Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lagebeziehungen und Winkel (Gerade und Ebene, 2 Ebenen): Unterschied zwischen den Versionen
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====⭐Ebene in Koordinatenform==== | ====⭐Ebene in Koordinatenform==== | ||
{{Box|⭐Merke: Die Lagebeziehung einer Gerade und einer Ebene mit dem Normalenvektor untersuchen|Bei der Bestimmung der Lagebeziehung zwischen einer Gerade <math>g</math> und einer Ebene <math>E</math> kann dir der Normalenvektor der Ebene helfen. | {{Box|⭐Merke: Die Lagebeziehung einer Gerade und einer Ebene mit dem Normalenvektor untersuchen|Bei der Bestimmung der Lagebeziehung zwischen einer Gerade <math>g</math> und einer Ebene <math>E</math> kann dir der Normalenvektor der Ebene helfen. | ||
Wenn du nicht mehr genau weißt, wie man diesen abliest oder berechnet, schau noch einmal in das Kapitel | Wenn du nicht mehr genau weißt, wie man diesen abliest oder berechnet, schau noch einmal in das Kapitel [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum|Ebenen im Raum]]. | ||
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{{Box | ⭐ Merke: Berechnung des Winkels zwischen Gerade und Ebene | | {{Box | ⭐ Merke: Berechnung des Winkels zwischen Gerade und Ebene | | ||
Wenn eine Gerade <math>g</math> eine Ebene <math>E</math> schneidet, kannst du nicht nur den Schnittpunkt berechnen, sondern auch den Schnittwinkel. Dafür benötigen wir den Normalenvektor. Wenn du nicht mehr genau weißt, wie man diesen abliest oder berechnet, schau noch einmal in das Kapitel ''Ebenen im Raum'' ([[Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum]]). | Merksatz}} | Wenn eine Gerade <math>g</math> eine Ebene <math>E</math> schneidet, kannst du nicht nur den Schnittpunkt berechnen, sondern auch den Schnittwinkel. Dafür benötigen wir den Normalenvektor. Wenn du nicht mehr genau weißt, wie man diesen abliest oder berechnet, schau noch einmal in das Kapitel ''Ebenen im Raum'' ([[Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum|Ebenen im Raum]]). | Merksatz}} | ||
{{Box | ⭐ Merksatz: Winkel berechnen zwischen Gerade und Ebene | | {{Box | ⭐ Merksatz: Winkel berechnen zwischen Gerade und Ebene | | ||
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{{Lösung versteckt|1= Nutze zur Berechnung des Winkels die Formel aus dem Merksatz. Notiere dafür den Richtungsvektor der Gerade und den Normalenvektor der Ebene. | {{Lösung versteckt|1= Nutze zur Berechnung des Winkels die Formel aus dem Merksatz. Notiere dafür den Richtungsvektor der Gerade und den Normalenvektor der Ebene. | ||
Wenn du beide in die Formel eingesetzt hast, benötigst du den <math> | Wenn du beide in die Formel eingesetzt hast, benötigst du den <math>\sin^{-1}</math>, um den Winkel ausrechnen zu können. | ||
|2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}} | |2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}} | ||
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'''3. Schritt''': Forme die Gleichung um. | '''3. Schritt''': Forme die Gleichung um. | ||
<math>\alpha = \ | <math>\alpha = \sin^{-1}(\frac{18}{\sqrt{1260}}) \Leftrightarrow \alpha \approx 28{,}45^{\circ}</math> | ||
Der Schnittwinkel beträgt also <math>28{,}45^{\circ}</math>. | Der Schnittwinkel beträgt also <math>28{,}45^{\circ}</math>. | ||
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Mithilfe des Taschenrechners kann das Ergebnis berechnet werden: | Mithilfe des Taschenrechners kann das Ergebnis berechnet werden: | ||
<math>\alpha = \ | <math>\alpha = \sin^{-1}(\frac{1}{\sqrt{182}}) \Leftrightarrow \alpha \approx 21{,}75^{\circ}</math> | ||
Die Kinder sollten den Strohhalm also in einem Winkel von ca. <math>21{,}75^{\circ}</math> in das Trinkpäckchen stecken, um an den Saft in der gegenüberliegenden Ecke zu kommen. | Die Kinder sollten den Strohhalm also in einem Winkel von ca. <math>21{,}75^{\circ}</math> in das Trinkpäckchen stecken, um an den Saft in der gegenüberliegenden Ecke zu kommen. | ||
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{{Box | ⭐ Merke: Berechnung des Winkel zwischen zwei Ebenen | | {{Box | ⭐ Merke: Berechnung des Winkel zwischen zwei Ebenen | | ||
Wenn sich zwei Ebenen schneiden, kann der Schnittwinkel bestimmt werden, den sie einschließen. Dazu kannst du die Normalenvektoren betrachten. Sie schließen denselben Winkel ein, wie die beiden Ebenen. Somit kann das Berechnen des Schnittwinkels zwischen zwei Ebenen auf das Berechnen des Winkels zwischen zwei Vektoren zurückgeführt werden. | Wenn sich zwei Ebenen schneiden, kann der Schnittwinkel bestimmt werden, den sie einschließen. Dazu kannst du die Normalenvektoren betrachten. Sie schließen denselben Winkel ein, wie die beiden Ebenen. Somit kann das Berechnen des Schnittwinkels zwischen zwei Ebenen auf das Berechnen des Winkels zwischen zwei Vektoren zurückgeführt werden. | ||
Um den Schnittwinkel zu berechnen, musst du zunächst die Normalenvektoren der Ebenen bestimmen. Wenn du nicht mehr genau weißt, wie das geht, schaue nochmal in Kapitel [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum]]. | Merksatz}} | Um den Schnittwinkel zu berechnen, musst du zunächst die Normalenvektoren der Ebenen bestimmen. Wenn du nicht mehr genau weißt, wie das geht, schaue nochmal in das Kapitel [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum|Ebenen im Raum]]. | Merksatz}} | ||
{{Box | ⭐ Merksatz: Formel zur Berechnung des Winkels zwischen zwei Ebenen | | {{Box | ⭐ Merksatz: Formel zur Berechnung des Winkels zwischen zwei Ebenen | | ||
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'''3. Schritt:''' Auflösen der Gleichung. | '''3. Schritt:''' Auflösen der Gleichung. | ||
<math>\alpha = | <math>\alpha = \cos^{-1}(\frac{15}{3 \cdot \sqrt {59}}) \Leftrightarrow \alpha \approx 49{,}39^{\circ}</math> Der Winkel zwischen den Ebenen <math>E</math> und <math>F</math> beträgt ca. <math>49{,}39^{\circ}</math>.| Hervorhebung1}} | ||
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Nun muss die Formel mit Hilfe des Taschenrechners aufgelöst werden: | Nun muss die Formel mit Hilfe des Taschenrechners aufgelöst werden: | ||
<math>\alpha = | <math>\alpha = \cos^{-1}(\frac{4}{\sqrt {56}}) \Leftrightarrow \alpha \approx 57{,}69^{\circ}</math> Der Winkel zwischen den Ebenen <math>E</math> und <math>F</math> beträgt ca. <math>57{,}69^{\circ}</math>. | ||
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | ||
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Nun muss die Formel mit Hilfe des Taschenrechners aufgelöst werden: | Nun muss die Formel mit Hilfe des Taschenrechners aufgelöst werden: | ||
<math>\alpha = | <math>\alpha = \cos^{-1}(0) \Leftrightarrow \alpha = 90^{\circ}</math> Der Winkel zwischen den Ebenen <math>F</math> und <math>H</math> beträgt ca. <math>90^{\circ} </math>. | ||
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | ||
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Nun muss die Formel mit Hilfe des Taschenrechners aufgelöst werden: | Nun muss die Formel mit Hilfe des Taschenrechners aufgelöst werden: | ||
<math>\alpha = | <math>\alpha = \cos^{-1}(\frac{7}{\sqrt {69}}) \Leftrightarrow \alpha \approx 32{,}57^{\circ}</math> Der Winkel zwischen den Ebenen <math>E</math> und <math>H</math> beträgt ca. <math>32{,}57^{\circ}</math>. | ||
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | ||
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<math>\cos(\gamma)=\frac{\left| \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 0\\ {-}1\\ 0{,}4 \end{pmatrix} \right|}{\left| \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} 0\\ {-}1\\ 0{,}4 \end{pmatrix} \right|} \Leftrightarrow \cos(\gamma) = \frac{\frac{2}{5}}{1 \cdot \sqrt{\frac{29}{25}}}</math> | <math>\cos(\gamma)=\frac{\left| \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 0\\ {-}1\\ 0{,}4 \end{pmatrix} \right|}{\left| \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} 0\\ {-}1\\ 0{,}4 \end{pmatrix} \right|} \Leftrightarrow \cos(\gamma) = \frac{\frac{2}{5}}{1 \cdot \sqrt{\frac{29}{25}}}</math> | ||
