Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Abstände von Objekten im Raum: Unterschied zwischen den Versionen

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Aktuelle Version vom 23. Juni 2021, 20:11 Uhr

Info

In diesem Lernpfadkapitel kannst du das Thema "Abstände von Objekten im Raum" wiederholen und vertiefen.

Wie du im Inhaltsverzeichnis siehst, gibt es drei Abschnitte: einen zum Abstand zwischen einer Ebene und einem Punkt, einen zum Abstand zwischen einer Geraden und einem Punkt und einen dritten zum Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden. Suche dir einfach aus, was du üben möchtest. Bei jedem Abschnitt werden erst die jeweiligen Verfahren wiederholt und anschließend gibt es ein paar Aufgaben dazu. Darunter sind auch Knobelaufgaben. Vorher kannst du noch die Einstiegsaufgabe machen, um deine generelle inhaltliche Vorstellung zu testen.

Dieses Thema ist nur für den LK gedacht, daher sind alle Aufgaben auch automatisch LK-Aufgaben und nicht noch jeweils mit einem ⭐ gekennzeichnet.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

  • In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
  • Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
  • Und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.
Viel Erfolg und Spaß!

Einstieg

Aufgabe 1: Sachsituationen und Rechenschritte zuordnen

Zu welcher Sachsituation passen die Rechenschritte jeweils? Ordne zu.

Schiebe die Kästen an die richtige Stelle in der Tabelle. Du kannst die Kästen und Bilder vergrößern, indem du sie anklickst.


Im Folgenden werden nun die Verfahren für die verschiedenen Abstandsprobleme wiederholt. Je nachdem, was du noch üben willst, kannst du dir den jeweiligen Abschnitt dieses Lernpfadkapitels anschauen.

Abstand eines Punktes von einer Ebene

Aufgabe 2: Überblick: Abstand Punkt Ebene
Abstand Punkt Ebene

Bei dieser Aufgabe kannst du einen Überblick über die Bestimmung des Abstandes zwischen einem Punkt und einer Ebene mit dem Lotfußpunktverfahren bekommen. Es geht auch um wichtige Begriffe in diesem Zusammenhang.

Fülle die Lücken mit den richtigen Wörtern. Sie werden dir angezeigt, sobald du auf eine Lücke klickst. Wenn du fertig bist, klicke auf den Haken unten rechts.

Die Abbildung kann dir helfen.


Merke: Abstand eines Punktes P zu einer Ebene E - Lotfußpunktverfahren

Das Vorgehen aus Aufgabe 2 hier nochmal detalliert erklärt:

  1. Stelle die Gleichung für die zu orthogonale Gerade (also die Lotgerade) durch auf. Dabei kannst du als Stützvektor und als Richtungsvektor den Normalenvektor von nutzen: .
  2. Bestimme den Schnittpunkt von der Lotgeraden und der Ebene . ist der Lotfußpunkt.
  3. Bestimme den Abstand zwischen den Punkten und , indem du den Betrag des Vektors berechnest.


Aufgabe 3: Lotfußpunktverfahren anwenden

Berechne den Abstand von der Ebene und dem Punkt . Verwende dafür das Lotfußpunktverfahren.

Abstand von und :

Die Gleichung für die zu orthogonale Gerade (also die Lotgerade) durch aufstellen:

.

Den Lotfußpunkt bestimmen:

in einsetzten:

Der Lotfußpunkt ist .

Den Abstand zwischen den Punkten und bestimmen:


Merke: Formel für den Abstand eines Punktes von einer Ebene mit Hilfe der Hesse´schen Normaleform (HNF)

Um den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene zu bestimmen, gibt es neben dem Lotfußpunktverfahren auch die Möglichkeit, diesen mit einer Formel zu berechnen.

Gegeben ist eine Ebene durch die Koordinatengleichung und ein Punkt .

