Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Geraden im Raum: Unterschied zwischen den Versionen

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Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:


* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen.  
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen.  
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span>  
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> und
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.
* Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.


Wir wünschen dir viel Erfolg!
Wir wünschen dir viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
|3=Kurzinfo}}


==Geraden und ihre Darstellungsformen==


===Parameterdarstellung einer Geraden===
{{Box
|Definition
|Jede Gerade lässt sich durch eine Gleichung der Form <math>g \colon \vec{x} = \vec{OA} + k \cdot \vec{v}</math> mit <math>k \in \mathbb{R}</math> beschreiben.
* Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung''' oder '''Parametergleichung''' der Geraden <math>g</math> mit dem '''Parameter''' <math>k</math>.
* Setzt man für <math>k</math> irgendeine Zahl in die Parameterdarstellung der Geraden <math>g</math> ein, so ergibt sich der Ortsvektor <math>\vec{x}</math> (auch <math>\vec{OX}</math> genannt) eines Punktes <math>X</math> der Geraden <math>g</math>.
* Der Vektor <math>\vec{OA}</math> heißt '''Stützvektor'''. Er ist der Ortsvektor zu einem Punkt <math>A</math> (auch Aufpunkt genannt), der auf der Geraden <math>g</math> liegt.
* Der Vektor <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math> heißt '''Richtungsvekor'''.
|Merksatz
}}
Wie du nun eine Parametergleichung durch zwei gegebene Punkte aufstellst, wird im folgenden Video erklärt:
{{#ev:youtube|cCetvDxbTQk}}
{{Box
|Aufgabe 1: Parameter einer Geradengleichung
|Im Folgenden kannst du sehen, wie die Gerade vom Stützpunkt <math>A</math>, Richtungsvektor <math>\vec{v}</math> und Parameter <math>t</math> abhängt. Wähle verschiedene Stützpunkte und Richtungsvektoren und verändere den Parameter. Wo liegt der Punkt <math>P</math>, wenn du <math>t < 0</math>, <math>t = 0</math> und <math>t > 0</math> wählst? Was bedeutet dies anschaulich? Dazu kannst du dir auch die Gerade <math>g</math> anzeigen lassen.
<ggb_applet id="avyg7hmy" width="1000" height="509" />
{{Lösung versteckt
|* Für <math>t < 0</math> liegt der Punkt <math>P</math> hinter dem Punkt <math>A</math>, d.h. man geht auf der Gerade vom Stützpunkt aus gesehen rückwärts.
* Für <math>t = 0</math> liegt der Punkt <math>P</math> genau auf dem Punkt <math>A</math>, d.h. sie sind identisch, man befindet sich also genau auf dem Stützpunkt.
* Für <math>t > 0</math> liegt der Punkt <math>P</math> vor dem Punkt <math>A</math>, d.h. man geht auf der Gerade vom Stützpunkt aus gesehen vorwärts.
|Lösung anzeigen
|Lösung  verbergen
}}
|Arbeitsmethode
|Farbe={{Farbe|orange}}
}}
{{Box
|Aufgabe 2: Geradengleichung aufstellen (zwei gegebene Punkte)
|Bearbeite nun entweder die analoge Aufgabe (I) oder die digitale Aufgabe (II):
(I) Die Gerade <math>g</math> geht durch die Punkte <math>A</math> und <math>B</math>. Gib zwei Gleichungen für <math>g</math> an.
'''a)''' <math>A(1|2|2), B(5|{-}4|7)</math>
'''b)''' <math>A(-3|{-}2|9), B(0|0|3)</math>
{{Lösung versteckt
|Wie du im obigen Video gesehen hast, gibt es unendlich viele Lösungen, denn es sind immer Vielfache des Richtungsvektors möglich. Daher ist es möglich, dass deine Lösung hier zwar nicht aufgefürt, aber dennoch korrekt ist. Dazu überprüfe, ob dein Richtungsvektor ein Vielfaches einer der angegeben Richtungsvektoren ist. Beachte das auch bei allen folgenden Aufgaben!
Zwei mögliche Geraden sind <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -6 \\ 5 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ 7 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 6 \\ -5 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>.
|Lösung Aufgabe a) anzeigen
|Lösung Aufgabe a) verbergen
}}
{{Lösung versteckt
|Zwei mögliche Geraden sind <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 9 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>.
|Lösung Aufgabe b) anzeigen
|Lösung Aufgabe b) verbergen
}}
(II) Ordne jeweils die zwei Punkte A und B der Parametergleichung der Geraden durch A und B zu.
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20364580}}
|Arbeitsmethode
|Farbe={{Farbe|orange}}
}}
Du kannst aber auch eine Gerade aufstellen, die durch einen Punkt <math>P</math> verläuft und parallel zu einer anderen Gerade oder zu einer der Koordinatenachsen ist. 
{{Box
|Aufgabe 3: Geradengleichung aufstellen aus Punkt und Richtungsvektor
|Stelle jeweils eine Geradengleichung auf.
'''a)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den Punkt <math>P(1|{-}1|2)</math> und hat den Richtungsvektor <math>\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}</math>.
{{Lösung versteckt
|Überlege dir wie der Stützvektor der Geraden lauten muss und stelle dann die passende Geradengleichung mit dem Richtungsvektor auf.
|Tipp Aufgabe a) anzeigen
|Tipp Aufgabe a) verbergen
}}
'''b)''' Stelle eine Geradengleichung für die <math>x_1</math>-Achse auf.
{{Lösung versteckt
|Überlege dir einen geschickten Aufpunkt; wie muss dann der Richtungsvektor aussehen?
|Tipp Aufgabe b) anzeigen
|Tipp Aufgabe b) verbergen
}}
'''c)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den Punkt <math>P(2|{-}2|4)</math> und verläuft parallel zur Geraden <math>h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>.
{{Lösung versteckt
|Wann verlaufen zwei Vektoren parallel zueinander? Übertrage diese Kenntniss auf Geraden.
|Tipp Aufgabe c) anzeigen
|Tipp Aufgabe c) verbergen
}}
'''d)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den Punkt <math>P(1|{-}1|{-}2)</math> und verläuft parallel zur <math>x_1</math>-Achse.
'''e)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den einen beliebigen Punkt <math>P(p_1|p_2|p_3)</math> und verläuft parallel zur <math>x_3</math>-Achse.
{{Lösung versteckt
|Diese Aufgabe funktioniert ähnlich zu d).
|Tipp Aufgabe e) anzeigen
|Tipp Aufgabe e) verbergen
}}
{{Lösung versteckt
|Eine mögliche Gerade ist <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>.
|Lösung Aufgabe a) anzeigen
|Lösung Aufgabe a) verbergen
}}
{{Lösung versteckt
|Eine mögliche Gerade ist <math>x_1 \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> oder noch einfacher <math>x_1 \colon \vec{x} = s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>
|Lösung Aufgabe b) anzeigen
|Lösung Aufgabe b) verbergen
}}
{{Lösung versteckt
|Eine mögliche Gerade ist <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>.
|Lösung Aufgabe c) anzeigen
|Lösung Aufgabe c) verbergen
}}
{{Lösung versteckt
|Eine mögliche Gerade ist <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>.
|Lösung Aufgabe d) anzeigen
|Lösung Aufgabe d) verbergen
}}
{{Lösung versteckt
|Eine mögliche Gerade ist <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>.
|Lösung Aufgabe e) anzeigen
|Lösung Aufgabe e) verbergen
}}
|Arbeitsmethode
}}
===Punktprobe===
Wie du überprüfst, ob ein gegebener Punkt auf einer gegebenen Gerade oder daneben liegt, kannst du [https://www.youtube.com/watch?v=1kJ9Nq8zXlI hier] noch einmal nachschauen.
{{Box
|Merksatz: Punktprobe
|Liegt ein Punkt <math>P</math> auf der Geraden g definiert durch <math>g: \vec{x} = \vec{a} + k \cdot \vec{v}</math> mit <math> k \in \mathbb{R}</math>, so gibt es genau ein <math>k</math>, welches die Gleichung <math>\vec{p} = \vec{a} + k \cdot \vec{v}, r \in \mathbb{R}</math> erfüllt. Erfüllt kein <math>k</math> diese Gleichung, liegt der Punkt nicht auf der Geraden.
|Merksatz
}}
{{Box
|Aufgabe 4: Punktprobe mit einer Geraden I
|Überprüfe, ob der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g</math> liegt.
'''a)''' <math>P(2|3|{-}1), g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>
'''b)''' <math>P(2|{-}1|{-}1), g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>
{{Lösung versteckt
|Die Punktprobe ist erfüllt, denn:
<math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix}
\Leftrightarrow\left\vert\begin{alignat}{7}
2 &&\; = \;&& 7 &&\; + \;&& 5r \\
3 &&\; = \;&& 0 &&\; - \;&& 3r \\
-1 &&\; = \;&& 4 &&\; + \;&& 5r
\end{alignat}\right\vert
\Leftrightarrow\left\vert\begin{alignat}{7}
r &&\; = \;&& -1 \\
r &&\; = \;&& -1 \\
r &&\; = \;&& -1
\end{alignat}\right\vert</math>
Somit liegt der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g</math>.
|Lösung Aufgabe a) anzeigen
|Lösung Aufgabe a) verbergen
}}
{{Lösung versteckt
|Die Punktprobe ist nicht erfüllt, denn:
<math>\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}
\Leftrightarrow\left\vert\begin{alignat}{7}
2 &&\; = \;&& 1 &&\; + \;&& r \\
-1 &&\; = \;&& 0 &&\; + \;&& 3r \\
-1 &&\; = \;&& 1 &&\; + \;&& 3r
\end{alignat}\right\vert
\Leftrightarrow\left\vert\begin{alignat}{7}
r &&\; = \;&& 1 \\
r &&\; = \;&& -\frac{1}{3} \\
r &&\; = \;&& -\frac{2}{3}
\end{alignat}\right\vert</math>
Es ergibt sich ein Widerspruch. Somit liegt der Punkt <math>P</math> nicht auf der Geraden <math>g</math>.
|Lösung Aufgabe b) anzeigen
|Lösung Aufgabe b) verbergen
}}
|Arbeitsmethode
|Farbe={{Farbe|orange}}
}}
{{Box
|Aufgabe 5: Punktprobe mit einer Geraden II
|Für welche Werte <math> s, r \in \mathbb{R} </math> liegt der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 9 \\ -s \\ 2s \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} </math>?
'''a)''' <math>P(13|3|0)</math>
'''b)''' <math>P(5|{-}2|0)</math>
{{Lösung versteckt
|Berechne zunächst mithilfe der ersten Gleichung einen Wert für <math>r</math>. Was könnte man nun machen?
|Tipp 1 Aufgabe a) und b) anzeigen
|Tipp 1 Aufgabe a) und b) verbergen
}}
{{Lösung versteckt
|Setze nun den ausgerechneten Wert für <math>r</math> in die beiden anderen Gleichungen ein und berechne <math>s</math>.
|Tipp 2 Aufgabe a) und b) anzeigen
|Tipp 2 Aufgabe a) und b) verbergen
}}
{{Lösung versteckt
|Die Punktprobe ist erfüllt, denn:
<math>\begin{pmatrix} 13 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 \\ -s \\ 2s \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}
\Leftrightarrow\left\vert\begin{alignat}{7}
13 &&\; = \;&& 9 &&\; + \;&& 2r \\
3 &&\; = \;&& -s &&\; + \;&& r \\
0 &&\; = \;&& 2s &&\; + \;&& r
\end{alignat}\right\vert
\Leftrightarrow\left\vert\begin{alignat}{7}
r &&\; = \;&& 2 \\
3 &&\; = \;&& -s &&\; + \;&& 2 \\
0 &&\; = \;&& 2s &&\; + \;&& 2