Umstellen der Formel ergibt: <math> \gamma= | Umstellen der Formel ergibt: <math> \gamma=\cos^{-1} \left( \frac{\frac{2}{5}}{\sqrt{\frac{29}{25}}} \right) \Leftrightarrow \gamma \approx 68{,}2^{\circ}</math> | ||
Wie in der Abbildung zu sehen wurde der Winkel <math>\gamma</math> berechnet. Der Winkel zwischen der Sitzfläche und der Rückenlehne wird aber durch den Winkel <math>\alpha</math> beschrieben. <math>\alpha</math> erhält man, indem man <math>180^\circ - \gamma </math> berechnet: <math>180^{\circ} - 68{,}2^{\circ} = 111{,}8^{\circ}</math>. Mit einem Wert von <math> 111{,}8^{\circ}</math> liegt der Winkel zwischen Rückenlehne und Sitzfläche etwas über dem optimalen Winkel. |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Wie in der Abbildung zu sehen wurde der Winkel <math>\gamma</math> berechnet. Der Winkel zwischen der Sitzfläche und der Rückenlehne wird aber durch den Winkel <math>\alpha</math> beschrieben. <math>\alpha</math> erhält man, indem man <math>180^\circ - \gamma </math> berechnet: <math>180^{\circ} - 68{,}2^{\circ} = 111{,}8^{\circ}</math>. Mit einem Wert von <math> 111{,}8^{\circ}</math> liegt der Winkel zwischen Rückenlehne und Sitzfläche etwas über dem optimalen Winkel. |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | ||
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<math>\cos(\beta)=\frac{\left| \begin{pmatrix} 0\\ {-}1\\ 0{,}4 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 0\\ {-}1\\ {-}0{,}4 \end{pmatrix} \right|}{\left| \begin{pmatrix} 0\\ {-}1\\ 0{,}4 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} 0\\ {-}1\\ {-}0{,}4 \end{pmatrix} \right|} \Leftrightarrow \cos(\beta)=\frac{\frac{21}{25}}{\sqrt{\frac{29}{25}} \cdot \sqrt{\frac{29}{25}}} \Leftrightarrow \cos(\beta)=\frac{\frac{21}{25}}{\frac{29}{25}} \Leftrightarrow \cos(\beta)=\frac{21}{29}</math> | <math>\cos(\beta)=\frac{\left| \begin{pmatrix} 0\\ {-}1\\ 0{,}4 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 0\\ {-}1\\ {-}0{,}4 \end{pmatrix} \right|}{\left| \begin{pmatrix} 0\\ {-}1\\ 0{,}4 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} 0\\ {-}1\\ {-}0{,}4 \end{pmatrix} \right|} \Leftrightarrow \cos(\beta)=\frac{\frac{21}{25}}{\sqrt{\frac{29}{25}} \cdot \sqrt{\frac{29}{25}}} \Leftrightarrow \cos(\beta)=\frac{\frac{21}{25}}{\frac{29}{25}} \Leftrightarrow \cos(\beta)=\frac{21}{29}</math> | ||
Umstellen der Formel ergibt: <math> \beta= | Umstellen der Formel ergibt: <math> \beta=\cos^{-1} \left( \frac{21}{29} \right) \Leftrightarrow \beta \approx 43{,}6^{\circ} </math>. Der Winkel zwischen den beiden Rückenlehnen beträgt <math>43{,}6^{\circ} </math>.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | ||
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün}}}} | | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün}}}} | ||
Aktuelle Version vom 23. Juni 2021, 23:28 Uhr
In diesem Lernpfadkapitel geht es um die Lagebeziehung zwischen einer Gerade und einer Ebene oder zwischen zwei Ebenen inklusive der Berechnung der Schnittwinkel. Das Lernpfadkapitel ist so aufgebaut, dass ihr in jedem Abschnitt zuerst grundlegende Inhalte mithilfe der Merkkästen wiederholen und anschließend euer Wissen in Übungsaufgaben anwenden könnt.
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
- In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
- Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
- Und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.
- Aufgaben und Kapitel, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.
Inhaltsverzeichnis
Lagebeziehung Gerade-Ebene
Mögliche Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene
Zwischen einer Geraden und einer Ebene gibt es drei mögliche Lagebeziehungen.
Die Gerade schneidet die Ebene.
Die Gerade und die Ebene liegen parallel.
Die Gerade liegt in der Ebene.
Untersuchung der Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene
Ebene in Parameterform
Gegeben sind eine Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E\colon \vec{x}=\left( \begin{matrix} 1\\ 0\\ 0 \end{matrix} \right) + s \cdot \left( \begin{matrix} -1\\ 1\\ 0 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} -1\\ 0\\ 1 \end{matrix} \right) }
und eine Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g\colon \vec{x}=\left( \begin{matrix} 2\\ 2\\ 2 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} -1\\ {-}4\\ 0 \end{matrix} \right) }
. Untersuche die Lagebeziehung der Gerade und der Ebene und bestimme gegebenenfalls den Schnittpunkt.
1. Schritt: Setze die Geraden- und Ebenengleichung gleich: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left( \begin{matrix} 1\\ 0\\ 0 \end{matrix} \right) + s \cdot \left( \begin{matrix} -1\\ 1\\ 0 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} -1\\ 0\\ 1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 2\\ 2\\ 2 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} -1\\ {-}4\\ 0 \end{matrix} \right) }
2. Schritt: Stelle das zugehörige lineare Gleichungssystem auf: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{vmatrix} 1-s-t=2-r \\ s=2-4r \\ t=2 \end{vmatrix} }
3. Schritt: Löse das Gleichungssystem mit dem Gaußverfahren oder dem Taschenrechner: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s=-1, t=2, r=1 }
4. Schritt: Interpretiere die Lösung des Gleichungssystems anhand der Anzahl der Lösungen. Da das Gleichungssystem nur eine Lösung hat, besitzen die Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E}
und die Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g}
nur einen gemeinsamen Punkt. Also schneidet die Gerade die Ebene.
5. Schritt: Da sich die Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} und die Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} schneiden, kannst du den Schnittpunkt der beiden berechnen. Setze dafür den Parameter Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r} in die Geradengleichung ein: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left( \begin{matrix} 2\\ 2\\ 2 \end{matrix} \right) + 1 \cdot \left( \begin{matrix} -1\\ {-}4\\ 0 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1\\ {-}2\\ 2 \end{matrix} \right) }
Alternativ kannst du die Parameter Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} in die Ebenengleichung einsetzen und erhältst den gleichen Punkt.
Gegeben ist eine Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E\colon \vec{x}=\left( \begin{matrix} 1\\ 0\\ 0 \end{matrix} \right) + s \cdot \left( \begin{matrix} -1\\ 1\\ 0 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} -1\\ 0\\ 1 \end{matrix} \right) } . Untersuche die Lagebeziehung zwischen dieser Ebene und den untenstehenden Geraden. Ziehe die Geraden in das entsprechende Feld.
1. Setze die Geradengleichung mit der Ebenengleichung gleich.
2. Stelle ein LGS auf.
3. Löse das LGS mit dem Gaußverfahren oder dem Taschenrechner.
4. Die Anzahl der Lösungen zeigt dir, wie viele gemeinsamen Punkte die Gerade und die Ebene haben. Daran kannst du die Lagebeziehung erkennen.
Gegeben sind eine Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g: \vec{x}= \left( \begin{matrix} 1\\ 0\\ 2 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\ 1\\ {-}3 \end{matrix} \right) } und eine Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E: \vec{x}= \left( \begin{matrix} 4\\ 1\\ 2 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} 1\\ 3\\ {-}2 \end{matrix} \right)+ s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\ 3\\ 1 \end{matrix} \right) } .
Zeige, dass sich die Gerade und die Ebene schneiden und gib den Schnittpunkt an.
1. Setze die Geradengleichung mit der Ebenengleichung gleich.
2. Stelle ein LGS auf.
3. Löse das LGS mit dem Gaußverfahren oder dem Taschenrechner.
4. Die Anzahl der Lösungen zeigt dir, wie viele gemeinsamen Punkte die Gerade und die Ebene haben. Daran kannst du die Lagebeziehung erkennen.
