenen <math>E</math> und <math>F</math> mit <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -6 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}</math> und <math>F\colon 7x_1+x_2-3x_3=1</math>. Berechne den Schnittpunkt zwischen den Ebenen.
  
 
'''1. Schritt:''' Bestimmte die Normalenvektoren von <math>E</math> und <math>F</math>.  
 
'''1. Schritt:''' Bestimmte die Normalenvektoren von <math>E</math> und <math>F</math>.  
  
Der Normalenvektor von <math>E</math> ist <math>\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} </math> . Der Normalenvektor von <math>F</math> lautet <math>\vec{m} = \begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} </math>.
+
Der Normalenvektor von <math>E</math> ist <math>\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}</math> . Der Normalenvektor von <math>F</math> lautet <math>\vec{m} = \begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}</math>.
  
 
'''2. Schritt:''' Einsetzen der Normalenvektoren in die Formel.
 
'''2. Schritt:''' Einsetzen der Normalenvektoren in die Formel.
  
<math>cos(\alpha) = \frac{ \left| \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} \right|}{\left| \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} \right| \cdot \ left| \begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} \right| } \Leftrightarrow cos(\alpha) = \frac{16}{\sqrt{9} \cdot \sqrt{59}} \Leftrightarrow cos(\alpha) = \frac{16}{3 \cdot \sqrt{59}}</math>
+
<math>\cos(\alpha)=\frac{\left| \begin{pmatrix} 2\\ {-}2\\ {-}1 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 7\\ 1\\ {-}3 \end{pmatrix} \right|}{\left| \begin{pmatrix} 2\\ {-}2\\ {-}1 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} 7\\ 1\\ {-}3 \end{pmatrix} \right|} \Leftrightarrow \cos(\alpha) = \frac{15}{\sqrt{9} \cdot \sqrt{59}} \Leftrightarrow \cos(\alpha) = \frac{15}{3 \cdot \sqrt{59}} </math>
  
 
'''3. Schritt:''' Auflösen der Gleichung.
 
'''3. Schritt:''' Auflösen der Gleichung.
  
<math> \alpha = cos^{-1}(\frac{16}{3 \cdot \sqrt {59}}) \Leftrightarrow \alpha \approx 46{,}03 ^{\circ}</math> Der Winkel zwischen den Ebenen <math>E</math> und <math>F</math> beträgt ca. <math>46{,}03 ^{\circ} </math>.| Hervorhebung1}}
+
<math>\alpha = \cos^{-1}(\frac{15}{3 \cdot \sqrt {59}}) \Leftrightarrow \alpha \approx 49{,}39^{\circ}</math> Der Winkel zwischen den Ebenen <math>E</math> und <math>F</math> beträgt ca. <math>49{,}39^{\circ}</math>.| Hervorhebung1}}
  
  
{{Box | Aufgabe 13: Schnittwinkel zwischen Ebenen |  
+
{{Box | &#x2B50; Aufgabe 18: Schnittwinkel zwischen Ebenen |  
  
Sei <math>E</math> eine Ebene mit <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}</math> ,
+
Sei <math>E</math> eine Ebene mit <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}</math> ,
<math>F</math> eine Ebene mit <math>F2x_1+6x_2-4x_3=2</math>.  
+
<math>F</math> eine Ebene mit <math>F\colon 2x_1+6x_2+4x_3=2</math>.  
und <math>H</math> eine Ebene mit <math>H: 2x_1+4x_2-7x_3=13 </math> .  
+
und <math>H</math> eine Ebene mit <math>H\colon 2x_1+4x_2-7x_3=13 </math> .  
  
 
Berechne den Winkel zwischen  
 
Berechne den Winkel zwischen  
  
'''a)''' E und F  
+
'''a)''' <math>E</math> und <math>F</math>
 
 
'''b)''' F und H und
 
 
 
'''c)'''E und H.
 
 
 
  
{{Lösung versteckt|1= Bei der Ebene <math>E</math> handelt es sich um die <math>x_1-x_2-</math> Ebene. Der Normalenvektor ist also <math>\vec{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} </math>. Der Normalenvektor der Ebene <math>F</math> kann abgelesen werden: <math>\vec{m} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix} </math>.
+
{{Lösung versteckt|1= Bei der Ebene <math>E</math> handelt es sich um die <math>x_1x_2</math> -Ebene. Der Normalenvektor ist also <math>\vec{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} </math>. Der Normalenvektor der Ebene <math>F</math> kann abgelesen werden: <math>\vec{m} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}</math>.
  
