Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Geraden im Raum: Unterschied zwischen den Versionen

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*Die erste Antwort ist korrekt. Die beiden Geraden sind identisch. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren ein Vielfaches voneinander sind (\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}) und beide Ortsvektoren identisch sind.
*Die erste Antwort ist korrekt. Die beiden Geraden sind identisch. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren ein Vielfaches voneinander sind (\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}) und beide Ortsvektoren identisch sind.
*Die zweite Antwort ist korrekt. Die beiden Geraden sind identisch. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren identisch sind (\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}) und der Ortsvektor der einen Gerade auf der anderen Gerade ist: \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}.
*Die zweite Antwort ist korrekt. Die beiden Geraden sind identisch. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren identisch sind (\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}) und der Ortsvektor der einen Gerade auf der anderen Gerade ist: \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}.
*Die dritte Antwort ist nicht korrekt, die die beiden Richtungsvektoren nicht kollinear sind.
*Die dritte Antwort ist nicht korrekt, die die beiden Richtungsvektoren nicht kollinear sind. |Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}
 
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Version vom 17. April 2021, 10:06 Uhr

Info

In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit Geraden im Raum. Du lernst, Geraden im Raum durch Vektoren zu beschreiben, Parameterdarstellungen und Spurpunkte von Geraden zu bestimmen, die Lage von Geraden im Raum und zueinander zu bestimmen sowie Geradenscharen zu bestimmen.

Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:

  • Mit Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
  • Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit
  • und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.
Wir wünschen dir viel Erfolg!



Einführung

Parameterdarstellung einer Geraden

Aufgabe 1
Stelle eine Gleichung einer Geraden in Parameterdarstellung auf, die durch folgende Punkte verläuft: A(1/2/3), B(1/3/4)


Lagebeziehungen von Geraden

Im Folgenden wollen wir betrachten, wie verschiedene Geraden zueinander im Raum liegen.


Definition

Wir unterscheiden die Lage zweier Geraden in identisch, parallel, geschnitten und windschief. Um die Lage zweier Geraden zu ermitteln, betrachtet man zunächst die Richtungsvektoren. Sind diese zueinander kollinear (sind Vielfache voneinander), so können die Geraden lediglich identisch oder parallel sein.

Identische Geraden

Parallele Geraden

Um nun zu untersuchen, ob die Geraden parallel oder identisch sind, setzen wir einen Punkt der einen Geraden in die Geradengleichung der anderen Geraden ein. Liegt der Punkt der einen Geraden auf der anderen Geraden, sind die Geraden identisch. Andernfalls sind die Geraden echt parallel.


Aufgabe 1: Lage erkennen

Welche der folgenden Geraden verlaufen identisch zueinander?

 und  
 und 
 und 
Erklärung


Welche der folgenden Geraden verlaufen parallel?

und
und
und


Definition

Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear, so können die Geraden sich lediglich schneiden oder windschief zueinander sein.

Geschnittene Geraden

Windschiefe Geraden

Um nun zu untersuchen, ob sich die Geraden schneiden oder zueinader winschief sind, müssen wir schauen, ob sich ein Schnittpunkt berechnen lässt. Hierzu setzen wir die Geradengleichungen gleich und formen um. Erhalten wir einen Schnittpunkt S, so schneiden sich die Geraden im Punkt S. Andernfalls sind diese Geraden windschief zueinander.


Aufgaben geschnitten oder windschief

Welche der folgenden Geraden schneiden sich?

und
und
und


Welche der folgenden Geraden sind windschief zueinander?

und
und
und