5. Berechne den Schnittpunkt, indem du den Wert für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} in die Geradengleichung einsetzt.1. Setze die Geradengleichung mit der Ebenengleichung gleich: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left(\begin{matrix} 1\\ 0\\ 2 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\ 1\\ {-}3 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 4\\ 1\\ 2 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} 1\\ 3\\ {-}2 \end{matrix} \right)+ s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\ 3\\ 1 \end{matrix} \right) }
2. Stelle ein LGS auf: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{vmatrix} 1+2t=4+r+2s \\ t=1+3r+3s \\ 2-3t=2-2r+s \end{vmatrix} }
3. Löse das LGS mit dem Gaußverfahren oder dem Taschenrechner: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t= 1, r=1, s =-1 }
4. Die Anzahl der Lösungen zeigt dir, wie viele gemeinsame Punkte die Gerade und die Ebene haben. Da das LGS genau eine Lösung besitzt, haben die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Punkt. Somit schneiden sie sich.
Da es Frau Meier im Sommer auf ihrer Terrasse gerne schattig haben möchte, spannt sie ein dreieckiges Segeltuch auf. Die Eckpunkte des Segeltuchs sind Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A (9|{-}5|7), B (6|{-}5|7)} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C (7|{-}10|11)} . Die Terrasse wird modelliert durch die Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E: \vec{x}= \left( \begin{matrix} {-}13\\ {-}7\\ 0 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} 1\\ 0\\ 0 \end{matrix} \right)+ s \cdot \left( \begin{matrix} 0\\ 1\\ 0 \end{matrix} \right) } . Die Richtung der Sonnenstrahlen entspricht dem Vektor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{s} = \left( \begin{matrix} -2\\ {-}2\\ {-}10 \end{matrix} \right)} . In welchem Bereich hat Frau Meier nun Schatten?
Hinweis: Da Frau Meier eine sehr große Terrasse hat, kannst du davon ausgehen, dass der Schatten vollständig innerhalb der Terrasse liegt.
Hier siehst du eine Skizze, die die oben beschriebene Situation abbildet. Überlege dir, welche Punkte du für die Aufgabe bestimmen musst.
1. Schritt: Mache eine Skizze von der Situation.
2. Schritt: Stelle die Geradengleichungen durch die Eckpunkte des Sonnensegels in Richtung der Sonnenstrahlen auf: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\colon \vec{x}=\left( \begin{matrix} 9\\ {-}5\\ 7 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} -2\\ {-}2\\ {-}10 \end{matrix} \right)} , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g\colon \vec{x}=\left( \begin{matrix} 6\\ {-}5\\ 7 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} -2\\ {-}2\\ {-}10 \end{matrix} \right)} , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h\colon \vec{x}=\left( \begin{matrix} 7\\ {-}10\\ 11 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} -2\\ {-}2\\ {-}10 \end{matrix} \right)}
3. Schritt: Berechne die Schnittpunkte der Geraden mit der Ebene.
Berechnung von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A' } :
Setze die Geraden- und Ebenengleichung gleich: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left( \begin{matrix} {-}13\\ {-}7\\ 0 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} 1\\ 0\\ 0 \end{matrix} \right)+ s \cdot \left( \begin{matrix} 0\\ 1\\ 0 \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 9\\ {-}5\\ 7 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} -2\\ {-}2\\ {-}10 \end{matrix} \right) }
Notiere die Zeilen der Gleichung als Gleichungssystem: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{vmatrix} -13+r=9-2t \\ -7+s=-5-2t \\ 0=7-10t \end{vmatrix} }
Berechne den Parameter Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} , indem du die 3. Gleichung nach Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} umformst: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t= \frac{7}{10} }
Durch Einsetzen von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} in die Geradengleichung erhältst den Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A'(-\frac{63}{5} | -\frac{32}{5} | 0)} .
Berechnung von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B'} :
Setze die Geraden- und Ebenengleichung gleich: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left( \begin{matrix} {-}13\\ {-}7\\ 0 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} 1\\ 0\\ 0 \end{matrix} \right)+ s \cdot \left( \begin{matrix} 0\\ 1\\ 0 \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 6\\ {-}5\\ 7 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} -2\\ {-}2\\ {-}10 \end{matrix} \right) }
Notiere die Zeilen der Gleichung als Gleichungssystem: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{vmatrix} -13+r=6-2t \\ -7+s=-5-2t \\ 0=7-10t \end{vmatrix} }
Löse die 3. Gleichung nach Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} auf: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t= \frac{7}{10} }
Durch Einsetzen von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} in die Geradengleichung erhältst den Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B'( -\frac{42}{5} | -\frac{32}{5} | 0 )} .
Berechnung von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C'} :
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left( \begin{matrix} {-}13\\ {-}7\\ 0 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} 1\\ 0\\ 0 \end{matrix} \right)+ s \cdot \left( \begin{matrix} 0\\ 1\\ 0 \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 7\\ {-}10\\ 11 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} -2\\ {-}2\\ {-}10 \end{matrix} \right) }
Notiere die Zeilen der Gleichung als Gleichungssystem: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{vmatrix} -13+r=7-2t \\ -7+s=-10-2t \\ 0=11-10t \end{vmatrix} }
Löse die 3. Gleichung nach Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} auf: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t= \frac{11}{10} }
Durch Einsetzen von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} in die Geradengleichung erhältst den Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C' (-\frac{77}{5} | -\frac{61}{5} | 0)} .
Die Schattenfläche wird also durch das Dreieck mit den Eckpunkten Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A'(-\frac{63}{5} | -\frac{32}{5} | 0), B'( -\frac{42}{5} | -\frac{32}{5} | 0 )} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C' (-\frac{77}{5} | -\frac{61}{5} | 0)} begrenzt.⭐Ebene in Koordinatenform
Bei der Bestimmung der Lagebeziehung zwischen einer Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} und einer Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} kann dir der Normalenvektor der Ebene helfen. Wenn du nicht mehr genau weißt, wie man diesen abliest oder berechnet, schau noch einmal in das Kapitel Ebenen im Raum.
Wenn der Richtungsvektor der Gerade und der Normalenvektor der Ebene orthogonal zueinander sind und Gerade und Ebene keinen gemeinsamen Punkt besitzen, so sind sie parallel zueinander.
Wenn der Richtungsvektor der Gerade und der Normalenvektor der Ebene orthogonal zueinander sind und Gerade und Ebene unendlich viele gemeinsame Punkte besitzen, so liegt die Gerade in der Ebene.
Wenn der Richtungsvektor der Gerade und der Normalenvektor der Ebene nicht orthogonal zueinander sind, dann schneiden sich die Gerade und die Ebene und es kann ein Schnittpunkt bestimmt werden.
Gegeben sind eine Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g: \vec{x}=\vec{a}+r\cdot\vec{u}} und eine Ebene mit dem Normalenvektor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n}} .
a) Gegeben sind eine Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E\colon 2x_1 + x_2 - x_3 = 5 }
und eine Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g\colon \vec{x}=\left( \begin{matrix} 3\\ 0\\ 2 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} -3\\ 5\\ {-}1 \end{matrix} \right) }
. Bestimme die Lagebeziehung von Gerade und Ebene.
1. Schritt: Prüfe, ob der Richtungsvektor der Gerade orthogonal zum Normalenvektor der Ebene liegt.
2. Schritt: Prüfe durch eine Punktprobe, ob der Aufpunkt der Gerade in der Ebene liegt.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2 \cdot 3 -2 =4 \neq 5}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Rightarrow} Der Aufpunkt liegt nicht in der Ebene. Daher verlaufen die Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g } und die Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} parallel zueinander.
b) Gegeben sind eine Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E\colon x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 5 }
und eine Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g\colon \vec{x}=\left( \begin{matrix} 4\\ {-}7\\ 5 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} 1\\ 4\\ {-}3 \end{matrix} \right) }
. Bestimme die Lagebeziehung von Gerade und Ebene.
1. Schritt: Prüfe, ob der Richtungsvektor der Gerade orthogonal zum Normalenvektor der Ebene liegt.
2. Schritt: Prüfe durch eine Punktprobe, ob der Aufpunkt der Gerade in der Ebene liegt.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4+2 \cdot (-7) +3 \cdot 5 =5}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Rightarrow} Der Aufpunkt liegt in der Ebene. Daher liegt die Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g } in der Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} .c) Gegeben sind eine Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E\colon x_1 - 2x_2 + x_3 = -3 } und eine Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g\colon \vec{x}=\left( \begin{matrix} 4\\ 3\\ 2 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} -2\\ \frac{3}{2}\\ 1 \end{matrix} \right) } . Bestimme die Lagebeziehung von Gerade und Ebene.
