Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Geraden im Raum: Unterschied zwischen den Versionen

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Um nun zu untersuchen, ob die Geraden ''parallel'' oder ''identisch'' sind, setzen wir einen Punkt der einen Geraden in die Geradengleichung der anderen Geraden ein. Liegt der Punkt der einen Geraden auf der anderen Geraden, sind die Geraden ''identisch''. Andernfalls sind die Geraden echt ''parallel''.
Um nun zu untersuchen, ob die Geraden ''parallel'' oder ''identisch'' sind, setzen wir einen Punkt der einen Geraden in die Geradengleichung der anderen Geraden ein. Liegt der Punkt der einen Geraden auf der anderen Geraden, sind die Geraden ''identisch''. Andernfalls sind die Geraden echt ''parallel''.
======Aufgaben parallel und identisch======
<quiz display="simple">
{Welche der folgenden Geraden verlaufen identisch?}
+ <math>f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>
+ <math>g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>
- <math>h_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>
</quiz>
<quiz display="simple">
{Welche der folgenden Geraden verlaufen parallel?}
- <math>f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>
+ <math>g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>
- <math>h_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>
</quiz>


Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear, so können die Geraden sich lediglich ''schneiden'' oder ''windschief'' zueinander sein.
Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear, so können die Geraden sich lediglich ''schneiden'' oder ''windschief'' zueinander sein.
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Um nun zu untersuchen, ob sich die Geraden ''schneiden'' oder zueinader ''winschief'' sind, müssen wir schauen, ob sich ein Schnittpunkt berechnen lässt. Hierzu setzen wir die Geradengleichungen gleich und formen um. Erhalten wir einen Schnittpunkt S, so ''schneiden'' sich die Geraden im Punkt S. Andernfalls sind diese Geraden ''windschief'' zueinander.
Um nun zu untersuchen, ob sich die Geraden ''schneiden'' oder zueinader ''winschief'' sind, müssen wir schauen, ob sich ein Schnittpunkt berechnen lässt. Hierzu setzen wir die Geradengleichungen gleich und formen um. Erhalten wir einen Schnittpunkt S, so ''schneiden'' sich die Geraden im Punkt S. Andernfalls sind diese Geraden ''windschief'' zueinander.


Bevor wir nun zu Sachaufgaben kommen, wollen wir zunächst die Ermittlung der Lage zweier Geraden im Raum zueinander ermitteln.
======Aufgaben geschnitten oder windschief======
<quiz display="simple">
{Welche der folgenden Geraden schneiden sich?}
 
- <math>f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>
 
+ <math>g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>
 
+ <math>h_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>
 
</quiz>
 
 
<quiz display="simple">
{Welche der folgenden Geraden sind windschief zueinander?}
 
- <math>f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>
 
+ <math>g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>
 
+ <math>h_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>
 
</quiz>

Version vom 17. April 2021, 09:38 Uhr

Im Folgenden findest du...

Einführung

Parameterdarstellung einer Geraden

Aufgabe 1
Stelle eine Gleichung einer Geraden in Parameterdarstellung auf, die durch folgende Punkte verläuft: A(1/2/3), B(1/3/4)


Lagebeziehungen von Geraden

Im Folgenden wollen wir betrachten, wie verschiedene Geraden zueinander im Raum liegen.

Definitionen

Wir unterscheiden die Lage zweier Geraden in identisch, parallel, geschnitten und windschief. Um die Lage zweier Geraden zu ermitteln, betrachtet man zunächst die Richtungsvektoren. Sind diese zueinander kollinear (sind Vielfache voneinander), so können die Geraden lediglich identisch oder parallel sein.

Identische Geraden

Parallele Geraden

Um nun zu untersuchen, ob die Geraden parallel oder identisch sind, setzen wir einen Punkt der einen Geraden in die Geradengleichung der anderen Geraden ein. Liegt der Punkt der einen Geraden auf der anderen Geraden, sind die Geraden identisch. Andernfalls sind die Geraden echt parallel.

Aufgaben parallel und identisch

Welche der folgenden Geraden verlaufen identisch?

und
und
und


Welche der folgenden Geraden verlaufen parallel?

und
und
und



Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear, so können die Geraden sich lediglich schneiden oder windschief zueinander sein.

Geschnittene Geraden

Windschiefe Geraden

Um nun zu untersuchen, ob sich die Geraden schneiden oder zueinader winschief sind, müssen wir schauen, ob sich ein Schnittpunkt berechnen lässt. Hierzu setzen wir die Geradengleichungen gleich und formen um. Erhalten wir einen Schnittpunkt S, so schneiden sich die Geraden im Punkt S. Andernfalls sind diese Geraden windschief zueinander.

Aufgaben geschnitten oder windschief

Welche der folgenden Geraden schneiden sich?

und
und
und


Welche der folgenden Geraden sind windschief zueinander?

und
und
und