Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Abstände von Objekten im Raum: Unterschied zwischen den Versionen

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Version vom 30. Mai 2021, 09:52 Uhr

Info

In diesem Lernpfadkapitel kannst du das Thema "Abstände von Objekten im Raum" wiederholen und vertiefen.

Wie du im Inhaltsverzeichnis siehst, gibt es drei Abschnitte: einen zum Abstand zwischen einer Ebene und einem Punkt, einen zum Abstand zwischen einer Geraden und einem Punkt und einen dritten zum Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden. Suche dir einfach aus, was du üben möchtest. Bei jedem Abschnitt werden erst die jeweiligen Verfahren wiederholt und anschließend gibt es ein paar Aufgaben dazu, darunter sind auch Knobelaufgaben. Vorher kannst du noch die Einstiegsaufgabe machen, um deine generelle inhaltliche Vorstellung zu testen.

Dieses Thema ist nur für den LK gedacht, daher sind alle Aufgaben auch automatisch LK-Aufgaben und nicht noch jeweils mit einem ⭐ gekennzeichnet.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

  • In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
  • Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
  • Und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.
Viel Erfolg und Spaß!

Einstieg

Aufgabe 1: Sachsituationen und Rechenschritte zuordnen

Zu welcher Sachsituation passen die Rechenschritte jeweils? Ordne zu.

Zwei Kinder befinden sich im Klettergarten auf zwei verschiedenen Seilen. Wo auf ihrem Seil müssen sie sein, damit sie sich am nächsten sind? Wie nah sind sie sich dann?

Im Dachgeschoss eines alten Hauses soll bei der Renovierung ein Stützbalken gebaut werden. Er soll vom Boden zu einer bestimmten Stelle an oberen Dachkante gehen und senkrecht auf dem Fußboden stehen. Wie lang muss er sein?

Wikipedia-dachboden.jpg
Klettergarten, Waldhochseilgarten Rutesheim - panoramio (1).jpg

Luke Skywalker fliegt in seinem Raumschiff zum Auskundschaften am Todesstern vorbei. Dieser befindet sich im Verhältnis zur geradlinigen Bewegung des Raumschiffs in Ruhe. Der Sensor auf dem Todesstern hat eine Reichweite von . Wird Luke mit seinem Raumschiff entdeckt?

Die Gerade ist orthogonal zur Ebene und verläuft durch den Punkt auf der Geraden . Wegen , also , erhält man den Lotfußpunkt .

Der Vektor ist der Verbindungsvektor (in Abhängigkeit vom Geradenparameter ) zwischen dem Punkt und einem allgemeinen Punkt auf der Geraden .

Der Punkt ist der Lotfußpunkt auf der Geraden und ist der Lotfußpunkt auf . Der Abstand ist dann .

Schiebe die Kästen an die richtige Stelle in der Tabelle. Du kannst die Kästen und Bilder vergrößern, indem du sie anklickst.


Je nachdem, bei welchem Abstandsproblem du hier noch Schwierigkeiten hattest oder was du einfach noch üben willst, kannst du dir den jeweiligen Abschnitt dieses Lernpfadkapitels anschauen.

Abstand eines Punktes von einer Ebene

Aufgabe 2: Überblick: Abstand Punkt Ebene
Abstand Punkt Ebene

Bei dieser Aufgabe kannst du einen Überblick über die Bestimmung des Abstandes zwischen einem Punkt und einer Ebene mit dem Lotfußpunktverfahren bekommen. Es geht auch um wichtige Begriffe in diesem Zusammenhang.

Fülle die Lücken mit den richtigen Wörtern. Sie werden dir angezeigt, sobald du auf eine Lücke klickst. Wenn du fertig bist, klicke auf den Haken unten rechts.

Die Abbildung kann dir helfen.