1. Schritt: Prüfe, ob der Richtungsvektor der Gerade orthogonal zum Normalenvektor der Ebene liegt.
2. Schritt: Berechne des Schnittpunktes.
Die einzelnen Koordinaten der Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} sind: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1=4-2r, x_2=3+\frac{3}{2}r, x_3=2+r} .
Setze diese Koordinaten in die Ebenengleichung von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} ein: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4-2r-2\cdot(3+\frac{3}{2}r)+2+r=-3}
Forme nach dem Parameter Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r} um: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4-2r-6-3r+2+r=-3 \Leftrightarrow r=\frac{3}{4}}
Setze den Parameter in die Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt zu berechnen:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left( \begin{matrix} 4\\ 3\\ 2 \end{matrix} \right) + \frac{3}{4} \cdot \left( \begin{matrix} -2\\ \frac{3}{2}\\ 1 \end{matrix} \right)=\left(\begin{matrix} \frac{10}{4}\\ \frac{33}{8}\\ \frac{11}{4} \end{matrix} \right)} .
Die Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} und die Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} schneiden sich im Schnittpunkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S(\frac{10}{4}|\frac{33}{8}|\frac{11}{4})} .
Gegeben ist eine Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E\colon -2x_1 + 3x_2 - x_3 = 3} . Bestimme Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle l} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m} in den folgenden Geraden so, dass die jeweils angegebene Lagebeziehung erfüllt ist.
a) Die Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g\colon \vec{x} = \left( \begin{matrix} 5\\ 3\\ 0 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} \frac{1}{2}\\ 3\\ m \end{matrix} \right)} soll parallel zur Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} verlaufen.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{u} \ast \vec{n} = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2}\\ 3\\ m \end{matrix} \right) \ast \left( \begin{matrix} -2\\ 3\\ {-}1 \end{matrix} \right) = 8-m } .
Damit die beiden Vektoren orthogonal zueinander sind, muss das Skalarprodukt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0} sein: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 8-m = 0 \Rightarrow m = 8} .b) Die Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h\colon \vec{x} = \left( \begin{matrix} l\\\frac{51}{10}\\ \frac{2}{5} \end{matrix} \right) + s \cdot \left( \begin{matrix} 3\\ m\\ \frac{18}{5} \end{matrix} \right)} soll in der Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} liegen.
Finde zuerst m: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{u} \ast \vec{n} = \left( \begin{matrix} 3\\ m\\ \frac{18}{5} \end{matrix} \right) \ast \left( \begin{matrix} -2\\ 3\\ {-}1 \end{matrix} \right) = 3m - \frac{48}{5}} . Damit die beiden Vektoren orthogonal zueinander sind, muss das Skalarprodukt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0} sein: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3m - \frac{48}{5} = 0 \Rightarrow m = \frac{16}{5}} .
Finde danach Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle l} durch eine Punktprobe: Setze den Aufpunkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A (l | \frac{51}{10}| \frac{2}{5})} in die Ebenengleichung ein und löse nach Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle l} auf: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -2l + 3 \cdot \frac{51}{10} - \frac{2}{5}= 3 \Leftrightarrow l = \frac{119}{20}} .c) Die Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i\colon \vec{x} = \left( \begin{matrix} 3\\ 0\\ 2 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} m\\ 5\\ {-}1 \end{matrix} \right)} soll die Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} schneiden.
Ein Flugzeug fliegt auf eine Nebelwand zu. Seine Flugbahn wird durch die Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle j\colon \vec{x} = \left( \begin{matrix} 10\\ 23 \\ 10 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} -2\\ {-}5\\ 0 \end{matrix} \right)} beschrieben, wobei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} die Zeit in Minuten nach dem Start bezeichnet. Das Flugzeug befindet sich also im Moment am Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(10/23/10) } . Du kannst davon ausgehen, dass es mit konstanter Geschwindigkeit fliegt. Die Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E: 2x_1+x_2=-2 } beschreibt die Nebelwand.
Versuche die folgenden Aufgaben ohne Taschenrechner zu lösen.
a) Begründe, dass das Flugzeug die Nebelwand trifft.
b) Wo trifft das Flugzeug auf die Nebelwand und wie viele Minuten dauert es noch, bis das Flugzeug die Nebelwand erreicht?
Setze die einzelnen Koordinaten der Gerade in die Ebenengleichung ein und löse nach dem Parameter Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} auf: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2 \cdot (10-2t)+23-5t= -2 \Leftrightarrow 20-4t+23-5t =-2 \Leftrightarrow -9t=-45\Leftrightarrow t=5}
Da Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} die Zeit in Minuten angibt, erreicht das Flugzeug den Schnittpunkt in 5 Minuten.
Berechne nun den Schnittpunkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S} , indem du Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} in die Geradengleichung einsetzt. Du erhältst den Ortsvektor zum Schnittpunkt und kannst den Schnittpunkt dann ablesen: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left( \begin{matrix} 10\\ 23 \\10 \end{matrix} \right) + 5 \cdot \left( \begin{matrix} -2\\ {-}5\\ 0 \end{matrix} \right)} Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = \left( \begin{matrix} 0\\{-}2\\ 10 \end{matrix}\right)=\left( \begin{matrix} 0\\-2\\ 10 \end{matrix} \right)} . Damit ergibt sich der Schnittpunkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S(0|-2|10)} .
Das Flugzeug trifft die Nebelwand in 5 Minuten im Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S(0|-2|10)} .
⭐Berechnung des Winkels zwischen Gerade und Ebene
Sei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} eine Ebene mit dem Normalenvektor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n}} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} eine Gerade mit dem Richtungsvektor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{u}} . Der Schnittwinkel Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha} zwischen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} kann mit folgender Formel berechnet werden: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sin(\alpha)=\frac{|\vec{n} \ast \vec{u}|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{u}|}} .
Ist nach dem Schnittwinkel gefragt, so ist immer der kleinere der beiden Winkel gesucht, die von Gerade und Ebene eingeschlossen werden. Mit der obigen Formel erhält man deshalb für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha} immer Werte zwischen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0^{\circ}} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 90^{\circ}} .
Wenn du wissen möchtest, warum du nicht - wie beim Winkel zwischen zwei Geraden - den Kosinus benutzt, kannst du das hier nachlesen:
Der Normalenvektor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n}} einer Ebene steht in einem Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 90^{\circ} } Winkel zur Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} .
Wenn man den Winkel zwischen einer Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} und einer Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} berechnen will, kann wie beim Winkel zwischen zwei Geraden mit der Kosinusfunktion der Winkel zwischen dem Richtungsvektor von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} und dem Normalenvektor von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} berechnet werden. In der Abbildung ist dieser Winkel mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \beta} bezeichnet. Um nun den Winkel Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha} zwischen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} zu erhalten, müssen wir Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \beta} von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 90^\circ } abziehen. Dies entspricht aufgrund trigonometrischer Gesetzmäßigkeiten der obigen Formel mit der Sinusfunktion.
Gegeben sind die Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g\colon \vec{x}=\left( \begin{matrix} {-}1\\ 3\\ 6 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} 8\\ 2\\ 0 \end{matrix} \right) }
und die Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E\colon 2x_1 + x_2 + 4 x_3 = {-}27}
. Bestimme den Winkel, unter dem sich die Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g}
und die Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E}
schneiden.
Nutze zur Berechnung des Winkels die Formel aus dem Merksatz. Notiere dafür den Richtungsvektor der Gerade und den Normalenvektor der Ebene.
Wenn du beide in die Formel eingesetzt hast, benötigst du den Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sin^{-1}} , um den Winkel ausrechnen zu können.1. Schritt: Notiere den Richtungvektor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{u}} der Gerade und den Normalenvektor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n}} der Ebene.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{u}= \left( \begin{matrix} 8\\ 2\\ 0 \end{matrix} \right)} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n}= \left( \begin{matrix} 2\\ 1\\ 4 \end{matrix} \right)}
2. Schritt: Setze die Vektoren in die Formel Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sin(\alpha)=\frac{ |\vec{n} \ast \vec{u}|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{u}|}} ein. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sin(\alpha)=\frac{ \left| \begin{pmatrix} 2\\ 1\\ 4 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 8\\ 2\\ 0 \end{pmatrix} \right|}{\left| \begin{pmatrix} 2\\ 1\\ 4 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} 8\\ 2\\ 0 \end{pmatrix} \right|} \Leftrightarrow \sin(\alpha)=\frac{18}{\sqrt{60} \cdot \sqrt{21}} \Leftrightarrow \sin(\alpha)=\frac{18}{\sqrt{1260}}}
3. Schritt: Forme die Gleichung um.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha = \sin^{-1}(\frac{18}{\sqrt{1260}}) \Leftrightarrow \alpha \approx 28{,}45^{\circ}}
Der Schnittwinkel beträgt also Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 28{,}45^{\circ}} .