 
Einsetzen in die Formel liefert:  
 
Einsetzen in die Formel liefert:  
  
<math>cos(\alpha) = \frac{ \left| \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix} \right|}{\left| \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix} \right|} \Leftrightarrow cos(\alpha) = \frac{|4|}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{4+36+16}} \Leftrightarrow cos(\alpha) = \frac{4}{\sqrt{56}}</math>  
+
<math>\cos(\alpha) = \frac{\left| \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 2\\ 6\\ 4 \end{pmatrix} \right|}{\left| \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} 2\\ 6\\ 4 \end{pmatrix} \right|} \Leftrightarrow \cos(\alpha) = \frac{|4|}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{4+36+16}} \Leftrightarrow \cos(\alpha) = \frac{4}{\sqrt{56}}</math>  
  
 
Nun muss die Formel mit Hilfe des Taschenrechners aufgelöst werden:
 
Nun muss die Formel mit Hilfe des Taschenrechners aufgelöst werden:
  
<math> \alpha = cos^{-1}(\frac{4}{\sqrt {56}}) \Leftrightarrow \alpha \approx 57{,}69 ^{\circ}</math> Der Winkel zwischen den Ebenen <math>E</math> und <math>F</math> beträgt ca. <math>57{,}69 ^{\circ} </math>.
+
<math>\alpha = \cos^{-1}(\frac{4}{\sqrt {56}}) \Leftrightarrow \alpha \approx 57{,}69^{\circ}</math> Der Winkel zwischen den Ebenen <math>E</math> und <math>F</math> beträgt ca. <math>57{,}69^{\circ}</math>.
 +
 
 +
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
  
|2=Lösung zu a) anzeigen|3=Lösung zu a) verbergen}}
+
'''b)''' <math>F</math> und <math>H</math>
  
 
{{Lösung versteckt|1=
 
{{Lösung versteckt|1=
  
Die Normalenvektor der Ebenen <math>F</math> und <math>H</math> können abgelesen werden als <math>\vec{m} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix} </math> und <math>\vec{l} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -7 \end{pmatrix} </math>
+
Die Normalenvektor der Ebenen <math>F</math> und <math>H</math> können abgelesen werden als <math>\vec{m} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec{l} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -7 \end{pmatrix}</math>
  
 
Einsetzen in die Formel liefert:  
 
Einsetzen in die Formel liefert:  
  
<math>cos(\alpha) = \frac{ \left| \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -7 \end{pmatrix} \right|}{\left| \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -7 \end{pmatrix} \right|} \Leftrightarrow cos(\alpha) = \frac{0}{\sqrt{4+36+16} \cdot \sqrt{4+16+49}} \Leftrightarrow cos(\alpha) = \frac{0}{\sqrt{3864}} \Leftrightarrow cos(\alpha) = 0</math>.
+
<math>\cos(\alpha) = \frac{ \left| \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -7 \end{pmatrix} \right|}{\left| \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -7 \end{pmatrix} \right|} \Leftrightarrow \cos(\alpha) = \frac{0}{\sqrt{4+36+16} \cdot \sqrt{4+16+49}} \Leftrightarrow \cos(\alpha) = \frac{0}{\sqrt{3864}} \Leftrightarrow \cos(\alpha) = 0</math>.
  
 
Nun muss die Formel mit Hilfe des Taschenrechners aufgelöst werden:
 
Nun muss die Formel mit Hilfe des Taschenrechners aufgelöst werden:
  
<math> \alpha = cos^{-1}(0) \Leftrightarrow \alpha = 90 ^{\circ}</math> Der Winkel zwischen den Ebenen <math>F</math> und <math>H</math> beträgt ca. <math>90 ^{\circ} </math>.
+
<math>\alpha = \cos^{-1}(0) \Leftrightarrow \alpha = 90^{\circ}</math> Der Winkel zwischen den Ebenen <math>F</math> und <math>H</math> beträgt ca. <math>90^{\circ} </math>.
 +
 
 +
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
  
|2=Lösung zu b) anzeigen|3=Lösung zu b) verbergen}}
+
'''c)''' <math>E</math> und <math>H</math>.
  
 
{{Lösung versteckt|1=
 
{{Lösung versteckt|1=
  
Bei der Ebene <math>E</math> handelt es sich um die <math>x_1-x_2-</math> Ebene. Der Normalenvektor ist also <math>\vec{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} </math>. Der Normalenvektor der Ebene <math>H</math> kann abgelesen werden: <math>\vec{m} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -7 \end{pmatrix} </math>.
+
Bei der Ebene <math>E</math> handelt es sich um die <math>x_1x_2</math> -Ebene. Der Normalenvektor ist also <math>\vec{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} </math>. Der Normalenvektor der Ebene <math>H</math> kann abgelesen werden: <math>\vec{m} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -7 \end{pmatrix}</math>.
  
 
Einsetzen in die Formel liefert:  
 
Einsetzen in die Formel liefert:  
  
<math>cos(\alpha) = \frac{\left| \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -7 \end{pmatrix} \right| }{\left| \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -7 \end{pmatrix} \right|} \Leftrightarrow cos(\alpha) = \frac{|-7|}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{4+16+49}} \Leftrightarrow cos(\alpha) = \frac{7}{\sqrt{69}}</math>  
+
<math>\cos(\alpha) = \frac{\left| \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -7 \end{pmatrix} \right| }{\left| \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -7 \end{pmatrix} \right|} \Leftrightarrow \cos(\alpha) = \frac{|{-}7|}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{4+16+49}} \Leftrightarrow \cos(\alpha) = \frac{7}{\sqrt{69}}</math>  
  
 
Nun muss die Formel mit Hilfe des Taschenrechners aufgelöst werden:
 
Nun muss die Formel mit Hilfe des Taschenrechners aufgelöst werden:
  
<math> \alpha = cos^{-1}(\frac{7}{\sqrt {69}}) \Leftrightarrow \alpha \approx 32{,}57 ^{\circ}</math> Der Winkel zwischen den Ebenen <math>E</math> und <math>H</math> beträgt ca. <math>32{,}57 ^{\circ} </math>.
+
<math>\alpha = \cos^{-1}(\frac{7}{\sqrt {69}}) \Leftrightarrow \alpha \approx 32{,}57^{\circ}</math> Der Winkel zwischen den Ebenen <math>E</math> und <math>H</math> beträgt ca. <math>32{,}57^{\circ}</math>.
 