\end{alignat}\right\vert
\Leftrightarrow\left\vert\begin{alignat}{7}
r &&\; = \;&& 2 \\
s &&\; = \;&& -1 \\
s &&\; = \;&& -1
\end{alignat}\right\vert</math>
Somit liegt der Punkt <math>P</math> für <math>r = 2</math> und <math>s = -1</math> auf der Geraden <math>g</math>.
|Lösung Aufgabe a) anzeigen
|Lösung Aufgabe a) verbergen
}}
{{Lösung versteckt
|Es gibt keine Lösung, denn:
<math>\begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 \\ -s \\ 2s \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}
\Leftrightarrow\left\vert\begin{alignat}{7}
5 &&\; = \;&& 9 &&\; + \;&& 2r \\
-2 &&\; = \;&& -s &&\; + \;&& r \\
0 &&\; = \;&& 2s &&\; + \;&& r
\end{alignat}\right\vert
\Leftrightarrow\left\vert\begin{alignat}{7}
r &&\; = \;&& -2 \\
-2 &&\; = \;&& -s &&\; + \;&& -2 \\
0 &&\; = \;&& 2s &&\; + \;&& -2
\end{alignat}\right\vert
\Leftrightarrow\left\vert\begin{alignat}{7}
r &&\; = \;&& 2 \\
s &&\; = \;&& 0 \\
s &&\; = \;&& 1
\end{alignat}\right\vert</math>
Es ergibt sich ein Widerspruch, weshalb keine Werte für Punkt <math>s, r</math> gibt, sodass der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g</math> liegt.
|Lösung Aufgabe b) anzeigen
|Lösung Aufgabe b) verbergen
}}
|Arbeitsmethode
}}
Hier noch eine Aufgabe zu Geraden mit besonderen Lagen im Koordinatensystem:
{{Box
|Aufgabe 6: Besondere Geraden im Raum
|Kreuze alle(!) richtigen Antworten an!
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p221zv0i321}}
|Arbeitsmethode
|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}
}}
===Spurpunkte einer Geraden===
Wie du die Spurpunkte, also die Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenebenen bestimmst, kannst du hier noch einmal nachvollziehen:
{{#ev:youtube|OCO28fT5Aww}}
Falls du nicht mehr weißt, was die Koordinatenebenen sind, kannst unter folgendem Tipp noch einmal dein Wissen auffrischen:
{{Lösung versteckt|
Die <math>x_1x_2</math>-Ebene ist die Ebene, die von der <math>x_1</math>- und <math>x_2</math>-Achse aufgespannt wird (im Bild <math>E_{12}</math> genannt). Entsprechendes gilt für die <math>x_1x_3</math>- (im Bild <math>E_{13}</math>) und <math>x_2x_3</math>-Ebene (im Bild <math>E_{23}</math>).
[[File:Koordinatenebenen.png|zentriert|300px|Die Koordinatenebenen]]
|Tipp anzeigen
|Tipp verbergen
}}
{{Box
|Aufgabe 7: Spurpunkte einer Geraden (Besondere Lage)
|Hier kannst du dir die Spurpunkte von verschiedenen Geraden anzeigen lassen. Dazu kannst du den Aufpunktvektor <math>\vec{a}</math> und den Richtungsvektor <math>\vec{u}</math> mit den Schiebereglern entsprechend anpassen. Anschließend kannst du dir die drei Spurpunkte und ggf. auch die Ebenen anzeigen lassen, indem du das entsprechende Feld ankreuzt. Dann kannst du dir die Koordinatebenen mit den verschiedenen Schnittpunkten anzeigen lassen:
<ggb_applet id="ynkzgreu" width="1000" height="571" />
Untersuche die Geraden, die aus folgenden Aufpunkt- und Richtungsvektoren hervorgehen, auf Spurpunkte und schreibe die Spurpunkte auf. Was sagt die Lage der Geraden über die Anzahl der Spurpunkte aus?
'''a)''' <math>\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}, \vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}</math>
'''b)''' <math>\vec{a} = \begin{pmatrix} 1,5 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}, \vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math>
'''c)''' <math>\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}</math>
'''d)''' <math>\vec{a} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 1,5 \end{pmatrix}</math>
{{Lösung versteckt
|Betrachte mal ggf. vorhandene Parallelitäten der Geraden zu den Koordinatenebenen. Fällt dir nun etwas auf?
|Tipp für alle Aufgaben anzeigen
|Tipp für alle Aufgaben verbergen
}}
{{Lösung versteckt
|Die drei Spurpunkte lauten <math>S_{12}(4,5|0,5|0)</math>, <math>S_{13}(6|0|1)</math> und <math>S_{23}(0|2|{-}3)</math>. Da die Gerade nicht parallel zu den Koordinatenebenen verläuft, besitzt sie drei Spurpunkte.
|Lösung Aufgabe a) anzeigen
|Lösung Aufgabe a) verbergen
}}
{{Lösung versteckt
|Die zwei Spurpunkte lauten <math>S_{12}(4,5|3|0)</math> und <math>S_{23}(0|3|{-}3)</math>. Da die Gerade parallel zur <math>x_1x_3</math>-Ebene verläuft, hat sie keinen Schnittpunkt mit dieser und besitzt folglich nur zwei Spurpunkte.
|Lösung Aufgabe b) anzeigen
|Lösung Aufgabe b) verbergen
}}
{{Lösung versteckt
|Der einzige Spurpunkt lautet <math>S_{23}(0|2|3)</math>. Da die Gerade sowohl parallel zur <math>x_1x_2</math>-Ebene als auch parallel zur <math>x_1x_3</math>-Ebene verläuft, hat sie keine Schnittpunkte mit diesen und besitzt folglich nur einen Spurpunkt.
|Lösung Aufgabe c) anzeigen
|Lösung Aufgabe c) verbergen
}}
{{Lösung versteckt
|Die zwei Spurpunkte lauten <math>S_{12}(3|0|0)</math> und <math>S_{23}(0|0|{-}1,5)</math>. Da die Gerade innerhalb der <math>x_1x_3</math>-Ebene verläuft, hat sie unendlich viele Schnittpunkte mit dieser.
|Lösung Aufgabe d) anzeigen
|Lösung Aufgabe d) verbergen
}}
|Arbeitsmethode
|Farbe={{Farbe|orange}}
}}
{{Box
|Aufgabe 8: Spurpunkte einer Geraden
|Berechne die Spurpunkte der Geraden <math>g</math>.
'''a)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>
'''b)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>
'''c)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>
{{Lösung versteckt
|# Für den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene setze die <math>x_3</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 7 + r \cdot 1 \Leftrightarrow r = -7</math>. Setze nun <math>r = -7</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{12}} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix} + (-7) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -7 \\ 0 \end{pmatrix}</math>.
# Für den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_3</math>-Ebene setze die <math>x_2</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = r</math>. Setze nun <math>r = 0</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{13}} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix} + 0 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix}</math>
# Für den Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene setze die <math>x_1</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 7 + r \cdot 1 \Leftrightarrow r = -7</math>. Setze nun <math>r = -7</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{12}} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix} + (-7) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -7 \\ 0 \end{pmatrix}</math>. Hinweis (war nicht in der Aufgabe gefordert): Man erkennt, dass es sich um den selben Schnittpunkt handelt wie der Schnittpunkt der Gerade mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene, also: <math>S_{12} = S_{23}</math>.
|Lösung Aufgabe a) anzeigen
|Lösung Aufgabe a) verbergen
}}
{{Lösung versteckt
|# Für den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene setze die <math>x_3</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 2 + r \cdot 1 \Leftrightarrow r = -2</math>. Setze nun <math>r = -2</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{12}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + (-2) \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -8 \\ 0 \end{pmatrix}</math>.
# Für den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_3</math>-Ebene setze die <math>x_2</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = -4 + r \cdot 2 \Leftrightarrow r = 2</math>. Setze nun <math>r = 2</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{13}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}</math>
# Für den Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene setze die <math>x_1</math>-Koordinate <math>= 0</math>: <math>0 = 1 + r \cdot 0 \Leftrightarrow 0 = 1</math>. Es ergibt sich ein Widerspruch, weshalb es keinen Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene gibt. Somit verläuft <math>g</math> parallel zur <math>x_2x_3</math>-Ebene.
|Lösung Aufgabe b) anzeigen
|Lösung Aufgabe b) verbergen
}}
{{Lösung versteckt
|# Für den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene setze die <math>x_3</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 4 + r \cdot (-4) \Leftrightarrow r = 1</math>. Setze nun <math>r = 1</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{12}} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}</math>.
# Für den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_3</math>-Ebene setze die <math>x_2</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 0 + r \cdot 0 \Leftrightarrow 0 = 0</math>. Man erhält keine Lösung für den Parameter <math>r</math>, aber auch keinen Widerspruch. Somit hat die Gerade unendlich viele Spurpunkte mit er <math>x_1x_2</math>-Ebene, da sie innerhalb dieser Ebene verläuft.
# Für den Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene setze die <math>x_3</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 1 + r \cdot 2 \Leftrightarrow r = -\frac{1}{2}</math>. Setze nun <math>r = -\frac{1}{2}</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{23}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{23}} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + (-\frac{1}{2}) \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix}</math>.
|Lösung Aufgabe c) anzeigen
|Lösung Aufgabe c) verbergen
}}
|Hervorhebung1
}}
==Lagebeziehungen von Geraden==
====Parallele und identische Geraden====
{{Box|1=Infobox zur Lagebeziehung zweier Geraden Teil 1
|2= Wir unterscheiden die Lage zweier Geraden in '''identisch''', '''parallel''', '''sich schneidend''' und '''windschief zueinander'''.
[[Datei:Zwei identische Geraden.png|links|mini|Zwei identische Geraden]]
[[Datei:Zwei parallele Geraden.png|rechts|mini|Zwei parallele Geraden]]
Um die Lage zweier Geraden zu ermitteln, betrachtet man zunächst die Richtungsvektoren. Sind diese zueinander '''kollinear''' (sind Vielfache voneinander), so können die Geraden lediglich '''identisch''' oder '''parallel''' sein.
Um nun zu untersuchen, ob die Geraden '''parallel''' oder '''identisch''' sind, setzen wir einen Punkt der einen Geraden in die Geradengleichung der anderen Geraden ein. Liegt der Punkt der einen Geraden auf der anderen Geraden, sind die Geraden '''identisch'''. Andernfalls sind die Geraden '''parallel''' zueinander.
[[Datei:Zwei Geraden schneiden sich.png|links|mini|Zwei Geraden schneiden sich]]
[[Datei:Zwei windschiefe Geraden.png|rechts|mini|Zwei windschiefe Geraden]]