Eine Schulklasse nimmt auf ihrem Wandertag Trinkpäckchen mit. Jedes Trinkpäckchen hat die Form eines Quaders (siehe Abbildung). Die Seite, auf der sich das Loch für den Strohhalm befindet, kann durch die Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E\colon x_1=5} beschrieben werden. Einige Kinder ärgern sich, dass sie mit dem Strohhalm nicht gut in die Ecken kommen. Sie wollen den Winkel berechnen, unter dem sie den Strohhalm in das Trinkpäckchen stecken müssen, um an den Saft in der gegenüberliegenden Ecke zu kommen.
Wenn der Strohhalm so in das Trinkpäckchen gesteckt wird, das er in der gegenüber liegenden Ecke anstößt, kann er durch die Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} veranschaulicht werden: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 5\\ 2\\ 11 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} {-}5\\ 6\\ {-}11 \end{pmatrix}} .
Kannst du den Kindern helfen, den Winkel zu berechnen, unter dem der Strohhalm in das Trinkpäckchen gesteckt werden muss, um die gegenüberliegende Ecke zu erreichen?
Gesucht wird der Winkel zwischen der Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} und der Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} . Der Richtungsvektor der Gerade ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{u} = \begin{pmatrix} {-}5\\ 6\\ {-}11 \end{pmatrix}} . Der Normalenvektor der Ebene kann abgelesen werden: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n} = \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}} .
Einsetzen der Vektoren in die Formel liefert:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sin(\alpha)=\frac{ \left| \begin{pmatrix} {-}5\\ 6\\ {-}11 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \right|}{\left| \begin{pmatrix} {-}5\\ 6\\ {-}11 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \right|} \Leftrightarrow \sin(\alpha)=\frac{5}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{25+36+121}} \Leftrightarrow \sin(\alpha)=\frac{1}{\sqrt{182}}}
Mithilfe des Taschenrechners kann das Ergebnis berechnet werden:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha = \sin^{-1}(\frac{1}{\sqrt{182}}) \Leftrightarrow \alpha \approx 21{,}75^{\circ}}
Die Kinder sollten den Strohhalm also in einem Winkel von ca. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 21{,}75^{\circ}} in das Trinkpäckchen stecken, um an den Saft in der gegenüberliegenden Ecke zu kommen.
Bisher wurde mit der Formel zur Winkelberechnung nur der Winkel berechnet. Die Formel kann jedoch auch genutzt werden, um bei einem vorgegebenen Winkel die Lage der Gerade oder Ebene zu bestimmen.
Eine Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} soll die Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1x_2} -Ebene in einem Winkel von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 45^{\circ}} schneiden. Über die Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} ist nur bekannt, dass sie durch den Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P (1|2|3)} und in Richtung des Vektors Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{x}=\begin{pmatrix} 3\\ 6\\ z \end{pmatrix}, z > 0 } verläuft. Stelle die Gleichung der Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} auf, indem du den Parameter Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z} bestimmst.
Bestimme zuerst den Normalenvektor der Ebene. Da es sich um die Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1x_2} -Ebene handelt, lautet der Normalenvektor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n}=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}} .
Nun können der Normalenvektor der Ebene, der Richtungsvektor der Gerade und der vorgegebene Winkel in die Formel eingesetzt werden: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sin(45^{\circ})=\frac{ \left| \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 3\\ 6\\ z \end{pmatrix} \right|}{\left| \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} 3\\ 6\\ z \end{pmatrix} \right|} \Leftrightarrow \sin(45^{\circ})=\frac{|z|}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{9+36 + z^{2}}} \Leftrightarrow \sin(45^{\circ})=\frac{|z|}{\sqrt{45+z^{2}}}}
Löst man die Gleichung mithilfe des Taschenrechners, erhält man das Ergebnis: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z=3 \sqrt{5} \approx 6{,}71} .
Somit kann im letzten Schritt die Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} aufgestellt werden. Man erhält Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g\colon \vec{x} = \left( \begin{matrix} 1\\ 2\\ 3 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} 3\\ 6\\ {3 \sqrt{5}} \end{matrix} \right)} .
Lagebeziehung Ebene-Ebene
Mögliche Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen
Zwischen zwei Ebenen gibt es drei mögliche Lagebeziehungen:
.png)
Die Ebenen schneiden sich in einer Schnittgeraden.
.png)
Die Ebenen sind parallel.
.png)
Die Ebenen sind identisch.
Untersuchung der Lagebeziehung von zwei Ebenen
Beide Ebenengleichungen in Parameterform
a)
Gegeben sind eine Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E\colon \vec{x}=\left( \begin{matrix} 1\\ 4\\ 0 \end{matrix} \right) + s \cdot \left( \begin{matrix} 1\\ {-}2\\ 1 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 3\\ 1\\ {-}1 \end{matrix} \right) }
und eine Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F\colon \vec{x}=\left( \begin{matrix} 1\\ 2\\ 3 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} 2\\ 3\\ {-}2 \end{matrix} \right)+ u \cdot \left( \begin{matrix} 5\\ 4\\ {-}3 \end{matrix} \right)}
.
Untersuche die Lagebeziehung der beiden Ebenen und berechne gegebenenfalls die Schnittgerade.
1. Schritt: Setze die beiden Ebenengleichungen gleich.
2. Schritt: Stelle das zugehörige lineare Gleichungssystem auf.
3. Schritt: Löse das Gleichungssystem mit dem Gaußverfahren oder dem Taschenrechner:
Mithilfe des Gaußverfahrens:
Mithilfe des Taschenrechners:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle linSolve\begin{pmatrix}\begin{cases} s+3t-2r-5u=0 \\ {-}2s+t-3r-4u=-2, \{s,t,r,u\}\\ s-t+2r+3u=3\end{cases} \end{pmatrix}}
"Keine Lösung gefunden"4. Schritt: Interpretiere die Lösung des Gleichungssystems:
b) Gegeben sind eine Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E\colon \vec{x}=\left( \begin{matrix} 1\\ 2\\ 5 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} 2\\ 3\\ 1 \end{matrix} \right) + s \cdot \left( \begin{matrix} 3\\ 2\\ 4 \end{matrix} \right) } und eine Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F\colon \vec{x}=\left( \begin{matrix} 1\\ 3\\ 2 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 4\\ 1\\ 3 \end{matrix} \right)+ u \cdot \left( \begin{matrix} 2\\ 4\\ 3 \end{matrix} \right)} . Untersuche die Lagebeziehung der beiden Ebenen und berechne gegebenenfalls die Schnittgerade.
1. Schritt: Setze die beiden Ebenengleichungen gleich.
2. Schritt: Stelle das zugehörige lineare Gleichungssystem auf.
3. Schritt: Löse das Gleichungssystem mit dem Gaußverfahren oder dem Taschenrechner:
Mithilfe des Gaußverfahrens:
Mithilfe des Taschenrechners:
linSolveFehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix}\begin{cases} 2r+3s-4t-2u=0 \\ 3r+2s-t-4u=1, \{r,s,t,u\}\\ r+4s-3t-3u=-3\end{cases} \end{pmatrix}}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \{\frac{17c1}{20}+\frac{11}{10},\frac{11c1}{10}-\frac{7}{5},\frac{3c1}{4}-\frac{1}{2}\}}4. Schritt: Interpretiere die Lösung des Gleichungssystems:
5. Schritt: Bestimme die Schnittgerade:
Stelle die dritte Gleichung zu Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} um:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t=\frac{3}{4}u-\frac{1}{2}}
Setze Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} in die zweite Gleichung ein und stelle zu Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s} um:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s=\frac{11}{10}u-\frac{7}{5}}
Setze Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s} in die erste Gleichung ein und stelle zu Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r} um:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r=\frac{17}{20}u-\frac{11}{10}}
Setze Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s} in die Ebenengleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} ein:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E\colon \vec{x}=\left( \begin{matrix} 1\\ 2\\ 5 \end{matrix} \right) + (\frac{17}{20}u-\frac{11}{10}) \cdot \left( \begin{matrix} 2\\ 3\\ 1 \end{matrix} \right) + (\frac{11}{10}u-\frac{7}{5}) \cdot \left( \begin{matrix} 3\\ 2\\ 4 \end{matrix} \right)}
Stelle die Schnittgerade auf:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g\colon \vec{x}=\left( \begin{matrix} \frac{27}{5}\\ {-}\frac{9}{2}\\ {-}\frac{17}{10} \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 5\\ \frac{19}{4}\\ \frac{21}{4} \end{matrix} \right) }Setze die Werte für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s} aus der Lösungsmenge in die Ebenengleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} ein:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E\colon \vec{x}=\left( \begin{matrix} 1\\ 2\\ 5 \end{matrix} \right) + (\frac{17}{20}u-\frac{11}{10}) \cdot \left( \begin{matrix} 2\\ 3\\ 1 \end{matrix} \right) + (\frac{11}{10}u-\frac{7}{5}) \cdot \left( \begin{matrix} 3\\ 2\\ 4 \end{matrix} \right)}
Stelle die Schnittgerade auf:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g\colon \vec{x}=\left( \begin{matrix} \frac{27}{5}\\ {-}\frac{9}{2}\\ {-}\frac{17}{10} \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 5\\ \frac{19}{4}\\ \frac{21}{4} \end{matrix} \right) }
Zur Untersuchung der Lagebeziehung zweier Ebenen, wurden die Ebenengleichungen gleichgesetzt und das zugehörige Gleichungssystem aufgestellt. Betrachte die Ausgabe des Taschenrechners und interpretiere die jeweilige Situation geometrisch ohne nachzurechnen.