   
 
   
|2=Lösung zu c) anzeigen|3=Lösung zu c) verbergen}}
+
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
  
 
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
 
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
  
  
 +
{{Box | &#x2B50; Aufgabe 19: Ebenen gesucht|
  
 +
Der Winkel zwischen den beiden Vektoren <math>\vec{a} = \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 3 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec{b} = \begin{pmatrix} 4\\ 7\\ 2 \end{pmatrix}</math> beträgt <math>67{,}62^{\circ}</math>.
  
{{Box | Aufgabe 14: Ebenen gesucht|
+
Gib die Gleichungen zweier Ebenen <math>E</math> und <math>F</math> an, die sich in einem Winkel von <math>67{,}62^{\circ}</math> schneiden.
 
 
Der Winkel zwischen den beiden Vektoren <math> \vec{a} = \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 3 \end{pmatrix}</math> und <math> \vec{b} = \begin{pmatrix} 4\\ 7\\ 2 \end{pmatrix}</math> beträgt <math> 67{,}62 ^{\circ} </math>.
 
 
 
Gib die Gleichungen zweier Ebenen <math>E</math> und <math>F</math> an, die sich in einem Winkel von <math> 67{,}62 ^{\circ} </math> schneiden.
 
  
 
{{Lösung versteckt|1=
 
{{Lösung versteckt|1=
  
Der Winkel zwischen zwei Ebenen entspricht dem Winkel zwischen ihren Normalenvektoren. Da der Winkel zwischen den beiden angebenen Vektoren <math> \vec{a} = \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 3 \end{pmatrix}</math> und <math> \vec{b} = \begin{pmatrix} 4\\ 7\\ 2 \end{pmatrix}</math> genau dem Winkel entspricht, den die Ebenen einschließen sollen, können sie als Normalenvektoren der Ebenen verwendet werden. Die Punkte, durch die die Ebenen laufen, können frei gewählt werden.  
+
Der Winkel zwischen zwei Ebenen entspricht dem Winkel zwischen ihren Normalenvektoren. Da der Winkel zwischen den beiden angebenen Vektoren <math>\vec{a} = \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 3 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec{b} = \begin{pmatrix} 4\\ 7\\ 2 \end{pmatrix}</math> genau dem Winkel entspricht, den die Ebenen einschließen sollen, können sie als Normalenvektoren der Ebenen verwendet werden. Die Punkte, durch die die Ebenen laufen, können frei gewählt werden.  
  
 
Eine mögliche Lösung für die Ebenen lautet daher:  
 
Eine mögliche Lösung für die Ebenen lautet daher:  
  
<math>E: x_1 + 3x_3 = 4 </math> und <math>F: 4x_1 + 7x_2 + 2x_3 = 8 </math>.  
+
<math>E\colon x_1 + 3x_3 = 4 </math> und <math>F\colon 4x_1 + 7x_2 + 2x_3 = 8</math>.  
  
 
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
 
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
Zeile 640: Zeile 956:
  
  
{{Box | Aufgabe 15: Bank am Wanderweg |
+
{{Box | &#x2B50; Aufgabe 20: Bank am Wanderweg |
  
An einem Wanderweg soll eine Holzbank aufgestellt werden. Die Bank wird so ausgerichtet, dass die Sitzfläche durch die Ebene <math> S_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0{,}5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0{,}4 \\ 0\end{pmatrix}, r,s \in [0, 1] </math> und die Rückenlehne durch die Ebene <math>R_1: -x_2 + 0{,}4 x_3 = -0{,}2 </math> beschrieben werden kann.
+
An einem Wanderweg soll eine Holzbank aufgestellt werden. Die Bank wird so ausgerichtet, dass die Sitzfläche durch die Ebene <math>S\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0{,}5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0{,}4 \\ 0\end{pmatrix}, r,s \in [0, 1]</math> und die Rückenlehne durch die Ebene <math>R_1\colon -x_2 + 0{,}4 x_3 = -0{,}2</math> beschrieben werden kann.
  
[[Datei:Aufgabe Bank.png|mini|Skizze: Bank am Wanderweg]]
+
'''a)''' Um eine bequeme Sitzposition zu ermöglichen, sollte der Winkel zwischen Rückenlehne und Sitzfläche zwischen <math>100^{\circ}</math> und <math>110^{\circ}</math> liegen. Überprüfe, ob dies auf die neue Bank zutrifft.
  