Merke: Abstand eines Punktes P zu einer Ebene E - Lotfußpunktverfahren

Das Vorgehen aus Aufgabe 2 hier nochmal detalliert erklärt:

  1. Stelle die Gleichung für die zu orthogonale Gerade (also die Lotgerade) durch auf. Dabei kannst du als Stützvektor und als Richtungsvektor den Normalenvektor von nutzen: .
  2. Bestimme den Schnittpunkt von der Lotgeraden und der Ebene . ist der Lotfußpunkt.
  3. Bestimme den Abstand zwischen den Punkten und , indem du den Betrag des Vektors berechnest.


Aufgabe 3: Lotfußpunktverfahren anwenden

Berechne den Abstand von der Ebene und dem Punkt . Verwende dafür das Lotfußpunktverfahren.

Abstand von und :

Die Gleichung für die zu orthogonale Gerade (also die Lotgerade) durch aufstellen:

.

Den Lotfußpunkt bestimmen:

in einsetzten:

Der Lotfußpunkt ist .

Den Abstand zwischen den Punkten und bestimmen:


Merke: Formel für den Abstand eines Punktes von einer Ebene

Um den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene zu bestimmen, gibt es neben dem Lotfußpunktverfahren auch die Möglichkeit, diesen mit einer Formel zu berechnen.

Gegeben ist eine Ebene durch die Koordinatengleichung und ein Punkt .

1. Stelle nun die Formel auf: Lies dazu aus der Koordinatengleichung der Ebene den Normalenvektor ab.

Bestimme dann die Länge des Normalenvektors: .

Die Formel lautet nun: .

2. Berechne den Abstand, indem du die Koordinaten des Punktes in die Formel einsetzt:


Aufgabe 4: Abstand zum Schuldach

Anton und Bianca fliegen jeweils eine Drohne über das Dach ihrer Schule. Antons Drohne schwebt an der Stelle und Biancas Drohne schwebt an der Stelle . Finde heraus, wer den geringeren Abstand zum Schuldach hat. Das Schuldach lässt sich durch folgende Gleichung beschreiben: . Du darfst dir aussuchen, welches Verfahren du benutzt.

Drone with GoPro digital camera mounted underneath - 22 April 2013.jpg

Im Folgenden wurde der Abstand mit der Formel für den Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnet.

Der Normalenvektor der Ebene ist:

Länge des Normalenvektors bestimmen:

Es folgt: .

Nun werden die Koordinaten von eingesetzt:

Die Koordinaten von können in die selbe Formel eingesetzt werden: .

Damit hat die Drohne von Anton einen Abstand von zum Schuldach und die Drohne von Bianca einen Abstand von . Antons Drohne ist also näher zum Dach als Biancas Drohne.
Der Abstand der Drohne von Anton zum Dach beträgt und der Abstand von Biancas Drohne zum Dach beträgt . Damit ist der Abstand von Antons Drohne geringer.


Aufgabe 5: Glaspyramide - Teil 1


Glaspyramide des Louvre

Im Innenhof des Louvre-Museums in Paris befindet sich eine große Glaspyramide. Die quadratische Grundfläche liegt in einer Ebene, die durch die Ebenengleichung beschrieben werden kann. Die Spitze liegt im Punkt . Eine Längeneinheit LE im Koordinatensystem entpricht m.

Welche Höhe hat die Pyramide in Metern?

Mach dir eine Skizze. Welche Teilschritte brauchst du zur Bestimmung des Abstands? Wenn du dir unsicher bist, schau nochmal in die Merkbox oben.

Die Pyramide hat eine Höhe von m.

Der Lösungsweg:

Die Höhe der Pyramide kann man bestimmen, indem man den Abstand zwischen der Spitze und der Ebene bestimmt.

Zuerst wird die Geradengleichung der Lotgeraden zu durch aufgestellt. Wir nehmen den Ortsvektor von als Stützvektor und den Normalenvektor von als Richtungsvektor, also: .

Wir bestimmen den Schnittpunkt von mit . Einsetzen von einem allgemeinen Punkt von in ergibt , also . Durch Einsetzen in die Geradengleichung erhalten wir den Lotfußpunkt . Dies ist gleichtzeitig der Mittelpunkt der Grundfläche der Glaspyramide.

Der Abstand zwischen und beträgt LE wegen . Die Pyramide hat also eine Höhe von .