a)
linSolveFehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix}\begin{cases} r-0{,}5u=0{,}5\\ s-u=0{,}5, \{r,s,t,u\}\\ t-1{,}5u=1\end{cases} \end{pmatrix}}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \{0{,}5c2+0{,}5,c2+0{,}5,1{,}5c2+1,c2\}}
b)
linSolveFehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix}\begin{cases} r-t-u=2\\ s-t-3u=-5, \{r,s,t,u\}\\ r-s+2u=2\end{cases} \end{pmatrix}}
"Keine Lösung gefunden"
c)
linSolveFehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix}\begin{cases} 3r-1{,}5s+6t-0{,}9u=0\\ {-}r+0{,}5s-2t+0{,}3u=0, \{r,s,t,u\}\\{-}1{,}5r+\frac{3}{4}s-3t-0{,}45=0\end{cases} \end{pmatrix}}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \{-2c4+0{,}5c5-0{,}3,c5,c4,-1\}}
⭐Ebenengleichungen in Parameter- und Koordinatenform
Seien durch Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E\colon \vec{x}=\vec{a}+r\cdot\vec{u}+s\cdot\vec{v}} eine Ebene in Parameterform und durch Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F\colon n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3=d} eine Ebene in Koordinatenform gegeben. Zur Untersuchung ihrer Lagebeziehung kannst du entsprechend des folgenden Schemas vorgehen:
a) Gegeben sind eine Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E\colon \vec{x}=\left( \begin{matrix} 2\\ 1\\ {-}3 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} 1\\ 0\\ {-}1 \end{matrix} \right) + s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\ 1\\ 0 \end{matrix} \right)}
und eine Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F\colon -1{,}5x_1+3x_2-1{,}5x_3=4{,}5}
.
Untersuche die Lagebeziehung der beiden Ebenen und berechne gegebenenfalls die Schnittgerade.
1. Schritt: Prüfe, ob die Richtungsvektoren Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{u}}
und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{v}}
der Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E}
orthogonal zum Normalenvektor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n}}
der Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F}
liegen:
Es muss gelten, dass Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n} \ast \vec{u}=0} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n} \ast \vec{v}=0} .
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n} \ast \vec{u}=\left( \begin{matrix} {-}1{,}5\\ 3\\ {-}1{,}5 \end{matrix} \right)\ast\left( \begin{matrix} 1\\ 0\\ {-}1 \end{matrix} \right)=-1{,}5+0+1{,}5=0}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n} \ast \vec{v}=\left( \begin{matrix} -1{,}5\\ 3\\ {-}1{,}5 \end{matrix} \right)\ast\left( \begin{matrix} 2\\ 1\\ 0 \end{matrix} \right)=-3+3+0=0}
2.Schritt: Interpretiere die Lösung der Skalarprodukte:
3. Schritt: Überprüfe die Lagebeziehung mithilfe der Punktprobe:
Setze den Aufpunkt der Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} in die Ebenengleichung der Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} ein.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -1{,}5\cdot2+3\cdot1-1{,}5\cdot(-3)=4{,}5\checkmark}
4. Schritt: Interpretiere die Lösung der Punktprobe:
b)
Gegeben sind eine Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E\colon \vec{x}=\left( \begin{matrix} 8\\ 0\\ 2 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} -4\\ 1\\ 1 \end{matrix} \right) + s \cdot \left( \begin{matrix} 5\\ 0\\ {-}1 \end{matrix} \right)}
und eine Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F\colon x_1-x_2+3x_3=12}
.
Untersuche die Lagebeziehung der beiden Ebenen und berechne gegebenenfalls die Schnittgerade.
1. Schritt: Prüfe, ob die Richtungsvektoren Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{u}}
und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{v}}
der Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E}
orthogonal zum Normalenvektor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n}}
der Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F}
liegen:
Es muss gelten, dass Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n} \ast \vec{u}=0} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n} \ast \vec{v}=0} .
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n} \ast \vec{u}=\left( \begin{matrix} 1\\ {-}1\\ 3 \end{matrix} \right)\ast\left( \begin{matrix} -4\\ 1\\ 1 \end{matrix} \right)=-4-1+3=-2}
2.Schritt: Interpretiere die Lösung der Skalarprodukte:
3. Schritt: Bestimme die Schnittgerade:
Durch Umformen der Ebenengleichung erhält man:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1=8-4r+5s} ,Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2=r} ,Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_3=2+r-s}
Einsetzen der Werte in die Ebenengleichung ergibt:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (8-4r+5s)-r+3(2+r-s)=12\Leftrightarrow s=r-1}
Einsetzen von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s} in Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} ergibt:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E\colon \vec{x}=\left( \begin{matrix} 8\\ 0\\ 2 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} -4\\ 1\\ 1 \end{matrix} \right) + (r-1) \cdot \left( \begin{matrix} 5\\ 0\\ {-}1 \end{matrix} \right)}
Nun kannst du die Geradengleichung aufstellen:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g\colon \vec{x}=\left( \begin{matrix} 3\\ 0\\ 3 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\ 1\\ 0 \end{matrix} \right)}
Untersuche die Lagebeziehung der jeweiligen Ebenen. Falls sich die Ebenen in einer Schnittgerade schneiden, brauchst du diese nicht zu berechnen.
a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}1 \\ 2 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F\colon 7x_1+x_2-3x_3-8=0}
Prüfe, ob die Richtungsvektoren Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{u}} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{v}} der Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} orthogonal zum Normalenvektor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n}} der Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} liegen.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n} \ast \vec{u}=\left( \begin{matrix} 0\\ {-}1\\ 2 \end{matrix} \right)\ast\left( \begin{matrix} 7\\ 1\\ {-}3 \end{matrix} \right)=-7}
Da das Skalarprodukt des ersten Richtungsvektors bereits Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \neq0} ist, braucht man das Skalarprodukt des zweiten Richtungsvektors nicht mehr zu berechnen. Du kannst nun direkt folgern, dass sich die Ebenen in einer Schnittgeraden schneiden.b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 3 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F\colon -3x_1-9x_2-x_3=5 }
Prüfe, ob die Richtungsvektoren Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{u}} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{v}} der Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} orthogonal zum Normalenvektor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n}} der Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} liegen.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n} \ast \vec{u}=\left( \begin{matrix} 2\\ {-}1\\ 3 \end{matrix} \right)\ast\left( \begin{matrix} {-}3\\ {-}9\\ {-}1 \end{matrix} \right)=0}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n} \ast \vec{v}=\left( \begin{matrix} {-}1\\ 0\\ 3\end{matrix} \right)\ast\left( \begin{matrix} {-}3\\ {-}9\\ {-}1 \end{matrix} \right)=0}
Da beide Skalarprodukte der jeweiligen Vektoren Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0} sind, liegt der Normalenvektor orthogonal zu beiden Richtungsvektoren. Das bedeutet, dass die Ebenen sich nicht in einer Schnittgeraden schneiden, sondern entweder identisch oder parallel sind.