1. Stelle nun die Formel auf: Lies dazu aus der Koordinatengleichung der Ebene den Normalenvektor ab.

Bestimme dann die Länge des Normalenvektors: .

Die Formel lautet nun: .

2. Berechne den Abstand, indem du die Koordinaten des Punktes in die Formel einsetzt:

Die folgenden Aufgaben kannst du entweder mit dem Lotfußpunktverfahren oder der Formel für den Abstand eines Punktes von einer Ebene lösen.

Aufgabe 4: Abstand zum Schuldach


Anton und Bianca fliegen jeweils eine Drohne über das Dach ihrer Schule. Antons Drohne schwebt an der Stelle und Biancas Drohne schwebt an der Stelle .

Finde heraus, wer den geringeren Abstand zum Schuldach hat. Das Schuldach lässt sich durch folgende Gleichung beschreiben: . Du darfst dir aussuchen, welches Verfahren du benutzt.

Drone with GoPro digital camera mounted underneath - 22 April 2013.jpg


Abstandsberechnung des Abstandes eines Punktes von einer Ebene mit der Hesse´schen Normalenform:


Der Normalenvektor der Ebene ist:


Länge des Normalenvektors bestimmen:


Es folgt: .


Nun werden die Koordinaten von eingesetzt:


Die Koordinaten von können in die selbe Formel eingesetzt werden: .


Damit hat die Drohne von Anton einen Abstand von LE zum Schuldach und die Drohne von Bianca einen Abstand von LE. Antons Drohne ist also näher zum Dach als Biancas Drohne.


Abstand von zu :


Zuerst wird die Geradengleichung der Lotgeraden zu durch aufgestellt.

Mit dem Ortsvektor von als Stützvektor und dem Normalenvektor von als Richtungsvektor ist .


Wir bestimmen den Schnittpunkt von mit . Einsetzen von einem allgemeinen Punkt von in ergibt , also . Durch Einsetzen in die Geradengleichung erhalten wir den Lotfußpunkt .


Der Abstand zwischen und beträgt LE wegen .


Abstand von zu :


Zuerst wird die Geradengleichung der Lotgeraden zu durch aufgestellt.

Mit dem Ortsvektor von als Stützvektor und dem Normalenvektor von als Richtungsvektor ist .


Wir bestimmen den Schnittpunkt von mit . Einsetzen von einem allgemeinen Punkt von in ergibt , also . Durch Einsetzen in die Geradengleichung erhalten wir den Lotfußpunkt .


Der Abstand zwischen und beträgt LE wegen .


Damit hat die Drohne von Anton einen Abstand von LE zum Schuldach und die Drohne von Bianca einen Abstand von LE. Antons Drohne ist also näher zum Dach als Biancas Drohne.


Aufgabe 5: Glaspyramide - Teil 1


Glaspyramide des Louvre

Im Innenhof des Louvre-Museums in Paris befindet sich eine große Glaspyramide. Die quadratische Grundfläche liegt in einer Ebene, die durch die Ebenengleichung beschrieben werden kann. Die Spitze liegt im Punkt . Eine Längeneinheit LE im Koordinatensystem entpricht m.

Welche Höhe hat die Pyramide in Metern?

Mach dir eine Skizze. Welche Teilschritte brauchst du zur Bestimmung des Abstands? Wenn du dir unsicher bist, schau nochmal in die Merkbox oben.

Die Pyramide hat eine Höhe von m.

Der Lösungsweg:

Die Höhe der Pyramide kann man bestimmen, indem man den Abstand zwischen der Spitze und der Ebene bestimmt.

Lösung mit dem Lotfußpunktverfahren:

Zuerst wird die Geradengleichung der Lotgeraden zu durch aufgestellt. Wir nehmen den Ortsvektor von als Stützvektor und den Normalenvektor von als Richtungsvektor, also: .