Aufgabe 6: Glaspyramide - Teil 2


An einer anderen Stelle im Innenhof des Louvre befindet sich eine invertierte Glaspyramide. Das bedeutet, ihre quadratische Grundfläche liegt ebenfalls in der Ebene , ihre Spitze ist aber unterhalb des Innenhofs. Man kann sie in einem Raum unterhalb des Innenhofs besichtigen. Die Länge der vier Kanten von der Spitze bis zur jeweiligen Ecke der Grundfläche beträgt jeweils m. Die Grundfläche hat m lange Diagonalen, die sich im Punkt schneiden. In welchem Punkt liegt die Spitze der umgedrehten Pyramide?


Zeichne eine Skizze, in der du alle bekannten Längenangaben und Punkte einträgst. Was musst du wissen, um die Position der Spitze herauszufinden?

Diese Skizze der Pyramide kannst du mit deiner Maus drehen und vergrößern.

Wenn du die Höhe der Pyramide kennst, weißt du, welchen Abstand die Spitze von der Grundfläche hat. Du kennst auch schon den Mittelpunkt der Pyramide und kannst entlang des Normalenvektors von zur Spitze gelangen.

GeoGebra
Berechnung der Höhe der Pyramide
Du kannst die Höhe der Pyramide mithilfe des Satzes von Pythagoras und der Längenangaben berechnen.

Die Spitze der invertierten Pyramide liegt im Punkt .

Hier der Lösungsweg:

Die Höhe der Pyramide kann man mit dem Satz des Pythagoras und den Längenangaben für die Diagonale der Grundfläche und die Kanten berechnen: (siehe Zeichnung zu Tipp 3)

Es ist , also beträgt die Höhe der invertierten Pyramide m, was LE im Koordinatensystem entspricht.


Die Spitze der umgedrehten Pyramide liegt also in einem Punkt, der einen Abstand von LE zur Pyramidengrundfläche hat. Es gibt genau zwei solche Punkte, die Spitze einer "normalen" Pyramide und die Spitze der invertierten Pyramide.

Damit man die Spitze der invertierten Pyramide erhält, geht man vom Mittelpunkt der Grundfläche aus LE entlang der Geraden, die orthogonal zu ist, und zwar in die andere Richtung als in der Aufgabe "Glaspyramide - Teil 1". Das heißt, man geht LE in die entgegengesetzte Richtung des Normalenvektors von .

Es ist , also ist .

Nun können wir bestimmen, in welchem Punkt die Spitze liegt:

Es ist , also erhält man
GeoGebra


Aufgabe 7: Abstand paralleler Ebenen

Gegeben ist die Ebene . Bestimme zur Ebene zwei parallele Ebenen, die von den Abstand haben.


Überlege dir, welchen Normalenvektor die Ebenen haben müssen, damit sie parallel zu sind


Die gesuchten Ebenen haben den gleichen Normalenvektor wie .


Ansatz:


sei ein Punkt der Ebene . Wir wissen also, dass für die Ebenengleichung von erfüllt sein muss, also dass gelten muss.


Es gilt: .


nach Aufgabenstellung. Daher gilt: oder .


Stelle nun beide Gleichungen nach um.

Es folgt: und .


Dies wird nun in die Ebenengleichung von eingesetzt:




und haben nun beide den Abstand zur Ebene .


und

haben beide den Abstand zu .

Abstand eines Punktes von einer Geraden

Aufgabe 8: Grafische Darstellung: Abstand eines Punktes von einer Geraden

Bewege den Punkt auf der Geraden , um dir den jeweiligen Abstand zwischen den Punkten und anzeigen zu lassen. Rechts neben der Geraden siehst du, wie groß der Abstand jeweils ist.

Wann ist der Abstand vom Punkt zur Geraden am kleinsten?

Wie groß ist der Winkel zwischen und der Geraden durch und ? Wie nennt man dann?

Versuche es zuerst ohne die Hilfslinie. Überprüfe dich dann selbst.

GeoGebra

Der Abstand ist am kleinsten, wenn orthogonal zu ist. Dies kannst du sehen, wenn du dir die Hilfslinie anzeigen lässt.