Punktprobe:Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -3\cdot({-}3)-9\cdot1-0=-18\neq5}
Da die Koordinatengleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} nicht erfüllt wird, liegen die Ebenen parallel zueinander.c) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ {-}0{,}5 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F\colon 2x_1-2x_2-4x_3=-6}
Prüfe, ob die Richtungsvektoren Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{u}} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{v}} der Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} orthogonal zum Normalenvektor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n}} der Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} liegen.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n} \ast \vec{u}=\left( \begin{matrix} -1 \\ 0 \\ {-}0{,}5 \end{matrix} \right)\ast\left( \begin{matrix} 2\\ {-}2\\ {-}4 \end{matrix} \right)=0}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n} \ast \vec{v}=\left( \begin{matrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} \right)\ast\left( \begin{matrix} 2\\ {-}2\\ {-}4 \end{matrix} \right)=0}
Da beide Skalarprodukte der jeweiligen Vektoren Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0} sind, liegt der Normalenvektor orthogonal zu beiden Richtungsvektoren. Das bedeutet, dass die Ebenen sich nicht in einer Schnittgeraden schneiden, sondern entweder identisch oder parallel sind.
Punktprobe:Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2\cdot2-2\cdot(-1)-3\cdot4=-6\checkmark}
Da die Koordinatengleichung von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} erfüllt wird, liegt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} in Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} und die Ebenen sind identisch.⭐Beide Ebenengleichungen in Koordinatenform
Seien durch Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E\colon n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3=d} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F\colon m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3=e} zwei Ebenen in Koordinatenform gegeben. Zur Untersuchung ihrer Lagebeziehung kannst du entsprechend des folgenden Schemas vorgehen:
Gegeben sind eine Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E\colon 3x_1-4x_2-x_3=4}
und eine Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F\colon 3x_1-3x_2+x_3=3}
. Untersuche die Lagebeziehung der beiden Ebenen und berechne gegebenenfalls die Schnittgerade.
1. Schritt: Prüfe, ob der Normalenvektor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n}} der Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} ein Vielfaches des Normalenvektors Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{m}} der Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} ist.
Bei der Betrachtung der Normalenvektoren Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n}=\left( \begin{matrix} 3\\ {-}4\\ {-}1 \end{matrix} \right)} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{m}=\left( \begin{matrix} 3\\ {-}3\\ 1 \end{matrix} \right) } fällt direkt auf, dass die beiden Vektoren keine Vielfachen voneinander sind. Man kann also direkt schließen, dass sich die beiden Ebenen in einer Schnittgeraden schneiden. Ein formaler Nachweis würde wie folgt aussehen:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r\cdot\vec{n}=\vec{m} \Leftrightarrow r\cdot\left( \begin{matrix} 3\\ {-}4\\ {-}1 \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 3\\ {-}3\\ 1 \end{matrix} \right) \Leftrightarrow \begin{vmatrix} 3r=3\\ {-}4r=-3 \\ {-}r=1 \end{vmatrix}}
Da das LGS nicht lösbar ist, sind die Vektoren keine Vielfachen voneinander und die Ebenen schneiden sich in einer Schnittgeraden.
2. Schritt: Bestimme die Schnittgerade.
Stelle mit den beiden Ebenengleichungen ein LGS auf und löse es mithilfe des Gauß-Algorithmus oder dem Taschenrechner.
Mithilfe des Gaußverfahrens:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{vmatrix} 3x_1-4x_2-x_3=4 \\ 3x_1-3x_2+x_3=3\end{vmatrix} \Leftrightarrow \begin{vmatrix} 3x_1-4x_2-x_3=4 \\ x_2+2x_3=-1\end{vmatrix}}
Setze Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_3=t} und bestimme Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2} .
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2=-1-2t}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1=-\frac{7}{3}t}
Stelle die Geradengleichung auf.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ {-}1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -\frac{7}{3} \\ {-}2 \\ 1 \end{pmatrix} }
Mithilfe des Taschenrechners:
linSolveFehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix}\begin{cases} 3x_1-4x_2-x_3=4 \\ 3x_1-3x_2+x_3=3,\{x_1,x_2,x_3\}\end{cases} \end{pmatrix}}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \{\frac{-7c3}{3},-2c3-1,c3\}}
Stelle mithilfe der Werte aus der Lösungsmenge die Geradengleichung auf.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ {-}1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -\frac{7}{3} \\ {-}2 \\ 1 \end{pmatrix} }
Gegeben ist eine Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E\colon -2x_1-3x_2+x_3=2} . Untersuche die Lagebeziehung zwischen dieser und den dir angezeigten Ebenen. Ziehe die Ebenen in das entsprechende Feld.
Die Ebenen schneiden sich, wenn die beiden Gleichungen keine Vielfachen voneinander sind.
Die Ebenen sind parallel, wenn die Normalenvektoren identisch oder Vielfache voneinander sind, aber das LGS keine Lösung besitzt.
Die Ebenen sind identisch, wenn die Normalenvektoren identisch oder Vielfache voneinander sind und das LGS somit unendlich viele Lösungen hat.
Die beiden Seitenflächen eines Zeltes liegen in den Ebenen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4\end{pmatrix}}
und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 8 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+ u \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}3 \\ 4 \end{pmatrix}}
. Der Erdboden wird durch die Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1x_2}
-Ebene aufgespannt.
In welcher Höhe befindet sich die obere Zeltkante, wenn eine Einheit im Koordinatensystem Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 50} cm entspricht?
Die Zeltkante entspricht der Schnittgeraden der beiden Ebenen. Um die Höhe zu bestimmen, benötigt man also den Stützvektor der Geradengleichung der Zeltkante.
Da die Ebenen in Parameterform gegeben sind, setzen wir die Gleichungen zunächst gleich und lösen dann das entsprechende LGS:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{vmatrix} 8-r=8-t \\ 3s=6-3u \\ 4s=4u \end{vmatrix} \Leftrightarrow \begin{vmatrix} -r+t=0\\ 3s+3u=6 \\4s-4u=0 \end{vmatrix}\Leftrightarrow \begin{vmatrix} r=t\\ s+u=2 \\ s=u\end{vmatrix}}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Rightarrow s=u=1} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r=t}
Einsetzen von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s} in Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} ergibt:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+ 1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4\end{pmatrix}}
Die Schnittgerade der beiden Ebenen lautet demnach:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g\colon \vec{x} = \left( \begin{matrix} 8\\ 3\\ 4 \end{matrix} \right) + v \cdot \left( \begin{matrix} -1\\ 0\\ 0 \end{matrix} \right)}
Durch den Richtungsvektor der Geraden wird deutlich, dass sich die Schnittgerade parallel zur Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1x_2} -Ebene befindet und somit überall den gleichen Abstand zum Boden hat. Da die Schnittgerade der oberen Zeltkante entspricht, lässt sich aus dem Stützvektor der Geraden die Höhe ablesen. Die Höhe kann mithilfe der Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_3} -Koordinate des Vektors bestimmt werden.
Die obere Zeltkante befindet sich also in Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2} m Höhe.⭐Berechnung des Winkels zwischen Ebene und Ebene
Wenn sich zwei Ebenen schneiden, kann der Schnittwinkel bestimmt werden, den sie einschließen. Dazu kannst du die Normalenvektoren betrachten. Sie schließen denselben Winkel ein, wie die beiden Ebenen. Somit kann das Berechnen des Schnittwinkels zwischen zwei Ebenen auf das Berechnen des Winkels zwischen zwei Vektoren zurückgeführt werden.
Um den Schnittwinkel zu berechnen, musst du zunächst die Normalenvektoren der Ebenen bestimmen. Wenn du nicht mehr genau weißt, wie das geht, schaue nochmal in das Kapitel Ebenen im Raum.
Seien Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} zwei sich schneidende Ebenen mit den Normalenvektoren Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n}} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{m}} . Der Schnittwinkel Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha} zwischen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} kann mit folgender Formel berechnet werden: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cos(\alpha)=\frac{ |\vec{n} \ast \vec{m}|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{m}|}} .
Ist nach dem Schnittwinkel gefragt, so ist immer der kleinere der beiden Winkel gesucht, die von den Ebenen eingeschlossen werden. Mit der obigen Formel erhält man deshalb für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha} immer Werte zwischen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0^{\circ}} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 90^{\circ}} .
Gegeben sind zwei Ebenen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E}
und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F}
mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -6 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}}
und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F\colon 7x_1+x_2-3x_3=1}
. Berechne den Schnittpunkt zwischen den Ebenen.
1. Schritt: Bestimmte die Normalenvektoren von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} .
Der Normalenvektor von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}} . Der Normalenvektor von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} lautet Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{m} = \begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}} .
