Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Geraden im Raum

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In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit Geraden im Raum. Du lernst, Geraden im Raum durch Vektoren zu beschreiben, Parameterdarstellungen und Spurpunkte von Geraden zu bestimmen, die Lage von Geraden im Raum und zueinander zu bestimmen sowie Geradenscharen zu bestimmen.

Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:

  • Mit Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
  • Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit und
  • Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.
Wir wünschen dir viel Erfolg!

Geraden und ihre Darstellungsformen

Parameterdarstellung einer Geraden

Definition

Jede Gerade lässt sich durch eine Gleichung der Form mit beschreiben.

  • Diese Vektorgleichung bezeichnet man als Parameterdarstellung oder Parametergleichung der Geraden mit dem Parameter .
  • Setzt man für irgendeine Zahl in die Parameterdarstellung der Geraden ein, so ergibt sich der Ortsvektor (auch genannt) eines Punktes der Geraden .
  • Der Vektor heißt Stützvektor. Er ist der Ortsvektor zu einem Punkt (auch Aufpunkt genannt), der auf der Geraden liegt.
  • Der Vektor heißt Richtungsvekor.

Wie du nun eine Parametergleichung durch zwei gegebene Punkte aufstellst, wird im folgenden Video erklärt:


Im Folgenden kannst du sehen, wie die Gerade vom Stützvektor, Richtungsvektor und Parameter abhängt:

GeoGebra


 ????Anmerkung zu den Lösungen: Wie du wahrscheinlich im obigen Video mitbekommen hast, gibt es unendlich viele Lösungen. Daher sind auch Vielfache der Richtungsvektoren oder andere Stützvektoren, wenn sie auf der Geraden liegen, möglich.????


Aufgabe 1: Geradengleichung aufstellen (zwei gegebene Punkte)

Bearbeite entweder die analoge Aufgabe (I) oder die digitale Aufgabe (II):

(I) Die Gerade geht durch die Punkte und . Gib zwei Gleichungen für an.

a)

b)

Zwei mögliche Geraden sind und .

Zwei mögliche Geraden sind und .

(II) Ordne jeweils die zwei Punkte A und B der Parametergleichung der Geraden durch A und B zu.

Du kannst aber auch eine Gerade aufstellen, die durch einen Punkt verläuft und parallel zu einer anderen Gerade oder zu einer der Koordinatenachsen ist.


Aufgabe 2: Geradengleichung aufstellen (gegebener Punkt und gegeben Parallelität)

Stelle jeweils eine Geradengleichung auf.

a) Die Gerade geht durch den Punkt und verläuft parallel zur geraden .

Wann verlaufen zwei Vektoren parallel zueinander? Übertrage diese Kenntniss auf Geraden.

b) Die Gerade geht durch den Punkt und verläuft parallel zur -Achse.

Wie könnte eine Geradengleichung der -Achse lauten? Danahc hilft dir das Vorgehen aus a) weiter.

c) Die Gerade geht durch den einen beliebigen Punkt und verläuft parallel zur -Achse.

Diese Aufgabe funktioniert ähnlich zu b).


Eine mögliche Gerade ist .

Eine mögliche Gerade ist .

Eine mögliche Gerade ist .

Punktprobe

Wie du überprüfst, ob ein gegebener Punkt auf einer gegebenen Gerade der daneben liegt, erfährst du im folgenden Video:


Merksatz: Punktprobe

Liegt ein Punkt auf der Geraden g definiert durch mit , so gibt es genau ein , welches die Gleichung erfüllt. Erfüllt kein diese Gleichung, liegt der Punkt nicht auf der Geraden.


Aufgabe 3: Punktprobe mit einer Geraden I

Überprüfe, ob der Punkt auf der Geraden liegt.

a)

b)

Die Punktprobe ist erfüllt für , d.h. der Punkt liegt auf der Geraden .