==Einführung==
===Parameterdarstellung einer Geraden===
{{#ev:youtube|cCetvDxbTQk}}
{{Box | 1=Aufgabe 1 | 2=Stelle eine Gleichung einer Geraden in Parameterdarstellung auf, die durch folgende Punkte verläuft: A(1/2/3), B(1/3/4) | 3=Aufgabe}}




===Lagebeziehungen von Geraden===
Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear, so können die Geraden sich lediglich '''schneiden''' oder '''windschief''' zueinander verlaufen. Unter sich schneidene Geraden verstehen wir Geraden, die sich in einem Punkt schneiden. Windschiefe Geraden hingegen sind Geraden, die sich wie die parallelen Geraden zwar nicht schneiden, ihre Richtungsvektoren sind jedoch nicht kollinear.


{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit der Lagebeziehung von Geraden im Raum.
|3= Merksatz}}


{{Box|1=Definition
|2=Wir unterscheiden die Lage zweier Geraden in ''identisch'', ''parallel'', ''geschnitten'' und ''windschief''. Um die Lage zweier Geraden zu ermitteln, betrachtet man zunächst die Richtungsvektoren. Sind diese zueinander kollinear (sind Vielfache voneinander), so können die Geraden lediglich ''identisch'' oder ''parallel'' sein.


[[Datei:Identische Geraden.png|links|rahmenlos|Identische Geraden]]
Um nun zu untersuchen, ob sich die Geraden '''schneiden''' oder zueinader '''winschief zueinander''' sind, müssen wir schauen, ob sich ein Schnittpunkt berechnen lässt. Hierzu setzen wir die Geradengleichungen gleich und formen um. Erhalten wir einen Schnittpunkt, so '''schneiden''' sich die Geraden im Punkt. Andernfalls sind diese Geraden '''windschief''' zueinander.