'''a)''' Um eine bequeme Sitzposition zu ermöglichen, sollte der Winkel zwischen Rückenlehne und Sitzfläche zwischen <math>100^{\circ}</math> und <math>110^{\circ}</math> liegen. Überprüfe, ob dies auf die neue Bank zutrifft.
+
{{Lösung versteckt|1= Mache dir eine Skizze. Überlege genau, welchen Winkel du berechnen musst.|2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}
  
{{Lösung versteckt|1=Berechne zunächst den Normalenvektor der Ebene <math> S_1 </math> aus den Richtungsvektoren der Ebene. |2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}}
+
{{Lösung versteckt|1=
  
{{Lösung versteckt|1=Überlege genau, welchen Winkel du berechnet hast. Vielleicht kann dir eine Skizze helfen. |2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}
+
[[Datei:Winkel zwischen zwei Ebenen (Bankaufgabe).png|mini|Skizze: Winkel zwischen der Rückenlehne und der Sitzfläche der Bank]]
  
{{Lösung versteckt|1=Als Normalenvektor der Ebene <math>S_1</math> erhält man <math> \vec{n}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0{,}8 \end{pmatrix} </math> und als Normalenvektor der Ebene <math> R_1</math> <math>\vec{m}=\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0{,}4 \end{pmatrix} </math> .  
+
Als Normalenvektor der Ebene <math>S</math> erhält man <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math> und als Normalenvektor der Ebene <math>R_1</math> erhält man <math>\vec{m}=\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0{,}4 \end{pmatrix}</math> .  
  
 
Einsetzen in die Formel liefert:  
 
Einsetzen in die Formel liefert:  
<math>cos(\gamma) = \frac{ \left| \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0{,}8 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0{,}4 \end{pmatrix \right|}}{\left| \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0{,}8 \end{pmatrix} \right|  \cdot \left| \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0{,}4 \end{pmatrix} \right|} \Leftrightarrow cos(\gamma) = \frac{\frac{8}{25}}{\frac{4}{5} \cdot \sqrt{\frac{29}{25}}} </math>
 
  
Umstellen der Formel ergibt: <math> \gamma=cos^{-1} \left( \frac{\frac{8}{25}}{\frac{4}{5} \cdot \sqrt{\frac{29}{25}}} \right) \Leftrightarrow \gamma \approx 68{,}2 ^\circ </math>
+
<math>\cos(\gamma)=\frac{\left| \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 0\\ {-}1\\ 0{,}4 \end{pmatrix} \right|}{\left| \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} 0\\ {-}1\\ 0{,}4 \end{pmatrix} \right|} \Leftrightarrow \cos(\gamma) = \frac{\frac{2}{5}}{1 \cdot \sqrt{\frac{29}{25}}}</math>
  
[[Datei:Winkel zwischen zwei Ebenen (Bankaufgabe).png|mini|Skizze: Winkel zwischen der Rückenlehne und der Sitzfläche der Bank]]
+
Umstellen der Formel ergibt: <math> \gamma=\cos^{-1} \left( \frac{\frac{2}{5}}{\sqrt{\frac{29}{25}}} \right) \Leftrightarrow \gamma \approx 68{,}2^{\circ}</math>
  
Wie in Abbildung ... zu sehen wurde der Winkel <math> \gamma </math> berechnet. Der Winkel zwischen der Sitzfläche und der Rückenlehne wird aber durch den Winkel <math> \alpha </math> beschrieben. <math>\alpha</math> erhält man, indem man <math>180 ^\circ - \gamma </math> berechnet: <math>180 ^\circ - 68{,}2 ^\circ = 111{,}8 ^\circ </math>. Mit einem Wert von  <math> 111{,}8 ^\circ </math> liegt der Winkel zwischen Rückenlehne und Sitzfläche etwas über dem optimalen Winkel. |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
+
Wie in der Abbildung zu sehen wurde der Winkel <math>\gamma</math> berechnet. Der Winkel zwischen der Sitzfläche und der Rückenlehne wird aber durch den Winkel <math>\alpha</math> beschrieben. <math>\alpha</math> erhält man, indem man <math>180^\circ - \gamma </math> berechnet: <math>180^{\circ} - 68{,}2^{\circ} = 111{,}8^{\circ}</math>. Mit einem Wert von <math> 111{,}8^{\circ}</math> liegt der Winkel zwischen Rückenlehne und Sitzfläche etwas über dem optimalen Winkel. |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
  
'''b)''' Da der Wanderweg sehr beliebt ist, soll noch eine zweite Bank aufgestellt werden. Sie wird so ausgerichtet, dass beide Bänke mit den Rückenlehnen aneinander stehen. Auch bei der zweiten Bank können die Sitzfläche und die Rückenlehne durch Ebenen beschrieben werden. Die Sitzfläche entspricht der Ebene <math> S_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0,8 \\ 0,5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0,4 \\ 0 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}</math> und die Rückenlehne der Ebene <math> R_2: -x_2 - 0{,}4 x_3 = -1 </math> Berechne den Winkel, unter dem die beiden Rückenlehnen der Bänke aufeinander treffen.
+
'''b)'''  
  
 
[[Datei:Bankaufgabe.png|mini|Skizze: Bänke am Wanderweg]]
 
[[Datei:Bankaufgabe.png|mini|Skizze: Bänke am Wanderweg]]
  
{{Lösung versteckt|1=Gesucht ist der Winkel zwischen der Ebene <math>R_1</math> und der Ebene <math>R_2</math>. Nutze zur Berechnung die Normalenvektoren der Ebenen.|2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}}
+
Da der Wanderweg sehr beliebt ist, soll noch eine zweite Bank aufgestellt werden. Sie wird so ausgerichtet, dass beide Bänke mit den Rückenlehnen aneinander stehen. Auch bei der zweiten Bank können die Sitzfläche und die Rückenlehne durch Ebenen beschrieben werden. Die Sitzfläche kann durch die selbe Ebene beschrieben werden, wie die Sitzfläche der anderen Bank (<math>S</math>). Die Rückenlehne entspricht der Ebene <math> R_2\colon -x_2 - 0{,}4 x_3 = -1 </math> Berechne den Winkel, unter dem die beiden Rückenlehnen der Bänke aufeinander treffen.
  