Die Punktprobe ist nicht erfüllt, d.h. der Punkt liegt nicht auf der Geraden .


Aufgabe 4: Punktprobe mit einer Geraden II

Für welchen Wert mit liegt der Punkt auf der Geraden ?

a)

b)

Die Punktprobe ist für mit erfüllt.

Die Punktprobe ist für mit erfüllt.

Spurpunkte einer Geraden

Wie du die Spurpunkte, also die Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenebenen bestimmst, zeigt das folgende Video.

Falls du nicht mehr weißt, was die Koordinatenebenen sind, kannst unter folgendem Tipp noch einmal dein Wissen auffrischen:

Die -Ebene ist die Ebene, die von der - und -Achse aufgespannt wird (im Bild genannt). Entsprechendes gilt für die - (im Bild ) und -Ebene (im Bild ).

Die Koordinatenebenen


Achtung: Nicht jede Gerade besitzt drei Spurpunkte!

Verläuft eine Gerade zu einer der Koordinatenachsen oder -ebenen (echt) parallel, gibt es keinen Schnittpunkt mit der entsprechenden Koordinatenebene. In deiner Rechnung erkennst du es daran, dass es in der Zeile, die du gesetzt hast, keine Lösung für den Parameter gibt.


Beispiel: Gerade mit nur zwei Spurpunkten

Gegeben ist die Gerade definiert durch . Im Folgenden werden die Spurpunkte berechnet (du kannnst es natürlich auch selbst versuchen und dann deine Lösung kontrollieren):

Für den Schnittpunkt der Geraden mit der -Ebene setze die -Koordinate und forme nach um: . Setze nun in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt zu erhalten:

Für den Schnittpunkt der Geraden mit der -Ebene setze die -Koordinate und forme nach um: . Setze nun in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt zu erhalten:

Für den Schnittpunkt der Geraden mit der -Ebene setze die -Koordinate und forme nach um: . Es ergibt sich ein Widerspruch, weshalb es keinen Schnittpunkt der Geraden mit der -Ebene gibt. Somit verläuft parallel zur -Ebene.

Hier kannst du dir die Spurpunkte von verschiedenen Geraden anzeigen lassen. Dazu kannst du die Punkte und anpassen, durch die die Gerade verlaufen soll. Dann kannst du dir die Koordinatebenen mit den verschiedenen Schnittpunkten anzeigen lassen:

GeoGebra


Aufgabe 5: Spurpunkte einer Geraden I

Berechne die Spurpunkte der Geraden definiert durch .

Schnittpunkt der Geraden mit der -Ebene:

Schnittpunkt der Geraden mit der -Ebene:

Der Schnittpunkt der Geraden mit der -Ebene ist nicht vorhanden, da sich ein Widerspruch in der Gleichung ergibt.

Hier noch eine Aufgabe zu Geraden mit besonderen Lagen im Koordinatensystem:


Aufgabe 6: Geraden im Koordinatensystem

Kreuze die richtige(n) Antwort(en) an!



Lagebeziehungen von Geraden

Parallele und identische Geraden

Infobox zur Lagebeziehung zweier Geraden Teil 1

Wir unterscheiden die Lage zweier Geraden in identisch, parallel, sich schneidend und windschief zueinander.

Zwei identische Geraden
Zwei parallele Geraden
Um die Lage zweier Geraden zu ermitteln, betrachtet man zunächst die Richtungsvektoren. Sind diese zueinander kollinear (sind Vielfache voneinander), so können die Geraden lediglich identisch oder parallel sein. 

Um nun zu untersuchen, ob die Geraden parallel oder identisch sind, setzen wir einen Punkt der einen Geraden in die Geradengleichung der anderen Geraden ein. Liegt der Punkt der einen Geraden auf der anderen Geraden, sind die Geraden identisch. Andernfalls sind die Geraden parallel zueinander.