[[Datei:Parallele Geraden.png|mitte|rahmenlos|Parallele Geraden]]


Um nun zu untersuchen, ob die Geraden ''parallel'' oder ''identisch'' sind, setzen wir einen Punkt der einen Geraden in die Geradengleichung der anderen Geraden ein. Liegt der Punkt der einen Geraden auf der anderen Geraden, sind die Geraden ''identisch''. Andernfalls sind die Geraden echt ''parallel''.
|3=Merksatz}}
|3=Merksatz}}


{{Box|1= Aufgabe 9: Lage erkennen|2=Löse das Quiz und mache dir deinen eigenen Lernzettel.
{{LearningApp|app=19038875|width=100%|height=554px}}
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}
{{Box|1= Aufgabe 10: Lage zweier Geraden|2=Löse den Lückentext und mache dir deinen eigenen Lernzettel.
{{LearningApp|app=19689096|width=100%|height=554px}}|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}
{{Box|1= Aufgabe 11: Lage erkennen|2= Betrachte die folgenden Geraden <math>g</math> und <math>h</math>. Wie verlaufen die Geraden zueinander. Entscheide ohne Nutzung des GTR.
'''a)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}</math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>
'''b)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>
'''c)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>
{{Lösung versteckt|1= Hier brauchst du kaum rechnen. Schaue dir die Aufpunkte nochmal genau an. |2= Tipp zu c|3= Tipp zu c}}
'''d)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>
'''e)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind ''identisch''. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren mit <math> 2\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} </math> ein Vielfaches voneinander (=kollinear) sind. Da beide Stützvektoren identisch sind, weißt du, dass der Punkt <math>(2|2|5)</math> auf beiden Geraden liegt und somit die beiden Geraden ''identisch'' sind.|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufgabe a}}
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''parallel''. Die beiden Geraden sind ''parallel''. Während die beiden Richtungsvektoren kollinear, sogar identisch, sind liegt der Aufpunkt <math>(2|2|2)</math> von der Gerade <math>h</math> nicht auf der Geraden von <math> g</math>
<math> \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>, mit
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2 &&\; = \;&& 1 &&\; +\;&& r\cdot1\\
2 &&\; =\;&& 1 &&\; +\;&& r\cdot2\\
2 &&\; =\;&& 1 &&\; +\;&& r\cdot3
\end{alignat}\right\vert</math>
Formen wir dies um zu r erhalten wir
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
1 &&\; = \;&& r\cdot1\\
1 &&\; =\;&& r\cdot2\\
1 &&\; =\;&& r\cdot3
\end{alignat}\right\vert</math>
Formen wir weiter zu <math>r</math> um, erhalten wir
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
1 &&\; = \;&& r\\
0.5 &&\; =\;&& r\\
0.333 &&\; =\;&& r
\end{alignat}\right\vert</math>


{{Box|1= Aufgabe 1: Lage erkennen|2=Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander?
und damit liegt der Punkt nicht auf der Geraden.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}


a)<math>f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>f_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''schneiden''. Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear und damit ''schneiden'' sich die beiden Geraden im Aufpunkt <math>(1|2|3)</math> selbst.|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}


b)<math>g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>
{{Lösung versteckt|1= Die vierte Antwort lautet ''windschief''. Die beiden Geraden sind ''windschief'' zueinander. Dies kannst du wie folgt berechnen.


c)<math>i_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>i_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
1 &&\; +\;&& r\cdot1 &&\; =\;&& 3 &&\; +\;&& t\cdot1\\


{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind ''identisch''. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren mit <math> \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} </math> ein Vielfaches voneinander (=kollinear) sind. Da beide Ortsvektoren identisch sind, liegt ein Punkt sind die Geraden ''identisch''.|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}
1 &&\; +\;&& r\cdot2 &&\; =\;&& 3 &&\; +\;&& t\cdot4\\
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''parallel''. Die beiden Geraden sind ''parallel''. Während die beiden Richtungsvektoren kollinear, sogar identisch, sind liegt der Ortsvektor von <math>i_2</math> nicht auf der Geraden von<math> i_1: \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>, mit <math>r=\begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \\ 0.333 \end{pmatrix}</math>.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}


{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind identisch. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren identisch sind (<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>) und der Ortsvektor der einen Gerade auf der anderen Gerade ist: <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. |2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}
1 &&\; +\;&& r\cdot3 &&\; =\;&& 4 &&\; +\;&& t\cdot3
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}
\end{alignat}\right\vert</math>




{{Box|1=Definition
Dies formen wir um:
|2=Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear, so können die Geraden sich lediglich ''schneiden'' oder ''windschief'' zueinander sein.
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
[[Datei:Geschnittene Geraden.png|links|rahmenlos|Geschnittene Geraden]]
r\cdot1 &&\; -\;&& t\cdot1 &&\; = \;&& 2 \\


[[Datei:Windschiefe Geraden.png|mitte|rahmenlos|Windschiefe Geraden]]
r\cdot2 &&\; -\;&& t\cdot4 &&\; = \;&& 2 \\
 
r\cdot3 &&\; -\;&& t\cdot3 &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>


Um nun zu untersuchen, ob sich die Geraden ''schneiden'' oder zueinader ''winschief'' sind, müssen wir schauen, ob sich ein Schnittpunkt berechnen lässt. Hierzu setzen wir die Geradengleichungen gleich und formen um. Erhalten wir einen Schnittpunkt S, so ''schneiden'' sich die Geraden im Punkt S. Andernfalls sind diese Geraden ''windschief'' zueinander.
|3=Merksatz}}


{{Box|1= Aufgabe 2: Lage erkennen|2=Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander?
Wenn die erste Zeile mit <math>2</math> multipliziert wird


a)<math>g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
r\cdot2 &&\; -\;&& t\cdot2 &&\; = \;&& 4 \\


b)<math>h_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>
r\cdot2 &&\; -\;&& t\cdot4 &&\; = \;&& 2 \\


c)<math>i_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>i_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>
r\cdot3 &&\; -\;&& t\cdot3 &&\; = \;&& 3  
\end{alignat}\right\vert</math>


{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden ''schneiden'' sich im Punkt .|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden''schneiden'' sich.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}


{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''windschief''. Die beiden Geraden sind ''windschief'' zueinander. Dies sehen wir daran, |2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}
und dann von der ersten Zeile die zweite Zeile subtrahiert wird,  
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}


<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
t\cdot2 &&\; =\;&& 2 \\


{{Box|1= Aufgabe 1: Lage erkennen|2=Löse das Quiz und mache dir deinen eigenen Lernzettel
r\cdot2 &&\; -\;&& t\cdot4 &&\; =\;&& 2 \\
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=19038875" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>


|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}
r\cdot3 &&\; -\;&& t\cdot3 &&\; =\;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>


{{Box |1= Merksatz |2=<br />
Zwei Geraden...


sind ''identisch''
erhälst du <math>t=1</math>. Wenn du dies in die zweite Zeile einsetzt, erhälst du für <math>r=3</math>. Setzt du dies in die letzte Zeile ein, erhälst du <math>6=3</math>, eine falsche Aussage. Damit sind die beiden Geraden windschief zueinander.
* Richtungsvektoren '''kollinear''' (= Vielfache voneinander)
* Ortsvektor der einen Geraden liegt auf der anderen Geraden
sind ''parallel''
* Richtungsvektoren '''kollinear''' (= Vielfache voneinander)
* Ortsvektor der einen Geraden liegt '''nicht''' auf der anderen Geraden.
''schneiden'' sich
* Richtungsvektoren '''nicht''' kollinear (= Vielfache voneinander)
* Bei dem Versuch einen Schnittpunkt zu berechnen, kommt eine '''wahre Aussage''' in Form eines Punktes heraus
sind zueinander ''windschief''
* Richtungsvektoren '''nicht''' kollinear (= Vielfache voneinander)
* Bei dem Versuch einen Schnittpunkt zu berechnen, kommt eine '''falsche Aussage''' heraus


<br /> .
|2=Lösung Aufgabe d|3=Lösung Aufgabe d}}
|3= Merksatz}}
{{Lösung versteckt|1= Die fünfte Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind identisch. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren identisch sind (<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>) und der Aufpunkt <math>(2|3|4)</math> der Geraden <math>h</math> auf der Geraden <math>g</math> liegt:  <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. |2=Lösung Aufgabe e|3=Lösung Aufgabe e}}
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode }}


{{Box|1= Aufgabe 3: |2=Flugerlaubnis erteilen?