{{Lösung versteckt|1= Es soll der Winkel zwischen den beiden Rückenlehnen <math>R_1</math> und <math>R_2</math> berechnet werden.
+
{{Lösung versteckt|1=
  
 
[[Datei:Aufgabe Bank (4).png|mini|Skizze: Winkel zwischen den beiden Bänken am Wanderweg]]
 
[[Datei:Aufgabe Bank (4).png|mini|Skizze: Winkel zwischen den beiden Bänken am Wanderweg]]
  
Die Normalenvektoren der Ebenen lauten <math> \vec{m}=\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0{,}4 \end{pmatrix} </math> und <math> \vec{l}=\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ -0{,}4 \end{pmatrix} </math>.
+
Gesucht ist der Winkel zwischen der Ebene <math>R_1</math> und der Ebene <math>R_2</math>. Nutze zur Berechnung die Normalenvektoren der Ebenen.|2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}
 +
 
 +
{{Lösung versteckt|1= Es soll der Winkel zwischen den beiden Rückenlehnen <math>R_1</math> und <math>R_2</math> berechnet werden.
 +
 
 +
Die Normalenvektoren der Ebenen lauten <math>\vec{m}=\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0{,}4 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec{l}=\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ -0{,}4 \end{pmatrix}</math>.
  
 
Einsetzen in die Formel liefert:  
 
Einsetzen in die Formel liefert:  
  
<math> cos(\beta)=\frac{\left| \begin{pmatrix} 0\\ -1\\ 0{,}4 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 0\\ -1\\ -0{,}4 \end{pmatrix} \right|}{\left| \begin{pmatrix} 0\\ -1\\ 0{,}4 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} 0\\ -1\\ -0{,}4 \end{pmatrix} \right|} </math>
+
<math>\cos(\beta)=\frac{\left| \begin{pmatrix} 0\\ {-}1\\ 0{,}4 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 0\\ {-}1\\ {-}0{,}4 \end{pmatrix} \right|}{\left| \begin{pmatrix} 0\\ {-}1\\ 0{,}4 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} 0\\ {-}1\\ {-}0{,}4 \end{pmatrix} \right|} \Leftrightarrow \cos(\beta)=\frac{\frac{21}{25}}{\sqrt{\frac{29}{25}} \cdot \sqrt{\frac{29}{25}}} \Leftrightarrow \cos(\beta)=\frac{\frac{21}{25}}{\frac{29}{25}} \Leftrightarrow \cos(\beta)=\frac{21}{29}</math>
 +
 
 +
Umstellen der Formel ergibt: <math> \beta=\cos^{-1} \left( \frac{21}{29} \right) \Leftrightarrow \beta \approx 43{,}6^{\circ} </math>. Der Winkel zwischen den beiden Rückenlehnen beträgt <math>43{,}6^{\circ} </math>.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
  
<math> \Leftrightarrow cos(\beta)=\frac{\frac{21}{25}}{\sqrt{\frac{29}{25}} \cdot \sqrt{\frac{29}{25}}} \Leftrightarrow cos(\beta)=\frac{\frac{21}{25}}{\frac{29}{25}} \Leftrightarrow cos(\beta)=\frac{21}{29}</math>
+
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün}}}}
  
Umstellen der Formel ergibt: <math> \beta=cos^{-1} \left( \frac{21}{29} \right) \Leftrightarrow \beta \approx 43{,}6 ^{\circ} </math>. Der Winkel zwischen den beiden Rückenlehnen beträgt <math>43{,}6 ^{\circ} </math>.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
+
{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum#Kapitelauswahl}}
  
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün}}}}
+
{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
 +
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Aktuelle Version vom 24. Juni 2021, 01:28 Uhr


Info

In diesem Lernpfadkapitel geht es um die Lagebeziehung zwischen einer Gerade und einer Ebene oder zwischen zwei Ebenen inklusive der Berechnung der Schnittwinkel. Das Lernpfadkapitel ist so aufgebaut, dass ihr in jedem Abschnitt zuerst grundlegende Inhalte mithilfe der Merkkästen wiederholen und anschließend euer Wissen in Übungsaufgaben anwenden könnt.


Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

  • In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
  • Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
  • Und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.
  • Aufgaben und Kapitel, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.
Viel Erfolg!


Lagebeziehung Gerade-Ebene

Mögliche Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene

Merke:

Zwischen einer Geraden und einer Ebene gibt es drei mögliche Lagebeziehungen.

Lagebeziehung Gerade Ebene schneidend.jpg

Die Gerade schneidet die Ebene.

Lagebeziehung Gerade Ebene parallel.jpg

Die Gerade und die Ebene liegen parallel.

Lagebeziehung Gerade Ebene liegtin.jpg

Die Gerade liegt in der Ebene.