Zwei Geraden schneiden sich
Zwei windschiefe Geraden



Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear, so können die Geraden sich lediglich schneiden oder windschief zueinander verlaufen. Unter sich schneidene Geraden verstehen wir Geraden, die sich in einem Punkt schneiden. Windschiefe Geraden hingegen sind Geraden, die sich wie die parallelen Geraden zwar nicht schneiden, ihre Richtungsvektoren sind jedoch nicht kollinear.


Um nun zu untersuchen, ob sich die Geraden schneiden oder zueinader winschief zueinander sind, müssen wir schauen, ob sich ein Schnittpunkt berechnen lässt. Hierzu setzen wir die Geradengleichungen gleich und formen um. Erhalten wir einen Schnittpunkt, so schneiden sich die Geraden im Punkt. Andernfalls sind diese Geraden windschief zueinander.


Aufgabe 7: Lage erkennen

Löse das Quiz und mache dir deinen eigenen Lernzettel.


Aufgabe 8: Lage zweier Geraden

Löse den Lückentext und mache dir deinen eigenen Lernzettel.


Aufgabe 9: Lage erkennen

Betrachte die folgenden Geraden und . Wie verlaufen die Geraden zueinander. Entscheide ohne Nutzung des GTR oder besser: Löse im Kopf.

a) und

b) und

c) und

d) und

Die erste Antwort lautet identisch. Die beiden Geraden sind identisch. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren mit ein Vielfaches voneinander (=kollinear) sind. Da beide Stützvektoren identisch sind, weißt du, dass der Punkt auf beiden Geraden liegt und somit die beiden Geraden identisch sind.

Die zweite Antwort lautet parallel. Die beiden Geraden sind parallel. Während die beiden Richtungsvektoren kollinear, sogar identisch, sind liegt der Aufpunkt von der Gerade nicht auf der Geraden von , mit

Formen wir dies um zu r erhalten wir

Formen wir weiter zu um, erhalten wir

und damit liegt der Punkt nicht auf der Geraden.
Die dritte Antwort lautet schneiden. Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear und damit schneiden sich die beiden Geraden sich im Aufpunkt selbst.
Die vierte Antwort lautet identisch. Die beiden Geraden sind identisch. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren identisch sind () und der Aufpunkt der Geraden h auf der Geraden g liegt: .


Aufgabe 10: Lage erkennen

Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander? Nenne, falls vorhanden, den Schnittpunkt. Damit es nicht zu viel zu berechnen gibt, kannst du sicher annehmen, dass kein Richtungsvektor der einen Gleichung kollinear zu einem anderen Richtungsvektor ist. Du darfst deinen Taschenrechnernutzen.

a) und


b) und

Die erste Antwort lautet schneiden. Die beiden Geraden schneiden sich im Punkt . Dies erhält man, indem man beide Geradengleichungen in ein Gleichungssystem umformt, gleichsetzt und zu und umformt:

Dies formen wir um:


Wenn die erste Zeile mit multipliziert wird:


und dann von der ersten Zeile die zweite Zeile subtrahiert wird,


erhälst du für . Dies setzt du in der zweiten Zeile ein und erhälst . In der untersten Zeile überprüfst du, ob die Ergebnisse stimmen. Setze dazu für und die Ergebnisse ein. Du erhälst , was eine wahre Aussage ist. Daher schneiden sich die beiden Geraden.


Die zweite Antwort lautet windschief. Die beiden Geraden sind windschief zueinander. Dies kannst du wie folgt berechnen.


Dies formen wir um:

Wenn die erste Zeile mit multipliziert wird



und dann von der ersten Zeile die zweite Zeile subtrahiert wird,

erhälst du . Wenn du dies in die zweite Zeile einsetzt, erhälst du für . Setzt du dies in die letzte Zeile ein, erhälst du , eine falsche Aussage. Damit sind die beiden Geraden windschief zueinander.


Aufgabe 11: Flugerlaubnis erteilen?