2. Schritt: Einsetzen der Normalenvektoren in die Formel.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cos(\alpha)=\frac{\left| \begin{pmatrix} 2\\ {-}2\\ {-}1 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 7\\ 1\\ {-}3 \end{pmatrix} \right|}{\left| \begin{pmatrix} 2\\ {-}2\\ {-}1 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} 7\\ 1\\ {-}3 \end{pmatrix} \right|} \Leftrightarrow \cos(\alpha) = \frac{15}{\sqrt{9} \cdot \sqrt{59}} \Leftrightarrow \cos(\alpha) = \frac{15}{3 \cdot \sqrt{59}} }
3. Schritt: Auflösen der Gleichung.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha = \cos^{-1}(\frac{15}{3 \cdot \sqrt {59}}) \Leftrightarrow \alpha \approx 49{,}39^{\circ}} Der Winkel zwischen den Ebenen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} beträgt ca. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 49{,}39^{\circ}} .
Sei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E}
eine Ebene mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}}
,
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F}
eine Ebene mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F\colon 2x_1+6x_2+4x_3=2}
.
und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H}
eine Ebene mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H\colon 2x_1+4x_2-7x_3=13 }
.
Berechne den Winkel zwischen
a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F}
Bei der Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} handelt es sich um die Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1x_2} -Ebene. Der Normalenvektor ist also Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} } . Der Normalenvektor der Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} kann abgelesen werden: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{m} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}} .
Einsetzen in die Formel liefert:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cos(\alpha) = \frac{\left| \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 2\\ 6\\ 4 \end{pmatrix} \right|}{\left| \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} 2\\ 6\\ 4 \end{pmatrix} \right|} \Leftrightarrow \cos(\alpha) = \frac{|4|}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{4+36+16}} \Leftrightarrow \cos(\alpha) = \frac{4}{\sqrt{56}}}
Nun muss die Formel mit Hilfe des Taschenrechners aufgelöst werden:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha = \cos^{-1}(\frac{4}{\sqrt {56}}) \Leftrightarrow \alpha \approx 57{,}69^{\circ}} Der Winkel zwischen den Ebenen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} beträgt ca. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 57{,}69^{\circ}} .b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H}
Die Normalenvektor der Ebenen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H} können abgelesen werden als Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{m} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{l} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -7 \end{pmatrix}}
Einsetzen in die Formel liefert:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cos(\alpha) = \frac{ \left| \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -7 \end{pmatrix} \right|}{\left| \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -7 \end{pmatrix} \right|} \Leftrightarrow \cos(\alpha) = \frac{0}{\sqrt{4+36+16} \cdot \sqrt{4+16+49}} \Leftrightarrow \cos(\alpha) = \frac{0}{\sqrt{3864}} \Leftrightarrow \cos(\alpha) = 0} .
Nun muss die Formel mit Hilfe des Taschenrechners aufgelöst werden:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha = \cos^{-1}(0) \Leftrightarrow \alpha = 90^{\circ}} Der Winkel zwischen den Ebenen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H} beträgt ca. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 90^{\circ} } .c) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H} .
Bei der Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} handelt es sich um die Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1x_2} -Ebene. Der Normalenvektor ist also Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} } . Der Normalenvektor der Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H} kann abgelesen werden: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{m} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -7 \end{pmatrix}} .
Einsetzen in die Formel liefert:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cos(\alpha) = \frac{\left| \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -7 \end{pmatrix} \right| }{\left| \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -7 \end{pmatrix} \right|} \Leftrightarrow \cos(\alpha) = \frac{|{-}7|}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{4+16+49}} \Leftrightarrow \cos(\alpha) = \frac{7}{\sqrt{69}}}
Nun muss die Formel mit Hilfe des Taschenrechners aufgelöst werden:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha = \cos^{-1}(\frac{7}{\sqrt {69}}) \Leftrightarrow \alpha \approx 32{,}57^{\circ}} Der Winkel zwischen den Ebenen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H} beträgt ca. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 32{,}57^{\circ}} .
Der Winkel zwischen den beiden Vektoren Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{a} = \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 3 \end{pmatrix}}
und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{b} = \begin{pmatrix} 4\\ 7\\ 2 \end{pmatrix}}
beträgt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 67{,}62^{\circ}}
.
Gib die Gleichungen zweier Ebenen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} an, die sich in einem Winkel von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 67{,}62^{\circ}} schneiden.
Der Winkel zwischen zwei Ebenen entspricht dem Winkel zwischen ihren Normalenvektoren. Da der Winkel zwischen den beiden angebenen Vektoren Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{a} = \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 3 \end{pmatrix}} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{b} = \begin{pmatrix} 4\\ 7\\ 2 \end{pmatrix}} genau dem Winkel entspricht, den die Ebenen einschließen sollen, können sie als Normalenvektoren der Ebenen verwendet werden. Die Punkte, durch die die Ebenen laufen, können frei gewählt werden.
Eine mögliche Lösung für die Ebenen lautet daher:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E\colon x_1 + 3x_3 = 4 } und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F\colon 4x_1 + 7x_2 + 2x_3 = 8} .
An einem Wanderweg soll eine Holzbank aufgestellt werden. Die Bank wird so ausgerichtet, dass die Sitzfläche durch die Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0{,}5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0{,}4 \\ 0\end{pmatrix}, r,s \in [0, 1]}
und die Rückenlehne durch die Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R_1\colon -x_2 + 0{,}4 x_3 = -0{,}2}
beschrieben werden kann.
a) Um eine bequeme Sitzposition zu ermöglichen, sollte der Winkel zwischen Rückenlehne und Sitzfläche zwischen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 100^{\circ}} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 110^{\circ}} liegen. Überprüfe, ob dies auf die neue Bank zutrifft.
.png)
Als Normalenvektor der Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S} erhält man Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}} und als Normalenvektor der Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R_1} erhält man Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{m}=\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0{,}4 \end{pmatrix}} .
Einsetzen in die Formel liefert:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cos(\gamma)=\frac{\left| \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 0\\ {-}1\\ 0{,}4 \end{pmatrix} \right|}{\left| \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} 0\\ {-}1\\ 0{,}4 \end{pmatrix} \right|} \Leftrightarrow \cos(\gamma) = \frac{\frac{2}{5}}{1 \cdot \sqrt{\frac{29}{25}}}}
Umstellen der Formel ergibt: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \gamma=\cos^{-1} \left( \frac{\frac{2}{5}}{\sqrt{\frac{29}{25}}} \right) \Leftrightarrow \gamma \approx 68{,}2^{\circ}}
Wie in der Abbildung zu sehen wurde der Winkel Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \gamma} berechnet. Der Winkel zwischen der Sitzfläche und der Rückenlehne wird aber durch den Winkel Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha} beschrieben. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha} erhält man, indem man Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 180^\circ - \gamma } berechnet: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 180^{\circ} - 68{,}2^{\circ} = 111{,}8^{\circ}} . Mit einem Wert von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 111{,}8^{\circ}} liegt der Winkel zwischen Rückenlehne und Sitzfläche etwas über dem optimalen Winkel.b)
Da der Wanderweg sehr beliebt ist, soll noch eine zweite Bank aufgestellt werden. Sie wird so ausgerichtet, dass beide Bänke mit den Rückenlehnen aneinander stehen. Auch bei der zweiten Bank können die Sitzfläche und die Rückenlehne durch Ebenen beschrieben werden. Die Sitzfläche kann durch die selbe Ebene beschrieben werden, wie die Sitzfläche der anderen Bank (Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S} ). Die Rückenlehne entspricht der Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R_2\colon -x_2 - 0{,}4 x_3 = -1 } Berechne den Winkel, unter dem die beiden Rückenlehnen der Bänke aufeinander treffen.
.png)
Es soll der Winkel zwischen den beiden Rückenlehnen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R_1} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R_2} berechnet werden.
Die Normalenvektoren der Ebenen lauten Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{m}=\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0{,}4 \end{pmatrix}} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{l}=\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ -0{,}4 \end{pmatrix}} .
Einsetzen in die Formel liefert:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cos(\beta)=\frac{\left| \begin{pmatrix} 0\\ {-}1\\ 0{,}4 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 0\\ {-}1\\ {-}0{,}4 \end{pmatrix} \right|}{\left| \begin{pmatrix} 0\\ {-}1\\ 0{,}4 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} 0\\ {-}1\\ {-}0{,}4 \end{pmatrix} \right|} \Leftrightarrow \cos(\beta)=\frac{\frac{21}{25}}{\sqrt{\frac{29}{25}} \cdot \sqrt{\frac{29}{25}}} \Leftrightarrow \cos(\beta)=\frac{\frac{21}{25}}{\frac{29}{25}} \Leftrightarrow \cos(\beta)=\frac{21}{29}}
Umstellen der Formel ergibt: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \beta=\cos^{-1} \left( \frac{21}{29} \right) \Leftrightarrow \beta \approx 43{,}6^{\circ} } . Der Winkel zwischen den beiden Rückenlehnen beträgt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 43{,}6^{\circ} } .