Dann nennt man den Punkt den Lotfußpunkt von auf .


Merke: Der Abstand eines Punktes zu einer Geraden

Der Abstand eines Punktes zu einer Geraden ist der Abstand von und , wobei der Lotfußpunkt von auf ist.

Für die Bestimmung des Abstandes gibt es zwei verschiedene Verfahren:

Verfahren Hilfsebene

  1. Stelle eine Hilfsebene (in Koordinatenform) auf, die den Punkt enthält und orthogonal zu zu ist. Dafür kannst du als Stützvektor und als Normalenvektor den Richtungsvektor von nehmen.
  2. Bestimme den Schnittpunkt von und durch Einsetzen.
  3. Berechne den Abstand .

Verfahren Orthogonalität

  1. Bestimme einen allgmeinen Verbindungsvektor von zu einem beliebigen Geradenpunkt in Abhängigkeit vom Geradenparameter .
  2. Wähle so, dass der Verbindungsvektor orthogonal zum Richtungsvektor der Geraden ist.
  3. Berechne nun den Abstand .


Aufgabe 9: Lichterkette
Crystal-ball-fairy-lights1.jpg

Für ein Stadtfest soll von der Dachspitze eines Restaurants eine Lichterkette auf kürzestem Weg zur nahen Uferlinie des Kanals gespannt werden. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht m.

Berechne die Mindestlänge der Lichterkette auf Meter gerundet.

1. Stelle die Hilfsebene in Koordinatenform auf:

2. Schnittpunkt von und bestimmen:

3. in einsetzten, um zu bestimmen:

4. Abstand bestimmen:

Die Lichterkette muss mindestens Meter lang sein.
Die Lichterkette muss mindestens Meter lang sein.


Aufgabe 10: Die richtige Reihenfolge

Im Folgenden wurde der Abstand von und bestimmt. Bringe die einzelnen Schritte in die richtige Reihenfolge.



Aufgabe 11: Dreieck

Betrachte das Dreieck . Es sind die Punkte und gegeben, durch sie verläuft die Gerade . Der Punkt liegt auf der zu parallelen Geraden .

a) Stimmt die Behauptung "Der Flächeninhalt des Dreiecks ändert sich, je nachdem wo auf der Geraden liegt"? Wenn ja, warum? Wenn nein, warum nicht?

Du kannst mit der Maus den Punkt verschieben.

GeoGebra
Überlege dir, wie man den Flächinhalt eines Dreiecks allgemein berechnet. Wie ändert sich die Höhe des Dreiecks, wenn man verschiebt?

Die Behauptung stimmt nicht. Den Flächeninhalt Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle A_\{text{DBC}}} eines Dreiecks kann man bekanntermaßen mit der Formel Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle A_\{text{DBC}}=\frac{1}{2}\cdot g \cdot h} berechnen, wobei die Länge der Grundseite ist.

In dieser Aufgabe bleibt der Abstand immer gleich, da sich auf einer zu parallelen Geraden "bewegt". Also ist die Höhe all dieser Dreiecke gleich. Deshalb ändert sich auch der Flächeninhalt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_\{text{DBC}}=\frac{1}{2}\cdot g \cdot h} nicht.

b) Bestimme den Flächeninhalt des Dreicks .

Überlege dir, welche Abstände du berechnen musst, um den Flächeninhalt bestimmen zu können.

Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt ungefähr Flächeneinheiten.

Ein möglicher Lösungsweg: Wir bestimmen zunächst die Länge der Grundseite: Es .

Nun bestimmen wir die Höhe , also den Abstand der parallelen Geraden und mithilfe des Verbindungsvektors von zur Geraden .(Da die Geraden parallel sind, ist es natürlich egal, welche der Geraden und welchen Punkt auf der anderen Geraden man nimmt. Ihr könntet ebenso mit dem anderen Verfahren, also mit einer Hilfsebene arbeiten):

Der Punkt ist ein allgemeiner Punkt auf . Ein allgemeiner Verbindungsvektor zwischen und ist also gegeben durch .