Ein wichtiger Bestandteil der Flugsicherung sind die Fluglotsen der "Deutschen Flugsicherung" (DFS). Sie koordinieren und überwachen jährlich Millionen Flüge im deutschen Luftraum. Am heutigen Tag wollen zwei Flugzeuge starten. Hierzu gehört das Flugzeug der Fluglinie Aer. Es startet bei  <math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und befindet sich nach 10sek auf  <math> \begin{pmatrix} 1239,75 \\ 1040 \\ 1287,5 \end{pmatrix}</math>. Ebenfalls möchte das Flugzeug der Fluglinie Amadeus in die Luft. Dies startet in <math> \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math>. Pro Sekunde legt es eine Strecke von 164,85m zurück und besitzt einen Richtungsvektor von  <math> \begin{pmatrix} 98,88 \\ 82,4 \\ z \end{pmatrix}</math>.


Es kam zu einem riesigen Stromausfall und der Fluglotse ist sich unsicher. Hilf ihm die Antworten auf folgende Fragen zu finden:


a) Wie lauten die Geradengleichungen der einzelen Flugzeuge?
{{Box|1= Aufgabe 12: Flugerlaubnis erteilen?|2=


b) Wie schnell (in km/h) fliegen die einzelnen Flugzeuge?
Ein wichtiger Bestandteil der Flugsicherung sind die Fluglotsen der "Deutschen Flugsicherung" (DFS). Sie koordinieren und überwachen jährlich Millionen Flüge im deutschen Luftraum. Fluglotsenschüler Karl überwacht gerade zwei Flugzeuge. Hierzu gehört das Flugzeug der Fluglinie Aer. Es befindet sich bei <math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und fliegt innerhalb von 5 Sekunden zum Punkt <math> \begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix}</math>. Ebenfalls ist das Flugzeug der Fluglinie Amadeus in die Luft. Dies befindet sich in <math> \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}</math>. Pro Sekunde legt es eine Strecke von <math>175{,}49</math>  m zurück und besitzt einen Richtungsvektor von <math> \begin{pmatrix} 120{,}2 \\ 96{,}4 \\ z \end{pmatrix}</math>.


c) Können alle Flugzeuge starten, ohne dass es zu einer Kollision kommt?
Es kam zu einem riesigen Stromausfall und der Fluglotse ist sich unsicher, ob die beiden Flugzeuge ohne Probleme weiterfliegen können oder kollidieren. Hilf ihm die Antworten auf folgende Fragen zu finden:


'''a)''' Wie lauten die Geradengleichungen der einzelen Flugzeuge?


{{Lösung versteckt|1= Zu Aer: Setze alle gegebenen Daten in eine allgemeine Parameterdarstellung ein und forme um.
{{Lösung versteckt|1= Zu Aer: Setze alle gegebenen Daten in eine allgemeine Parameterdarstellung ein und forme um.


Zu Amadeus: Um den Richtungsvektor zu berechnen, benötigst du die Forme zur Berechnung der Länge eines Vektoren:
Zu Amadeus: Um den Richtungsvektor zu berechnen, benötigst du die Formel zur Berechnung der Länge eines Vektoren:
<math> L=\sqrt[2]{x{2}+y^{2}+z^{2}}</math>.
<math> L=\sqrt[]{x^{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. |2= Tipp zu a|3= Tipp zu a}}
L= |2= Tipp zu a|3= Tipp zu a}}
 
'''b)''' Wie schnell (in <math>\tfrac{km}{h}</math>) fliegen die einzelnen Flugzeuge?
 
{{Lösung versteckt|1= Geschwindigkeit kann in verschiedene Einheiten angegeben werden, z.B.: <math>\tfrac{km}{h}</math>, <math>\tfrac{m}{s}</math> etc.. Nachdem du die Länge der Strecke nach einer Sekunde berechnet hast, musst du dies von <math>\tfrac{m}{s}</math> zu <math>\tfrac{km}{h}</math> umwandeln.|2=Tipp zu b |3=Tipp zu b}}
 
Die Batterien deines GTRs haben den Geist aufgegeben. Es ist immer noch kein Strom vorhanden und der Fluglotse stellt dir die alles entscheidene Frage:


{{Lösung versteckt|1= Geschwindigkeit kann man in verschiedene Einheiten angeben, z.B.: km/h, m/s etc.. Nachdem du die Länge der Strecke nach einer Sekunde berechnet hast, musst du dies von m/s zu km/h umwandeln.|2=Tipp zu b |3=Tipp zu b}}
'''c)''' Können alle Flugzeuge weiterfliegen, ohne dass es zu einer Kollision kommt?


{{Lösung versteckt|1= Nur weil sich zwei Geraden schneiden heißt es noch nicht direkt, dass eine Kollision vorherrscht.|2=Tipp zu c |3=Tipp zu c}}
{{Lösung versteckt|1= Nur weil sich zwei Geraden schneiden heißt es noch nicht direkt, dass eine Kollision vorherrscht.|2=Tipp zu c |3=Tipp zu c}}
Zeile 127: Zeile 584:


Flugzeug Aer:
Flugzeug Aer:
<math>f_3: \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 122,975 \\ 103 \\ 128,75 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>
<math>f_3\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>
Wobei <math>t</math> für die Zeit in Sekunden steht.
 
Dies erhälst du, indem du folgendes berechnest:
<math>\begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 5\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. Dies musst du in ein Gleichugssystem umformen und dies dann zu <math>x</math>,<math>y</math> und <math>z</math> auflösen:
 
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
510 &&\; =\;&& 10 &&\; +\;&& 5\cdot x\\
 
410 &&\; =\;&& 10 &&\; +\;&& 5\cdot y\\
 
350 &&\; =\;&& 0  &&\; +\;&& 5\cdot z
\end{alignat}\right\vert</math>
 
 
 
Zunächst bringst du die Zahlen auf die andere Seite:
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
500 &&\; =\;&& 5\cdot x\\
 
400 &&\; =\;&& 5\cdot y\\
 
350 &&\; =\;&& 5\cdot z
\end{alignat}\right\vert</math>


Dies erhalten wir, indem wir folgendes berechnen:
und formst dann zu <math>x</math>,<math>y</math> und <math>z</math> um:
<math> \begin{pmatrix} 1239,75 \\ 1040 \\ 1287,5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 10 \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. Dies schreiben wir in ein Gleichugssystem um und formen es zu x,y,z um:
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
100 &&\; =\;&& x\\


<math>
80  &&\; =\;&& y\\
1239,75=10+10*x  </math>


<math>
70  &&\; =\;&& z
1040  =10+10*y  </math>
\end{alignat}\right\vert</math>


<math>
Und erhälst damit direkt den Richtungsvektor.
1287,5 = 0+10*z  </math>
   
   
Flugzeug Amadeus:
Flugzeug Amadeus:
<math>f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 98,88\\ 82,4 \\ 103\end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>  
<math>f_1\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 120{,}2\\ 96{,}4 \\ 84\end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>  
Wobei <math>t</math> für die Zeit in Sekunden steht.


Dies erhalten wir wie folgt:
Dies erhälst du wie folgt:
Wir kennen den Richtungsvektor:
Du kennst den Richtungsvektor:
<math> \begin{pmatrix} 98,88 \\ 82,4 \\ z \end{pmatrix}</math>. Nun müssen wir z berechnen. Im Text steht, dass das Flugzeug pro Sekunde eine Länge von 164,85m fliegt. Das bedeutet, dass der Richtungsvektor eine Länge von 164,85 beträgt. Dies können wir mit der Formel der Länge eines Vektor berechnen:
<math> \begin{pmatrix} 120{,}2\\ 96{,}4 \\ z\end{pmatrix}</math>. Nun musst du <math>z</math> berechnen. Im Text steht, dass das Flugzeug pro Sekunde eine Strecke von <math>175{,}49</math> m fliegt. Das bedeutet, dass der Richtungsvektor eine Länge von <math>175{,}49</math> besitzt. Dies kannst du mit der Formel der Länge eines Vektor berechnen:




<math> 164,85=\sqrt[2]{98,88^{2}+82,4^{2}+z^{2}}</math>
<math> 175{,}49=\sqrt[]{120{,}2^{2}+96{,}4^{2}+z^{2}}</math>




Indem wir beide Seiten zum Quadart nehemn, entfällt die Wurzel und es folgt:
Indem du beide Seiten zum Quadart nimmst, entfällt die Wurzel und es folgt:




<math> 164,85^{2}=98,88^{2}+82,4^{2}+z^{2}</math>
<math> 175{,}49^{2}=120{,}2^{2}+96{,}4^{2}+z^{2}</math>




Wir formen zu <math>z^{2}</math> um und ziehen dann die Wurzel. Wir erhalten 102,997 und runden auf 103.
Du formst zu <math>z^{2}</math> um und ziehst dann die Wurzel. Du erhälst gerundet <math>84</math> und <math>-84</math>. Da es sich hier jedoch nicht um ein U-Boot handelt, welches abtaucht, sondern um ein Flugzeug, welches in die Höhe geht, ist hier <math>84</math> die einzig mögliche Antwort.
Wobei t für die Zeit in Sekunden steht.


|2=Lösung Aufgabe a|3=Lösung Aufgabe a}}
|2=Lösung Aufgabe a|3=Lösung Aufgabe a}}


{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
Wir berechnen die Geschwindigkeit, indem wir die Länge des Richtungsvektors berechnen. Dies erfolgt it der Formel:
Du berechnest die Geschwindigkeit, indem du die Länge des Richtungsvektors berechnest. Dies erfolgt mit der Formel:<math> L=\sqrt[]{x^{2}+y^{2}+z^{2}}</math>.
<math>f_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 96\\ 80 \\ 100 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>  
 
Fugzeug Aer:
 
<math> L=\sqrt[]{100^{2}+80^{2}+70^{2}}</math>.
 