Untersuchung der Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene

Ebene in Parameterform

Aufgabe 1: Lückentext zur Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene



Vorgehen: Untersuchung der Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene
Vorgehen Lagebeziehung Gerade und Ebene.jpg


Beispiel: Untersuchung der Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene


Gegeben sind eine Ebene und eine Gerade . Untersuche die Lagebeziehung der Gerade und der Ebene und bestimme gegebenenfalls den Schnittpunkt.


1. Schritt: Setze die Geraden- und Ebenengleichung gleich:


2. Schritt: Stelle das zugehörige lineare Gleichungssystem auf:


3. Schritt: Löse das Gleichungssystem mit dem Gaußverfahren oder dem Taschenrechner:


4. Schritt: Interpretiere die Lösung des Gleichungssystems anhand der Anzahl der Lösungen. Da das Gleichungssystem nur eine Lösung hat, besitzen die Ebene und die Gerade nur einen gemeinsamen Punkt. Also schneidet die Gerade die Ebene.


5. Schritt: Da sich die Ebene und die Gerade schneiden, kannst du den Schnittpunkt der beiden berechnen. Setze dafür den Parameter in die Geradengleichung ein:

Alternativ kannst du die Parameter und in die Ebenengleichung einsetzen und erhältst den gleichen Punkt.


Aufgabe 2: Untersuchung der Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene

Gegeben ist eine Ebene . Untersuche die Lagebeziehung zwischen dieser Ebene und den untenstehenden Geraden. Ziehe die Geraden in das entsprechende Feld.



1. Setze die Geradengleichung mit der Ebenengleichung gleich.

2. Stelle ein LGS auf.

3. Löse das LGS mit dem Gaußverfahren oder dem Taschenrechner.

4. Die Anzahl der Lösungen zeigt dir, wie viele gemeinsamen Punkte die Gerade und die Ebene haben. Daran kannst du die Lagebeziehung erkennen.


Aufgabe 3: Schnittpunktberechnung

Gegeben sind eine Gerade und eine Ebene .

Zeige, dass sich die Gerade und die Ebene schneiden und gib den Schnittpunkt an.

1. Setze die Geradengleichung mit der Ebenengleichung gleich.

2. Stelle ein LGS auf.

3. Löse das LGS mit dem Gaußverfahren oder dem Taschenrechner.

4. Die Anzahl der Lösungen zeigt dir, wie viele gemeinsamen Punkte die Gerade und die Ebene haben. Daran kannst du die Lagebeziehung erkennen.

5. Berechne den Schnittpunkt, indem du den Wert für in die Geradengleichung einsetzt.

1. Setze die Geradengleichung mit der Ebenengleichung gleich:

2. Stelle ein LGS auf:


3. Löse das LGS mit dem Gaußverfahren oder dem Taschenrechner:


4. Die Anzahl der Lösungen zeigt dir, wie viele gemeinsame Punkte die Gerade und die Ebene haben. Da das LGS genau eine Lösung besitzt, haben die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Punkt. Somit schneiden sie sich.

5. Berechne den Schnittpunkt, indem du den Wert für in die Geradengleichung einsetzt:


Aufgabe 4: Schatten eines Sonnensegels

Da es Frau Meier im Sommer auf ihrer Terrasse gerne schattig haben möchte, spannt sie ein dreieckiges Segeltuch auf. Die Eckpunkte des Segeltuchs sind und . Die Terrasse wird modelliert durch die Ebene . Die Richtung der Sonnenstrahlen entspricht dem Vektor . In welchem Bereich hat Frau Meier nun Schatten?


Hinweis: Da Frau Meier eine sehr große Terrasse hat, kannst du davon ausgehen, dass der Schatten vollständig innerhalb der Terrasse liegt.


Bestimme die Geraden der Lichtstrahlen durch die Eckpunkte des Sonnensegels und berechne, wo sie auf die Terrasse treffen. Vielleicht hilft dir eine Skizze.

Hier siehst du eine Skizze, die die oben beschriebene Situation abbildet. Überlege dir, welche Punkte du für die Aufgabe bestimmen musst.

Aufgabe Sonnensegel Spurpunkte.png
Nachdem ihr die Geraden- und Ebenengleichung gleichgesetzt habt, reicht es, wenn ihr euch die Gleichung für die -Koordinate anschaut.

1. Schritt: Mache eine Skizze von der Situation. Aufgabe Sonnensegel Spurpunkte.png

2. Schritt: Stelle die Geradengleichungen durch die Eckpunkte des Sonnensegels in Richtung der Sonnenstrahlen auf: , ,

3. Schritt: Berechne die Schnittpunkte der Geraden mit der Ebene.

Berechnung von :

Setze die Geraden- und Ebenengleichung gleich:

Notiere die Zeilen der Gleichung als Gleichungssystem:

Berechne den Parameter , indem du die 3. Gleichung nach umformst:

Durch Einsetzen von in die Geradengleichung erhältst den Punkt .

Berechnung von :

Setze die Geraden- und Ebenengleichung gleich:

Notiere die Zeilen der Gleichung als Gleichungssystem:

Löse die 3. Gleichung nach auf:

Durch Einsetzen von in die Geradengleichung erhältst den Punkt .

Berechnung von :

Notiere die Zeilen der Gleichung als Gleichungssystem:

Löse die 3. Gleichung nach auf:

Durch Einsetzen von in die Geradengleichung erhältst den Punkt .