Damit orthogonal zum Richtungsvektor von ist, muss gelten: bzw. . Es folgt , also ist der Verbindungsvektor für am kürzesten. Somit ist .

Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt also Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle A_\{text{DBC}}=\frac{1}{2}\cdot g \cdot h=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{58,5} \cdot 5\approx 19,12} Flächeneinheiten.

Abstand zweier windschiefer Geraden

Aufgabe 12: Die kürzeste Verbindungsstrecke zwischen windschiefen Geraden

Verschiebe die Punkte und so, dass die kürzeste Verbindungsstrecke zwischen den windschiefen Geraden und ist. Du kannst die Grafik mit deiner Maus drehen, um die Geraden aus anderen Perspektiven zu betrachten.

GeoGebra
Damit die kürzeste Verbindungsstrecke zwischen den windschiefen Geraden und ist, müssen beide Winkel groß sein.


Merke: Der Abstand windschiefer Geraden

Der Abstand zweier windschiefer Geraden und ist die kürzeste Verbindung zwischen einem Punkt der Geraden und einem Punkt der Geraden . Diese kürzeste Verbindungsstrecke zwischen den beiden Geraden ist sowohl orthogonal zu als auch orthogonal zu und heißt gemeinsames Lot der windschiefen Geraden und .

Für die Bestimmung des Abstandes berechnet man also die Länge des gemeinsamen Lotes der Geraden. Dafür gibt es wieder verschiedene Möglichkeiten. Hier werden zwei Verfahren noch einmal zusammengefasst: Seien und die windschiefen Geraden.

Verfahren Gemeinsames Lot

  1. Bestimme die Geradenpunkte und in Abhängigkeit von dem jeweiligen Geradenparameter.
  2. Stelle den Verbindungsvektor in Abhängigkeit von den Geradenparametern auf.
  3. Bestimme nun die Parameter und so, dass der Verbindungsvektor orthogonal zu den Richtungsvektoren von und ist. Du löst also das lineare Gleichungssystem mit den beiden Gleichungen und .
  4. Mit diesen Parametern erhältst du die Lotfußpunkte und und kannst den Abstand bestimmen.

Verfahren Hilfsebene

Es gibt eine Ebene , sodass in liegt und parallel zu ist. Für diese Ebene ist dann der Abstand zwischen den Geraden gleich dem Abstand zwischen und einem beliebigen Punkt auf . Jeder Normalenvektor von dieser Ebene ist orthogonal zu den Richtungsvektoren von und .

  1. Bestimme aus den Gleichungen und einen Normalenvektor.
  2. Stelle die Normalengleichung der Ebene auf.
  3. Bestimme mit der Formel für den Abstand eines Punktes von einer Ebene oder dem Lotfußpunktverfahren (siehe Abschnitt Abstand Punkt Ebene) den Abstand .


Aufgabe 13: Maulwurfstunnel
Maulwurf

Zwei Maulwürfe graben Tunnel mit einem Durchmesser von jeweils cm.

Der erste Maulwurf gräbt entlang der Geraden und der zweite entlang der Geraden wobei diese Geraden jeweils in der Mitte des Tunnels liegen.

Die Geraden schneiden sich nicht, aber ihre Tunnel sind nur stabil, wenn überall mindestens cm Erde dazwischen sind. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht cm. Wird das Tunnelsystem halten?


Wenn die kleinste Entfernung, also der Abstand zwischen den Geraden groß genug ist, ist auch an allen anderen Stellen genug Erde zwischen den Tunneln. Überlege dir, welchen Abstand die Geraden voneinander haben müssten, damit die Tunnel nicht einstürzen. Berechne dann den Abstand zwischen den Geraden mit einem Verfahren deiner Wahl.

Da die Tunnel einen Radius von cm haben und die Geraden in dem Modell in der Mitte der jeweiligen Tunnel liegen, müssen die Geraden mindestens einen Abstand von haben, damit die Tunnel nicht einstürzen.