Wir bestimmen den Schnittpunkt von mit . Einsetzen von einem allgemeinen Punkt von in ergibt , also . Durch Einsetzen in die Geradengleichung erhalten wir den Lotfußpunkt . Dies ist gleichtzeitig der Mittelpunkt der Grundfläche der Glaspyramide.

Der Abstand zwischen und beträgt LE wegen . Die Pyramide hat also eine Höhe von .

Lösung mit der Formel für den Abstand eines Punktes von einer Ebene:

Ein Normalenvektor der Ebene ist , dieser hat die Länge . Setzt man die Koordinaten von in die Formel ein, ergibt sich der Abstand

, das heißt, die Pyramide hat eine Höhe von .


Aufgabe 6: Glaspyramide - Teil 2


Spitze der invertierten Glaspyramide

An einer anderen Stelle im Innenhof des Louvre befindet sich eine invertierte Glaspyramide. Das bedeutet, ihre quadratische Grundfläche liegt ebenfalls in der Ebene , ihre Spitze ist aber unterhalb des Innenhofs. Man kann sie in einem Raum unterhalb des Innenhofs besichtigen. Die Länge der vier Kanten von der Spitze bis zur jeweiligen Ecke der Grundfläche beträgt jeweils m. Die Grundfläche hat m lange Diagonalen, die sich im Punkt schneiden. In welchem Punkt liegt die Spitze der umgedrehten Pyramide?


Zeichne eine Skizze, in der du alle bekannten Längenangaben und Punkte einträgst. Was musst du wissen, um die Position der Spitze herauszufinden?

Diese Skizze der Pyramide kannst du mit deiner Maus drehen und vergrößern.

Wenn du die Höhe der Pyramide kennst, weißt du, welchen Abstand die Spitze von der Grundfläche hat. Du kennst auch schon den Mittelpunkt der Pyramide und kannst entlang des Normalenvektors von zur Spitze gelangen.

GeoGebra
Berechnung der Höhe der Pyramide
Du kannst die Höhe der Pyramide mithilfe des Satzes von Pythagoras und der Längenangaben berechnen.

Die Spitze der invertierten Pyramide liegt im Punkt .

Hier der Lösungsweg:

Die Höhe der Pyramide kann man mit dem Satz des Pythagoras und den Längenangaben für die Diagonale der Grundfläche und die Kanten berechnen: (siehe Zeichnung zu Tipp 3)

Es ist , also beträgt die Höhe der invertierten Pyramide m, was LE im Koordinatensystem entspricht.


Die Spitze der umgedrehten Pyramide liegt also in einem Punkt, der einen Abstand von LE zur Pyramidengrundfläche hat. Es gibt genau zwei solche Punkte, die Spitze einer "normalen" Pyramide und die Spitze der invertierten Pyramide.

Damit man die Spitze der invertierten Pyramide erhält, geht man vom Mittelpunkt der Grundfläche aus LE entlang der Geraden, die orthogonal zu ist, und zwar in die andere Richtung als in der Aufgabe "Glaspyramide - Teil 1". Das heißt, man geht LE in die entgegengesetzte Richtung des Normalenvektors von .

Es ist , also ist .

Nun können wir bestimmen, in welchem Punkt die Spitze liegt:

Es ist , also erhält man


Aufgabe 7: Abstand paralleler Ebenen

Gegeben ist die Ebene . Bestimme zur Ebene zwei parallele Ebenen, die von den Abstand haben.


Überlege dir, welchen Normalenvektor die Ebenen haben müssen, damit sie parallel zu sind


und

haben beide den Abstand zu .


Hier der Lösungsweg:

Die gesuchten Ebenen haben den gleichen Normalenvektor wie .


Ansatz:


sei ein Punkt der Ebene . Wir wissen also, dass für die Ebenengleichung von erfüllt sein muss, also dass gelten muss.


Es gilt: .


nach Aufgabenstellung. Daher gilt: oder .


Stelle nun beide Gleichungen nach um.

Es folgt: und .