Die Schattenfläche wird also durch das Dreieck mit den Eckpunkten und begrenzt.

⭐Ebene in Koordinatenform

⭐Merke: Die Lagebeziehung einer Gerade und einer Ebene mit dem Normalenvektor untersuchen

Bei der Bestimmung der Lagebeziehung zwischen einer Gerade und einer Ebene kann dir der Normalenvektor der Ebene helfen. Wenn du nicht mehr genau weißt, wie man diesen abliest oder berechnet, schau noch einmal in das Kapitel Ebenen im Raum.

Lagebeziehung Gerade Ebene parallel Normalenvektor.jpg

Wenn der Richtungsvektor der Gerade und der Normalenvektor der Ebene orthogonal zueinander sind und Gerade und Ebene keinen gemeinsamen Punkt besitzen, so sind sie parallel zueinander.

Lagebeziehung Gerade Ebene liegtin Normalenvektor.jpg

Wenn der Richtungsvektor der Gerade und der Normalenvektor der Ebene orthogonal zueinander sind und Gerade und Ebene unendlich viele gemeinsame Punkte besitzen, so liegt die Gerade in der Ebene.

Lagebeziehung Gerade Ebene schneidend Normalenvektor.jpg

Wenn der Richtungsvektor der Gerade und der Normalenvektor der Ebene nicht orthogonal zueinander sind, dann schneiden sich die Gerade und die Ebene und es kann ein Schnittpunkt bestimmt werden.


⭐Vorgehen: Untersuchung der Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene mit dem Normalenvektor

Gegeben sind eine Gerade und eine Ebene mit dem Normalenvektor .

Vorgehen Lagebeziehung Gerade und Ebene3.jpg.jpg


⭐ Aufgabe 5: Untersuchung der Lagebeziehung einer Gerade und einer Ebene in Koordinatenform


a) Gegeben sind eine Ebene und eine Gerade . Bestimme die Lagebeziehung von Gerade und Ebene.


1. Schritt: Prüfe, ob der Richtungsvektor der Gerade orthogonal zum Normalenvektor der Ebene liegt.

Verwende des Skalarprodukt.
Wenn das Skalarprodukt zweier Vektoren ergibt, dann sind die beiden Vektoren orthogonal zueinander. Wenn das Skalarprodukt ungleich ist, dann sind sie nicht orthogonal.
. Da das Skalarprodukt ergibt, gilt .


2. Schritt: Prüfe durch eine Punktprobe, ob der Aufpunkt der Gerade in der Ebene liegt.


Der Aufpunkt liegt nicht in der Ebene. Daher verlaufen die Gerade und die Ebene parallel zueinander.


b) Gegeben sind eine Ebene und eine Gerade . Bestimme die Lagebeziehung von Gerade und Ebene.

1. Schritt: Prüfe, ob der Richtungsvektor der Gerade orthogonal zum Normalenvektor der Ebene liegt.

Verwende des Skalarprodukt.
Wenn das Skalarprodukt zweier Vektoren ergibt, dann sind die beiden Vektoren orthogonal zueinander. Wenn das Skalarprodukt ungleich ist, dann sind sie nicht orthogonal.
. Da das Skalarprodukt ergibt, gilt .


2. Schritt: Prüfe durch eine Punktprobe, ob der Aufpunkt der Gerade in der Ebene liegt.


Der Aufpunkt liegt in der Ebene. Daher liegt die Gerade in der Ebene .

c) Gegeben sind eine Ebene und eine Gerade . Bestimme die Lagebeziehung von Gerade und Ebene.

1. Schritt: Prüfe, ob der Richtungsvektor der Gerade orthogonal zum Normalenvektor der Ebene liegt.

Verwende des Skalarprodukt.
Wenn das Skalarprodukt zweier Vektoren ergibt, dann sind die beiden Vektoren orthogonal zueinander. Wenn das Skalarprodukt ungleich ist, dann sind sie nicht orthogonal.
. Da das Skalarprodukt ergibt, sind und nicht orthogonal zueinander. Somit schneiden sich die Gerade und die Ebene.


2. Schritt: Berechne des Schnittpunktes.

Setze die Koordinaten der Gerade in die Ebenengleichung von ein und forme nach dem Parameter um.

Die einzelnen Koordinaten der Gerade sind: .

Setze diese Koordinaten in die Ebenengleichung von ein:

Forme nach dem Parameter um:

Setze den Parameter in die Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt zu berechnen:

.

Die Gerade und die Ebene schneiden sich im Schnittpunkt .



⭐ Aufgabe 6: Bestimme den Parameter

Gegeben ist eine Ebene . Bestimme und in den folgenden Geraden so, dass die jeweils angegebene Lagebeziehung erfüllt ist.

a) Die Gerade soll parallel zur Ebene verlaufen.

Damit die Gerade und die Ebene parallel zueinander sind, müssen der Richtungsvektor von und der Normalenvektor von orthogonal zueinander sein.

.

Damit die beiden Vektoren orthogonal zueinander sind, muss das Skalarprodukt sein: .

b) Die Gerade soll in der Ebene liegen.

Damit die Gerade in der Ebene liegt, müssen der Richtungsvektor von und der Normalenvektor von orthogonal zueinander sein.
Wenn die Gerade in der Ebene liegt, liegt jeder Punkt auf der Gerade auch in der Ebene .
Prüfe mit der Punktprobe, ob der Aufpunkt von in der Ebene liegt.