Wir bestimmen den Abstand zwischen den Geraden mithilfe einer Hilfsebene , die parallel zur Geraden ist und in der die Gerade liegt. Für den Normalenvektor muss gelten: und . Es folgt und . Also ist ein Normalenvektor von . Die Normalenform von lautet nun . Nehme den Punkt auf der Geraden . Da der Abstand zwischen den Geraden gleich dem Abstand zwischen der Ebene und einem beliebigen Punkt auf der zu parallelen Geraden ist, erhält man nun mit der Formel für den Abstand eines Punktes von einer Ebene

Die Geraden haben also einen kleineren Abstand als LE. Das heißt, die Tunnel sind nicht überall mindestens cm voneinander entfernt und sie werden einstürzen.

Die einzige Lösung für die Maulwürfe ist es, an der kritischen Stelle eine gemeinsame Höhle zu bauen. :)


Die Geraden haben einen Abstand von . Zwischen den Tunneln sind also an einer Stelle nur Erde und sie werden einstürzen.

Dann bauen die beiden Maulwürfe an der kritischen Stelle einfach eine gemeinsame Höhle. :)


Aufgabe 14: Geradenpaare, Abstände und Lotfußpunkte zuordnen

Bei dieser Aufgabe gibt es drei Geradenpaare und , die jeweils windschief zueinander liegen. Schiebe zuerst die Geradenpaare auf das Feld mit der entsprechenden Nummer. Ordne ihnen dann die jeweiligen Lotfußpunkte und sowie den entsprechenden Abstand zwischen den Geraden zu. Ein paar Zettel bleiben übrig, diese schiebst du auf das letzte Feld. Du kannst die Zettel vergrößern, indem du sie anklickst.

Tipp: Durch genaue Überlegungen, Rückwärtsrechnen und mithilfe von Skizzen kann man manchmal schnell erkennen, was zusammengehört, ohne alle Schritte des Verfahrens durchzugehen!

Wenn du auf den Haken klickst, kannst du überprüfen, ob du richtig zugeordnet hast.


Du kannst natürlich auch mit dem Verfahren die beiden Lotfußpunkte bestimmen. Hier kannst du dir aber "rückwärts" schneller überlegen, was die Lotfußpunkte sind: Durch Einsetzen erkennt man, dass und auf der jeweiligen Gerade liegen. Der Verbindungsvektor ist wegen und orthogonal zu und . Also sind und die Lotfußpunkte und es ist .

Da entlang der -Achse verläuft, liegt diese Gerade auch in der -Ebene.

Der Vektor ist ein möglicher Stützvektor für eine Geradengleichung von , denn veräuft durch den Punkt . Da die Gerade parallel zur -Achse ist und der Eintrag des Stützvektors in der -Koordinate ist, ist parallel zur -Ebene und alle Punkte auf der Geraden haben die -Koordinate .

Also kann man den Abstand der Geraden direkt an der -Koordinate des Stützvektors der Geraden ablesen: .

Außerdem liegt auf und auf und der Verbindungsvektor ist orthogonal zu den Richtungsvektoren und beider Geraden. Also sind diese beiden Punkte die Lotfußpunkte. Das gemeinsame Lot liegt insbesondere auf der -Achse. Dies kann man daran erkennen, dass entlang der -Achse verläuft und parallel zur -Achse und nicht in -Richtung verschoben ist (der Stützvektor von hat die -Koordinate ). Beide Geraden schneiden also die -Achse und sind parallel zur -Ebene bzw. liegen in dieser Ebene.
Da der Richtungsvektor von im Eintrag der -Koordinate ist, ist parallel zur --Ebene. liegt in der --Ebene. (Da die Richtungsvektoren von und linear unabhängig sind, sind die Geraden nicht parallel zueinander, was aber ja auch schon in der Aufgabenstellung gesagt wurde.) Also kann man den Abstand der Geraden direkt am Unterschied der -Koordinaten der Stützvektoren der beiden Geraden ablesen: . Da man aber nicht genau weiß, wo liegt (man kennt nur den Richtungsvektor), kann man auch nicht sagen, wo genau die Lotfußpunkte liegen.