<math> L=145{,}95</math>.
 
Du erhälst also eine Geschwindigkeit von <math>145{,}95</math> <math>\tfrac{m}{s}</math>. Es gilt: <math>3{,}6</math> <math>\tfrac{km}{h}</math><math>=1</math> <math>\tfrac{m}{s}</math>.
Umgerechnet in <math>\tfrac{km}{h}</math> sind das also:
 
<math>145{,}95 \cdot3{,}6= 525{,}42</math>
 
also eine Geschwindigkeit von <math>525{,}42</math> <math>\tfrac{km}{h}</math>.
 
Flugzeug Amadeus:
Flugzeug Amadeus:
Das Flugzeug Liesbeth hat nach dem Text eine Geschwindigkeit von 160 m/s
Das Flugzeug Amadeus legt in einer Sekunde eine Strecke von <math>175{,}49</math> m zurück. Damit hat es eine Geschwindigkeit von <math>175{,}49</math> <math>\tfrac{m}{s}</math>. Umgerechnet in <math>\tfrac{km}{h}</math> sind das also:
 
<math>175{,}49\cdot3{,}6= 631{,}76</math>
 
also eine Geschwindigkeit von <math>631{,}76</math> <math>\tfrac{km}{h}</math>.
 
|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}
|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}


Zeile 173: Zeile 670:
Flugzeug Aer und Amadeus:  
Flugzeug Aer und Amadeus:  
Sie schneiden sich für
Sie schneiden sich für
<math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 8 \cdot \begin{pmatrix} 122,975 \\ 103 \\ 128,75 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 10 \cdot \begin{pmatrix} 98,88\\ 82,4 \\ 103\end{pmatrix}</math>. Da es jedoch nicht der gleiche Zeitpunkt ist, kommt es zu keiner Kollision.
<math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 30 \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + 25 \cdot \begin{pmatrix} 120{,}2\\ 96{,}4 \\ 84\end{pmatrix}</math>.  
Dies erhälst du, wenn du mit dem GTR die beiden Geraden geleichsetzt. Alternativ wollen wir dir hier noch einmal Lösung ohne GTR zeigen.
Du erhälst die Lösung, indem dubeide Funktionen gleichsetzen und in ein Gleichungssystem umformen:
 
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
10 &&\; +\;&& t\cdot100 &&\; =\;&& 5 &&\; +\;&& s\cdot120{,}2\\
 
10 &&\; +\;&& t\cdot80  &&\; =\;&& 0 &&\; +\;&& s\cdot96{,}4\\
 
0  &&\; +\;&& t\cdot70  &&\; =\;&& 0 &&\; +\;&& s\cdot84
\end{alignat}\right\vert</math>
 
 
 
Dann formst du dieses so um, dass alle Zahlen auf einer Seite sind:
 
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
5  &&\; =\;&& s\cdot120{,}2 &&\; -\;&& t\cdot100 \\
 
10 &&\; =\;&& s\cdot96{,}4 &&\; -\;&& t\cdot80\\
 
0  &&\; =\;&&  s\cdot84 &&\; -\;&& t\cdot70
\end{alignat}\right\vert</math>
 
 
und du multiplizierst die erste Zeile mit <math>4</math>, die zweite Zeile mit <math>5</math>:
 
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
20 &&\; = \;&& s\cdot480{,}8 &&\; -\;&& t\cdot400 \\
 
50 &&\; =\;&& s\cdot482 &&\; -\;&& t\cdot400\\
 
0 &&\; =\;&&  s\cdot84 &&\; -\;&& t\cdot70
\end{alignat}\right\vert</math>
 
 
Nun subtrahiere die zweite Zeile von der ersten Zeile:
 
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
{-}30 &&\; = \;&& s\cdot{-}1{,}2 \\
 
50 &&\; =\;&& s\cdot482 &&\; -\;&& t\cdot400\\
 
0 &&\; =\;&&  s\cdot84 &&\; -\;&& t\cdot70
\end{alignat}\right\vert</math>
 
 
also folgt:
 
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
25 &&\; = \;&& s \\
 
50 &&\; =\;&& s\cdot482 &&\; -\;&& t\cdot400\\
 
0 &&\; =\;&&  s\cdot84 &&\; -\;&& t\cdot70
\end{alignat}\right\vert</math>
 
 
Du erhälst also <math>s=25 </math>. Wenn du dies in die zweite Zeile einsetzt und umformst, erhälst du:
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
25 &&\; = \;&& s \\
 
30 &&\; =\;&& t \\
 
0 &&\; =\;&&  25\cdot84 &&\; -\;&& t\cdot70
\end{alignat}\right\vert</math>
 
 
Setzen wir nun in die letzte Zeile <math>t=30</math> ein, so erhalten wir dort <math>0=0</math> und wissen damit, dass sich die Geraden schneiden.
Da es jedoch nicht der gleiche Zeitpunkt ist, kommt es zu keiner Kollision.


Flugzeug Aer und Liesbeth


|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}
|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}


|Farbe={{Farbe|grün}}|3= Hervorhebung1}}
|Farbe={{Farbe|grün}}|3= Arbeitsmethode}}
 
{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_–_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum#Kapitelauswahl}}
 
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[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Aktuelle Version vom 23. Juni 2021, 17:42 Uhr

Info

In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit Geraden im Raum. Du lernst, Geraden im Raum durch Vektoren zu beschreiben, Parameterdarstellungen und Spurpunkte von Geraden zu bestimmen, die Lage von Geraden im Raum und zueinander zu bestimmen sowie Geradenscharen zu bestimmen.

Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:

  • Mit Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
  • Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit und
  • Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.
Wir wünschen dir viel Erfolg!

Geraden und ihre Darstellungsformen

Parameterdarstellung einer Geraden

Definition

Jede Gerade lässt sich durch eine Gleichung der Form mit beschreiben.

  • Diese Vektorgleichung bezeichnet man als Parameterdarstellung oder Parametergleichung der Geraden mit dem Parameter .
  • Setzt man für irgendeine Zahl in die Parameterdarstellung der Geraden ein, so ergibt sich der Ortsvektor (auch genannt) eines Punktes der Geraden .
  • Der Vektor heißt Stützvektor. Er ist der Ortsvektor zu einem Punkt (auch Aufpunkt genannt), der auf der Geraden liegt.
  • Der Vektor heißt Richtungsvekor.

Wie du nun eine Parametergleichung durch zwei gegebene Punkte aufstellst, wird im folgenden Video erklärt:


Aufgabe 1: Parameter einer Geradengleichung

Im Folgenden kannst du sehen, wie die Gerade vom Stützpunkt , Richtungsvektor und Parameter abhängt. Wähle verschiedene Stützpunkte und Richtungsvektoren und verändere den Parameter. Wo liegt der Punkt , wenn du , und wählst? Was bedeutet dies anschaulich? Dazu kannst du dir auch die Gerade anzeigen lassen.