Ein wichtiger Bestandteil der Flugsicherung sind die Fluglotsen der "Deutschen Flugsicherung" (DFS). Sie koordinieren und überwachen jährlich Millionen Flüge im deutschen Luftraum. Am heutigen Tag wollen zwei Flugzeuge starten. Hierzu gehört das Flugzeug der Fluglinie Aer. Es befindet sich bei und fliegt innerhalb von 5 Sekunden zum Punkt . Ebenfalls ist das Flugzeug der Fluglinie Amadeus in die Luft. Dies befindet sich in . Pro Sekunde legt es eine Strecke von m zurück und besitzt einen Richtungsvektor von .

Es kam zu einem riesigen Stromausfall und der Fluglotse ist sich unsicher. Hilf ihm die Antworten auf folgende Fragen zu finden:

a) Wie lauten die Geradengleichungen der einzelen Flugzeuge?

Zu Aer: Setze alle gegebenen Daten in eine allgemeine Parameterdarstellung ein und forme um.

Zu Amadeus: Um den Richtungsvektor zu berechnen, benötigst du die Formel zur Berechnung der Länge eines Vektoren:

.

b) Wie schnell (in ) fliegen die einzelnen Flugzeuge?

Geschwindigkeit kann in verschiedene Einheiten angegeben werden, z.B.: , etc.. Nachdem du die Länge der Strecke nach einer Sekunde berechnet hast, musst du dies von zu umwandeln.

c) Können alle Flugzeuge starten, ohne dass es zu einer Kollision kommt?

Nur weil sich zwei Geraden schneiden heißt es noch nicht direkt, dass eine Kollision vorherrscht.


Flugzeug Aer: Wobei für die Zeit in Sekunden steht.

Dies erhälst du, indem du folgendes berechnest: . Dies musst du in ein Gleichugssystem umformen und dies dann zu , und auflösen:

Zunächst bringst du die Zahlen auf die andere Seite:

und formst dann zu ,, und um:

Flugzeug Amadeus: Wobei für die Zeit in Sekunden steht.

Dies erhälst du wie folgt: Du kennst den Richtungsvektor: . Nun musst du berechnen. Im Text steht, dass das Flugzeug pro Sekunde eine Strecke von m fliegt. Das bedeutet, dass der Richtungsvektor eine Länge von besitzt. Dies kannst du mit der Formel der Länge eines Vektor berechnen:



Indem du beide Seiten zum quadart nimmst, entfällt die Wurzel und es folgt:



Du formst zu um und ziehst dann die Wurzel. Du erhälst gerundet .

Du berechnest die Geschwindigkeit, indem du die Länge des Richtungsvektors berechnest. Dies erfolgt mit der Formel:.

Fugzeug Aer:

.

.

Du erhälst also eine Geschwindigkeit von . Es gilt: =1 . Umgerechnet in sind das also:

also eine Geschwindigkeit von .

Flugzeug Amadeus: Das Flugzeug Amadeus legt in einer Sekunde eine Strecke von m zurück. Damit hat es eine Geschwindigkeit von . Umgerechnet in sind das also:

also eine Geschwindigkeit von .

Flugzeug Aer und Amadeus: Sie schneiden sich für . Dies erhalten wir, indem wir beide Funktionen gleichsetzen und in ein Gleichungssystem umformen:


Dies formst du um:



und du multiplizierst die erste Zeile mit , die zweite Zeile mit :


Nun subtrahiere die zweite Zeile von der ersten Zeile:


also folgt:

Du erhälst also . Wenn du dies in die zweite Zeile einsetzt und umformst, erhälst du:

Setzen wir nun in die letzte Zeile ein, so erhalten wir dort und wissen damit, dass sich die Geraden schneiden.

Da es jedoch nicht der gleiche Zeitpunkt ist, kommt es zu keiner Kollision.

Geraden und ihre Anwendungen