Dies wird nun in die Ebenengleichung von eingesetzt:




und haben nun beide den Abstand zur Ebene .

Abstand eines Punktes von einer Geraden

Aufgabe 8: Grafische Darstellung: Abstand eines Punktes von einer Geraden

Bewege den Punkt auf der Geraden , um dir den jeweiligen Abstand zwischen den Punkten und anzeigen zu lassen. Rechts neben der Geraden siehst du, wie groß der Abstand jeweils ist.

Wann ist der Abstand vom Punkt zur Geraden am kleinsten?

Wie groß ist der Winkel zwischen und der Geraden durch und ? Wie nennt man dann?

Versuche es zuerst ohne die Hilfslinie. Überprüfe dich dann selbst.

GeoGebra

Der Abstand ist am kleinsten, wenn orthogonal zu ist. Dies kannst du sehen, wenn du dir die Hilfslinie anzeigen lässt.

Dann nennt man den Punkt den Lotfußpunkt von auf .


Merke: Der Abstand eines Punktes zu einer Geraden

Der Abstand eines Punktes zu einer Geraden ist der Abstand von und , wobei der Lotfußpunkt von auf ist.

Für die Bestimmung des Abstandes gibt es zwei verschiedene Verfahren:

Verfahren Hilfsebene

  1. Stelle eine Hilfsebene (in Koordinatenform) auf, die orthogonal zur Geraden ist und den Punkt enthält. Dafür kannst du als Normalenvektor den Richtungsvektor von und als Stützvektor nehmen.
  2. Bestimme den Schnittpunkt von und durch Einsetzen.
  3. Berechne den Abstand .


Wir bestimmen den Abstand zwischen der Geraden und dem Punkt .

1. Hilfsebene aufstellen, die orthogonal zu ist und den Punkt enthält:

Ansatz für die Hilfsebene mit dem Richtungsvektor von als Normalenvektor: . Einsetzen vom Punkt liefert , also .

2. Schnittpunkt von und durch Einsetzen bestimmen:

, also .

Durch Einsetzen von in die Geradengleichung von erhält man den Schnittpunkt .

3. Abstand berechnen:

Verfahren Orthogonalität

  1. Bestimme einen allgmeinen Verbindungsvektor von zu einem beliebigen Geradenpunkt in Abhängigkeit vom Geradenparameter .
  2. Wähle so, dass der Verbindungsvektor orthogonal zum Richtungsvektor der Geraden ist.
  3. Berechne nun den Abstand .

Wir bestimmen den Abstand zwischen der Geraden und dem Punkt .

1. Allgemeinen Verbindungsvektor bestimmen:

ist ein allgemeiner Punkt auf , also ist ein allgemeiner Verbindungsvektor.

2. Den Parameter so bestimmen, dass orthogonal zum Richtungsvektor von ist:

Dafür muss gelten: bzw. . Es folgt .

3. Abstand berechnen:

Durch Einsetzen von erhält man als kürzesten Verbindungsvektor.

Also ist .


Aufgabe 9: Lichterkette
Crystal-ball-fairy-lights1.jpg

Für ein Stadtfest soll von der Dachspitze eines Restaurants eine Lichterkette auf kürzestem Weg zur nahen Uferlinie des Kanals gespannt werden. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht m.

Berechne die Mindestlänge der Lichterkette auf Meter gerundet.

Die Lichterkette muss mindestens Meter lang sein.

Hier der Lösungsweg:

1. Stelle die Hilfsebene in Koordinatenform auf:

2. Schnittpunkt von und bestimmen:

3. in einsetzten, um zu bestimmen:

4. Abstand zwischen und bestimmen:

Die Lichterkette muss mindestens Meter lang sein.


Aufgabe 10: Die richtige Reihenfolge

Im Folgenden wurde der Abstand von und bestimmt. Bringe die einzelnen Schritte in die richtige Reihenfolge.