GeoGebra
  • Für liegt der Punkt hinter dem Punkt , d.h. man geht auf der Gerade vom Stützpunkt aus gesehen rückwärts.
  • Für liegt der Punkt genau auf dem Punkt , d.h. sie sind identisch, man befindet sich also genau auf dem Stützpunkt.
  • Für liegt der Punkt vor dem Punkt , d.h. man geht auf der Gerade vom Stützpunkt aus gesehen vorwärts.


Aufgabe 2: Geradengleichung aufstellen (zwei gegebene Punkte)

Bearbeite nun entweder die analoge Aufgabe (I) oder die digitale Aufgabe (II):

(I) Die Gerade geht durch die Punkte und . Gib zwei Gleichungen für an.

a)

b)

Wie du im obigen Video gesehen hast, gibt es unendlich viele Lösungen, denn es sind immer Vielfache des Richtungsvektors möglich. Daher ist es möglich, dass deine Lösung hier zwar nicht aufgefürt, aber dennoch korrekt ist. Dazu überprüfe, ob dein Richtungsvektor ein Vielfaches einer der angegeben Richtungsvektoren ist. Beachte das auch bei allen folgenden Aufgaben!

Zwei mögliche Geraden sind und .

Zwei mögliche Geraden sind und .

(II) Ordne jeweils die zwei Punkte A und B der Parametergleichung der Geraden durch A und B zu.

Du kannst aber auch eine Gerade aufstellen, die durch einen Punkt verläuft und parallel zu einer anderen Gerade oder zu einer der Koordinatenachsen ist.


Aufgabe 3: Geradengleichung aufstellen aus Punkt und Richtungsvektor

Stelle jeweils eine Geradengleichung auf.

a) Die Gerade geht durch den Punkt und hat den Richtungsvektor .

Überlege dir wie der Stützvektor der Geraden lauten muss und stelle dann die passende Geradengleichung mit dem Richtungsvektor auf.

b) Stelle eine Geradengleichung für die -Achse auf.

Überlege dir einen geschickten Aufpunkt; wie muss dann der Richtungsvektor aussehen?

c) Die Gerade geht durch den Punkt und verläuft parallel zur Geraden .

Wann verlaufen zwei Vektoren parallel zueinander? Übertrage diese Kenntniss auf Geraden.

d) Die Gerade geht durch den Punkt und verläuft parallel zur -Achse.

e) Die Gerade geht durch den einen beliebigen Punkt und verläuft parallel zur -Achse.

Diese Aufgabe funktioniert ähnlich zu d).


Eine mögliche Gerade ist .

Eine mögliche Gerade ist oder noch einfacher

Eine mögliche Gerade ist .

Eine mögliche Gerade ist .

Eine mögliche Gerade ist .

Punktprobe

Wie du überprüfst, ob ein gegebener Punkt auf einer gegebenen Gerade oder daneben liegt, kannst du hier noch einmal nachschauen.


Merksatz: Punktprobe

Liegt ein Punkt auf der Geraden g definiert durch mit , so gibt es genau ein , welches die Gleichung erfüllt. Erfüllt kein diese Gleichung, liegt der Punkt nicht auf der Geraden.


Aufgabe 4: Punktprobe mit einer Geraden I

Überprüfe, ob der Punkt auf der Geraden liegt.

a)

b)

Die Punktprobe ist erfüllt, denn:

Somit liegt der Punkt auf der Geraden .

Die Punktprobe ist nicht erfüllt, denn:

Es ergibt sich ein Widerspruch. Somit liegt der Punkt nicht auf der Geraden .


Aufgabe 5: Punktprobe mit einer Geraden II

Für welche Werte liegt der Punkt auf der Geraden ?

a)

b)

Berechne zunächst mithilfe der ersten Gleichung einen Wert für . Was könnte man nun machen?

Setze nun den ausgerechneten Wert für in die beiden anderen Gleichungen ein und berechne .

Die Punktprobe ist erfüllt, denn:

Somit liegt der Punkt für und auf der Geraden .

Es gibt keine Lösung, denn:

Es ergibt sich ein Widerspruch, weshalb keine Werte für Punkt gibt, sodass der Punkt auf der Geraden liegt.

Hier noch eine Aufgabe zu Geraden mit besonderen Lagen im Koordinatensystem:


Aufgabe 6: Besondere Geraden im Raum

Kreuze alle(!) richtigen Antworten an!



Spurpunkte einer Geraden

Wie du die Spurpunkte, also die Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenebenen bestimmst, kannst du hier noch einmal nachvollziehen:

Falls du nicht mehr weißt, was die Koordinatenebenen sind, kannst unter folgendem Tipp noch einmal dein Wissen auffrischen:

Die -Ebene ist die Ebene, die von der - und -Achse aufgespannt wird (im Bild genannt). Entsprechendes gilt für die - (im Bild ) und -Ebene (im Bild ).

Die Koordinatenebenen


Aufgabe 7: Spurpunkte einer Geraden (Besondere Lage)

Hier kannst du dir die Spurpunkte von verschiedenen Geraden anzeigen lassen. Dazu kannst du den Aufpunktvektor und den Richtungsvektor mit den Schiebereglern entsprechend anpassen. Anschließend kannst du dir die drei Spurpunkte und ggf. auch die Ebenen anzeigen lassen, indem du das entsprechende Feld ankreuzt. Dann kannst du dir die Koordinatebenen mit den verschiedenen Schnittpunkten anzeigen lassen:

GeoGebra

Untersuche die Geraden, die aus folgenden Aufpunkt- und Richtungsvektoren hervorgehen, auf Spurpunkte und schreibe die Spurpunkte auf. Was sagt die Lage der Geraden über die Anzahl der Spurpunkte aus?

a)

b)

c)

d)

Betrachte mal ggf. vorhandene Parallelitäten der Geraden zu den Koordinatenebenen. Fällt dir nun etwas auf?


Die drei Spurpunkte lauten , und . Da die Gerade nicht parallel zu den Koordinatenebenen verläuft, besitzt sie drei Spurpunkte.

Die zwei Spurpunkte lauten und . Da die Gerade parallel zur -Ebene verläuft, hat sie keinen Schnittpunkt mit dieser und besitzt folglich nur zwei Spurpunkte.

Der einzige Spurpunkt lautet . Da die Gerade sowohl parallel zur -Ebene als auch parallel zur -Ebene verläuft, hat sie keine Schnittpunkte mit diesen und besitzt folglich nur einen Spurpunkt.

Die zwei Spurpunkte lauten und . Da die Gerade innerhalb der -Ebene verläuft, hat sie unendlich viele Schnittpunkte mit dieser.


Aufgabe 8: Spurpunkte einer Geraden

Berechne die Spurpunkte der Geraden .

a)

b)

c)

  1. Für den Schnittpunkt der Geraden mit der -Ebene setze die -Koordinate und forme nach um: . Setze nun in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt zu erhalten: .
  2. Für den Schnittpunkt der Geraden mit der -Ebene setze die -Koordinate und forme nach um: . Setze nun in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt zu erhalten:
  3. Für den Schnittpunkt der Geraden mit der -Ebene setze die -Koordinate und forme nach um: . Setze nun in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt zu erhalten: . Hinweis (war nicht in der Aufgabe gefordert): Man erkennt, dass es sich um den selben Schnittpunkt handelt wie der Schnittpunkt der Gerade mit der -Ebene, also: .
  1. Für den Schnittpunkt der Geraden mit der -Ebene setze die -Koordinate und forme nach um: . Setze nun in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt zu erhalten: .
  2. Für den Schnittpunkt der Geraden mit der -Ebene setze die -Koordinate und forme nach um: . Setze nun in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt zu erhalten:
  3. Für den Schnittpunkt der Geraden mit der -Ebene setze die -Koordinate : . Es ergibt sich ein Widerspruch, weshalb es keinen Schnittpunkt der Geraden mit der -Ebene gibt. Somit verläuft parallel zur -Ebene.
  1. Für den Schnittpunkt der Geraden mit der -Ebene setze die -Koordinate und forme nach um: . Setze nun in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt zu erhalten: .
  2. Für den Schnittpunkt der Geraden mit der -Ebene setze die -Koordinate und forme nach um: . Man erhält keine Lösung für den Parameter , aber auch keinen Widerspruch. Somit hat die Gerade unendlich viele Spurpunkte mit er -Ebene, da sie innerhalb dieser Ebene verläuft.
  3. Für den Schnittpunkt der Geraden mit der -Ebene setze die -Koordinate und forme nach um: . Setze nun in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt zu erhalten: .