Finde zuerst m: . Damit die beiden Vektoren orthogonal zueinander sind, muss das Skalarprodukt sein: .

Finde danach durch eine Punktprobe: Setze den Aufpunkt in die Ebenengleichung ein und löse nach auf: .

c) Die Gerade soll die Ebene schneiden.

Der Richtungsvektor der Geraden darf nicht orthogonal zum Normalenvektor von liegen.
Was bedeutet es für , wenn der Richtungsvektor der Geraden nicht orthogonal zum Normalenvektor der Ebene liegen darf?
Bestimme, welchen Wert nicht annehmen darf, damit die Gerade die Ebene schneidet.
Für ist der Richtungsvektor von orthogonal zum Normalenvektor von und die Gerade liegt parallel zur Ebene . Jeder andere Wert für ist eine richtige Lösung.


⭐ Aufgabe 7: Flugzeug

Ein Flugzeug fliegt auf eine Nebelwand zu. Seine Flugbahn wird durch die Gerade beschrieben, wobei die Zeit in Minuten nach dem Start bezeichnet. Das Flugzeug befindet sich also im Moment am Punkt . Du kannst davon ausgehen, dass es mit konstanter Geschwindigkeit fliegt. Die Ebene beschreibt die Nebelwand.

Versuche die folgenden Aufgaben ohne Taschenrechner zu lösen.

a) Begründe, dass das Flugzeug die Nebelwand trifft.

Verwende das Skalarprodukt.
. Da das Skalarprodukt ergibt, sind der Normalenvektor der Ebene und der Richtungsvektor der Gerade nicht orthogonal zueinander. Daraus können wir schließen, dass sich Gerade und Ebene schneiden. Das Flugzeug trifft also auf die Nebelwand.

b) Wo trifft das Flugzeug auf die Nebelwand und wie viele Minuten dauert es noch, bis das Flugzeug die Nebelwand erreicht?

Berechne den Schnittpunkt der Gerade mit der Ebene, indem du die einzelnen Koordinaten der Gerade in die Ebenengleichung einsetzt.

Setze die einzelnen Koordinaten der Gerade in die Ebenengleichung ein und löse nach dem Parameter auf:

Da die Zeit in Minuten angibt, erreicht das Flugzeug den Schnittpunkt in 5 Minuten.

Berechne nun den Schnittpunkt , indem du in die Geradengleichung einsetzt. Du erhältst den Ortsvektor zum Schnittpunkt und kannst den Schnittpunkt dann ablesen: . Damit ergibt sich der Schnittpunkt .

Das Flugzeug trifft die Nebelwand in 5 Minuten im Punkt .


⭐Berechnung des Winkels zwischen Gerade und Ebene

⭐ Merke: Berechnung des Winkels zwischen Gerade und Ebene


Wenn eine Gerade eine Ebene schneidet, kannst du nicht nur den Schnittpunkt berechnen, sondern auch den Schnittwinkel. Dafür benötigen wir den Normalenvektor. Wenn du nicht mehr genau weißt, wie man diesen abliest oder berechnet, schau noch einmal in das Kapitel Ebenen im Raum (Ebenen im Raum).


⭐ Merksatz: Winkel berechnen zwischen Gerade und Ebene


Winkel zwischen Gerade und Ebene

Sei eine Ebene mit dem Normalenvektor und eine Gerade mit dem Richtungsvektor . Der Schnittwinkel zwischen und kann mit folgender Formel berechnet werden: .

Ist nach dem Schnittwinkel gefragt, so ist immer der kleinere der beiden Winkel gesucht, die von Gerade und Ebene eingeschlossen werden. Mit der obigen Formel erhält man deshalb für immer Werte zwischen und .

Wenn du wissen möchtest, warum du nicht - wie beim Winkel zwischen zwei Geraden - den Kosinus benutzt, kannst du das hier nachlesen:

Winkel zwischen Gerade und Ebene

Der Normalenvektor einer Ebene steht in einem Winkel zur Ebene .

Wenn man den Winkel zwischen einer Gerade und einer Ebene berechnen will, kann wie beim Winkel zwischen zwei Geraden mit der Kosinusfunktion der Winkel zwischen dem Richtungsvektor von und dem Normalenvektor von berechnet werden. In der Abbildung ist dieser Winkel mit bezeichnet. Um nun den Winkel zwischen und zu erhalten, müssen wir von abziehen. Dies entspricht aufgrund trigonometrischer Gesetzmäßigkeiten der obigen Formel mit der Sinusfunktion.


⭐ Aufgabe 8: Berechnung des Winkels zwischen Gerade und Ebene


Gegeben sind die Gerade und die Ebene . Bestimme den Winkel, unter dem sich die Gerade und die Ebene schneiden.

Nutze zur Berechnung des Winkels die Formel aus dem Merksatz. Notiere dafür den Richtungsvektor der Gerade und den Normalenvektor der Ebene.

Wenn du beide in die Formel eingesetzt hast, benötigst du den , um den Winkel ausrechnen zu können.

1. Schritt: Notiere den Richtungvektor der Gerade und den Normalenvektor der Ebene.

und

2. Schritt: Setze die Vektoren in die Formel ein.