Aufgabe 11: Dreieck

Betrachte das Dreieck . Es sind die Punkte und gegeben, durch sie verläuft die Gerade . Der Punkt liegt auf der zu parallelen Geraden .

a) Stimmt die Behauptung "Der Flächeninhalt des Dreiecks ändert sich, je nachdem wo auf der Geraden liegt"? Wenn ja, warum? Wenn nein, warum nicht?

Du kannst mit der Maus den Punkt verschieben.

GeoGebra
Überlege dir, wie man den Flächinhalt eines Dreiecks allgemein berechnet. Wie ändert sich die Höhe des Dreiecks, wenn man verschiebt?

Die Behauptung stimmt nicht. Den Flächeninhalt eines Dreiecks kann man bekanntermaßen mit der Formel berechnen, wobei die Länge der Grundseite ist.

In dieser Aufgabe bleibt der Abstand immer gleich, da sich auf einer zu parallelen Geraden "bewegt". Also ist die Höhe all dieser Dreiecke gleich. Deshalb ändert sich auch der Flächeninhalt nicht.

b) Bestimme den Flächeninhalt des Dreicks .

Überlege dir, welche Abstände du berechnen musst, um den Flächeninhalt bestimmen zu können.

Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt ungefähr Flächeneinheiten.

Ein möglicher Lösungsweg: Wir bestimmen zunächst die Länge der Grundseite: Es .

Nun bestimmen wir die Höhe , also den Abstand der parallelen Geraden und mithilfe des Verbindungsvektors von zur Geraden .(Da die Geraden parallel sind, ist es natürlich egal, welche der Geraden und welchen Punkt auf der anderen Geraden man nimmt. Ihr könntet ebenso mit dem anderen Verfahren, also mit einer Hilfsebene arbeiten):

Der Punkt ist ein allgemeiner Punkt auf . Ein allgemeiner Verbindungsvektor zwischen und ist also gegeben durch .

Damit orthogonal zum Richtungsvektor von ist, muss gelten: bzw. . Es folgt , also ist der Verbindungsvektor für am kürzesten. Somit ist .

Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt also Flächeneinheiten.

Abstand zweier windschiefer Geraden

Aufgabe 12: Die kürzeste Verbindungsstrecke zwischen windschiefen Geraden

Verschiebe die Punkte und so, dass die kürzeste Verbindungsstrecke zwischen den windschiefen Geraden und ist. Du kannst die Grafik mit deiner Maus drehen, um die Geraden aus anderen Perspektiven zu betrachten.

GeoGebra
Damit die kürzeste Verbindungsstrecke zwischen den windschiefen Geraden und ist, müssen beide Winkel groß sein.


Merke: Der Abstand windschiefer Geraden

Der Abstand zweier windschiefer Geraden und ist die kürzeste Verbindung zwischen einem Punkt der Geraden und einem Punkt der Geraden . Diese kürzeste Verbindungsstrecke zwischen den beiden Geraden ist sowohl orthogonal zu als auch orthogonal zu und heißt gemeinsames Lot der windschiefen Geraden und .

Für die Bestimmung des Abstandes berechnet man also die Länge des gemeinsamen Lotes der Geraden. Dafür gibt es wieder verschiedene Möglichkeiten. Hier werden zwei Verfahren noch einmal zusammengefasst: Seien und die windschiefen Geraden.

Verfahren Gemeinsames Lot

  1. Bestimme die Geradenpunkte und in Abhängigkeit von dem jeweiligen Geradenparameter.
  2. Stelle den Verbindungsvektor in Abhängigkeit von den Geradenparametern auf.
  3. Bestimme nun die Parameter und so, dass der Verbindungsvektor orthogonal zu den Richtungsvektoren von und ist. Du löst also das lineare Gleichungssystem mit den beiden Gleichungen und .
  4. Mit diesen Parametern erhältst du die Lotfußpunkte und und kannst den Abstand bestimmen.

Wir bestimmen den Abstand der windschiefen Geraden