Lagebeziehungen von Geraden

Parallele und identische Geraden

Infobox zur Lagebeziehung zweier Geraden Teil 1

Wir unterscheiden die Lage zweier Geraden in identisch, parallel, sich schneidend und windschief zueinander.

Zwei identische Geraden
Zwei parallele Geraden

Um die Lage zweier Geraden zu ermitteln, betrachtet man zunächst die Richtungsvektoren. Sind diese zueinander kollinear (sind Vielfache voneinander), so können die Geraden lediglich identisch oder parallel sein.

Um nun zu untersuchen, ob die Geraden parallel oder identisch sind, setzen wir einen Punkt der einen Geraden in die Geradengleichung der anderen Geraden ein. Liegt der Punkt der einen Geraden auf der anderen Geraden, sind die Geraden identisch. Andernfalls sind die Geraden parallel zueinander.

Zwei Geraden schneiden sich
Zwei windschiefe Geraden



Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear, so können die Geraden sich lediglich schneiden oder windschief zueinander verlaufen. Unter sich schneidene Geraden verstehen wir Geraden, die sich in einem Punkt schneiden. Windschiefe Geraden hingegen sind Geraden, die sich wie die parallelen Geraden zwar nicht schneiden, ihre Richtungsvektoren sind jedoch nicht kollinear.


Um nun zu untersuchen, ob sich die Geraden schneiden oder zueinader winschief zueinander sind, müssen wir schauen, ob sich ein Schnittpunkt berechnen lässt. Hierzu setzen wir die Geradengleichungen gleich und formen um. Erhalten wir einen Schnittpunkt, so schneiden sich die Geraden im Punkt. Andernfalls sind diese Geraden windschief zueinander.


Aufgabe 9: Lage erkennen

Löse das Quiz und mache dir deinen eigenen Lernzettel.


Aufgabe 10: Lage zweier Geraden

Löse den Lückentext und mache dir deinen eigenen Lernzettel.


Aufgabe 11: Lage erkennen

Betrachte die folgenden Geraden und . Wie verlaufen die Geraden zueinander. Entscheide ohne Nutzung des GTR.

a) und

b) und

c) und

Hier brauchst du kaum rechnen. Schaue dir die Aufpunkte nochmal genau an.

d) und

e) und

Die erste Antwort lautet identisch. Die beiden Geraden sind identisch. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren mit ein Vielfaches voneinander (=kollinear) sind. Da beide Stützvektoren identisch sind, weißt du, dass der Punkt auf beiden Geraden liegt und somit die beiden Geraden identisch sind.

Die zweite Antwort lautet parallel. Die beiden Geraden sind parallel. Während die beiden Richtungsvektoren kollinear, sogar identisch, sind liegt der Aufpunkt von der Gerade nicht auf der Geraden von

, mit


Formen wir dies um zu r erhalten wir


Formen wir weiter zu um, erhalten wir

und damit liegt der Punkt nicht auf der Geraden.
Die dritte Antwort lautet schneiden. Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear und damit schneiden sich die beiden Geraden im Aufpunkt selbst.

Die vierte Antwort lautet windschief. Die beiden Geraden sind windschief zueinander. Dies kannst du wie folgt berechnen.


Dies formen wir um:


Wenn die erste Zeile mit multipliziert wird


und dann von der ersten Zeile die zweite Zeile subtrahiert wird,


erhälst du . Wenn du dies in die zweite Zeile einsetzt, erhälst du für . Setzt du dies in die letzte Zeile ein, erhälst du , eine falsche Aussage. Damit sind die beiden Geraden windschief zueinander.
Die fünfte Antwort lautet identisch. Die beiden Geraden sind identisch. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren identisch sind () und der Aufpunkt der Geraden auf der Geraden liegt: .



Aufgabe 12: Flugerlaubnis erteilen?

Ein wichtiger Bestandteil der Flugsicherung sind die Fluglotsen der "Deutschen Flugsicherung" (DFS). Sie koordinieren und überwachen jährlich Millionen Flüge im deutschen Luftraum. Fluglotsenschüler Karl überwacht gerade zwei Flugzeuge. Hierzu gehört das Flugzeug der Fluglinie Aer. Es befindet sich bei und fliegt innerhalb von 5 Sekunden zum Punkt . Ebenfalls ist das Flugzeug der Fluglinie Amadeus in die Luft. Dies befindet sich in . Pro Sekunde legt es eine Strecke von m zurück und besitzt einen Richtungsvektor von .

Es kam zu einem riesigen Stromausfall und der Fluglotse ist sich unsicher, ob die beiden Flugzeuge ohne Probleme weiterfliegen können oder kollidieren. Hilf ihm die Antworten auf folgende Fragen zu finden:

a) Wie lauten die Geradengleichungen der einzelen Flugzeuge?

Zu Aer: Setze alle gegebenen Daten in eine allgemeine Parameterdarstellung ein und forme um.

Zu Amadeus: Um den Richtungsvektor zu berechnen, benötigst du die Formel zur Berechnung der Länge eines Vektoren:

.

b) Wie schnell (in ) fliegen die einzelnen Flugzeuge?

Geschwindigkeit kann in verschiedene Einheiten angegeben werden, z.B.: , etc.. Nachdem du die Länge der Strecke nach einer Sekunde berechnet hast, musst du dies von zu umwandeln.

Die Batterien deines GTRs haben den Geist aufgegeben. Es ist immer noch kein Strom vorhanden und der Fluglotse stellt dir die alles entscheidene Frage:

c) Können alle Flugzeuge weiterfliegen, ohne dass es zu einer Kollision kommt?

Nur weil sich zwei Geraden schneiden heißt es noch nicht direkt, dass eine Kollision vorherrscht.


Flugzeug Aer: Wobei für die Zeit in Sekunden steht.

Dies erhälst du, indem du folgendes berechnest: . Dies musst du in ein Gleichugssystem umformen und dies dann zu , und auflösen:


Zunächst bringst du die Zahlen auf die andere Seite:

und formst dann zu , und um:

Und erhälst damit direkt den Richtungsvektor.

Flugzeug Amadeus: Wobei für die Zeit in Sekunden steht.

Dies erhälst du wie folgt: Du kennst den Richtungsvektor: . Nun musst du berechnen. Im Text steht, dass das Flugzeug pro Sekunde eine Strecke von m fliegt. Das bedeutet, dass der Richtungsvektor eine Länge von besitzt. Dies kannst du mit der Formel der Länge eines Vektor berechnen:



Indem du beide Seiten zum Quadart nimmst, entfällt die Wurzel und es folgt:



Du formst zu um und ziehst dann die Wurzel. Du erhälst gerundet und . Da es sich hier jedoch nicht um ein U-Boot handelt, welches abtaucht, sondern um ein Flugzeug, welches in die Höhe geht, ist hier die einzig mögliche Antwort.

Du berechnest die Geschwindigkeit, indem du die Länge des Richtungsvektors berechnest. Dies erfolgt mit der Formel:.

Fugzeug Aer:

.

.

Du erhälst also eine Geschwindigkeit von . Es gilt: . Umgerechnet in sind das also:

also eine Geschwindigkeit von .

Flugzeug Amadeus: Das Flugzeug Amadeus legt in einer Sekunde eine Strecke von m zurück. Damit hat es eine Geschwindigkeit von . Umgerechnet in sind das also:

also eine Geschwindigkeit von .

Flugzeug Aer und Amadeus: Sie schneiden sich für . Dies erhälst du, wenn du mit dem GTR die beiden Geraden geleichsetzt. Alternativ wollen wir dir hier noch einmal Lösung ohne GTR zeigen. Du erhälst die Lösung, indem dubeide Funktionen gleichsetzen und in ein Gleichungssystem umformen:


Dann formst du dieses so um, dass alle Zahlen auf einer Seite sind:


und du multiplizierst die erste Zeile mit , die zweite Zeile mit :


Nun subtrahiere die zweite Zeile von der ersten Zeile:


also folgt:


Du erhälst also . Wenn du dies in die zweite Zeile einsetzt und umformst, erhälst du:


Setzen wir nun in die letzte Zeile ein, so erhalten wir dort und wissen damit, dass sich die Geraden schneiden.

Da es jedoch nicht der gleiche Zeitpunkt ist, kommt es zu keiner Kollision.